Elasticidad de sustitución

Métrica económica

La elasticidad de sustitución es la relación entre el cambio porcentual en la relación capital-trabajo y el cambio porcentual en la tasa marginal de sustitución técnica. ^[1] En un mercado competitivo, mide el cambio porcentual en los dos insumos utilizados en respuesta a un cambio porcentual en sus precios. ^[2] Da una medida de la curvatura de una isocuanta y, por lo tanto, la sustituibilidad entre insumos (o bienes), es decir, lo fácil que es sustituir un insumo (o bien) por otro. ^[3]

Historia del concepto

John Hicks introdujo el concepto en 1932. Joan Robinson lo descubrió de forma independiente en 1933 utilizando una formulación matemática que era equivalente a la de Hicks, aunque no se implementó en ese momento. ^[4]

Definición

La definición general de la elasticidad de X con respecto a Y es , que se reduce a para cambios infinitesimales y variables diferenciables. La elasticidad de sustitución es el cambio en la razón del uso de dos bienes con respecto a la razón de sus valores marginales o precios. La aplicación más común es a la razón del capital (K) y el trabajo (L) utilizados con respecto a la razón de sus productos marginales y /o del precio del alquiler (r) y el salario (w). Otra aplicación es a la razón de los bienes de consumo 1 y 2 con respecto a la razón de sus utilidades marginales o sus precios. Comenzaremos con la aplicación al consumo. ${\displaystyle E_{Y}^{X}={\frac {\%\ {\mbox{change in X}}}{\%\ {\mbox{change in Y}}}}}$ ${\displaystyle E_{Y}^{X}={\frac {dX}{dY}}{\frac {Y}{X}}}$ ${\displaystyle MP_{K}}$ ${\displaystyle MP_{L}}$

Sea la utilidad sobre el consumo dada por y sea . Entonces la elasticidad de sustitución es: ${\displaystyle U(c_{1},c_{2})}$ ${\displaystyle U_{c_{i}}=\partial U(c_{1},c_{2})/\partial {c_{i}}}$

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}{U_{c_{1}}/U_{c_{2}}}}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{1}/p_{2})}{p_{1}/p_{2}}}}}$

donde es la relación marginal de sustitución . (Estos diferenciales se toman a lo largo de la isocuanta que pasa por el punto base. Es decir, los insumos y no se varían independientemente, sino que un insumo se varía libremente mientras que el otro insumo está restringido a estar en la isocuanta que pasa por el punto base. Debido a esta restricción, la MRS y la relación de insumos son funciones biunívocas entre sí bajo supuestos de convexidad adecuados). La última igualdad presenta , donde son los precios de los bienes 1 y 2. Esta es una relación de la condición de primer orden para un problema de maximización de la utilidad del consumidor en el equilibrio interior de Arrow-Debreu, donde las utilidades marginales de dos bienes son proporcionales a los precios. Intuitivamente, estamos viendo cómo las elecciones de un consumidor sobre los artículos de consumo cambian a medida que cambian sus precios relativos. ${\displaystyle MRS}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle MRS_{12}=p_{1}/p_{2}}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$

Tenga en cuenta también que : ${\displaystyle E_{21}=E_{12}}$

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {d\left(-\ln(c_{2}/c_{1})\right)}{d\left(-\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})\right)}}={\frac {d\ln(c_{1}/c_{2})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=E_{12}}$

Una caracterización equivalente de la elasticidad de sustitución es: ^[5]

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{21})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}{U_{c_{2}}/U_{c_{1}}}}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{2}/p_{1})}{p_{2}/p_{1}}}}}$

En los modelos de tiempo discreto, la elasticidad de sustitución del consumo en los periodos se conoce como elasticidad de sustitución intertemporal . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+1}$

De manera similar, si la función de producción es entonces la elasticidad de sustitución es: ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle \sigma _{21}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}}={\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}{{\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}}}}=-{\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}})}{{\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}}}}}}$

donde es la tasa marginal de sustitución técnica . ${\displaystyle MRTS}$

La inversa de la elasticidad de sustitución es la elasticidad de complementariedad .

Ejemplo

Considere la función de producción Cobb-Douglas . ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{1-a}}$

La tasa marginal de sustitución técnica es

${\displaystyle MRTS_{21}={\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}$

Es conveniente cambiar las notaciones. Denotar

${\displaystyle {\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}=\theta }$

Reescribiendo esto tenemos

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {a}{1-a}}\theta }$

Entonces la elasticidad de sustitución es ^[6]

${\displaystyle \sigma _{21}={\frac {d\ln({\frac {x_{1}}{x_{2}}})}{d\ln(MRTS_{21})}}={\frac {d\ln({\frac {x_{1}}{x_{2}}})}{d\ln(\theta )}}={\frac {d{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{\frac {\theta }{d\theta }}={\frac {d{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{d\theta }}{\frac {\theta }{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}={\frac {a}{1-a}}{\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=1}$

Interpretación económica

Dada una asignación/combinación original y una sustitución específica en la asignación/combinación por la original, cuanto mayor sea la magnitud de la elasticidad de sustitución (la elasticidad de la tasa marginal de sustitución de la asignación relativa), mayor será la probabilidad de sustitución. Siempre hay dos lados en el mercado; aquí estamos hablando del receptor, ya que la elasticidad de la preferencia es la del receptor.

La elasticidad de sustitución también determina cómo cambia el gasto relativo en bienes o factores de producción a medida que cambian los precios relativos. Denotemos el gasto en en relación con el gasto en . Es decir: ${\displaystyle S_{21}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$

${\displaystyle S_{21}\equiv {\frac {p_{2}c_{2}}{p_{1}c_{1}}}}$

A medida que cambia el precio relativo , el gasto relativo cambia según: ${\displaystyle p_{2}/p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{21}}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}+{\frac {p_{2}}{p_{1}}}\cdot {\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left[1+{\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}\cdot {\frac {p_{2}/p_{1}}{c_{2}/c_{1}}}\right]={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left(1-E_{21}\right)}$

Por lo tanto, que un aumento del precio relativo de conduzca a un aumento o disminución del gasto relativo en depende de si la elasticidad de sustitución es menor o mayor que uno. ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

Intuitivamente, el efecto directo de un aumento del precio relativo de es aumentar el gasto en , ya que una cantidad dada de es más costosa. Por otro lado, suponiendo que los bienes en cuestión no son bienes Giffen , un aumento del precio relativo de conduce a una caída de la demanda relativa de , de modo que la cantidad de comprada disminuye, lo que reduce el gasto en . ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

Cuál de estos efectos predomina depende de la magnitud de la elasticidad de sustitución. Cuando la elasticidad de sustitución es menor que uno, predomina el primer efecto: la demanda relativa de bienes disminuye, pero en una proporción menor que el aumento de su precio relativo, de modo que el gasto relativo aumenta. En este caso, los bienes son complementos brutos . ${\displaystyle c_{2}}$

Por el contrario, cuando la elasticidad de sustitución es mayor que uno, predomina el segundo efecto: la reducción de la cantidad relativa supera el aumento del precio relativo, de modo que el gasto relativo en bienes disminuye. En este caso, los bienes son sustitutos brutos . ${\displaystyle c_{2}}$

Obsérvese que cuando la elasticidad de sustitución es exactamente uno (como en el caso Cobb-Douglas), el gasto en relación con es independiente de los precios relativos. ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$

Véase también

• Elasticidad de sustitución constante
• Tasa marginal de sustitución técnica

Notas

1. Sydsaeter, Knut ; Hammond, Peter (1995). Matemáticas para el análisis económico . Prentice Hall. págs. 561–562.
2. Bergstrom, Ted (2015). Notas de clase sobre elasticidad de sustitución, pág. 5. Consultado el 17 de junio de 2016.
3. de La Grandville, Olivier (1997). "Curvatura y elasticidad de sustitución: enderezándola". Journal of Economics . 66 (1): 23–34. doi :10.1007/BF01231465. S2CID  154023144.
4. Chirinko, Robert (2006). Sigma: lo esencial y lo esencial. Journal of Macroeconomics. 2: 671-86.
5. Dado que:

   ${\displaystyle \ {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}=d\log(x_{2}/x_{1})=d\log x_{2}-d\log x_{1}=-(d\log x_{1}-d\log x_{2})=-d\log(x_{1}/x_{2})=-{\frac {d(x_{1}/x_{2})}{x_{1}/x_{2}}}}$

   Una forma equivalente de definir la elasticidad de sustitución es:

   ${\displaystyle \ \sigma =-{\frac {d(c_{1}/c_{2})}{dMRS}}{\frac {MRS}{c_{1}/c_{2}}}=-{\frac {d\log(c_{1}/c_{2})}{d\log MRS}}}$.

6. "Elasticidad de sustitución". 11 de julio de 2019.

Referencias

• Hicks, JR (1932). La teoría de los salarios . Macmillan.
• Mas-Colell, Andreu ; Whinston; Green (2007). Teoría microeconómica . Nueva York, NY: Oxford University Press. ISBN 978-0195073409.
• Varian, Hal (1992). Análisis microeconómico (3.ª ed.). WW Norton & Company . ISBN 978-0-393-95735-8.
• Klump, Rainer; McAdam, Peter; Willman, Alpo (2007). "Sustitución de factores y progreso técnico factorial en los Estados Unidos: un enfoque sistémico normalizado del lado de la oferta". Revista de Economía y Estadística . 89 (1): 183–192. doi :10.1162/rest.89.1.183. S2CID  57570638.

Enlaces externos

• La elasticidad de la sustitución, Gonçalo L. Fonsekca, ensayo, The New School for Social Research .