Utilidad lineal

En economía y teoría del consumidor , una función de utilidad lineal es una función de la forma:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\dots w_{m}x_{m}}$

o, en forma vectorial:

${\displaystyle u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {w}}\cdot {\overrightarrow {x}}}$

dónde:

• ${\displaystyle m}$es el número de bienes diferentes en la economía.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$es un vector de tamaño que representa un paquete . El elemento representa la cantidad de bienes en el paquete. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {w}}}$es un vector de tamaño que representa las preferencias subjetivas del consumidor. El elemento representa el valor relativo que el consumidor asigna al bien . Si , significa que el consumidor piensa que ese producto no tiene ningún valor. Cuanto más alto sea , más valiosa es una unidad de ese producto para el consumidor. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle w_{i}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle w_{i}}$

Un consumidor con una función de utilidad lineal tiene las siguientes propiedades:

• Las preferencias son estrictamente monótonas : tener una mayor cantidad de un solo bien aumenta estrictamente la utilidad.
• Las preferencias son débilmente convexas , pero no estrictamente convexas: una mezcla de dos paquetes equivalentes es equivalente al paquete original, pero no mejor que éste.
• La tasa marginal de sustitución de todos los bienes es constante. Por cada dos bienes : ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle MRS_{i,j}=w_{i}/w_{j}}$.

• Las curvas de indiferencia son líneas rectas (cuando hay dos bienes) o hiperplanos (cuando hay más bienes).
• Cada curva de demanda (demanda en función del precio) es una función escalonada : el consumidor quiere comprar cero unidades de un bien cuya relación utilidad/precio sea inferior al máximo, y quiere comprar tantas unidades como sea posible de un bien cuya relación utilidad/precio sea máxima.
• El consumidor considera los bienes como bienes sustitutivos perfectos .

Economía con utilidades lineales

Defina una economía lineal como una economía de intercambio en la que todos los agentes tienen funciones de utilidad lineales. Una economía lineal tiene varias propiedades.

Supongamos que cada agente tiene una dotación inicial . Se trata de un vector de tamaño en el que el elemento representa la cantidad de bien que posee inicialmente el agente . Entonces, la utilidad inicial de este agente es . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{A}}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e_{A,i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$

Supongamos que los precios del mercado están representados por un vector , un vector de tamaño en el que el elemento es el precio del bien . Entonces, el presupuesto del agente es . Mientras este vector de precios esté en vigor, el agente puede permitirse todos y solo los paquetes que satisfacen la restricción presupuestaria : . ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$

Equilibrio competitivo

Un equilibrio competitivo es un vector de precios y una asignación en la que se satisfacen las demandas de todos los agentes (la demanda de cada bien es igual a su oferta). En una economía lineal, consta de un vector de precios y una asignación , dando a cada agente una canasta tal que: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {x_{A}}}}$

• ${\displaystyle \sum _{A}{\overrightarrow {x_{A}}}=\sum _{A}{\overrightarrow {e_{A}}}}$(la cantidad total de todos los bienes es la misma que en la asignación inicial; no se producen ni se destruyen bienes).
• Para cada agente , su asignación maximiza la utilidad del agente, , sujeto a la restricción presupuestaria . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {x_{A}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {x}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$

En equilibrio, cada agente posee sólo bienes para los cuales su relación utilidad/precio es débilmente máxima. Es decir, si el agente posee un bien en equilibrio, entonces para todos los demás bienes : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle w_{A,i}/p_{i}\geq w_{A,j}/p_{j}}$

(de lo contrario, el agente querría intercambiar cierta cantidad de bien por bien , rompiendo así el equilibrio). ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Sin perder generalidad, es posible suponer que todo bien es deseado por al menos un agente (de lo contrario, ese bien puede ignorarse a todos los efectos prácticos). Bajo este supuesto, el precio de equilibrio de un bien debe ser estrictamente positivo (de lo contrario, la demanda sería infinita).

Existencia de equilibrio competitivo

David Gale ^[1] demostró que existen condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un equilibrio competitivo en una economía lineal. También demostró otras propiedades de las economías lineales.

Un conjunto de agentes se denomina autosuficiente si todos los miembros de asignan un valor positivo solo a los bienes que son propiedad exclusiva de los miembros de (en otras palabras, asignan valor a cualquier producto que sea propiedad de miembros ajenos a ). El conjunto se denomina superautosuficiente si alguien de posee un bien que no es valorado por ningún miembro de (incluido él mismo). El teorema de existencia de Gale dice que: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle w_{i}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Una economía lineal tiene un equilibrio competitivo si y sólo si ningún conjunto de agentes es súper autosuficiente.

Prueba de la dirección "sólo si" : supongamos que la economía está en equilibrio con el precio y la asignación . Supongamos que hay un conjunto de agentes autosuficientes. Entonces, todos los miembros de comercian sólo entre sí, porque los bienes que poseen otros agentes no tienen valor para ellos. Por lo tanto, la asignación de equilibrio satisface: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{A\in S}{\overrightarrow {x_{A}}}=\sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}}$.

Toda asignación de equilibrio es eficiente en el sentido de Pareto . Esto significa que, en la asignación de equilibrio , cada bien está en posesión de un agente que le asigna un valor positivo. Por la igualdad que acabamos de mencionar, para cada bien , la cantidad total de en posesión de los miembros de en la asignación de equilibrio es igual a la cantidad total de en posesión de los miembros de en la asignación inicial . Por lo tanto, en la asignación inicial , cada bien está en posesión de un miembro de , solo si es valioso para uno o más miembros de . Por lo tanto, no es superautosuficiente. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Equilibrio competitivo con ingresos iguales

El equilibrio competitivo con ingresos iguales (CEEI) es un tipo especial de equilibrio competitivo, en el que el presupuesto de todos los agentes es el mismo. Es decir, para cada dos agentes y : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_{A}}}={\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_{B}}}}$

La asignación CEEI es importante porque se garantiza que estará libre de envidia : ^[2] el paquete le da al agente una utilidad máxima entre todos los paquetes con el mismo precio, por lo que en particular le da al menos tanta utilidad como el paquete . ${\displaystyle x_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{B}}$

Una forma de lograr un CEEI es dar a todos los agentes la misma dotación inicial, es decir, para cada y : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\overrightarrow {e_{A}}}={\overrightarrow {e_{B}}}}$

(si hay agentes, cada agente recibe exactamente la misma cantidad de cada bien). En una asignación de este tipo, ningún subconjunto de agentes es autosuficiente. Por lo tanto, como corolario del teorema de Gale: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$

En una economía lineal siempre existe un CEEI .

Ejemplos

En todos los ejemplos siguientes, hay dos agentes: Alice y George, y dos bienes: manzanas (x) y guayabas (y).

A. Equilibrio único : las funciones de utilidad son:

${\displaystyle u_{A}(x,y)=3x+2y}$,

${\displaystyle u_{G}(x,y)=2x+3y}$.

La dotación total es . Sin pérdida de generalidad, podemos normalizar el vector de precios de modo que . ¿Qué valores puede tener en CE? Si , entonces ambos agentes quieren dar todo su y por x; si , entonces ambos agentes quieren dar todo su x por y; por lo tanto, en CE . Si , entonces Alice es indiferente entre x e y, mientras que George solo quiere y. De manera similar, si , entonces George es indiferente mientras que Alice solo quiere x. Si , entonces Alice solo quiere x mientras que George solo quiere y. Por lo tanto, la asignación de CE debe ser [(6,0);(0,6)]. El vector de precios depende de la asignación inicial. Por ejemplo, si la asignación inicial es igual, [(3,3);(3,3)], entonces ambos agentes tienen el mismo presupuesto en CE, por lo que . Esta CE es esencialmente única: el vector de precios puede multiplicarse por un factor constante, pero el equilibrio de CE no cambiará. ${\displaystyle T=(6,6)}$ ${\displaystyle P_{x}=1}$ ${\displaystyle P_{y}}$ ${\displaystyle P_{y}>3/2}$ ${\displaystyle P_{y}<2/3}$ ${\displaystyle 2/3\leq P_{y}\leq 3/2}$ ${\displaystyle P_{y}=2/3}$ ${\displaystyle P_{y}=3/2}$ ${\displaystyle 2/3<P_{y}<3/2}$ ${\displaystyle P_{y}=P_{x}=1}$

B. No hay equilibrio : supongamos que Alicia tiene manzanas y guayabas, pero solo quiere manzanas. Jorge tiene solo guayabas, pero quiere tanto manzanas como guayabas. El conjunto {Alice} es autosuficiente, porque Alicia piensa que todos los bienes que tiene Jorge no tienen valor. Además, el conjunto {Alice} es superautosuficiente, porque Alicia tiene guayabas que no tienen valor para ella. De hecho, no existe un equilibrio competitivo: independientemente del precio, Alicia querría dar todas sus guayabas a cambio de manzanas, pero Jorge no tiene manzanas, por lo que su demanda quedará insatisfecha.

C. Muchos equilibrios : Supongamos que hay dos bienes y dos agentes, ambos agentes asignan el mismo valor a ambos bienes (por ejemplo, para ambos, ). Entonces, en equilibrio, los agentes pueden intercambiar algunas manzanas por un número igual de guayabas, y el resultado seguirá siendo un equilibrio. Por ejemplo, si hay un equilibrio en el que Alice tiene 4 manzanas y 2 guayabas y George tiene 5 manzanas y 3 guayabas, entonces la situación en la que Alice tiene 5 manzanas y 1 guayaba y George 4 manzanas y 4 guayabas también es un equilibrio. ${\displaystyle w_{apples}=w_{guavas}=1}$

Pero, en ambos equilibrios, las utilidades totales de ambos agentes son las mismas: Alice tiene una utilidad de 6 en ambos equilibrios y George tiene una utilidad de 8 en ambos equilibrios. Esto no es una coincidencia, como se muestra en la siguiente sección.

Unicidad de las utilidades en equilibrio competitivo

Gale ^[1] demostró que:

En una economía lineal, todos los agentes son indiferentes entre todos los equilibrios .

Demostración. La demostración se realiza por inducción sobre el número de comerciantes. Cuando sólo hay un único comerciante, la afirmación es obvia. Supongamos que hay dos o más comerciantes y consideremos dos equilibrios: equilibrio X con vector de precios y asignación , y equilibrio Y con vector de precios y asignación . Hay dos casos a considerar: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$ ${\displaystyle y}$

a. Los vectores de precios son los mismos hasta una constante multiplicativa: para alguna constante . Esto significa que en ambos equilibrios, todos los agentes tienen exactamente el mismo conjunto presupuestario (pueden permitirse exactamente los mismos paquetes). En el equilibrio, la utilidad de cada agente es la utilidad máxima de un paquete en el conjunto presupuestario; si el conjunto presupuestario es el mismo, entonces también lo es la utilidad máxima en ese conjunto. ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}=C\cdot {\overrightarrow {q}}}$ ${\displaystyle C}$

b. Los vectores de precios no son proporcionales. Esto significa que el precio de algunos bienes cambió más que el de otros. Definamos el aumento de precio más alto como:

${\displaystyle M:=\max _{i}{q_{i}/p_{i}}}$

y definir los bienes con mayor aumento de precio como aquellos bienes que experimentaron el máximo cambio de precio (este debe ser un subconjunto apropiado de todos los bienes ya que los vectores de precios no son proporcionales):

${\displaystyle H:=\{i|q_{i}/p_{i}=M\}}$

y definen a los poseedores de bienes con el mayor aumento de precio como aquellos comerciantes que poseen uno o más de esos bienes con el máximo cambio de precio en el Equilibrio Y:

${\displaystyle S:=\{A|y_{A,i}>0{\text{ for some }}i\in H\}}$

En equilibrio, los agentes poseen solo bienes cuya relación utilidad/precio es débilmente máxima. Por lo tanto, para todos los agentes en , la relación utilidad/precio de todos los bienes en es débilmente máxima bajo el vector de precios . Dado que los bienes en experimentaron el mayor aumento de precio, cuando el vector de precios es su relación utilidad/precio es fuertemente máxima. Por lo tanto, en el equilibrio X, todos los agentes en poseen solo bienes de . En el equilibrio X, alguien debe poseer bienes que no estén en ; por lo tanto, debe ser un subconjunto propio de los agentes. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$

Por lo tanto, en el equilibrio X, los agentes sólo tienen bienes, y en el equilibrio Y, los agentes tienen todos los bienes. Esto nos permite hacer algunos cálculos presupuestarios: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$

Por un lado, en equilibrio X con precio , los -agentes gastan todo su presupuesto en -bienes, por lo que: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}\leq \sum _{i\in H}{p_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}}$

(donde es la dotación inicial total del bien ). ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{i}}}}$ ${\displaystyle i}$

Por otra parte, en equilibrio Y con precio , los -agentes pueden permitirse todos los -bienes, por lo que: ${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\overrightarrow {q}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}\geq \sum _{i\in H}{q_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}}$

Combinando estas ecuaciones llegamos a la conclusión de que, en ambos equilibrios, los agentes sólo comercian entre sí: ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{A\in S}{y_{A}}=\sum _{A\in S}{x_{A}}=\sum _{A\in S}{e_{A}}}$.

Por lo tanto, los agentes no solo comercian entre sí. Esto significa que el equilibrio X se compone de dos equilibrios: uno que involucra solo a -agentes y -bienes, y el otro que involucra solo a no -agentes y no -bienes. Lo mismo es cierto para el agente Y. Como es un subconjunto propio de los agentes, se puede invocar el supuesto de inducción y se demuestra el teorema. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$

Cálculo del equilibrio competitivo

Eaves ^[3] presentó un algoritmo para encontrar un equilibrio competitivo en un número finito de pasos, cuando dicho equilibrio existe.

Conceptos relacionados

Las funciones de utilidad lineales son un pequeño subconjunto de funciones de utilidad cuasililineales .

Los bienes con utilidades lineales son un caso especial de bienes sustitutos .

Supongamos que el conjunto de bienes no es finito sino continuo. Por ejemplo, el bien es un recurso heterogéneo, como la tierra. En ese caso, las funciones de utilidad no son funciones de un número finito de variables, sino funciones de conjunto definidas sobre subconjuntos de Borel de la tierra. La generalización natural de una función de utilidad lineal a ese modelo es una función de conjunto aditiva . Este es el caso común en la teoría del reparto justo de la torta . Una extensión del resultado de Gale a este contexto la proporciona el teorema de Weller .

En determinadas condiciones, una relación de preferencia ordinal puede representarse mediante una función de utilidad lineal y continua. ^[4]

Referencias

1. Gale, David (1976). "El modelo de intercambio lineal". Revista de Economía Matemática . 3 (2): 205–209. doi :10.1016/0304-4068(76)90029-x.
2. Varian, HR (1974). "Equidad, envidia y eficiencia" (PDF) . Journal of Economic Theory . 9 : 63–91. doi :10.1016/0022-0531(74)90075-1. hdl : 1721.1/63490 .
3. Eaves, B. Curtis (1976). "Un algoritmo finito para el modelo de intercambio lineal" (PDF) . Revista de Economía Matemática . 3 (2): 197–203. doi :10.1016/0304-4068(76)90028-8.
4. Candeal-Haro, Juan Carlos; Induráin-Eraso, Esteban (1995). "Una nota sobre la utilidad lineal". Teoría Económica . 6 (3): 519. doi :10.1007/bf01211791.
5. Jaffray, Jean-Yves (1989). "Teoría de utilidad lineal para funciones de creencias". Operations Research Letters . 8 (2): 107–112. doi :10.1016/0167-6377(89)90010-2.