Temperamento igual

Sistema de afinación musical con ratios constantes entre notas.

Una comparación de algunos temperamentos iguales. ^[a] El gráfico abarca una octava horizontalmente (abra la imagen para ver el ancho completo) y cada rectángulo sombreado tiene el ancho de un paso en una escala. Las razones del intervalo justo están separadas en filas por sus límites primos .

Escala cromática de 12 tonos de igual temperamento en C , una octava completa ascendente, anotada solo con sostenidos. Juega ascendente y descendente ^ⓘ

Un temperamento igual es un temperamento musical o sistema de afinación que aproxima intervalos justos dividiendo una octava (u otro intervalo) en pasos de modo que la proporción de frecuencias de cualquier par de notas adyacentes sea la misma. Este sistema produce pasos de tono percibidos como de igual tamaño, debido a los cambios logarítmicos en la frecuencia del tono. ^[2]

En la música clásica y en la música occidental en general, el sistema de afinación más común desde el siglo XVIII ha sido el de 12 temperamentos iguales (también conocido como temperamento igual de 12 tonos , 12 TET o 12 ET , informalmente abreviado como 12 iguales ), que divide la octava en 12 partes, todas iguales en escala logarítmica , con una razón igual a la raíz 12 de 2, (  ¹² √ 2 ≈ 1,05946). El intervalo más pequeño resultante,1/12el ancho de una octava, se llama semitono o medio paso. En los países occidentales el término temperamento igual , sin calificar, generalmente significa 12 TET .

En los tiempos modernos, 12 TET generalmente se afina en relación con un tono estándar de 440 Hz, llamado A 440 , lo que significa que una nota, A , se afina a 440  hercios y todas las demás notas se definen como un múltiplo de semitonos alejado de ella, ya sea más alto. o menor en frecuencia. El tono estándar no siempre ha sido 440 Hz; ha variado considerablemente y en general ha aumentado en los últimos cientos de años. ^[3]

Otros temperamentos iguales dividen la octava de forma diferente. Por ejemplo, parte de la música se ha escrito en 19 TET y 31 TET , mientras que el sistema tonal árabe utiliza 24 TET .

En lugar de dividir una octava, un temperamento igual también puede dividir un intervalo diferente, como la versión de temperamento igual de la escala Bohlen-Pierce , que divide el intervalo justo de una octava y una quinta (proporción 3:1), llamado " tritava" o una " pseudo-octava " en ese sistema, en 13 partes iguales.

Para sistemas de afinación que dividen la octava en partes iguales, pero que no son aproximaciones de intervalos justos, se puede utilizar el término división equitativa de la octava o EDO .

Los conjuntos de cuerdas sin trastes , que pueden ajustar la afinación de todas las notas excepto las cuerdas al aire , y los grupos vocales, que no tienen limitaciones de afinación mecánica, a veces utilizan una afinación mucho más cercana a la entonación justa por razones acústicas. Otros instrumentos, como algunos instrumentos de viento , de teclado y con trastes , a menudo solo se aproximan al temperamento igual, donde las limitaciones técnicas impiden afinaciones exactas. ^[4] Algunos instrumentos de viento que pueden doblar su tono fácil y espontáneamente, sobre todo los trombones , utilizan una afinación similar a la de los conjuntos de cuerdas y los grupos vocales.

Una comparación de temperamentos iguales entre 10 TET y 60 TET en cada intervalo principal de límites primos pequeños (rojo:3/ 2 , verde:5/ 4 , índigo:7/ 4 , amarillo:11/ 8 , cian:13/ 8 ). Cada gráfico coloreado muestra cuánto error ocurre (en centavos) en la aproximación más cercana del intervalo justo correspondiente (la línea negra en el centro). Dos curvas negras que rodean el gráfico a ambos lados representan el máximo error posible, mientras que las grises dentro de ellas indican la mitad del mismo.

Propiedades generales

En un temperamento igual, la distancia entre dos escalones adyacentes de la escala es el mismo intervalo . Debido a que la identidad percibida de un intervalo depende de su relación , esta escala en pasos pares es una secuencia geométrica de multiplicaciones. (Una secuencia aritmética de intervalos no sonaría uniformemente espaciada y no permitiría la transposición a diferentes tonalidades .) Específicamente, el intervalo más pequeño en una escala de temperamento igual es la relación:

${\displaystyle \ r^{n}=p\ }$

${\displaystyle \ r={\sqrt[{n}]{p\ }}\ }$

donde la proporción r divide la proporción p (normalmente la octava, que es 2:1) en n partes iguales. ( Ver Temperamento igual de doce tonos a continuación. )

Las escalas suelen medirse en cents , que dividen la octava en 1200 intervalos iguales (cada uno llamado cent). Esta escala logarítmica hace que la comparación de diferentes sistemas de afinación sea más fácil que comparar proporciones y tiene un uso considerable en etnomusicología . El paso básico en cents para cualquier temperamento igual se puede encontrar tomando el ancho de p arriba en cents (generalmente la octava, que tiene 1200 cents de ancho), llamado a continuación w , y dividiéndolo en n partes:

${\displaystyle \ c={\frac {\ w\ }{n}}\ }$

En el análisis musical, al material que pertenece a un temperamento igual a menudo se le da una notación entera , lo que significa que se utiliza un único número entero para representar cada tono. Esto simplifica y generaliza la discusión sobre el material tonal dentro del temperamento de la misma manera que tomar el logaritmo de una multiplicación lo reduce a una suma. Además, al aplicar la aritmética modular donde el módulo es el número de divisiones de la octava (generalmente 12), estos números enteros se pueden reducir a clases de tonos , lo que elimina la distinción (o reconoce la similitud) entre tonos del mismo nombre, por ejemplo , c es 0 independientemente del registro de octava. El estándar de codificación MIDI utiliza designaciones de notas enteras.

Fórmulas generales para el intervalo de temperamento igual.

Temperamento igual de doce tonos

El temperamento igual de 12 tonos, que divide la octava en 12 intervalos de igual tamaño, es el sistema musical más utilizado en la actualidad, especialmente en la música occidental.

Historia

Las dos figuras a las que con frecuencia se atribuye el logro del cálculo exacto del temperamento igual son Zhu Zaiyu (también romanizado como Chu-Tsaiyu. Chino:朱載堉) en 1584 y Simon Stevin en 1585. Según FA Kuttner, un crítico de dar crédito a Zhu, ^[5] se sabe que Zhu "presentó un método altamente preciso, simple e ingenioso para el cálculo aritmético de monocordes de temperamento igual en 1584" y que Stevin "ofreció una definición matemática de temperamento igual además de un cálculo algo menos preciso de los valores numéricos correspondientes en 1585 o después."

Los acontecimientos se produjeron de forma independiente. ^{[6] (pág. 200)}

Kenneth Robinson atribuye la invención del temperamento igual a Zhu ^[7] y proporciona citas textuales como prueba. ^[8] En 1584 Zhu escribió:

He fundado un nuevo sistema. Establezco un pie como número del que se van a extraer los demás, y usando proporciones los extraigo. En total hay que encontrar las cifras exactas de los flautistas en doce operaciones. ^{[9] [8]}

Kuttner no está de acuerdo y señala que su afirmación "no puede considerarse correcta sin mayores reservas". ^[5] Kuttner propone que ni Zhu ni Stevin alcanzaron el mismo temperamento y que ninguno de los dos debería ser considerado su inventor. ^[10]

Porcelana

Diapasones de temperamento igual de Zhu Zaiyu

Los teóricos chinos habían ideado previamente aproximaciones para 12 TET , pero Zhu fue la primera persona en resolver matemáticamente el temperamento igual de 12 tonos, ^[11] que describió en dos libros, publicados en 1580 ^[12] y 1584. ^{[9] [13 ]} Needham también ofrece una explicación ampliada. ^[14]

Zhu obtuvo su resultado dividiendo la longitud de la cuerda y la tubería sucesivamente por ¹² √ 2  ≈ 1,059463 , y la longitud de la tubería por ²⁴ √ 2  ≈ 1,029302 , ^[15] de modo que después de 12 divisiones (una octava), la longitud se redujo a la mitad.

Zhu creó varios instrumentos sintonizados con su sistema, incluidas pipas de bambú. ^[dieciséis]

Europa

Algunos de los primeros europeos en defender la igualdad de temperamento fueron los laudistas Vincenzo Galilei , Giacomo Gorzanis y Francesco Spinacino , todos los cuales escribieron música en él. ^{[17] [18] [19] [20]}

Simon Stevin fue el primero en desarrollar 12  TET basado en la raíz duodécima de dos , que describió en van de Spiegheling der singconst ( c.  1605 ), publicado póstumamente en 1884. ^[21]

Los instrumentistas pulsados ​​(laudistas y guitarristas) generalmente preferían el temperamento igual, ^[22] mientras que otros estaban más divididos. ^[23] Al final, ganó el temperamento igual de 12 tonos. Esto permitió que la modulación enarmónica , nuevos estilos de tonalidad simétrica y politonalidad , música atonal como la escrita con la técnica de los 12 tonos o serialismo , y el jazz (al menos su componente pianístico) se desarrollaran y florecieran.

Matemáticas

Una octava de 12  TET en un monocordio

En el temperamento igual de 12 tonos, que divide la octava en 12 partes iguales, la anchura de un semitono , es decir, la relación de frecuencia del intervalo entre dos notas adyacentes, es la duodécima raíz de dos :

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2\ }}=2^{\tfrac {1}{12}}\approx 1.059463}$

Este intervalo se divide en 100 centavos.

Calcular frecuencias absolutas

Para encontrar la frecuencia, P _n , de una nota en 12  TET , se puede utilizar la siguiente fórmula:

${\displaystyle \ P_{n}=P_{a}\ \cdot \ {\Bigl (}\ {\sqrt[{12}]{2\ }}\ {\Bigr )}^{n-a}\ }$

En esta fórmula, P _n representa el tono o frecuencia (generalmente en hercios ) que está tratando de encontrar. Pa es la frecuencia de un tono de referencia _. Los números índice n y a son las etiquetas asignadas al paso deseado ( n ) y al paso de referencia ( a ). Estos dos números provienen de una lista de números enteros consecutivos asignados a semitonos consecutivos. Por ejemplo, A ₄ (el tono de referencia) es la tecla 49 desde el extremo izquierdo de un piano (afinado a 440 Hz ), y C ₄ ( C central ) y F ♯ ₄ son las teclas 40 y 46, respectivamente. Estos números se pueden usar para encontrar la frecuencia de C ₄ y F ♯ ₄ :

${\displaystyle P_{40}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(40-49)}\approx 261.626\ {\mathsf {Hz}}\ }$

${\displaystyle P_{46}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(46-49)}\approx 369.994\ {\mathsf {Hz}}\ }$

Conversión de frecuencias a sus contrapartes de temperamento igual

Para convertir una frecuencia (en Hz) a su contraparte de 12  TET , se puede utilizar la siguiente fórmula:

${\displaystyle \ E_{n}=E_{a}\ \cdot \ 2^{\ x}\ \quad }$donde en general ${\displaystyle \quad \ x\ \equiv \ {\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ n\ }{a}}\right){\Biggr )}~.}$

E _n es la frecuencia de un tono con temperamento igual y E _a es la frecuencia de un tono de referencia. Por ejemplo, si hacemos que el tono de referencia sea igual a 440 Hz, podemos ver que E ₅ y C ♯ ₅ tienen las siguientes frecuencias, respectivamente:

${\displaystyle E_{660}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {7}{\ 12\ }}\right)}\ \approx \ 659.255\ {\mathsf {Hz}}\ \quad }$donde en este caso ${\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}\ 12\log _{2}\left({\frac {\ 660\ }{440}}\right)\ {\Biggr )}={\frac {7}{\ 12\ }}~.}$

${\displaystyle E_{550}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {1}{\ 3\ }}\right)}\ \approx \ 554.365\ {\mathsf {Hz}}\ \quad }$ donde en este caso ${\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ 550\ }{440}}\right){\Biggr )}={\frac {4}{\ 12\ }}={\frac {1}{\ 3\ }}~.}$

Comparación con entonación justa

Comparación de intervalos en 12-TET con entonación justa

Los intervalos de 12  TET se aproximan mucho a algunos intervalos en entonación justa . ^[24] Las quintas y cuartas están casi indistinguiblemente cerca de intervalos justos, mientras que terceras y sextas están más alejadas.

En la siguiente tabla, los tamaños de varios intervalos justos se comparan con sus contrapartes de temperamento igual, expresados ​​como una proporción y en centavos.

División igual de siete tonos de la quinta.

Los violines, violas y violonchelos están afinados en quintas perfectas ( GDAE para violines y CGDA para violas y violonchelos), lo que sugiere que su relación de semitonos es ligeramente mayor que en el temperamento igual convencional de 12 tonos. Debido a que una quinta perfecta está en una relación de 3:2 con su tono base, y este intervalo comprende siete pasos, cada tono está en una proporción de ⁷ √3/2a la siguiente (100,28 cents), lo que proporciona una quinta justa con una proporción de 3:2, pero una octava ligeramente ampliada con una proporción de ≈ 517:258 o ≈ 2,00388:1 en lugar de la habitual 2:1, porque 12 perfectas las quintas no equivalen a siete octavas. ^[25] Sin embargo, durante la interpretación real, los violinistas eligen los tonos de oído, y sólo los cuatro tonos sin parar de las cuerdas tienen la garantía de exhibir esta proporción de 3:2.

Otros temperamentos iguales

Temperamentos de cinco, siete y nueve tonos en etnomusicología

Aproximación de 7 TET

El temperamento igual de cinco y siete tonos ( 5 TET Play ^ⓘ y {{7 TET }} Play ^ⓘ ), con pasos de 240 cent Play ^ⓘ y 171 cent Play ^ⓘ , respectivamente, son bastante comunes.

5 TET y 7 TET marcan los puntos finales del rango de sintonía válido del temperamento sintónico , como se muestra en la Figura 1.

• En 5 TET , la quinta perfecta templada tiene 720 cents de ancho (en la parte superior del continuo de afinación) y marca el punto final del continuo de afinación en el que el ancho de la segunda menor se reduce a un ancho de 0 cents.
• En 7 TET , la quinta perfecta templada tiene 686 cents de ancho (en la parte inferior del continuo de afinación) y marca el punto final del continuo de afinación, en el que la segunda menor se expande hasta ser tan ancha como la segunda mayor (a 171 cents cada una). ).

Temperamento igual de 5 tonos y 9 tonos

Según Kunst (1949), los gamelanes indonesios están afinados en 5 TET , pero según Hood (1966) y McPhee (1966) su afinación varía ampliamente, y según Tenzer (2000) contienen octavas estiradas . Ahora se acepta que de los dos sistemas de afinación principales en la música gamelán, slendro y pelog , sólo el slendro se parece un poco al temperamento igual de cinco tonos, mientras que el pelog es muy desigual; sin embargo, en 1972 Surjodiningrat, Sudarjana y Susanto analizaron el pelog como equivalente a 9-TET (pasos de 133 centavos Play ^ⓘ ). ^[26]

Temperamento igual de 7 tonos

Un xilófono tailandés medido por Morton en 1974 "varió sólo más o menos 5 centavos" de 7 TET . ^[27] Según Morton,

"Los instrumentos tailandeses de tono fijo están afinados en un sistema equidistante de siete tonos por octava... Sin embargo, como en la música tradicional occidental, no todos los tonos del sistema de afinación se utilizan en un solo modo (a menudo denominado 'escala'); en el sistema tailandés cinco de los siete se utilizan en tonos principales en cualquier modo, estableciendo así un patrón de intervalos no equidistantes para el modo." ^[28] Reproducir ^ⓘ

Una escala india sudamericana de una cultura preinstrumental medida por Boiles en 1969 presentaba un temperamento igual de siete tonos de 175 céntimos, que estira ligeramente la octava, como ocurre con la música gamelán instrumental. ^[29]

La música china ha utilizado tradicionalmente 7 TET . ^{[antes de Cristo ]}

Varios temperamentos iguales

Sistema de notación de Easley Blackwood para 16 temperamentos iguales: los intervalos se anotan de manera similar a aquellos a los que se aproximan y hay menos equivalentes enarmónicos . ^[32] Reproducir ^ⓘ

Comparación de temperamentos iguales del 9 al 25 ^{[33] [a]}

19EDO

Muchos instrumentos se han construido utilizando afinación 19 EDO . Equivalente a 1 /3coma significa tono, tiene una quinta perfecta ligeramente más plana (a 695 centavos), pero su tercera menor y sexta mayor están a menos de un quinto de centavo de justo, con el EDO más bajo que produce una tercera menor y una sexta mayor mejores que 19 EDO siendo 232 EDO. Su cuarta perfecta (a 505 centavos) es siete centavos más aguda que la entonación simple y cinco centavos más aguda que la de 12 EDO.

23EDO

23 EDO es el EDO más grande que no logra aproximarse a los armónicos 3.º, 5.º, 7.º y 11.º (3:2, 5:4, 7:4, 11:8) en 20 centavos. Pero aproxima muy bien las proporciones entre ellos (incluido el tercio menor de 6/5 justamente afinado), lo que lo hace atractivo para los microtonalistas que buscan un territorio armónico inusual.

24EDO

24 EDO , la escala de cuartos de tono , es particularmente popular, ya que representa un punto de acceso conveniente para los compositores condicionados a las prácticas de notación y tono occidentales estándar que también están interesados ​​en la microtonalidad. Debido a que 24 EDO contiene todos los tonos de 12 EDO, los músicos emplean los colores adicionales sin perder ninguna táctica disponible en la armonía de 12 tonos. Que 24 sea un múltiplo de 12 también hace que 24 EDO sea fácil de lograr instrumentalmente empleando dos instrumentos tradicionales de 12 EDO afinados con un cuarto de tono de diferencia, como dos pianos, lo que también permite que cada intérprete (o un intérprete que toque un piano diferente con cada mano) ) para leer la notación familiar de 12 tonos. Varios compositores, entre ellos Charles Ives , experimentaron con música para pianos de cuartos de tono. 24 EDO también se aproxima muy bien a los armónicos 11 y 13, a diferencia de 12 EDO.

26EDO

26 es el número más bajo de divisiones iguales de la octava que afina casi exclusivamente el séptimo armónico (7:4). Aunque es un temperamento de tono medio, es muy plano, con cuatro de sus quintas perfectas produciendo una tercera neutral en lugar de una tercera mayor. 26 EDO tiene dos terceras menores y dos sextas menores y podría ser un temperamento alternativo para la armonía de barbería .

27EDO

27 es el número más bajo de divisiones iguales de la octava que representa de forma única todos los intervalos que involucran los primeros ocho armónicos. Suaviza la coma septimal pero no la coma sintónica .

29EDO

29 es el número más bajo de divisiones iguales de la octava cuya quinta justa está más cerca de justo que en 12 EDO, en la que la quinta está 1,5 centésimas sostenidas en lugar de 2 centésimas bemoles. Su tercera mayor clásica es aproximadamente tan inexacta como la 12 EDO, pero está afinada 14 centavos plana en lugar de 14 centavos aguda. También afina los armónicos 7.º, 11.º y 13.º bemol, aproximadamente en la misma cantidad, lo que permite que 29 EDO coincida con intervalos como 7:5, 11:7 y 13:11 con mucha precisión. Cortar los 29 intervalos a la mitad produce 58 EDO , lo que permite errores más bajos para algunos tonos justos.

31EDO

31 EDO fue defendido por Christiaan Huygens y Adriaan Fokker y representa una estandarización del significado de cuarto de coma . 31 EDO no tiene una quinta perfecta tan precisa como 12 EDO (como 19 EDO), pero sus terceras mayores y sextas menores están a menos de 1 centavo de distancia. También proporciona buenas coincidencias para los armónicos hasta el 11, de los cuales el séptimo armónico es particularmente preciso.

34EDO

34 EDO proporciona errores totales combinados de aproximación ligeramente inferiores a 3:2, 5:4, 6:5 y sus inversiones que 31 EDO, a pesar de tener un ajuste ligeramente menos preciso para 5:4. 34 EDO no se aproxima con precisión al séptimo armónico ni a las proporciones que involucran 7, y no significa uno ya que su quinto es sostenido en lugar de bemol. Habilita el tritono de 600 cents, ya que 34 es un número par.

41EDO

41 es el segundo número más bajo de divisiones iguales de la octava con una quinta perfecta mejor que 12 EDO. Su tercera mayor clásica es más precisa que 12 EDO y 29 EDO, a seis centavos. No es un significado, por lo que distingue 10:9 y 9:8, junto con las terceras mayores clásicas y pitagóricas, a diferencia de 31 EDO. Es más preciso en el límite 13 que en 31 EDO.

46EDO

46 EDO proporciona terceras mayores y quintas perfectas que son ligeramente agudas o justas, y muchos dicen que esto le da a las tríadas mayores un sonido brillante característico. Los armónicos hasta 11 tienen una precisión de 5 centavos, mientras que 10:9 y 9:5 están a una quinta parte de un centavo de los puros. Al no ser un sistema de significado, distingue 10:9 y 9:8.

53EDO

53 EDO sólo ha tenido un uso ocasional, pero es mejor para aproximarse a las consonancias justas tradicionales que 12, 19 o 31 EDO. Sus quintas perfectas extremadamente precisas la hacen equivalente a una afinación pitagórica extendida y, a veces, se utiliza en la teoría musical turca . Sin embargo, no se ajusta a los requisitos técnicos de los temperamentos de medios tonos, que ponen a buen alcance las terceras a través del ciclo de quintas. En 53 EDO, las terceras muy consonantes se alcanzan utilizando una cuarta disminuida pitagórica (CF ♭ ), ya que es un ejemplo de temperamento cismático , como 41 EDO.

58EDO

58 temperamento igual es una duplicación de 29 EDO, que contiene como temperamento incrustado. Al igual que 29 EDO, puede igualar intervalos como 7:4, 7:5, 11:7 y 13:11 con mucha precisión, además de aproximarse mejor solo a tercios y sextos.

72EDO

72 EDO se aproxima bien a muchos intervalos de entonación justa , proporcionando equivalentes casi justos a los armónicos 3.º, 5.º, 7.º y 11.º. 72 EDO ha sido enseñado, escrito e interpretado en la práctica por Joe Maneri y sus estudiantes (cuyas inclinaciones atonales normalmente evitan cualquier referencia a la entonación justa ). Puede considerarse una extensión de 12 EDO porque 72 es un múltiplo de 12. 72 EDO no se aproxima con precisión al armónico 13 ni a las proporciones más simples que involucran 13. Contiene seis copias de 12 EDO que comienzan en diferentes tonos, tres copias de 24 EDO , y dos copias de 36 EDO, que a su vez son múltiplos de 12.

96EDO

96 EDO se aproxima a todos los intervalos dentro de 6,25 centavos, lo que apenas se distingue. Como múltiplo óctuplo de 12, se puede utilizar completamente como el 12 EDO común. Ha sido defendido por varios compositores, especialmente Julián Carrillo . ^[34]

Otras divisiones iguales de la octava que han encontrado uso ocasional incluyen 15 EDO , 17 EDO y 22 EDO .

2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 y 15601 son denominadores de primeros convergentes de log ₂ (3), por lo que 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 y 15601 duodécimos (y quintos), siendo en temperamentos iguales correspondientes iguales a un número entero de octavas, hay mejores aproximaciones de 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 y 15601 solo doceavos/quintos que en cualquier temperamento igual con menos tonos. ^{[35] [36]}

1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200,... (secuencia A060528 en la OEIS ) es la secuencia de divisiones de octava que proporciona cada vez mejores aproximaciones de la quinta justa. Las secuencias relacionadas que contienen divisiones que se aproximan a otros intervalos justos se enumeran en una nota al pie. ^[d]

Temperamentos iguales de intervalos que no son de octava

La versión de temperamento igual de la escala Bohlen-Pierce consiste en la proporción 3:1 (1902 centavos), convencionalmente una quinta perfecta más una octava (es decir, una duodécima perfecta), llamada en esta teoría tritava ( jugar ^ⓘ ), y dividir en 13 partes iguales. Esto proporciona una coincidencia muy cercana con proporciones justamente ajustadas que consisten únicamente en números impares. Cada paso cuesta 146,3 centavos ( jugar ^ⓘ ), o ¹³ √ 3 ​​.

Wendy Carlos creó tres temperamentos iguales inusuales después de un estudio exhaustivo de las propiedades de posibles temperamentos con un tamaño de paso entre 30 y 120 centavos. Estos fueron llamados alfa , beta y gamma . Se pueden considerar divisiones iguales de la quinta justa. Cada uno de ellos proporciona una muy buena aproximación de varios intervalos justos. ^[37] Sus tamaños de paso:

• alfa : ⁹ √3/2 (78,0 centavos) Jugar ^ⓘ
• beta : ^11√​3/2 (63,8 centavos) Jugar ^ⓘ
• gama : ²⁰ √3/2 (35,1 centavos) Jugar ^ⓘ

Alfa y beta se pueden escuchar en la canción principal del álbum de Carlos de 1986, Beauty in the Beast .

Proporciones entre semitono y tono entero

En esta sección, es posible que el semitono y el tono completo no tengan sus significados habituales de 12 EDO, ya que se analiza cómo se pueden templar de diferentes maneras a partir de sus versiones justas para producir las relaciones deseadas. Sea el número de pasos de un semitono s y el número de pasos de un tono sea t .

Hay exactamente una familia de temperamentos iguales que fija el semitono en cualquier fracción adecuada de un tono completo, mientras mantiene las notas en el orden correcto (lo que significa que, por ejemplo, C , D , E , F y F ♯ están en orden ascendente ). orden si conservan sus relaciones habituales con C ). Es decir, fijar q a una fracción propia en la relación qt = s también define una familia única de un temperamento igual y sus múltiplos que cumplen esta relación.

Por ejemplo, donde k es un número entero, 12 k EDO establece q =1/2, 19 k conjuntos EDO q =1/3, y 31 k conjuntos EDO q = 2 /5 . Los múltiplos más pequeños de estas familias (por ejemplo, 12, 19 y 31 arriba) tienen la propiedad adicional de no tener notas fuera del círculo de quintas . (Esto no es cierto en general; en 24  EDO , los medios sostenidos y los medios bemoles no están en el círculo de quintas generado a partir de C. ) Los casos extremos son 5 k EDO , donde q = 0 y el semitono se convierte en un unísono, y 7 k EDO , donde q = 1 y el semitono y el tono son el mismo intervalo.

Una vez que se sabe cuántos pasos tiene un semitono y un tono en este temperamento igual, se puede encontrar el número de pasos que tiene en la octava. Un temperamento igual con las propiedades anteriores (incluido no tener notas fuera del círculo de quintas) divide la octava en pasos de 7 t - 2 s y la quinta justa en pasos de 4 t - s . Si hay notas fuera del círculo de quintas, entonces se deben multiplicar estos resultados por n , el número de círculos de quintas no superpuestos necesarios para generar todas las notas (por ejemplo, dos en 24  EDO , seis en 72  EDO ). (Para ello hay que tomar el semitono pequeño: 19  EDO tiene dos semitonos, uno de los cuales es 1 /3tono y el otro ser 2 /3. De manera similar, 31  EDO tiene dos semitonos, siendo uno 2 /5tono y el otro ser 3 /5).

La más pequeña de estas familias es 12 k EDO y , en particular, 12  EDO es el temperamento igual más pequeño con las propiedades anteriores. Además, hace que el semitono sea exactamente la mitad de un tono completo, la relación más simple posible. Estas son algunas de las razones por las que 12  EDO se ha convertido en el temperamento igual más utilizado. (Otra razón es que 12 EDO es el temperamento igual más pequeño que se aproxima mucho a 5 límites de armonía, siendo el siguiente más pequeño 19 EDO).

Cada elección de la fracción q para la relación da como resultado exactamente una familia de temperamento igual, pero lo contrario no es cierto: 47  EDO tiene dos semitonos diferentes, donde uno es 1 /7tono y el otro es 8 /9, que no son complementarios entre sí como en 19  EDO ( 1 /3y 2 /3). Tomar cada semitono da como resultado una elección diferente de quinta justa.

Sistemas de sintonización relacionados

Afinaciones diatónicas regulares

Figura 1: El continuo de afinaciones diatónicas regulares , que incluye muchas afinaciones notables de "temperamento igual". ^[38]

La afinación diatónica en temperamento igual de 12 tonos (12 TET ) se puede generalizar a cualquier afinación diatónica regular que divida la octava como una secuencia de pasos T ts T t T s (o algún desplazamiento circular o "rotación" de la misma). Para que se le llame afinación diatónica regular , cada uno de los dos semitonos  debe  ser más pequeño que cualquiera de los tonos ( tono mayor ,  T  , y tono menor ,  t  ). La coma κ está implícita como la relación de tamaño entre los tonos mayores y menores: Expresada como frecuencias κ =   t / t , o como centavos κ = T − t .  

Las notas en una afinación diatónica regular están conectadas en un ciclo de tres quintas perfectas TT ts , interrumpidas por una quinta grave T tts ( grave significa "bemol por una coma"), otra secuencia de dos quintas perfectas y otra quinta grave, y luego se repite indefinidamente, aplanándose con dos comas en cada transición de tonos naturales a sostenidos (o de sostenidos simples a sostenidos dobles), y agudizándose recíprocamente con dos comas con cada transición de tonos naturales a bemoles (o de bemoles a bemoles dobles). Si no se modifican, las dos quintas graves de cada octava son la fuente de los intervalos "lobo" .     

Dado que la coma, κ , expande el tono menor t = sc , al tono mayor , T = sc κ , la entonación justa T ts T t T s se puede dividir en una secuencia sc κ sc s sc κ sc sc κ s , (o un desplazamiento circular del mismo) de semitonos diatónicos s , semitonos cromáticos c y comas κ . Varios temperamentos iguales alteran los tamaños de los intervalos, generalmente separando las tres comas y luego redistribuyendo sus partes en los siete semitonos diatónicos s , o en los cinco semitonos cromáticos c , o en s y c , con alguna proporción fija para cada tipo de semitono. .        

La secuencia de intervalos s , c y κ se puede agregar repetidamente a sí misma en una espiral mayor de 12 quintos , y hacer que se conecte en sus extremos mediante ligeros ajustes al tamaño de uno o varios de los intervalos, o dejarse sin modificar con ocasionales quintas menos que perfectas, planas por una coma.

Transformando afinaciones diatónicas en EDO

Se puede crear un temperamento igual si los tamaños de los tonos mayores y menores ( T , t ) se modifican para que sean iguales (digamos, estableciendo κ = 0 , con los demás expandidos para completar aún la octava), y ambos semitonos ( s y c ) del mismo tamaño, entonces resultan doce semitonos iguales, dos por tono. En 12 TET , el semitono, s , tiene exactamente la mitad del tamaño de los tonos enteros del mismo tamaño T = t .

Algunos de los tamaños intermedios de tonos y semitonos también se pueden generar en sistemas de temperamento igual, modificando los tamaños de la coma y los semitonos. Se obtienen 7 TET en el límite cuando el tamaño de cy κ tiende a cero, con la octava mantenida fija , y 5 TET en el límite cuando s y κ tienden a cero; 12 TET es, por supuesto, el caso s = c y κ = 0 . Por ejemplo:   

5 TET y 7 TET

Hay dos casos extremos que enmarcan este marco: cuando s y κ se reducen a cero con el tamaño de la octava mantenido fijo, el resultado es ttttt , un temperamento igual de 5 tonos. A medida que la s se hace más grande (y absorbe el espacio utilizado anteriormente para la coma κ ), eventualmente los pasos son todos del mismo tamaño, ttttttt , y el resultado es un temperamento igual de siete tonos. Estos dos extremos no se incluyen como afinaciones diatónicas "regulares".

19 TTE

Si el semitono diatónico se ajusta al doble del tamaño del semitono cromático, es decir, s = 2 c (en centésimas) y κ = 0 , el resultado es 19 TET , con un paso para el semitono cromático c , dos pasos para el semitono diatónico s , tres pasos para los tonos T = t , y el número total de pasos  3 T + 2 t + 2 s = 9 + 6 + 4 =  19 pasos. El subsistema integrado de 12 tonos se aproxima mucho al históricamente importante    1 /3 sistema de coma y tono .

31 TET

Si el semitono cromático es dos tercios del tamaño del semitono diatónico, es decir, c = 2 /3 s ,con κ = 0 ,el resultado es31 TET , con dos pasos para el semitono cromático, tres pasos para el semitono diatónico y cinco pasos para el tono, donde  3 T + 2 t + 2 s = 15 + 10 + 6 =  31 pasos. El subsistema integrado de 12 tonos se aproxima mucho al históricamente importante 1 /4coma significa .

53 TET

Si el semitono cromático se hace del mismo tamaño que tres comas, c = 3 κ (en centésimas, en frecuencia c = κ ³ ) el diatónico del mismo tamaño que cinco comas, s = 5 κ , eso hace que el tono menor tenga ocho comas t = s + c = 8 κ , y el tono mayor nueve, T = s + c + κ = 9 κ . Por tanto,  3 T + 2 t + 2 s = 27 κ + 16 κ + 10 κ = 53 κ para 53 pasos de una coma cada uno. El tamaño de la coma/el tamaño del paso es κ =       1300/53 ¢ exactamente, o κ = 22,642 ¢ ≈ 21,506 ¢, la coma sintónica . Es una aproximación extremadamente cercana a la entonación justa y todavía se utiliza en la teoría de la música clásica turca .   

Ver también

• solo entonación
• Acústica musical
  (la física de la música)
• Música y matemáticas
• microsintonizador
• musica microtonal
• afinación de pianos
• Lista de intervalos significados
• Diatónico y cromático.
• sintonizador electrónico
• Afinación musical

Notas a pie de página

1. Sethares (2005) compara varios temperamentos iguales en un gráfico con ejes invertidos de los ejes en la primera comparación de temperamentos iguales y ejes idénticos en la segunda. ^[1]
2. El 'temperamento igual a hepta' en nuestra música folclórica siempre ha sido un tema controvertido. ^[30]
3. Desde la flauta durante dos mil años del proceso de producción, y el shakuhachi japonés que permaneció en la producción de las dinastías Sui y Tang y el temperamento real, identificación de personas que utilizan las llamadas 'Siete Leyes' al menos dos mil años de historia ; y decidió que este sistema legal estuviera asociado con la ley de la flauta. ^[31]
4. Secuencias OEIS que contienen divisiones de octava que proporcionan aproximaciones mejoradas de intervalos justos:

   (secuencia A060528 en el OEIS ) - 3:2

   (secuencia A054540 en el OEIS ) — 3:2 y 4:3, 5:4 y 8:5, 6:5 y 5:3

   (secuencia A060525 en el OEIS ) — 3:2 y 4:3, 5:4 y 8:5

   (secuencia A060526 en el OEIS ) — 3:2 y 4:3, 5:4 y 8:5, 7:4 y 8:7

   (secuencia A060527 en el OEIS ) — 3:2 y 4:3, 5:4 y 8:5, 7:4 y 8:7, 16:11 y 11:8

   (secuencia A060233 en el OEIS ) — 4:3 y 3:2, 5:4 y 8:5, 6:5 y 5:3, 7:4 y 8:7, 16:11 y 11:8, 16: 13 y 13:8

   (secuencia A061920 en el OEIS ) — 3:2 y 4:3, 5:4 y 8:5, 6:5 y 5:3, 9:8 y 16:9, 10:9 y 9:5, 16: 15 y 15:8, 45:32 y 64:45

   (secuencia A061921 en el OEIS ) — 3:2 y 4:3, 5:4 y 8:5, 6:5 y 5:3, 9:8 y 16:9, 10:9 y 9:5, 16: 15 y 15:8, 45:32 y 64:45, 27:20 y 40:27, 32:27 y 27:16, 81:64 y 128:81, 256:243 y 243:128

   (secuencia A061918 en el OEIS ) — 5:4 y 8:5

   (secuencia A061919 en el OEIS ) — 6:5 y 5:3

   (secuencia A060529 en el OEIS ) — 6:5 y 5:3, 7:5 y 10:7, 7:6 y 12:7

   (secuencia A061416 en el OEIS ) - 11:8 y 16:11

Referencias

1. Sethares (2005)
2. O'Donnell, Michael. "Fundamentos perceptivos del sonido" . Consultado el 11 de marzo de 2017 .
3. Helmholtz, H .; Ellis, AJ "La historia del tono musical en Europa". Sobre las sensaciones del tono . Traducido por Ellis, AJ (reimpresión ed.). Nueva York, Nueva York: Dover. págs. 493–511.
4. Varieschi, Gabriele U.; Gower, Cristina M. (2010). "Entonación y compensación de instrumentos de cuerda trastes". Revista Estadounidense de Física . 78 (1): 47–55. arXiv : 0906.0127 . Código Bib : 2010AmJPh..78...47V. doi : 10.1119/1.3226563. S2CID  20827087.
5. Kuttner (1975), pág. 163
6. Kuttner, Fritz A. (mayo de 1975). "La vida y obra del príncipe Chu Tsai-Yü: una reevaluación de su contribución a la teoría del temperamento igual". Etnomusicología . 19 (2): 163–206.
7. Robinson, Kenneth (1980). Un estudio crítico de la contribución de Chu Tsai-yü a la teoría del temperamento igual en la música china . Sinológica Coloniensia. vol. 9. Wiesbaden, Alemania: Franz Steiner Verlag. pag. vii . Chu-Tsaiyu el primer formulador de las matemáticas del "temperamento igual" en todo el mundo
8. Robinson, Kenneth G.; Needham, José (1962–2004). "Parte 1: Física". En Needham, Joseph (ed.). Física y Tecnología Física . Ciencia y civilización en China. vol. 4. Cambridge, Reino Unido: University Press. pag. 221.
9. Zhu, Zaiyu (1584). Yuè lǜ quán shū 樂律全書[ Compendio completo de música y tono ] (en chino).
10. Kuttner (1975), pág. 200
11. Cho, Gene J. (febrero de 2010). "La importancia del descubrimiento del temperamento igual musical en la historia cultural". Revista del Conservatorio de Música de Xinghai . ISSN  1000-4270. Archivado desde el original el 15 de marzo de 2012.
12. Zhu, Zaiyu (1580). Lǜ lì róng tōng 律暦融通[ Fusión de Música y Calendario ] (en chino).
13. "Ritual de cuantificación: cosmología política, música cortesana y matemáticas de precisión en la China del siglo XVII". uts.cc.utexas.edu . Roger Hart Departamentos de Historia y Estudios Asiáticos, Universidad de Texas, Austin. Archivado desde el original el 5 de marzo de 2012 . Consultado el 20 de marzo de 2012 .
14. Robinson y Needham (1962-2004), pág. 220 y siguientes
15. Ronan, Colin (ed.). La ciencia y la civilización más breves en China (edición abreviada). pag. 385.- versión reducida del Robinson & Needham original (1962-2004).
16. Hanson, Lau. 劳汉生 《珠算与实用数学》 389页[ Ábaco y Matemática Práctica ]. pag. 389.
17. Galileo, V. (1584). Il Fronimo... Dialogo sopra l'arte del bene intavolare [ El Fronimo... Diálogo sobre el arte de un buen comienzo ] (en italiano). Venecia, IT: Girolamo Scotto . págs. 80–89.
18. "Resound - corrupción de la música". Philresound.co.uk . Archivado desde el original el 24 de marzo de 2012 . Consultado el 20 de marzo de 2012 .
19. Gorzanis, Giacomo (1982) [ c.  1525 ~ 1575 ]. Intabolatura di liuto [ Tabulación del laúd ] (en italiano) (reimpresión ed.). Ginebra, CH: Minkoff.
20. "Spinacino 1507a: índice temático". Universidad Estatal de los Apalaches. Archivado desde el original el 25 de julio de 2011 . Consultado el 14 de junio de 2012 .
21. Stevin, Simon (30 de junio de 2009) [ c.  1605 ]. Rasch, Rudolf (ed.). Van de Spiegheling der singconst. La prensa Diapasón. Archivado desde el original el 17 de julio de 2011 . Consultado el 20 de marzo de 2012 , a través de diapason.xentonic.org.
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32. Skinner, Myles Leigh (2007). Hacia una sintaxis de cuarto de tono: análisis de obras seleccionadas de Blackwood, Haba, Ives y Wyschnegradsky . pag. 55.ISBN​ 9780542998478.
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35. "665edo". xenoarmónico (wiki microtonal). Archivado desde el original el 18 de noviembre de 2015 . Consultado el 18 de junio de 2014 .
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Fuentes

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• Duffin, Ross W. (2007). Cómo la igualdad de temperamento arruinó la armonía (y por qué debería importarle) . Nueva York, Nueva York: WWNorton & Company. ISBN 978-0-39306227-4.
• Jorgensen, Owen (1991). Afinación . Prensa de la Universidad Estatal de Michigan. ISBN 0-87013-290-3.
• Sethares, William A. (2005). Afinación, timbre, espectro, escala (2ª ed.). Londres, Reino Unido: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-797-4.
• Surjodiningrat, W.; Sudarjana, PJ; Susanto, A. (1972). Mediciones de tono de destacados gamelanes javaneses en Jogjakarta y Surakarta . Jogjakarta, IN: Prensa de la Universidad Gadjah Mada.Como se cita en "La escala gamelan pelog de Java Central como ejemplo de escala musical no armónica". telia.com . Neurociencia de la Música. Archivado desde el original el 27 de enero de 2005 . Consultado el 19 de mayo de 2006 .
• Stewart, PJ (2006) [enero de 1999]. De galaxia en galaxia: Música de las esferas (Reporte). 8096295 – vía academia.edu. "Enlace alternativo 1". 269108386 – vía researchgate.net. "Enlace alternativo 2" - a través de Google Docs.
• Khramov, Mykhaylo (26 a 29 de julio de 2008). Aproximación de la entonación justa de 5 límites . Modelado MIDI por computadora en sistemas negativos de divisiones iguales de octava. El Congreso Internacional SIGMAP-2008. Oporto . págs. 181-184. ISBN 978-989-8111-60-9.^{[ enlace muerto permanente ]}

Otras lecturas

• Helmholtz, H. (2005) [1877 (4.ª edición en alemán), 1885 (2.ª edición en inglés)]. Sobre las sensaciones tonales como base fisiológica de la teoría de la música. Traducido por Ellis, AJ (reimpresión ed.). Pescado blanco, MT: Kellinger Publishing. ISBN 978-1-41917893-1. OCLC  71425252 - vía Internet Archive (archive.org).
  — Una obra fundacional sobre acústica y percepción del sonido. Especialmente el material del Apéndice XX: Adiciones del traductor , páginas 430–556, (pdf páginas 451–577) (ver también el artículo de wiki Sobre las sensaciones de tono )

enlaces externos

• Una introducción a las afinaciones históricas por Kyle Gann
• Wiki de Xenharmonic sobre EDO versus temperamentos iguales
• Centro de Música Microtonal de la Fundación Huygens-Fokker
• A.Orlandini: Música Acústica
• "Temperamento" de un suplemento de la cyclopædia del Sr. Chambers (1753)
• Barbieri, Patrizio. Música e instrumentos enarmónicos, 1470-1900. (2008) Latina, Il Levante Librería Editrice
• Música microtonal fractal, Jim Kukula .
• Todas las citas existentes del siglo XVIII sobre JS Bach y el temperamento
• Dominic Eckersley: "Rosetta revisitada: el temperamento muy ordinario de Bach"
• Temperamentos del pozo, según la definición de Werckmeister
• CARDINALIDADES FAVORITAS DE LAS ESCALAS por P ETER B UCH