La escala Bohlen-Pierce ( escala BP ) es una escala y afinación musical , descrita por primera vez en la década de 1970, que ofrece una alternativa a las escalas de repetición de octavas típicas de la música occidental y otras, [1] específicamente la escala diatónica de temperamento igual .
El intervalo 3:1 (a menudo llamado con un nuevo nombre, tritave ) sirve como proporción armónica fundamental, reemplazando el 2:1 (la octava) de la escala diatónica con una duodécima perfecta (una octava más alta que una quinta perfecta). Para cualquier tono que forme parte de la escala BP, todos los tonos de una o más tritavas superiores o inferiores también forman parte del sistema y se consideran equivalentes.
La escala BP divide el tritave en 13 pasos, ya sea de igual temperamento (la forma más popular) o en una versión justamente afinada . En comparación con las escalas que se repiten octavas, los intervalos de la escala BP están más en consonancia con ciertos tipos de espectros acústicos . [ cita necesaria ]
La escala fue descrita de forma independiente por Heinz Bohlen , [2] Kees van Prooijen [3] y John R. Pierce . Pierce, quien, con Max Mathews y otros, publicó su descubrimiento en 1984, [4] cambió el nombre de la escala Pierce 3579b y su variante cromática a escala Bohlen-Pierce después de enterarse de la publicación anterior de Bohlen. Bohlen había propuesto la misma escala basándose en la consideración de la influencia de las combinaciones de tonos en la impresión Gestalt de intervalos y acordes. [5]
Los intervalos entre las clases de tono de la escala BP se basan en proporciones de frecuencia enteras impares , en contraste con los intervalos en las escalas diatónicas, que emplean proporciones pares e impares que se encuentran en la serie armónica . Específicamente, los pasos de la escala BP se basan en proporciones de números enteros cuyos factores son 3, 5 y 7. Por lo tanto, la escala contiene armonías consonantes basadas en los armónicos impares 3 :5:7:9 ( ). El acorde formado por la proporción 3:5:7 ( ) cumple prácticamente el mismo papel que el acorde 4:5:6 (una tríada mayor ) en escalas diatónicas (3:5:7 = 1: 1+2/3: 2+1/3y 4:5:6 = 2: 2+1/2:3 = 1: 1+1/4: 1+1/2).
El patrón de sensibilidad de entonación de 3:5:7 s es similar al de 4:5:6 s (el acorde mayor), más similar que el del acorde menor. [6] Esta similitud sugiere que nuestros oídos también percibirán 3:5:7 como consonante.
Por tanto, el acorde 3:5:7 puede considerarse la tríada mayor de la escala BP. Se aproxima mediante un intervalo de 6 semitonos BP de temperamento igual ( ) en la parte inferior y un intervalo de 4 semitonos de temperamento igual en la parte superior (semitonos 0, 6, 10; ). Una tríada menor tiene correspondientemente 6 semitonos arriba y 4 semitonos abajo (0, 4, 10; ). 5:7:9 es la primera inversión de la tríada mayor (0, 4, 7; ). [7]
Un estudio de tríadas cromáticas formadas a partir de combinaciones arbitrarias de los 13 tonos de la escala cromática entre doce músicos y doce oyentes no entrenados encontró que los semitonos 0, 1, 2 son el acorde más disonante ( ), pero 0, 11, 13 ( ) fue considerado el más consonante por los sujetos entrenados (porque suena como una tríada mayor de octava baja) y 0, 7, 10 ( ) fue considerado el más consonante por los sujetos no entrenados. [8]
Cada tono de la escala Pierce 3579b está en una tríada mayor y menor, excepto el tono II de la escala. Hay trece claves posibles. La modulación es posible cambiando una sola nota. Mover la nota II hacia arriba un semitono hace que la tónica suba a lo que era la nota III (semitono 3), que por lo tanto puede considerarse la dominante . Se puede considerar VIII (semitono 10) el análogo de la subdominante . [7]
3:1 sirve como proporción armónica fundamental, reemplazando el 2:1 de la escala diatónica (la octava ). ( ) Este intervalo es una duodécima perfecta en la nomenclatura diatónica ( quinta perfecta cuando se reduce en una octava), pero como esta terminología se basa en tamaños de paso y funciones que no se utilizan en la escala BP, a menudo se le llama con un nuevo nombre, tritave ( ), en contextos BP, refiriéndose a su papel como pseudooctava , y usando el prefijo "tri-" (tres) para distinguirla de la octava. En las escalas convencionales, si un tono determinado forma parte del sistema, entonces todos los tonos una o más octavas superiores o inferiores también forman parte del sistema y, además, se consideran equivalentes . En la escala BP, si un tono determinado está presente, entonces ninguno de los tonos de una o más octavas más altas o más bajas está presente, pero todos los tonos de una o más tritavas más altas o más bajas son parte del sistema y se consideran equivalentes.
El uso de proporciones de números enteros impares en la escala BP es apropiado para timbres que contienen sólo armónicos impares. Debido a que el espectro del clarinete (en el registro chalumeau ) consiste principalmente en los armónicos impares, y el instrumento sopla en la duodécima (o tritava) en lugar de en la octava como lo hacen la mayoría de los otros instrumentos de viento de madera, existe una afinidad natural entre este y el Escala de Bohlen-Pierce. A principios de 2006, el fabricante de clarinetes Stephen Fox comenzó a ofrecer a la venta clarinetes soprano Bohlen-Pierce. Produjo el primer clarinete tenor BP (seis pasos por debajo de la soprano) en 2010 y el primer clarinete épsilon (cuatro pasos por encima de la soprano) en 2011. Nora toca ahora (2020) un clarinete contra (un tritave más bajo que la soprano). Müller, Lübeck, Alemania.
Se puede construir una escala diatónica de Bohlen-Pierce con las siguientes proporciones justas (el gráfico muestra la escala "Lambda" (λ)):
Se puede construir una escala BP justa a partir de cuatro acordes 3:5:7 superpuestos, por ejemplo, V, II, VI y IV, aunque se pueden elegir acordes diferentes para producir una escala similar: [9]
(5:3)(7:5)V IX III | III VII I | VI I IV | IV VIII II
Bohlen expresó originalmente la escala BP tanto en entonación justa como en temperamento igual . La forma templada , que divide el tritave en trece pasos iguales, se ha convertido en la forma más popular. Cada paso está 13 √ 3 = 3 1 ⁄ 13 = 1,08818… por encima del siguiente, o 1200 log 2 (3 1 ⁄ 13 ) = 146,3… centavos por paso. La octava se divide en un número fraccionario de pasos. En 12-tet se utilizan doce pasos igualmente templados por octava . La escala de Bohlen-Pierce podría describirse como 8,202087-tet, porque una octava completa (1200 centavos), dividida por 146,3… centavos por paso, da 8,202087 pasos por octava.
Dividir la tritave en 13 pasos iguales atempera, o reduce al unísono, ambos intervalos 245:243 (alrededor de 14 centavos, a veces llamado diesis menor de Bohlen-Pierce ) y 3125:3087 (alrededor de 21 centavos, a veces llamado mayor). Bohlen-Pierce diesis) de la misma manera que dividir la octava en 12 pasos iguales reduce tanto 81:80 ( coma sintónica ) como 128:125 ( limma de 5 límites ) al unísono. Un temperamento lineal de 7 límites atenúa ambos intervalos; El temperamento Bohlen-Pierce resultante ya no tiene nada que ver con equivalencias tritavas o escalas no octavas, más allá del hecho de que está bien adaptado a su uso. Una afinación de 41 pasos iguales por octava ( 1200 ⁄ 41 = 29,27 cents por paso) sería bastante lógica para este temperamento. En tal afinación, una duodécima perfecta templada (1902,4 centavos, aproximadamente medio centavo más grande que una duodécima) se divide en 65 pasos iguales, lo que resulta en una aparente paradoja: tomar cada quinto grado de esta escala basada en octavas produce una excelente aproximación. a la escala BP igualmente templada que no está basada en octavas. Además, un intervalo de cinco de estos pasos genera MOS (momentos de simetría ) (basados en octavas) con 8, 9 o 17 notas, y la escala de 8 notas (que comprende los grados 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 y 35 de la escala de 41 iguales) podrían considerarse la versión equivalente a una octava de la escala de Bohlen-Pierce.
Las siguientes son las trece notas de la escala (centavos redondeados al número entero más cercano):
justamente sintonizado
De temperamento igual
¿Cómo suena estéticamente la música que utiliza una escala de Bohlen-Pierce ? Dave Benson sugiere que ayuda usar sólo sonidos con armónicos impares, incluidos clarinetes o tonos sintetizados, pero sostiene que debido a que "algunos de los intervalos suenan un poco como intervalos en la escala [más familiar] de doce tonos , pero muy desafinados ", el oyente medio sentirá continuamente "que algo no está del todo bien", debido al condicionamiento social . [10]
Mathews y Pierce concluyen que se pueden componer melodías claras y memorables en la escala BP, que "el contrapunto suena bien" y que "los pasajes de acordes suenan como armonía", presumiblemente significando progresión , "pero sin gran tensión o sentido de resolución". . [11] En su estudio de 1989 sobre el juicio de consonancia, ambos intervalos de los cinco acordes calificados como más consonantes por músicos entrenados son aproximadamente intervalos diatónicos, lo que sugiere que su entrenamiento influyó en su selección y que una experiencia similar con la escala BP influiría de manera similar en sus elecciones. [8]
Las composiciones que utilizan la escala de Bohlen-Pierce incluyen "Purity", el primer movimiento de Clang-Tint de Curtis Roads . [12] Otros compositores informáticos que utilizan la escala BP incluyen a Jon Appleton , Richard Boulanger ( Solemn Song for Evening (1990)), Georg Hajdu , el ppP de Juan Reyes (1999-2000), [13] "A Wild" de Ami Radunskaya. y Reckless Place" (1990), [14] Charles Carpenter ( Frog à la Pêche (1994) & Splat ), [15] [16] y Elaine Walker ( Stick Men (1991), Love Song , and Greater Good (2011) ). [17]
David Lieberman, profesor asociado de arquitectura en la Universidad de Toronto , dirigió el desarrollo de un "Stredici", un instrumento de cuerda afinado en la escala de Bohlen-Pierce. El instrumento de cinco metros de largo se utilizó en conciertos en Boston en 2012. [18]
Del 7 al 9 de marzo de 2010 tuvo lugar en Boston el primer simposio de Bohlen-Pierce, producido por el compositor Georg Hajdu ( Hochschule für Musik und Theatre Hamburg ) y la Boston Microtonal Society . Los coorganizadores fueron el Instituto Goethe de Boston , el Berklee College of Music , la Universidad Northeastern y el Conservatorio de Música de Nueva Inglaterra. Los participantes del simposio, que incluyeron a Heinz Bohlen, Max Mathews, Clarence Barlow , Curtis Roads , David Wessel, Psyche Loui, Richard Boulanger, Georg Hajdu, Paul Erlich , Ron Sword, Julia Werntz, Larry Polansky , Manfred Stahnke, Stephen Fox, Elaine Walker , Todd Harrop, Gayle Young, Johannes Kretz, Arturo Grolimund, Kevin Foster, presentaron 20 artículos sobre la historia y las propiedades de la escala Bohlen-Pierce, interpretaron más de 40 composiciones en el novedoso sistema e introdujeron varios instrumentos musicales nuevos. Entre los intérpretes se encontraban los músicos alemanes Nora-Louise Müller y Ákos Hoffman con clarinetes Bohlen-Pierce y Arturo Grolimund con flauta de pan Bohlen-Pierce, así como el conjunto canadiense tranSpectra y la banda xenarmónica estadounidense ZIA, dirigida por Elaine Walker.
Otras afinaciones fuera de octava investigadas por Bohlen [19] incluyen doce pasos en la tritava, denominada A12 por Enrique Moreno [20] y basada en el acorde 4:7:10 , siete pasos en la octava ( 7-tet ) o 11 pasos similares en la tritava y ocho pasos en la octava, basados en 5:7:9 y de los cuales solo se usaría la versión justa. Además, la pentava se puede dividir en ocho pasos que se aproximan a los acordes de la forma 5:9:13:17:21:25. [21] La escala de Bohlen de 833 centavos se basa en la secuencia de Fibonacci , aunque fue creada a partir de tonos combinados , y contiene una red compleja de relaciones armónicas debido a la inclusión de armónicos coincidentes de intervalos apilados de 833 centavos. Por ejemplo, "el paso 10 resulta ser idéntico a la octava (1200 centésimas) del tono base, al mismo tiempo que presenta la proporción áurea del paso 3". [22]
Se pueden especificar escalas alternativas indicando el tamaño de pasos templados iguales, por ejemplo, la escala alfa de 78 centavos de Wendy Carlos y la escala beta de 63,8 centavos , y la escala de 88 centavos de Gary Morrison (13,64 pasos por octava o 14 por 1232 centavos estirados). octava). [23] Esto le da a la escala alfa 15,39 pasos por octava y a la escala beta 18,75 pasos por octava. [24]
Paul Erlich propuso dividir cada paso de Bohlen-Pierce en tercios para que la tritave se divida en 39 pasos iguales en lugar de 13 pasos iguales. La escala, que puede verse como tres escalas de Bohlen-Pierce escalonadas uniformemente, proporciona armónicos impares adicionales. La escala de 13 pasos alcanza los armónicos impares 3:1; 5:3, 7:3; 7:5, 9:5; 9:7 y 15:7; mientras que la escala de 39 pasos incluye todos esos y muchos más (11:5, 13:5; 11:7, 13:7; 11:9, 13:9; 13:11, 15:11, 21:11, 25:11, 27:11; 15:13, 21:13, 25:13, 27:13, 33:13 y 35:13), aunque todavía faltan casi todos los armónicos pares (incluidos 2:1; 3 :2, 5:2; 4:3, 8:3; 6:5, 8:5; 9:8, 11:8, 13:8 y 15:8). El tamaño de esta escala es de aproximadamente 25 pasos iguales en una proporción ligeramente mayor que una octava, por lo que cada uno de los 39 pasos iguales es ligeramente más pequeño que la mitad de uno de los 12 pasos iguales de la escala estándar. [25]
Dividir cada paso de la escala de Bohlen-Pierce en quintas (de modo que la tritava se divida en 65 pasos) da como resultado una octava muy precisa (41 pasos) y una quinta perfecta (24 pasos), así como aproximaciones para otros intervalos justos. La escala es prácticamente idéntica a la división igual de la octava de 41 tonos, excepto que cada paso es ligeramente más pequeño (menos de una centésima de cent por paso).