Efecto Aharonov-Bohm

Efecto mecánico cuántico electromagnético en regiones de campo magnético y eléctrico nulo.

Aparato de efecto Aharonov-Bohm que muestra la barrera, X; ranuras _S1 y _S2 ; caminos de electrones e ₁ y e ₂ ; bigote magnético, W; pantalla, P; patrón de interferencia, I; densidad de flujo magnético, B (apuntando hacia afuera de la figura); y el potencial del vector magnético, A. B es esencialmente nulo fuera del bigote. En algunos experimentos, el bigote se reemplaza por un solenoide. Los electrones en la ruta 1 se desplazan con respecto a los electrones en la ruta 2 por el potencial vectorial aunque la densidad de flujo sea nula.

Yakir Aharonov

David Bohm

El efecto Aharonov-Bohm , a veces llamado efecto Ehrenberg-Siday-Aharonov-Bohm , es un fenómeno mecánico-cuántico en el que una partícula cargada eléctricamente se ve afectada por un potencial electromagnético ( , ), a pesar de estar confinada a una región en la que tanto El campo magnético y el campo eléctrico son cero. ^[1] El mecanismo subyacente es el acoplamiento del potencial electromagnético con la fase compleja de la función de onda de una partícula cargada , por lo que el efecto Aharonov-Bohm se ilustra mediante experimentos de interferencia . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

El caso más comúnmente descrito, a veces llamado efecto solenoide Aharonov-Bohm , tiene lugar cuando la función de onda de una partícula cargada que pasa alrededor de un solenoide largo experimenta un cambio de fase como resultado del campo magnético encerrado, a pesar de que el campo magnético es insignificante en la región a través de la cual pasa la partícula y la función de onda de la partícula son insignificantes dentro del solenoide. Este cambio de fase se ha observado experimentalmente. ^[2] También existen efectos magnéticos de Aharonov-Bohm sobre energías ligadas y secciones transversales de dispersión, pero estos casos no se han probado experimentalmente. También se predijo un fenómeno eléctrico de Aharonov-Bohm, en el que una partícula cargada se ve afectada por regiones con diferentes potenciales eléctricos pero con un campo eléctrico nulo, pero esto aún no tiene confirmación experimental. ^[2] Se propuso un efecto Aharonov-Bohm "molecular" separado para el movimiento nuclear en regiones múltiples conectadas, pero se ha argumentado que se trata de un tipo diferente de fase geométrica, ya que no es "ni no local ni topológica", y depende sólo de cantidades locales. por la vía nuclear. ^[3]

Werner Ehrenberg (1901-1975) y Raymond E. Siday predijeron por primera vez el efecto en 1949. ^[4] Yakir Aharonov y David Bohm publicaron su análisis en 1959. ^[1] Después de la publicación del artículo de 1959, Bohm fue informado de la teoría de Ehrenberg y Siday. trabajo, que fue reconocido y acreditado en el artículo posterior de Bohm y Aharonov de 1961. ^{[5] [6] [7]} El efecto se confirmó experimentalmente, con un error muy grande, mientras Bohm aún estaba vivo. Cuando el error se redujo a un valor respetable, Bohm había muerto. ^[8]

Significado

En los siglos XVIII y XIX, la física estuvo dominada por la dinámica newtoniana, con su énfasis en las fuerzas . Los fenómenos electromagnéticos fueron aclarados mediante una serie de experimentos que implicaban la medición de fuerzas entre cargas, corrientes e imanes en diversas configuraciones. Finalmente surgió una descripción según la cual cargas, corrientes e imanes actuaban como fuentes locales de propagación de campos de fuerza, que luego actuaban localmente sobre otras cargas y corrientes mediante la ley de fuerza de Lorentz . En este marco, debido a que una de las propiedades observadas del campo eléctrico era que era irrotacional , y una de las propiedades observadas del campo magnético era que no tenía divergencia , fue posible expresar un campo electrostático como el gradiente de un escalar. potencial (por ejemplo, el potencial electrostático de Coulomb , que es matemáticamente análogo al potencial gravitacional clásico) y un campo magnético estacionario como la curvatura de un potencial vectorial (entonces un nuevo concepto: la idea de un potencial escalar ya era bien aceptada por analogía con potencial gravitacional). El lenguaje de los potenciales se generalizó perfectamente al caso completamente dinámico pero, dado que todos los efectos físicos se podían describir en términos de los campos que eran derivados de los potenciales, los potenciales (a diferencia de los campos) no estaban determinados únicamente por efectos físicos: los potenciales sólo se definían a un potencial electrostático constante aditivo arbitrario y a un potencial vectorial magnético estacionario irrotacional.

El efecto Aharonov-Bohm es importante conceptualmente porque se relaciona con tres cuestiones evidentes en la reformulación de la teoría electromagnética clásica ( de Maxwell ) como una teoría de calibre , que antes del advenimiento de la mecánica cuántica se podía argumentar que era una reformulación matemática sin ninguna relación física. consecuencias. Los experimentos mentales de Aharonov-Bohm y su realización experimental implican que las cuestiones no eran sólo filosóficas.

Las tres cuestiones son:

1. si los potenciales son "físicos" o simplemente una herramienta conveniente para calcular campos de fuerza;
2. si los principios de acción son fundamentales;
3. El principio de localidad .

Por razones como estas, el efecto Aharonov-Bohm fue elegido por la revista New Scientist como una de las "siete maravillas del mundo cuántico". ^[9]

Chen-Ning Yang consideró que el efecto AB era sólo una prueba experimental directa del principio de calibre . La importancia filosófica es que el cuatro potencial magnético sobredescribe la física, en el sentido de que todos los fenómenos observables son iguales después de realizar una transformación de calibre. Los campos de Maxwell subdescriben la física, ya que no predicen el efecto AB. Y tal como lo predice el principio de calibre, las cantidades que son invariantes bajo las transformadas de calibre son exactamente los fenómenos físicamente observables. ^{[10] [11]} ${\displaystyle (\phi ,\mathbf {A} )}$

Potenciales versus campos

En general, se argumenta que el efecto Aharonov-Bohm ilustra la fisicalidad de los potenciales electromagnéticos, Φ y A , en la mecánica cuántica. Clásicamente era posible argumentar que sólo los campos electromagnéticos son físicos, mientras que los potenciales electromagnéticos son construcciones puramente matemáticas, que debido a la libertad de medición ni siquiera son únicas para un campo electromagnético dado.

Sin embargo, Vaidman ha cuestionado esta interpretación al demostrar que el efecto Aharonov-Bohm se puede explicar sin el uso de potenciales siempre que se dé un tratamiento mecánico cuántico completo a las cargas fuente que producen el campo electromagnético. ^[12] Según este punto de vista, el potencial en la mecánica cuántica es tan físico (o no físico) como lo era clásicamente. Aharonov, Cohen y Rohrlich respondieron que el efecto puede deberse a un potencial de calibre local o a campos invariantes de calibre no locales. ^[13]

Dos artículos publicados en la revista Physical Review A en 2017 han demostrado una solución mecánica cuántica para el sistema. Su análisis muestra que el cambio de fase puede verse como generado por el potencial vectorial de un solenoide que actúa sobre el electrón o el potencial vectorial del electrón que actúa sobre el solenoide o las corrientes del electrón y del solenoide que actúan sobre el potencial vectorial cuantificado. ^{[14] [15]}

Acción global versus fuerzas locales

De manera similar, el efecto Aharonov-Bohm ilustra que el enfoque lagrangiano de la dinámica , basado en energías , no es sólo una ayuda computacional para el enfoque newtoniano , basado en fuerzas . Por tanto, el efecto Aharonov-Bohm valida la opinión de que las fuerzas son una forma incompleta de formular la física y que en su lugar deben utilizarse energías potenciales. De hecho, Richard Feynman se quejó de que le habían enseñado el electromagnetismo desde la perspectiva de los campos electromagnéticos, y deseaba que más adelante en su vida le hubieran enseñado a pensar en términos del potencial electromagnético, ya que esto sería más fundamental. ^{[16] En} la visión integral de trayectoria de la dinámica de Feynman , el campo potencial cambia directamente la fase de la función de onda de un electrón, y son estos cambios de fase los que conducen a cantidades mensurables.

Localidad de los efectos electromagnéticos.

El efecto Aharonov-Bohm muestra que los campos locales E y B no contienen información completa sobre el campo electromagnético, y en su lugar se debe utilizar el cuatro potencial electromagnético ( Φ , A ). Según el teorema de Stokes , la magnitud del efecto Aharonov-Bohm se puede calcular utilizando únicamente los campos electromagnéticos o utilizando únicamente los cuatro potenciales. Pero cuando se utilizan sólo campos electromagnéticos, el efecto depende de los valores del campo en una región de la que se excluye la partícula de prueba. Por el contrario, cuando se utilizan sólo los cuatro potenciales, el efecto sólo depende del potencial en la región donde se permite la partícula de prueba. Por lo tanto, uno debe abandonar el principio de localidad , que la mayoría de los físicos son reacios a hacer, o aceptar que el cuatro potencial electromagnético ofrece una descripción más completa del electromagnetismo que los campos eléctricos y magnéticos. Por otro lado, el efecto Aharonov-Bohm es crucialmente mecánico cuántico; Es bien sabido que la mecánica cuántica presenta efectos no locales (aunque todavía no permite la comunicación superluminal), y Vaidman ha argumentado que se trata simplemente de un efecto cuántico no local en una forma diferente. ^[12]

En el electromagnetismo clásico las dos descripciones eran equivalentes. Sin embargo, con la incorporación de la teoría cuántica, los potenciales electromagnéticos Φ y A se consideran más fundamentales. ^[17] A pesar de ello , todos los efectos observables acaban siendo expresables en términos de los campos electromagnéticos, E y B. Esto es interesante porque, si bien se puede calcular el campo electromagnético a partir de los cuatro potenciales, debido a la libertad de calibre, lo contrario no es cierto.

Efecto solenoide magnético

El efecto magnético Aharonov-Bohm puede verse como resultado del requisito de que la física cuántica debe ser invariante con respecto a la elección del calibre para el potencial electromagnético , del cual forma parte el potencial del vector magnético . ${\displaystyle \mathbf {A} }$

La teoría electromagnética implica ^[18] que una partícula con carga eléctrica que viaja a lo largo de algún camino en una región con campo magnético cero , pero distinto de cero (por ), adquiere un desplazamiento de fase , dado en unidades SI por ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} =\nabla \times \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi ={\frac {q}{\hbar }}\int _{P}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {x} ,}$

Por lo tanto, partículas con los mismos puntos inicial y final, pero que viajan por dos rutas diferentes, adquirirán una diferencia de fase determinada por el flujo magnético a través del área entre los caminos (a través del teorema de Stokes y ), y dada por: ${\displaystyle \Delta \varphi }$ ${\displaystyle \Phi _{B}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {q\,\Phi _{B}}{\hbar }}.}$

Esquema de un experimento de doble rendija en el que se puede observar el efecto Aharonov-Bohm: los electrones pasan a través de dos rendijas, interfiriendo en una pantalla de observación, y el patrón de interferencia cambia cuando se cambia un campo magnético B en el bigote. La dirección del campo B está hacia afuera de la figura; el flujo de retorno hacia adentro no se muestra, pero está fuera de los caminos de los electrones. La flecha muestra la dirección del campo A que se extiende fuera de la región del cuadro aunque el campo B no lo hace.

En mecánica cuántica, la misma partícula puede viajar entre dos puntos por diversos caminos . Por lo tanto, esta diferencia de fase se puede observar colocando un solenoide entre las rendijas de un experimento de doble rendija (o equivalente). Un solenoide ideal (es decir, infinitamente largo y con una distribución de corriente perfectamente uniforme) encierra un campo magnético , pero no produce ningún campo magnético fuera de su cilindro y, por tanto, la partícula cargada (por ejemplo, un electrón ) que pasa fuera no experimenta ningún campo magnético . (Esta idealización simplifica el análisis, pero es importante darse cuenta de que el efecto Aharonov-Bohm no depende de él, siempre que el flujo magnético regrese fuera de las trayectorias de los electrones, por ejemplo, si una trayectoria pasa por un solenoide toroidal y la otra alrededor de él, y El solenoide está protegido para que no produzca ningún campo magnético externo). Sin embargo, hay un potencial vectorial (sin curvatura ) fuera del solenoide con un flujo cerrado, por lo que se altera la fase relativa de las partículas que pasan a través de una rendija u otra. dependiendo de si la corriente del solenoide está activada o desactivada. Esto corresponde a un desplazamiento observable de las franjas de interferencia en el plano de observación. ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

El mismo efecto de fase es responsable del requisito de flujo cuantificado en los bucles superconductores . Esta cuantificación se produce porque la función de onda superconductora debe tener un solo valor: su diferencia de fase alrededor de un circuito cerrado debe ser un múltiplo entero de (con la carga de los pares de electrones de Cooper ) y, por lo tanto, el flujo debe ser un múltiplo de . El cuanto de flujo superconductor en realidad fue predicho antes que Aharonov y Bohm por F. London en 1948 utilizando un modelo fenomenológico. ^[19] ${\displaystyle \Delta \varphi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle q=2e}$ ${\displaystyle h/2e}$

La primera confirmación experimental reivindicada fue la de Robert G. Chambers en 1960, ^{[20] [21]} en un interferómetro electrónico con un campo magnético producido por un fino bigote de hierro, y otros trabajos iniciales se resumen en Olariu y Popèscu (1984). ^[22] Sin embargo, autores posteriores cuestionaron la validez de varios de estos primeros resultados porque es posible que los electrones no hayan estado completamente protegidos de los campos magnéticos. ^{[23] [24] [25] [26] [27]} Uno de los primeros experimentos en el que se observó un inequívoco efecto Aharonov-Bohm al excluir completamente el campo magnético de la trayectoria de los electrones (con la ayuda de una película superconductora ) fue realizado por Tonomura et al. en 1986. ^{[28] [29]} El alcance y la aplicación del efecto continúan expandiéndose. Webb y cols. (1985) ^[30] demostraron oscilaciones de Aharonov-Bohm en anillos metálicos ordinarios no superconductores; para una discusión, ver Schwarzschild (1986) ^[31] e Imry y Webb (1989). ^[32] Bachtold et al. (1999) ^[33] detectaron el efecto en nanotubos de carbono; para una discusión, ver Kong et al. (2004). ^[34]

Monopolos y cuerdas de Dirac

El efecto magnético Aharonov-Bohm también está estrechamente relacionado con el argumento de Dirac de que la existencia de un monopolo magnético puede adaptarse a las ecuaciones de Maxwell existentes sin fuente magnética si se cuantifican tanto las cargas eléctricas como las magnéticas.

Un monopolo magnético implica una singularidad matemática en el potencial vectorial, que puede expresarse como una cuerda de Dirac de diámetro infinitesimal que contiene el equivalente de todo el flujo de 4π g de una "carga" monopolo g . La cuerda de Dirac comienza y termina en un monopolo magnético. Por lo tanto, suponiendo la ausencia de un efecto de dispersión de rango infinito por esta elección arbitraria de singularidad, el requisito de funciones de onda de valor único (como arriba) requiere una cuantificación de carga. Es decir, debe ser un número entero (en unidades cgs ) para cualquier carga eléctrica q _e y carga magnética q _m . ${\displaystyle 2{\frac {q_{\text{e}}q_{\text{m}}}{\hbar c}}}$

Al igual que el potencial electromagnético A, la cuerda de Dirac no es invariante de calibre (se mueve con puntos finales fijos bajo una transformación de calibre) y, por lo tanto, tampoco se puede medir directamente.

efecto electrico

Así como la fase de la función de onda depende del potencial del vector magnético, también depende del potencial eléctrico escalar. Al construir una situación en la que el potencial electrostático varía en dos trayectorias de una partícula, a través de regiones de campo eléctrico cero, se ha predicho un fenómeno de interferencia observable de Aharonov-Bohm debido al cambio de fase; De nuevo, la ausencia de un campo eléctrico significa que, clásicamente, no habría ningún efecto.

De la ecuación de Schrödinger , la fase de una función propia con energía es como . La energía, sin embargo, dependerá del potencial electrostático de una partícula con carga . En particular, para una región con potencial constante (campo cero), la energía potencial eléctrica simplemente se suma a , lo que resulta en un cambio de fase: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e^{-iEt/\hbar }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle qV}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Delta \varphi =-{\frac {qVt}{\hbar }},}$

donde t es el tiempo transcurrido en el potencial.

Por ejemplo, podemos tener un par de grandes conductores planos, conectados a una batería de voltaje . Luego, podemos realizar un experimento de doble rendija de un solo electrón, con las dos rendijas en los dos lados del par de conductores. Si el electrón tarda en llegar a la pantalla, entonces deberíamos observar un cambio de fase . Al ajustar el voltaje de la batería, podemos cambiar horizontalmente el patrón de interferencia en la pantalla. ${\displaystyle \Delta V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle e\Delta Vt/\hbar }$

La propuesta teórica inicial para este efecto sugirió un experimento en el que las cargas pasan a través de cilindros conductores a lo largo de dos caminos, que protegen las partículas de campos eléctricos externos en las regiones donde viajan, pero aún permiten que se aplique un potencial dependiente del tiempo al cargar los cilindros. Sin embargo, esto resultó difícil de lograr. En cambio, se propuso un experimento diferente que involucraba una geometría de anillo interrumpida por barreras de túnel, con un voltaje de polarización constante V que relacionaba los potenciales de las dos mitades del anillo. Esta situación da como resultado un cambio de fase de Aharonov-Bohm como el anterior, y se observó experimentalmente en 1998, aunque en una configuración donde las cargas atraviesan el campo eléctrico generado por el voltaje de polarización. El efecto Aharonov-Bohm eléctrico dependiente del tiempo original aún no ha encontrado verificación experimental. ^[35]

efecto gravitacional

El cambio de fase Aharonov-Bohm debido al potencial gravitacional también debería ser posible observar en teoría, y a principios de 2022 ^{[36] [37] [38]} se llevó a cabo un experimento para observarlo basado en un diseño experimental de 2012. ^{[ 39] [40]} En el experimento, átomos de rubidio ultrafríos en superposición se lanzaron verticalmente dentro de un tubo de vacío y se dividieron con un láser para que una parte subiera más que la otra y luego se recombinaran nuevamente. Fuera de la cámara, en la parte superior, se encuentra una masa axialmente simétrica que cambia el potencial gravitacional. Por lo tanto, la parte que sube debería experimentar un cambio mayor que se manifiesta como un patrón de interferencia cuando los paquetes de ondas se recombinan, lo que resulta en un cambio de fase mensurable. El equipo encontró evidencia de una coincidencia entre las mediciones y las predicciones. Se han propuesto muchas otras pruebas. ^{[41] [42] [43] [44]}

Efecto no abeliano

En 1975, Tai-Tsun Wu y Chen-Ning Yang formularon el efecto no abeliano Aharonov-Bohm, ^[45] y en 2019 esto se informó experimentalmente en un sistema con ondas de luz en lugar de la función de onda de electrones. El efecto se produjo de dos maneras diferentes. En una luz atravesaba un cristal en un fuerte campo magnético y en otra luz se modulaba mediante señales eléctricas que variaban en el tiempo. En ambos casos, el cambio de fase se observó a través de un patrón de interferencia que también era diferente dependiendo de si avanzaba o retrocedía en el tiempo. ^{[46] [47]}

Nanoanillos Aharonov-Bohm

Los nanoanillos se crearon por accidente ^[48] con la intención de crear puntos cuánticos . Tienen interesantes propiedades ópticas asociadas con los excitones y el efecto Aharonov-Bohm. ^[48] ​​La aplicación de estos anillos utilizados como condensadores o amortiguadores de luz incluye tecnología de comunicaciones y computación fotónica . Se están realizando análisis y mediciones de fases geométricas en anillos mesoscópicos. ^{[49] [50] [51]} Incluso se sugiere que podrían usarse para hacer una forma de vidrio lento . ^[52]

Varios experimentos, incluidos algunos reportados en 2012, ^[53] muestran oscilaciones de Aharonov-Bohm en la corriente de onda de densidad de carga (CDW) versus el flujo magnético, de período dominante h /2 e a través de anillos CDW de hasta 85  μm de circunferencia por encima de 77 K. El comportamiento es similar al de los dispositivos superconductores de interferencia cuántica (ver SQUID ).

Interpretación matemática

El efecto Aharonov-Bohm se puede entender por el hecho de que sólo se pueden medir valores absolutos de la función de onda. Si bien esto permite medir las diferencias de fase mediante experimentos de interferencia cuántica, no hay forma de especificar una función de onda con fase absoluta constante. En ausencia de un campo electromagnético, uno puede acercarse declarando que la función propia del operador de momento con momento cero es la función "1" (ignorando los problemas de normalización) y especificando funciones de onda relativas a esta función propia "1". En esta representación, el operador i-momento es (hasta un factor ) el operador diferencial . Sin embargo, por invariancia de calibre, es igualmente válido declarar que la función propia de momento cero tiene el costo de representar al operador de momento i (hasta un factor), es decir, con un potencial de vector de calibre puro . No existe una asimetría real porque representar lo primero en términos de lo segundo es tan confuso como representar lo segundo en términos de lo primero. Esto significa que es físicamente más natural describir las "funciones" de onda, en el lenguaje de la geometría diferencial , como secciones en un haz de líneas complejo con una métrica hermitiana y una conexión U(1) . La forma de curvatura de la conexión, , es, hasta el factor i, el tensor de Faraday de la intensidad del campo electromagnético . El efecto Aharonov-Bohm es entonces una manifestación del hecho de que una conexión con curvatura cero (es decir, plana ) no tiene por qué ser trivial, ya que puede tener monodromía a lo largo de un camino topológicamente no trivial completamente contenido en la región de curvatura cero (es decir, libre de campo). . Por definición, esto significa que las secciones que se trasladan en paralelo a lo largo de un camino topológicamente no trivial adquieren una fase, de modo que no se pueden definir secciones constantes covariantes en toda la región libre de campo. ${\displaystyle \hbar /i}$ ${\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ ${\displaystyle e^{-i\phi (x)}}$ ${\displaystyle \nabla _{i}=\partial _{i}+i(\partial _{i}\phi )}$ ${\displaystyle A=d\phi }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle iF=\nabla \wedge \nabla }$

Dada una trivialización del haz de líneas, una sección que no desaparece, la conexión U(1) está dada por la forma 1 correspondiente al electromagnético de cuatro potenciales A , donde d significa derivación exterior en el espacio de Minkowski . La monodromía es la holonomía de la conexión plana. La holonomía de una conexión, plana o no plana, alrededor de un circuito cerrado es (se puede demostrar que esto no depende de la trivialización sino sólo de la conexión). Para una conexión plana, se puede encontrar una transformación de calibre en cualquier región libre de campo simplemente conectada (que actúa sobre funciones de onda y conexiones) que mide el potencial vectorial. Sin embargo, si la monodromía no es trivial, no existe tal transformación de calibre para toda la región exterior. De hecho, como consecuencia del teorema de Stokes , la holonomía está determinada por el flujo magnético a través de una superficie que limita el bucle , pero dicha superficie sólo puede existir si pasa por una región de campo no trivial: ${\displaystyle \nabla =d+iA\,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle e^{i\int _{\gamma }A}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle e^{i\int _{\partial \sigma }A}=e^{i\int _{\sigma }dA}=e^{i\int _{\sigma }F}}$

La monodromía de la conexión plana sólo depende del tipo topológico del bucle en la región libre de campo (de hecho, de la clase de homología del bucle ). Sin embargo, la descripción de la holonomía es general y funciona tanto dentro como fuera del superconductor. Fuera del tubo conductor que contiene el campo magnético, la intensidad del campo . En otras palabras, fuera del tubo la conexión es plana y la monodromía del bucle contenido en la región libre de campo depende únicamente del número de espiras alrededor del tubo. La monodromía de la conexión para un bucle que da una vuelta (devanado número 1) es la diferencia de fase de una partícula que interfiere propagándose hacia la izquierda y hacia la derecha del tubo superconductor que contiene el campo magnético. Si se quiere ignorar la física dentro del superconductor y describir sólo la física en la región exterior, resulta natural y matemáticamente conveniente describir el electrón cuántico mediante una sección en un haz de líneas complejo con una conexión plana "externa" con monodromía. ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \alpha =}$flujo magnético a través del tubo / ${\displaystyle (\hbar /e)}$

en lugar de un campo EM externo . La ecuación de Schrödinger se generaliza fácilmente a esta situación utilizando el laplaciano de la conexión para el hamiltoniano (libre) ${\displaystyle F}$

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\nabla ^{*}\nabla }$.

De manera equivalente, se puede trabajar en dos regiones simplemente conectadas con cortes que pasan desde el tubo hacia o desde la pantalla de detección. En cada una de estas regiones habría que resolver las ecuaciones libres ordinarias de Schrödinger, pero al pasar de una región a la otra, sólo en uno de los dos componentes conectados de la intersección (efectivamente, sólo en una de las rendijas) se obtiene un factor de monodromía. captado, lo que resulta en el cambio en el patrón de interferencia a medida que se cambia el flujo. ${\displaystyle e^{i\alpha }}$

Se pueden encontrar efectos con interpretación matemática similar en otros campos. Por ejemplo, en física estadística clásica, la cuantificación del movimiento de un motor molecular en un entorno estocástico puede interpretarse como un efecto Aharonov-Bohm inducido por un campo calibre que actúa en el espacio de parámetros de control. ^[54]

Ver también

• Fase geométrica
• ángulo de hannay
• Función Wannier
• Fase de bayas
• Bucle de Wilson
• Número de bobinado
• Efecto Aharonov-Casher
• Teorema de Byers-Yang

Referencias

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Lectura adicional

• DJ sin gracia (1998). "§2.2 Invariancia de calibre y efecto Aharonov-Bohm". Números cuánticos topológicos en física no relativista . Científico mundial. págs. 18 y siguientes . ISBN 978-981-02-3025-8.

Enlaces externos

• La página de la Sociedad David Bohm sobre el efecto Aharonov-Bohm.