Fase geométrica

Fase de un ciclo

En mecánica clásica y cuántica , la fase geométrica es una diferencia de fase adquirida en el transcurso de un ciclo , cuando un sistema se somete a procesos adiabáticos cíclicos , que resulta de las propiedades geométricas del espacio de parámetros del hamiltoniano . ^[1] El fenómeno fue descubierto independientemente por S. Pancharatnam (1956), ^[2] en óptica clásica y por H. C. Longuet-Higgins (1958) ^[3] en física molecular; fue generalizado por Michael Berry en (1984). ^[4] También se conoce como fase de Pancharatnam-Berry , fase de Pancharatnam o fase de Berry . Se puede ver en la intersección cónica de superficies de energía potencial ^{[3] [5]} y en el efecto Aharonov-Bohm . La fase geométrica alrededor de la intersección cónica que involucra el estado electrónico fundamental del ion molecular C ₆ H ₃ F ₃ ⁺ se analiza en las páginas 385-386 del libro de texto de Bunker y Jensen. ^[6] En el caso del efecto Aharonov-Bohm, el parámetro adiabático es el campo magnético encerrado por dos caminos de interferencia, y es cíclico en el sentido de que estos dos caminos forman un bucle. En el caso de la intersección cónica, los parámetros adiabáticos son las coordenadas moleculares . Aparte de la mecánica cuántica, surge en una variedad de otros sistemas de ondas , como la óptica clásica . Como regla general, puede ocurrir siempre que haya al menos dos parámetros que caractericen una onda en la proximidad de algún tipo de singularidad o agujero en la topología; se requieren dos parámetros porque el conjunto de estados no singulares no estará simplemente conectado , o habrá una holonomía distinta de cero .

Las ondas se caracterizan por su amplitud y fase , y pueden variar en función de esos parámetros. La fase geométrica se produce cuando ambos parámetros se modifican simultáneamente pero muy lentamente (adiabáticamente), y finalmente vuelven a la configuración inicial. En mecánica cuántica, esto podría implicar rotaciones pero también traslaciones de partículas, que aparentemente se deshacen al final. Se podría esperar que las ondas en el sistema regresen al estado inicial, tal como se caracteriza por las amplitudes y fases (y que tiene en cuenta el paso del tiempo). Sin embargo, si las excursiones de los parámetros corresponden a un bucle en lugar de una variación de ida y vuelta que se retrotrae a sí misma, entonces es posible que los estados inicial y final difieran en sus fases. Esta diferencia de fase es la fase geométrica, y su aparición generalmente indica que la dependencia de los parámetros del sistema es singular (su estado no está definido) para alguna combinación de parámetros.

Para medir la fase geométrica de un sistema de ondas, se requiere un experimento de interferencia . El péndulo de Foucault es un ejemplo de la mecánica clásica que a veces se utiliza para ilustrar la fase geométrica. Este análogo mecánico de la fase geométrica se conoce como ángulo de Hannay .

Fase de la baya en la mecánica cuántica

En un sistema cuántico en el estado propio n - ésimo , una evolución adiabática del hamiltoniano hace que el sistema permanezca en el estado propio n -ésimo del hamiltoniano, obteniendo además un factor de fase. La fase obtenida tiene una contribución de la evolución temporal del estado y otra de la variación del estado propio con el cambio del hamiltoniano. El segundo término corresponde a la fase de Berry, y para variaciones no cíclicas del hamiltoniano se puede hacer que desaparezca mediante una elección diferente de la fase asociada a los estados propios del hamiltoniano en cada punto de la evolución.

Sin embargo, si la variación es cíclica, la fase de Berry no se puede cancelar; es invariante y se convierte en una propiedad observable del sistema. Al revisar la prueba del teorema adiabático dada por Max Born y Vladimir Fock , en Zeitschrift für Physik 51 , 165 (1928), podríamos caracterizar todo el cambio del proceso adiabático en un término de fase. Bajo la aproximación adiabática, el coeficiente del n -ésimo estado propio bajo el proceso adiabático está dado por donde es la fase de Berry con respecto al parámetro t . Cambiando la variable t en parámetros generalizados, podríamos reescribir la fase de Berry en donde parametriza el proceso adiabático cíclico. Nótese que la normalización de implica que el integrando es imaginario, por lo que es real. Sigue un camino cerrado en el espacio de parámetros apropiado. La fase geométrica a lo largo del camino cerrado también se puede calcular integrando la curvatura de Berry sobre la superficie encerrada por . $${\displaystyle C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},}$$ ${\displaystyle \gamma _{n}(t)}$ $${\displaystyle \gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\langle n,t|{\big (}\nabla _{R}|n,t\rangle {\big )}\,dR,}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle |n,t\rangle }$ ${\displaystyle \gamma _{n}[C]}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Ejemplos de fases geométricas

Péndulo de Foucault

Uno de los ejemplos más sencillos es el péndulo de Foucault . Wilczek y Shapere ofrecen una explicación sencilla en términos de fases geométricas: ^[7]

¿Cómo precesa el péndulo cuando se lo lleva alrededor de una trayectoria general C ? Para el transporte a lo largo del ecuador , el péndulo no precesará. [...] Ahora bien, si C está formado por segmentos geodésicos , la precesión provendrá toda de los ángulos donde se encuentran los segmentos de las geodésicas; la precesión total es igual al ángulo de déficit neto que a su vez es igual al ángulo sólido encerrado por C módulo 2 π . Finalmente, podemos aproximar cualquier bucle mediante una secuencia de segmentos geodésicos, por lo que el resultado más general (en la superficie de la esfera o fuera de ella) es que la precesión neta es igual al ángulo sólido encerrado.

En otras palabras, no hay fuerzas inerciales que puedan hacer que el péndulo precese, por lo que la precesión (en relación con la dirección de movimiento de la trayectoria a lo largo de la cual se desplaza el péndulo) se debe enteramente al giro de esta trayectoria. Por lo tanto, la orientación del péndulo sufre un transporte paralelo . Para el péndulo de Foucault original, la trayectoria es un círculo de latitud y, por el teorema de Gauss-Bonnet , el cambio de fase está dado por el ángulo sólido encerrado. ^[8]

Derivación

Transporte paralelo de un vector alrededor de un bucle cerrado en la esfera: el ángulo en el que gira, α , es proporcional al área dentro del bucle.

En un marco casi inercial que se mueve en tándem con la Tierra, pero sin compartir la rotación de la Tierra sobre su propio eje, el punto de suspensión del péndulo traza una trayectoria circular durante un día sideral .

En la latitud de París, 48 ​​grados 51 minutos norte, un ciclo completo de precesión dura poco menos de 32 horas, por lo que después de un día sideral, cuando la Tierra vuelve a estar en la misma orientación que el día sideral anterior, el plano de oscilación ha girado poco más de 270 grados. Si el plano de oscilación era norte-sur al principio, es este-oeste un día sideral después.

Esto también implica que ha habido un intercambio de momento ; la Tierra y el péndulo han intercambiado momento. La Tierra es mucho más masiva que el péndulo, por lo que el cambio de momento de la Tierra es imperceptible. No obstante, como el plano de oscilación del péndulo se ha desplazado, las leyes de conservación implican que debe haberse producido un intercambio.

En lugar de seguir el cambio de momento, la precesión del plano de oscilación puede describirse eficientemente como un caso de transporte paralelo . Para ello, se puede demostrar, componiendo las rotaciones infinitesimales, que la tasa de precesión es proporcional a la proyección de la velocidad angular de la Tierra sobre la dirección normal a la Tierra, lo que implica que la traza del plano de oscilación sufrirá transporte paralelo. Después de 24 horas, la diferencia entre las orientaciones inicial y final de la traza en el marco de referencia de la Tierra es α = −2 π sen φ , que corresponde al valor dado por el teorema de Gauss-Bonnet . α también se denomina holonomía o fase geométrica del péndulo. Al analizar los movimientos terrestres, el marco de referencia de la Tierra no es un marco inercial , sino que gira alrededor de la vertical local a una tasa efectiva de 2π sen φ radianes por día. Se puede utilizar un método simple que emplea transporte paralelo dentro de conos tangentes a la superficie de la Tierra para describir el ángulo de rotación del plano de oscilación del péndulo de Foucault. ^{[9] [10]}

Desde la perspectiva de un sistema de coordenadas terrestre (el círculo de medición y el espectador están limitados por la Tierra, incluso si el espectador no percibe la reacción del terreno a la fuerza de Coriolis cuando se mueve), utilizando un sistema de coordenadas rectangular con su eje x apuntando al este y su eje y apuntando al norte, la precesión del péndulo se debe a la fuerza de Coriolis (otras fuerzas ficticias como la gravedad y la fuerza centrífuga no tienen un componente de precesión directo, la fuerza de Euler es baja porque la velocidad de rotación de la Tierra es casi constante). Considere un péndulo plano con frecuencia natural constante ω en la aproximación de ángulo pequeño . Hay dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo del péndulo: la fuerza restauradora proporcionada por la gravedad y el cable, y la fuerza de Coriolis (la fuerza centrífuga, opuesta a la fuerza restauradora gravitatoria, puede ignorarse). La fuerza de Coriolis en la latitud φ es horizontal en la aproximación de ángulo pequeño y está dada por donde Ω es la frecuencia de rotación de la Tierra, F _{c , x} es el componente de la fuerza de Coriolis en la dirección x y F _{c , y} es el componente de la fuerza de Coriolis en la dirección y . $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{c,x}&=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\F_{c,y}&=-2m\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi \end{aligned}}}$$

La fuerza restauradora, en la aproximación de ángulo pequeño y despreciando la fuerza centrífuga, está dada por $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned}}}$$

Gráficos del período de precesión y de la precesión por día sideral en función de la latitud. El signo cambia cuando un péndulo de Foucault gira en sentido contrario a las agujas del reloj en el hemisferio sur y en el sentido de las agujas del reloj en el hemisferio norte. El ejemplo muestra que uno en París precesa 271° cada día sideral, tardando 31,8 horas en cada rotación.

Usando las leyes de movimiento de Newton esto nos lleva al sistema de ecuaciones $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

Pasando a coordenadas complejas z = x + iy , las ecuaciones se leen $${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin \varphi +\omega ^{2}z=0\,.}$$

Para realizar el primer pedido en ⁠Ohmio/ωEsta ecuación tiene la solución $${\displaystyle z=e^{-i\Omega \sin \varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right)\,.}$$

Si el tiempo se mide en días, entonces Ω = 2 π y el péndulo gira un ángulo de −2 π  sen φ durante un día.

Luz polarizada en una fibra óptica

Un segundo ejemplo es la luz polarizada linealmente que entra en una fibra óptica monomodo . Supongamos que la fibra traza un camino en el espacio y que la luz sale de la fibra en la misma dirección en la que entró. A continuación, compare las polarizaciones inicial y final. En la aproximación semiclásica, la fibra funciona como una guía de ondas y el momento de la luz es en todo momento tangente a la fibra. La polarización puede considerarse como una orientación perpendicular al momento. A medida que la fibra traza su camino, el vector de momento de la luz traza un camino en la esfera en el espacio de momento . El camino es cerrado, ya que las direcciones inicial y final de la luz coinciden, y la polarización es un vector tangente a la esfera. Ir al espacio de momento es equivalente a tomar el mapa de Gauss . No hay fuerzas que puedan hacer que la polarización gire, solo la restricción de permanecer tangente a la esfera. Por lo tanto, la polarización sufre transporte paralelo y el cambio de fase está dado por el ángulo sólido encerrado (por el espín, que en el caso de la luz es 1).

Efecto de bomba estocástica

Una bomba estocástica es un sistema estocástico clásico que responde con corrientes no nulas, en promedio, a cambios periódicos de parámetros. El efecto de la bomba estocástica se puede interpretar en términos de una fase geométrica en la evolución de la función generadora de momentos de las corrientes estocásticas. ^[11]

Girar.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ 2

La fase geométrica se puede evaluar con exactitud para una partícula de espín 1 ⁄ 2 en un campo magnético. ^[1]

Fase geométrica definida en atractores

^{Aunque la formulación de Berry se definió originalmente para sistemas hamiltonianos lineales, Ning y Haken [12]} pronto se dieron cuenta de que se puede definir una fase geométrica similar para sistemas completamente diferentes, como los sistemas disipativos no lineales que poseen ciertos atractores cíclicos. Demostraron que dichos atractores cíclicos existen en una clase de sistemas disipativos no lineales con ciertas simetrías. ^[13] Hay varios aspectos importantes de esta generalización de la fase de Berry: 1) En lugar del espacio de parámetros para la fase original de Berry, esta generalización de Ning-Haken se define en el espacio de fases; 2) En lugar de la evolución adiabática en el sistema mecánico cuántico, la evolución del sistema en el espacio de fases no necesita ser adiabática. No hay ninguna restricción en la escala de tiempo de la evolución temporal; 3) En lugar de un sistema hermítico o un sistema no hermítico con amortiguamiento lineal, los sistemas pueden ser generalmente no lineales y no hermíticos.

Exposición en intersecciones de superficies de potencial adiabático molecular

Hay varias formas de calcular la fase geométrica en moléculas dentro del marco de Born-Oppenheimer . Una forma es a través de la " matriz de acoplamiento no adiabático" definida por donde es la función de onda electrónica adiabática, dependiendo de los parámetros nucleares . El acoplamiento no adiabático se puede utilizar para definir una integral de bucle, análoga a un bucle de Wilson (1974) en la teoría de campos, desarrollado independientemente para el marco molecular por M. Baer (1975, 1980, 2000). Dado un bucle cerrado , parametrizado por donde es un parámetro, y . La matriz D está dada por (aquí hay un símbolo de ordenamiento de trayectorias). Se puede demostrar que una vez que es lo suficientemente grande (es decir, se considera un número suficiente de estados electrónicos), esta matriz es diagonal, con los elementos diagonales iguales a donde son las fases geométricas asociadas con el bucle para el -ésimo estado electrónico adiabático. ${\displaystyle M\times M}$ $${\displaystyle \tau _{ij}^{\mu }=\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\rangle ,}$$ ${\displaystyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle R_{\mu }}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle R_{\mu }(t),}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)}$ $${\displaystyle D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}}$$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle e^{i\beta _{j}},}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle j}$

Para los hamiltonianos electrónicos simétricos de inversión temporal, la fase geométrica refleja el número de intersecciones cónicas rodeadas por el bucle. Más exactamente, donde es el número de intersecciones cónicas que involucran el estado adiabático rodeado por el bucle . $${\displaystyle e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},}$$ ${\displaystyle N_{j}}$ ${\displaystyle \psi _{j}}$ ${\displaystyle \Gamma .}$

Una alternativa al método de la matriz D sería un cálculo directo de la fase de Pancharatnam. Esto es especialmente útil si uno está interesado solo en las fases geométricas de un solo estado adiabático. En este método, se toman varios puntos a lo largo del bucle y luego , utilizando solo los estados adiabáticos j , se calcula el producto de Pancharatnam de las superposiciones: ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle (n=0,\dots ,N)}$ ${\displaystyle R(t_{n})}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle t_{N}=1,}$ ${\displaystyle \psi _{j}[R(t_{n})]}$ $${\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .}$$

En el límite se tiene (ver Ryb & Baer 2004 para explicación y algunas aplicaciones) ${\displaystyle N\to \infty }$ $${\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.}$$

Fase geométrica y cuantificación del movimiento del ciclotrón

Un electrón sometido a un campo magnético se mueve en una órbita circular (ciclotrón). ^[2] Clásicamente, cualquier radio de ciclotrón es aceptable. Mecánicamente cuántico, solo se permiten niveles de energía discretos ( niveles de Landau ), y dado que está relacionado con la energía del electrón, esto corresponde a valores cuantizados de . La condición de cuantización de energía obtenida al resolver la ecuación de Schrödinger se lee, por ejemplo, para electrones libres (en el vacío) o para electrones en grafeno , donde . ^[3] Aunque la derivación de estos resultados no es difícil, existe una forma alternativa de derivarlos, que ofrece en cierto sentido una mejor visión física de la cuantización del nivel de Landau. Esta forma alternativa se basa en la condición de cuantización semiclásica de Bohr-Sommerfeld que incluye la fase geométrica recogida por el electrón mientras ejecuta su movimiento (en el espacio real) a lo largo del bucle cerrado de la órbita del ciclotrón. ^[14] Para electrones libres, mientras que para electrones en grafeno. Resulta que la fase geométrica está directamente relacionada con los electrones libres y los electrones en el grafeno. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\quad \alpha =0}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ $${\displaystyle \hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =0,}$ ${\displaystyle \gamma =\pi }$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

Véase también

• Tensor de curvatura de Riemann : para la conexión con las matemáticas
• Conexión y curvatura de la baya
• Clase Chern
• Rotación óptica
• Número de bobinado

Notas

^ Para simplificar, consideramos los electrones confinados en un plano, como 2DEG , y el campo magnético perpendicular al plano.

^ es la frecuencia del ciclotrón (para electrones libres) yes la velocidad de Fermi (de electrones en grafeno). ${\displaystyle \omega _{c}=eB/m}$ ${\displaystyle v}$

Notas al pie

1. Solem, JC; Biedenharn, LC (1993). "Comprensión de las fases geométricas en mecánica cuántica: un ejemplo elemental". Fundamentos de la física . 23 (2): 185–195. Bibcode :1993FoPh...23..185S. ​​doi :10.1007/BF01883623. S2CID  121930907.
2. S. Pancharatnam (1956). "Teoría generalizada de la interferencia y sus aplicaciones. Parte I. Lápices coherentes". Proc. Indian Acad. Sci. A. 44 ( 5): 247–262. doi :10.1007/BF03046050. S2CID  118184376.
3. HC Longuet Higgins; U. Öpik; MHL Pryce; RA Sack (1958). "Estudios del efecto Jahn-Teller .II. El problema dinámico". Proc. R. Soc. A . 244 (1236): 1–16. Código Bibliográfico :1958RSPSA.244....1L. doi :10.1098/rspa.1958.0022. S2CID  97141844.Ver página 12
4. MV Berry (1984). "Factores de fase cuántica que acompañan a los cambios adiabáticos". Actas de la Royal Society A . 392 (1802): 45–57. Bibcode :1984RSPSA.392...45B. doi :10.1098/rspa.1984.0023. S2CID  46623507.
5. G. Herzberg; HC Longuet-Higgins (1963). "Intersección de superficies de energía potencial en moléculas poliatómicas". Discusión. Faraday Soc . 35 : 77–82. doi :10.1039/DF9633500077.
6. Simetría molecular y espectroscopia , 2.ª ed. Philip R. Bunker y Per Jensen, NRC Research Press, Ottawa (1998) [1] ISBN 9780660196282 
7. Wilczek, F.; Shapere, A., eds. (1989). Fases geométricas en física . Singapur: World Scientific. pág. 4.
8. Jens von Bergmann; HsingChi von Bergmann (2007). "El péndulo de Foucault a través de la geometría básica". Am. J. Phys . 75 (10): 888–892. Código Bibliográfico :2007AmJPh..75..888V. doi :10.1119/1.2757623.
9. Somerville, WB (1972). "La descripción del péndulo de Foucault". Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society . 13 : 40. Bibcode :1972QJRAS..13...40S.
10. Hart, John B.; Miller, Raymond E.; Mills, Robert L. (1987). "Un modelo geométrico simple para visualizar el movimiento de un péndulo de Foucault". American Journal of Physics . 55 (1): 67–70. Bibcode :1987AmJPh..55...67H. doi :10.1119/1.14972.
11. NA Sinitsyn; I. Nemenman (2007). "La fase Berry y el flujo de bombeo en la cinética química estocástica". Europhysics Letters . 77 (5): 58001. arXiv : q-bio/0612018 . Bibcode :2007EL.....7758001S. doi :10.1209/0295-5075/77/58001. S2CID  11520748.
12. C. Z. Ning, H. Haken (1992). "Acumulaciones geométricas de amplitud y fase en sistemas disipativos con atractores cíclicos". Phys. Rev. Lett . 68 (14): 2109–2122. Bibcode :1992PhRvL..68.2109N. doi :10.1103/PhysRevLett.68.2109. PMID  10045311.
13. C. Z. Ning, H. Haken (1992). "La fase geométrica en sistemas disipativos no lineales". Mod. Phys. Lett. B . 6 (25): 1541–1568. Código Bibliográfico :1992MPLB....6.1541N. doi :10.1142/S0217984992001265.
14. Para un tutorial, consulte Jiamin Xue: "Fase de baya y el efecto Hall cuántico no convencional en el grafeno" (2013).

Fuentes

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• Richard Montgomery (8 de agosto de 2006). Un recorrido por las geometrías subriemannianas, sus geodésicas y aplicaciones. American Mathematical Soc. pp. 11–. ISBN 978-0-8218-4165-5. (Véase el capítulo 13 para un tratamiento matemático)
• Aquí se analizan las conexiones con otros fenómenos físicos (como el efecto Jahn-Teller ): La fase geométrica de Berry: una revisión
• Artículo del profesor Galvez en la Universidad Colgate, que describe la fase geométrica en óptica: Aplicaciones de la fase geométrica en óptica Archivado el 24 de agosto de 2007 en Wayback Machine
• Surya Ganguli, Haces de fibras y teorías de calibración en la física clásica: una descripción unificada de los gatos que caen, los monopolos magnéticos y la fase de Berry
• Robert Batterman, gatos que caen, estacionamiento en paralelo y luz polarizada
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• M. Baer, ​​Transiciones electrónicas no adiabáticas: Derivación de la matriz general de transformación adiabática-diabática, Mol. Phys. 40, 1011 (1980);
• M. Baer, ​​Existencia de potenciales diabéticos y cuantificación de la matriz no adiabática, J. Phys. Chem. A 104, 3181–3184 (2000).
• Ryb, I; Baer, ​​R (2004). "Invariantes y covariantes combinatorios como herramientas para intersecciones cónicas". The Journal of Chemical Physics . 121 (21): 10370–5. Bibcode :2004JChPh.12110370R. doi :10.1063/1.1808695. PMID  15549915.
• Wilczek, Frank ; Shapere, A. (1989). Fases geométricas en física. World Scientific. ISBN 978-9971-5-0621-6.
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Lectura adicional

• Michael V. Berry, La fase geométrica, Scientific American 259 (6) (1988), 26–34.

Enlaces externos

• Citas relacionadas con Fase geométrica en Wikiquote
• "Fases geométricas y la separación del mundo por Michael Berry". YouTube . Centro Internacional de Ciencias Teóricas. 10 de febrero de 2020.