Niveles de Landau

Cuantización de órbitas de ciclotrón.

En mecánica cuántica , las energías de las órbitas ciclotrónicas de partículas cargadas en un campo magnético uniforme se cuantifican en valores discretos, llamados niveles de Landau . Estos niveles son degenerados , siendo el número de electrones por nivel directamente proporcional a la fuerza del campo magnético aplicado. Lleva el nombre del físico soviético Lev Landau . ^[1]

La cuantificación de Landau contribuye a la susceptibilidad magnética de los metales, conocida como diamagnetismo de Landau . Bajo campos magnéticos fuertes, la cuantificación de Landau provoca oscilaciones en las propiedades electrónicas de los materiales en función del campo magnético aplicado, conocidos como efectos De Haas-Van Alphen y Shubnikov-de Haas .

La cuantificación de Landau es un ingrediente clave para explicar el efecto Hall cuántico entero .

Derivación

Diagrama de la órbita de un ciclotrón de una partícula con velocidad v , que es la trayectoria clásica de una partícula cargada (aquí carga positiva) bajo un campo magnético uniforme B. La cuantificación de Landau se refiere a una partícula cuántica cargada bajo un campo magnético uniforme.

Considere un sistema de partículas que no interactúan con carga q y espín S confinados a un área A = L _x L _y en el plano xy . Aplique un campo magnético uniforme a lo largo del eje z . En unidades SI , el hamiltoniano de este sistema (aquí, se desprecian los efectos del espín) es ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}\right)^{2}.}$$

operador de momento canónicooperadorpotencial vectorial electromagnéticoespacio de posiciones ${\textstyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}}$ ${\textstyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}=\mathbf {A} }$

El potencial vectorial está relacionado con el campo magnético por ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} .}$

Existe cierta libertad de calibre en la elección del potencial vectorial para un campo magnético determinado. El hamiltoniano es invariante de calibre , lo que significa que agregar el gradiente de un campo escalar a A cambia la fase general de la función de onda en una cantidad correspondiente al campo escalar. Pero las propiedades físicas no se ven influenciadas por la elección específica del calibre.

En el ancho de Landau

De las posibles soluciones para A , a menudo se utiliza una fijación de calibre introducida por Lev Landau para partículas cargadas en un campo magnético constante. ^[2]

¿ Cuándo entonces hay una posible solución ^[3] en el ancho de Landau? ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0\\B\cdot x\\0\end{pmatrix}}}$

En este calibre, el hamiltoniano es

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-qB{\hat {x}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$$

ŷħk _y ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

_{El hamiltoniano también se puede escribir de forma} más sencilla observando que la frecuencia del ciclotrón es ωc = qB / m , dando

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{\rm {c}}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{\rm {c}}}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$$

oscilador armónico cuánticox ₀ = ħk _y / mω _c

Para encontrar las energías, tenga en cuenta que la traducción del potencial del oscilador armónico no afecta las energías. Las energías de este sistema son, por tanto, idénticas a las del oscilador armónico cuántico estándar , ^[4]

$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}},\quad n\geq 0~.}$$

k _ynnivel de Landau ${\displaystyle p_{y}}$ ${\displaystyle p_{z}}$

Para las funciones de onda, recordemos que conmuta con el hamiltoniano. Luego, la función de onda se factoriza en un producto de los estados propios del momento en la dirección y y los estados propios del oscilador armónico desplazados en una cantidad x ₀ en la dirección x : ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ ${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$

$${\displaystyle \Psi (x,y,z)=e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\phi _{n}(x-x_{0})}$$

nk _yk _z ${\displaystyle k_{z}=p_{z}/\hbar }$

En el calibre simétrico

La derivación trató a xey como asimétricas. Sin embargo, por la simetría del sistema, no existe ninguna cantidad física que distinga estas coordenadas. Se podría haber obtenido el mismo resultado con un intercambio apropiado de x e y .

Una elección de calibre más adecuada es el calibre simétrico, que se refiere a la elección

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$$

En términos de longitudes y energías adimensionales, el hamiltoniano se puede expresar como

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}$$

Las unidades correctas se pueden restaurar introduciendo factores de y . ${\displaystyle q,\hbar ,\mathbf {B} }$ ${\displaystyle m}$

Considere los operadores

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\end{aligned}}}$$

Estos operadores siguen ciertas relaciones de conmutación.

$${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1.}$$

En términos de los operadores anteriores, el hamiltoniano se puede escribir como

$${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right),}$$

El índice de nivel de Landau es el valor propio del operador . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$

La aplicación de aumenta en una unidad manteniendo , mientras que la aplicación simultáneamente aumenta y disminuye en una unidad. La analogía con el oscilador armónico cuántico proporciona soluciones ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle m_{z}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{z}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}|n,m_{z}\rangle =E_{n}|n,m_{z}\rangle ,}$$

$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$

$${\displaystyle |n,m_{z}\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m_{z}+n}}{\sqrt {(m_{z}+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle .}$$

Se puede verificar que los estados anteriores corresponden a la elección de funciones de onda proporcionales a

$${\displaystyle \psi _{n,m_{z}}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m_{z}}e^{-|w|^{2}/4}}$$

${\displaystyle w=x-iy}$

En particular, el nivel más bajo de Landau consiste en funciones analíticas arbitrarias que multiplican un gaussiano . ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle \psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}}$

Degeneración de los niveles de Landau

En el ancho de Landau

Los efectos de los niveles de Landau sólo pueden observarse cuando la energía térmica media kT es menor que la separación del nivel de energía, kT ≪ ħω _c , es decir, bajas temperaturas y fuertes campos magnéticos.

Cada nivel de Landau es degenerado debido al segundo número cuántico k _y , que puede tomar los valores

$${\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}},}$$

NNx ₀0 ≤ x ₀ < L _xN

$${\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{\rm {c}}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}$$

Para partículas con carga q = Ze , el límite superior de N puede escribirse simplemente como una relación de flujos ,

$${\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(h/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$$

Φ ₀ = h / e es el cuanto de flujo magnéticoΦ = BAA = L _x L _y

Por tanto, para partículas con espín S , el número máximo D de partículas por nivel de Landau es

$${\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~,}$$

Z = 1S = 1/2D = 2Φ/Φ ₀

Lo anterior da sólo una idea aproximada de los efectos de la geometría de tamaño finito. Estrictamente hablando, utilizar la solución estándar del oscilador armónico sólo es válido para sistemas ilimitados en la dirección x (franjas infinitas). Si el tamaño L _x es finito, las condiciones de frontera en esa dirección dan lugar a condiciones de cuantificación no estándar en el campo magnético, que involucran (en principio) ambas soluciones de la ecuación de Hermite. El llenado de estos niveles con muchos electrones sigue siendo ^[5] un área activa de investigación.

En general, los niveles de Landau se observan en sistemas electrónicos. A medida que aumenta el campo magnético, cada vez pueden caber más electrones en un nivel de Landau determinado. La ocupación del nivel más alto de Landau varía desde completamente lleno hasta completamente vacío, lo que provoca oscilaciones en diversas propiedades electrónicas (ver Efecto De Haas-Van Alphen y Efecto Shubnikov-de Haas ).

Si se incluye la división de Zeeman , cada nivel de Landau se divide en un par, uno para los electrones de giro ascendente y el otro para los electrones de giro descendente. Entonces la ocupación de cada nivel de Landau de espín es simplemente la relación de flujos D = Φ/Φ ₀ . La división de Zeeman tiene un efecto significativo en los niveles de Landau porque sus escalas de energía son las mismas, 2 μ _B B = ħω _c . Sin embargo, la energía de Fermi y la energía del estado fundamental permanecen aproximadamente iguales en un sistema con muchos niveles llenos, ya que los pares de niveles de energía divididos se cancelan entre sí cuando se suman.

Además, la derivación anterior en el calibre de Landau asumió un electrón confinado en la dirección z , lo cual es una situación experimental relevante, que se encuentra en gases de electrones bidimensionales, por ejemplo. Aún así, esta suposición no es esencial para los resultados. Si los electrones pueden moverse libremente en la dirección z , la función de onda adquiere un término multiplicativo adicional exp( ik _z z ) ; la energía correspondiente a este movimiento libre, ( ħ k _z ) ² /(2 m ) , se suma a la E discutida. Este término luego completa la separación de energía de los diferentes niveles de Landau, desdibujando el efecto de la cuantificación. Sin embargo, el movimiento en el plano x - y , perpendicular al campo magnético, todavía está cuantificado.

En el calibre simétrico

Cada nivel de Landau tiene orbitales degenerados etiquetados por números cuánticos en calibre simétrico. La degeneración por unidad de superficie es la misma en cada nivel de Landau. ${\displaystyle m_{z}}$

La componente z del momento angular es

$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})}$$

Explotando la propiedad elegimos funciones propias que diagonalizan y , el valor propio de se denota por , donde está claro que en el nivel de Landau. Sin embargo, puede ser arbitrariamente grande, lo cual es necesario para obtener la degeneración infinita (o degeneración finita por unidad de área) que exhibe el sistema. ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ ${\displaystyle -m_{z}\hbar }$ ${\displaystyle m_{z}\geq -n}$ ${\displaystyle n}$

Caso relativista

Niveles de Landau en grafeno . Los portadores de carga en el grafeno se comportan como partículas relativistas de Dirac sin masa .

Un electrón que sigue la ecuación de Dirac bajo un campo magnético constante se puede resolver analíticamente. ^{[6] [7]} Las energías están dadas por

$${\displaystyle E_{\rm {rel}}=\pm {\sqrt {(mc^{2})^{2}+(c\hbar k_{z})^{2}+2\nu \hbar \omega _{\rm {c}}mc^{2}}}}$$

donde c es la velocidad de la luz, el signo depende del componente partícula-antipartícula y ν es un número entero no negativo. Debido al giro, todos los niveles están degenerados excepto el estado fundamental en ν = 0 .

El caso 2D sin masa se puede simular en materiales de una sola capa como el grafeno cerca de los conos de Dirac , donde las eigenergías vienen dadas por ^[8]

$${\displaystyle E_{\rm {graphene}}=\pm {\sqrt {2\nu \hbar eBv_{\rm {F}}^{2}}}}$$

velocidad de Fermi v _Flos huecos de los electrones

Susceptibilidad magnética de un gas Fermi

El gas Fermi (un conjunto de fermiones que no interactúan ) es parte de la base para la comprensión de las propiedades termodinámicas de los metales. En 1930, Landau obtuvo una estimación de la susceptibilidad magnética de un gas de Fermi, conocida como susceptibilidad de Landau , que es constante para campos magnéticos pequeños. Landau también notó que la susceptibilidad oscila con alta frecuencia para grandes campos magnéticos, ^[9] este fenómeno físico se conoce como efecto De Haas-Van Alphen .

Red bidimensional

Se sabe que el espectro de energía de enlace estrecho de las partículas cargadas en una red infinita bidimensional es autosimilar y fractal , como se demuestra en la mariposa de Hofstadter . Para una relación entera del cuanto de flujo magnético y el flujo magnético a través de una celda de red, se recuperan los niveles de Landau para números enteros grandes. ^[10]

Efecto Hall cuántico entero

El espectro de energía del semiconductor en un campo magnético intenso forma niveles de Landau, que pueden denominarse mediante índices enteros. Además, la resistividad Hall también exhibe niveles discretos etiquetados por un número entero ν . El hecho de que estas dos cantidades estén relacionadas se puede demostrar de diferentes maneras, pero se puede ver más fácilmente en el modelo de Drude : la conductividad de Hall depende de la densidad de electrones n como

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {B}{ne}}.}$

Dado que la meseta de resistividad está dada por

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {2\pi \hbar }{e^{2}}}{\frac {1}{\nu }},}$

la densidad requerida es

${\displaystyle n={\frac {B}{\Phi _{0}}}\nu ,}$

que es exactamente la densidad necesaria para llenar el nivel Landau. La brecha entre los diferentes niveles de Landau junto con la gran degeneración de cada nivel hace que la resistividad esté cuantificada.

Ver también

• Función de onda de Laughlin

Referencias

1. Landau, L. (1930). "Dimagnetismus der Metalle" [Diamagnetismo de los metales]. Zeitschrift für Physik (en alemán). Springer Science y Business Media LLC. 64 (9–10): 629–637. Código Bib : 1930ZPhy...64..629L. doi :10.1007/bf01397213. ISSN  1434-6001. S2CID  123206025.
2. "Carga en campo magnético" (PDF) . cursos.física.illinois.edu . Consultado el 11 de marzo de 2023 .
3. Una solución igualmente correcta en el ancho de Landau sería: . ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-By&0&0\end{pmatrix}}^{T}}$
4. Landau, LD ; Lifshitz, EM (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista (3ª ed.). Ámsterdam: Butterworth Heinemann. págs. 424–426. ISBN 978-0-7506-3539-4. OCLC  846962062.
5. Mijailov, SA (2001). "Un nuevo enfoque del estado fundamental de los sistemas Hall cuánticos. Principios básicos". Física B: Materia Condensada . 299 (1–2): 6–31. arXiv : cond-mat/0008227 . Código Bib : 2001PhyB..299....6M. doi :10.1016/S0921-4526(00)00769-9. S2CID  118500817.
6. Rabí, II (1928). "Das freie Elektron im homogenen Magnetfeld nach der Diracschen Theorie". Zeitschrift für Physik (en alemán). 49 (7–8): 507–511. Código Bib : 1928ZPhy...49..507R. doi :10.1007/BF01333634. ISSN  1434-6001. S2CID  121121095.
7. Berestetskii, VB; Pitaevskii, LP; Lifshitz, EM (2 de diciembre de 2012). Electrodinámica cuántica: volumen 4. Elsevier. ISBN 978-0-08-050346-2.
8. Yin, Long-Jing; Bai, Ke-Ke; Wang, Wen-Xiao; Li, Si-Yu; Zhang, Yu; Él, Lin (2017). "Cuantización Landau de fermiones de Dirac en grafeno y sus multicapas". Fronteras de la Física . 12 (4): 127208. arXiv : 1703.04241 . Código Bib : 2017FrPhy..12l7208Y. doi : 10.1007/s11467-017-0655-0 . ISSN  2095-0462.
9. Landau, LD; Lifshitz, EM (22 de octubre de 2013). Física estadística: volumen 5. Elsevier. pag. 177.ISBN _ 978-0-08-057046-4.
10. Análisis, James G.; Blundell, Stephen J.; Ardavan, Arzhang (mayo de 2004). "Niveles de Landau, orbitales moleculares y la mariposa de Hofstadter en sistemas finitos". Revista Estadounidense de Física . 72 (5): 613–618. Código Bib : 2004AmJPh..72..613A. doi :10.1119/1.1615568. ISSN  0002-9505.

enlaces externos

• Lev Landau (1930). "Diamagnetismus der Metalle" (PDF) (en alemán).{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)

Otras lecturas

• Landau, LD; y Lifschitz, EM; (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista. Curso de Física Teórica . vol. 3 (3ª ed. Londres: Pergamon Press). ISBN 0750635398 .