Conexión y curvatura de la baya

Concepto en física

En física, la conexión de Berry y la curvatura de Berry son conceptos relacionados que pueden verse, respectivamente, como un potencial de calibración local y un campo de calibración asociado con la fase de Berry o fase geométrica. El concepto fue introducido por primera vez por S. Pancharatnam ^[1] como fase geométrica y luego explicado y popularizado en detalle por Michael Berry en un artículo publicado en 1984 ^[2] que enfatiza cómo las fases geométricas proporcionan un poderoso concepto unificador en varias ramas de la física clásica y cuántica .

Fase de baya y evolución adiabática cíclica

En mecánica cuántica, la fase de Berry surge en una evolución adiabática cíclica. El teorema adiabático cuántico se aplica a un sistema cuyo hamiltoniano depende de un parámetro (vectorial) que varía con el tiempo . Si el 'ésimo valor propio permanece no degenerado en todas partes a lo largo del camino y la variación con el tiempo t es suficientemente lenta, entonces un sistema inicialmente en el estado propio normalizado permanecerá en un estado propio instantáneo del hamiltoniano , hasta una fase, durante todo el proceso. Con respecto a la fase, el estado en el tiempo t se puede escribir como ^[3] donde el segundo término exponencial es el "factor de fase dinámica". El primer término exponencial es el término geométrico, siendo la fase de Berry. A partir del requisito de que el estado satisfaga la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo , se puede demostrar que indicando que la fase de Berry solo depende del camino en el espacio de parámetros, no de la velocidad a la que se recorre el camino. ${\displaystyle H(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle |n(\mathbf {R} (0))\rangle }$ ${\displaystyle |n(\mathbf {R} (t))\rangle }$ ${\displaystyle H(\mathbf {R} (t))}$ $${\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle =e^{i\gamma _{n}(t)}\,e^{-{i \over \hbar }\int _{0}^{t}dt'\varepsilon _{n}(\mathbf {R} (t'))}\,|n(\mathbf {R} (t))\rangle ,}$$ ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle }$ $${\displaystyle \gamma _{n}(t)=i\int _{0}^{t}dt'\,\langle n(\mathbf {R} (t'))|{d \over dt'}|n(\mathbf {R} (t'))\rangle =i\int _{\mathbf {R} (0)}^{\mathbf {R} (t)}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle ,}$$

En el caso de una evolución cíclica alrededor de una trayectoria cerrada tal que , la fase de Berry de trayectoria cerrada es Un ejemplo de sistemas físicos donde un electrón se mueve a lo largo de una trayectoria cerrada es el movimiento ciclotrón (los detalles se dan en la página de Fase de Berry ). La fase de Berry debe considerarse para obtener la condición de cuantificación correcta. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} (T)=\mathbf {R} (0)}$ $${\displaystyle \gamma _{n}=i\oint _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle .}$$

Transformación de calibre

Se puede realizar una transformación de calibre a un nuevo conjunto de estados que difieren de los originales solo por un factor de fase dependiente de . Esto modifica la fase de Berry de camino abierto para que sea . Para un camino cerrado, la continuidad requiere que ( un entero), y se deduce que es invariante, módulo , bajo una transformación de calibre arbitraria. $${\displaystyle |{\tilde {n}}(\mathbf {R} )\rangle =e^{-i\beta (\mathbf {R} )}|n(\mathbf {R} )\rangle }$$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{n}(t)=\gamma _{n}(t)+\beta (t)-\beta (0)}$ ${\displaystyle \beta (T)-\beta (0)=2\pi m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Conexión de bayas

La fase de Berry de trayectoria cerrada definida anteriormente se puede expresar como donde es una función de valor vectorial conocida como conexión de Berry (o potencial de Berry). La conexión de Berry depende del calibre y se transforma como . Por lo tanto, la conexión de Berry local nunca puede ser observable físicamente. Sin embargo, su integral a lo largo de una trayectoria cerrada, la fase de Berry , es invariante respecto del calibre hasta un múltiplo entero de . Por lo tanto, es absolutamente invariante respecto del calibre y puede estar relacionada con observables físicos. $${\displaystyle \gamma _{n}=\int _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \cdot {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )}$$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )=i\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle }$$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}_{n}(\mathbf {R} )={\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )+\nabla _{\mathbf {R} \,}\beta (\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle e^{i\gamma _{n}}}$

Curvatura de la baya

La curvatura de Berry es un tensor de segundo rango antisimétrico derivado de la conexión de Berry a través de En un espacio de parámetros tridimensional, la curvatura de Berry se puede escribir en forma pseudovectorial Las formas tensor y pseudovectorial de la curvatura de Berry están relacionadas entre sí a través del tensor antisimétrico de Levi-Civita como . A diferencia de la conexión de Berry, que es física solo después de integrarse alrededor de una trayectoria cerrada, la curvatura de Berry es una manifestación local invariante de calibre de las propiedades geométricas de las funciones de onda en el espacio de parámetros, y ha demostrado ser un ingrediente físico esencial para comprender una variedad de propiedades electrónicas. ^{[4] [5]} $${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )={\partial \over \partial R^{\mu }}{\mathcal {A}}_{n,\nu }(\mathbf {R} )-{\partial \over \partial R^{\nu }}{\mathcal {A}}_{n,\mu }(\mathbf {R} ).}$$ $${\displaystyle \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} )=\nabla _{\mathbf {R} }\times {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} ).}$$ ${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }=\epsilon _{\mu \nu \xi }\,\mathbf {\Omega } _{n,\xi }}$

Para un camino cerrado que forma el límite de una superficie , la fase de Berry del camino cerrado se puede reescribir utilizando el teorema de Stokes como Si la superficie es una variedad cerrada, el término límite se desvanece, pero la indeterminación del módulo del término límite se manifiesta en el teorema de Chern , que establece que la integral de la curvatura de Berry sobre una variedad cerrada se cuantifica en unidades de . Este número es el llamado número de Chern y es esencial para comprender varios efectos de cuantificación. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ $${\displaystyle \gamma _{n}=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {S} \cdot \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} ).}$$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Finalmente, al usar para , la curvatura de Berry también se puede escribir como una suma sobre todos los otros estados propios en la forma Nótese que la curvatura del n-ésimo nivel de energía es aportada por todos los otros niveles de energía. Es decir, la curvatura de Berry se puede ver como el resultado de la interacción residual de esos estados propios proyectados. ^[5] Esto da la ley de conservación local para la curvatura de Berry, si sumamos sobre todos los niveles de energía posibles para cada valor de Esta ecuación también ofrece la ventaja de que no hay diferenciación en los estados propios involucrada, y por lo tanto se puede calcular bajo cualquier elección de calibre. ${\displaystyle \left\langle n|\partial H/\partial \mathbf {R} |n'\right\rangle =\left\langle \partial n/\partial \mathbf {R} |n'\right\rangle (\varepsilon _{n}-\varepsilon _{n'})}$ ${\displaystyle n\neq n'}$ $${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )=i\sum _{n'\neq n}{\frac {1}{(\varepsilon _{n}-\varepsilon _{n'})^{2}}}{\left(\left\langle n\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\mu }}}\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\nu }}}\left|n\right\rangle -\left\langle n\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\nu }}}\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\mu }}}\left|n\right\rangle \right)}.}$$ ${\displaystyle \sum _{n}\Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {R} .}$

Ejemplo: Espinor en un campo magnético

El hamiltoniano de una partícula de espín 1/2 en un campo magnético se puede escribir como ^[3] donde denotan las matrices de Pauli , es el momento magnético y B es el campo magnético. En tres dimensiones, los estados propios tienen energías y sus vectores propios son Ahora considere el estado. Su conexión de Berry se puede calcular como , y la curvatura de Berry es Si elegimos un nuevo calibre multiplicando por (o cualquier otra fase , ), las conexiones de Berry son y , mientras que la curvatura de Berry permanece igual. Esto es consistente con la conclusión de que la conexión de Berry depende del calibre mientras que la curvatura de Berry no lo es. $${\displaystyle H=\mu \mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {B} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pm \mu B}$ $${\displaystyle |u_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}\sin {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\-\cos {\theta \over 2}\end{pmatrix}},|u_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}\cos {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\\sin {\theta \over 2}\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle |u_{-}\rangle }$ ${\textstyle {\mathcal {A}}_{\theta }=\langle u_{-}|i{\frac {1}{r}}\partial _{\theta }|u_{-}\rangle =0,}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\phi }=\langle u_{-}|i{\tfrac {1}{r\sin {\theta }}}\partial _{\phi }|u_{-}\rangle ={\frac {\sin ^{2}{\theta \over 2}}{r\sin {\theta }}}}$ ${\displaystyle \ \Omega _{r}={\frac {1}{r\sin {\theta }}}[\partial _{\theta }({\mathcal {A}}_{\phi }\sin {\theta })-\partial _{\phi }{\mathcal {A}}_{\theta }]{\hat {r}}={\frac {1}{2r^{2}}}{\hat {r}}.}$ ${\displaystyle |u_{-}\rangle }$ ${\displaystyle e^{i\phi }}$ ${\displaystyle e^{i\alpha \phi }}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\theta }=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\phi }=-{\frac {\cos ^{2}{\theta \over 2}}{r\sin {\theta }}}}$

La curvatura de Berry por ángulo sólido está dada por . En este caso, la fase de Berry correspondiente a cualquier trayectoria dada en la esfera unitaria en el espacio del campo magnético es solo la mitad del ángulo sólido subtendido por la trayectoria. La integral de la curvatura de Berry sobre toda la esfera es, por lo tanto, exactamente , de modo que el número de Chern es la unidad, de acuerdo con el teorema de Chern. ${\displaystyle {\overline {\Omega }}_{\theta \phi }=\Omega _{\theta \phi }/\sin \theta =1/2}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Aplicaciones en cristales

La fase de Berry juega un papel importante en las investigaciones modernas de las propiedades electrónicas en sólidos cristalinos ^[5] y en la teoría del efecto Hall cuántico . ^[6] La periodicidad del potencial cristalino permite la aplicación del teorema de Bloch , que establece que los estados propios hamiltonianos toman la forma donde es un índice de banda, es un vector de onda en el espacio recíproco ( zona de Brillouin ) y es una función periódica de . Debido a la simetría traslacional, el operador de momento podría reemplazarse con por la sustitución de Peierls y el vector de onda juega el papel del parámetro . ^[5] Por lo tanto, se pueden definir fases de Berry, conexiones y curvaturas en el espacio recíproco. Por ejemplo, en un sistema de N bandas, la conexión de Berry de la n-ésima banda en el espacio recíproco es En el sistema, la curvatura de Berry de la n-ésima banda está dada por todas las otras N − 1 bandas para cada valor de En un cristal 2D, la curvatura de Berry solo tiene el componente fuera del plano y se comporta como un pseudoescalar. Esto se debe a que solo existe simetría traslacional en el plano cuando la simetría traslacional se rompe a lo largo de la dirección z para un cristal 2D. Debido a que el teorema de Bloch también implica que el espacio recíproco en sí mismo está cerrado, y que la zona de Brillouin tiene la topología de un 3-toro en tres dimensiones, los requisitos de integración sobre un bucle cerrado o una variedad se pueden satisfacer fácilmente. De esta manera, propiedades como la polarización eléctrica , la magnetización orbital , la conductividad Hall anómala y el acoplamiento magnetoeléctrico orbital se pueden expresar en términos de fases, conexiones y curvaturas de Berry. ^{[5] [7] [8]} $${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {m}{\hbar }}\partial H/\partial k_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {k} )=i\langle u_{n\mathbf {k} }|\nabla _{\mathbf {k} }|u_{n\mathbf {k} }\rangle .}$$ ${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} .}$

Referencias

1. Pancharatnam, S. (noviembre de 1956). "Teoría generalizada de la interferencia y su aplicación". Proc. Indian Acad. Sci . 44 (5): 247–262. doi :10.1007/BF03046050. S2CID  118184376.
2. Berry, MV (1984). "Factores de fase cuántica que acompañan a los cambios adiabáticos". Actas de la Royal Society A . 392 (1802): 45–57. Bibcode :1984RSPSA.392...45B. doi :10.1098/rspa.1984.0023. S2CID  46623507.
3. Sakurai, JJ (2005). Mecánica cuántica moderna. Vol. Edición revisada. Addison–Wesley.^{[ enlace muerto permanente ]}
4. Resta, Raffaele (2000). "Manifestaciones de la fase de Berry en moléculas y en materia condensada". J. Phys.: Condens. Matter . 12 (9): R107–R143. Bibcode :2000JPCM...12R.107R. doi :10.1088/0953-8984/12/9/201. S2CID  55261008.
5. Xiao, Di; Chang, Ming-Che; Niu, Qian (julio de 2010). "Efectos de la fase de la baya en las propiedades electrónicas". Rev. Mod. Phys . 82 (3): 1959–2007. arXiv : 0907.2021 . Código Bibliográfico :2010RvMP...82.1959X. doi :10.1103/RevModPhys.82.1959. S2CID  17595734.
6. Thouless, DJ; Kohmoto, M.; Nightingale, MP; den Nijs, M. (agosto de 1982). "Conductancia Hall cuantificada en un potencial periódico bidimensional". Phys. Rev. Lett . 49 (6). Sociedad Estadounidense de Física: 405–408. Código Bibliográfico :1982PhRvL..49..405T. doi : 10.1103/PhysRevLett.49.405 .
7. Chang, Ming-Che; Niu, Qian (2008). "Curvatura de Berry, momento orbital y teoría cuántica efectiva de electrones en campos electromagnéticos". Journal of Physics: Condensed Matter . 20 (19): 193202. Bibcode :2008JPCM...20s3202C. doi :10.1088/0953-8984/20/19/193202. S2CID  35936765.
8. Resta, Raffaele (2010). "Polarización eléctrica y magnetización orbital: las teorías modernas". J. Phys.: Condens. Matter . 22 (12): 123201. Bibcode :2010JPCM...22l3201R. doi :10.1088/0953-8984/22/12/123201. PMID  21389484. S2CID  18645988.

Enlaces externos

• La fase cuántica, cinco años después. por M. Berry.
• Fases y curvaturas de Berry en la teoría de la estructura electrónica Una charla de D. Vanderbilt.
• Berry-ología, efectos magnetoeléctricos orbitales y aislantes topológicos : una charla de D. Vanderbilt.