Descuento hiperbólico

Concepto de economía

En economía , el descuento hiperbólico es un modelo de descuento por demora que no es coherente con el tiempo . Es una de las piedras angulares de la economía conductual ^{[1] [2]} y su base cerebral está siendo estudiada activamente por investigadores en neuroeconomía . ^[3]

Según el enfoque de la utilidad descontada, las elecciones intertemporales no son diferentes de otras elecciones, excepto que algunas consecuencias se retrasan y, por lo tanto, deben anticiparse y descontarse (es decir, reponderarse para tener en cuenta la demora).

Dadas dos recompensas similares, los humanos muestran una preferencia por aquella que llega en un plazo más breve. Se dice que los humanos descuentan el valor de la recompensa posterior, por un factor que aumenta con la duración de la demora. En el mundo financiero, este proceso normalmente se modela en forma de descuento exponencial , un modelo de descuento consistente en el tiempo . Desde entonces, muchos estudios psicológicos han demostrado desviaciones en la preferencia instintiva con respecto a la tasa de descuento constante asumida en el descuento exponencial. ^[4] El descuento hiperbólico es un modelo matemático alternativo que concuerda más estrechamente con estos hallazgos. ^[5]

Según el descuento hiperbólico, las valoraciones caen relativamente rápido en los primeros períodos de demora (por ejemplo, desde ahora hasta una semana), pero luego caen más lentamente en los períodos de demora más largos (por ejemplo, más de unos pocos días). Por ejemplo, en un estudio inicial, los sujetos dijeron que les daría igual recibir $15 inmediatamente o $30 después de 3 meses, $60 después de 1 año o $100 después de 3 años. Estas indiferencias reflejan tasas de descuento anuales que disminuyeron del 277% al 139% y al 63% a medida que se alargaban las demoras. ^[6] Esto contrasta con el descuento exponencial, en el que la valoración cae en un factor constante por unidad de demora y la tasa de descuento permanece igual.

El experimento estándar que se utiliza para revelar la curva de descuento hiperbólico de un sujeto de prueba consiste en comparar las preferencias a corto plazo con las preferencias a largo plazo. Por ejemplo: "¿Preferiría un dólar hoy o tres dólares mañana?" o "¿Preferiría un dólar dentro de un año o tres dólares dentro de un año y un día?" Se ha afirmado que una fracción significativa de sujetos aceptará la cantidad menor hoy, pero esperará gustosamente un día más en un año para recibir la cantidad mayor en su lugar. ^[6] Los individuos con tales preferencias se describen como " sesgados hacia el presente ".

La consecuencia más importante del descuento hiperbólico es que crea preferencias temporales por pequeñas recompensas que se obtienen antes en lugar de otras mayores que se obtienen más tarde. Las personas que utilizan el descuento hiperbólico muestran una fuerte tendencia a tomar decisiones que son inconsistentes a lo largo del tiempo: toman hoy decisiones que su yo futuro preferiría no haber tomado, a pesar de conocer la misma información. Esta inconsistencia dinámica ocurre porque las hipérbolas distorsionan el valor relativo de las opciones con una diferencia fija en los retrasos en proporción a la distancia que el que toma la decisión se encuentra de esas opciones. ^[7]

Observaciones

El fenómeno del descuento hiperbólico está implícito en la " ley de correspondencia " de Richard Herrnstein , que establece que al dividir su tiempo o esfuerzo entre dos fuentes de recompensa continuas y no excluyentes, la mayoría de los sujetos asignan en proporción directa a la tasa y el tamaño de las recompensas de las dos fuentes, y en proporción inversa a sus retrasos. ^[8] Es decir, las elecciones de los sujetos "coinciden" con estos parámetros.

Después del informe de este efecto en el caso del retraso, ^[9] George Ainslie señaló que en una única elección entre una recompensa mayor y más tardía y una recompensa menor y más temprana, la proporcionalidad inversa al retraso se describiría mediante un gráfico de valor por retraso que tenía una forma hiperbólica , y que cuando se prefiere la recompensa menor y más temprana, esta preferencia se puede revertir aumentando los retrasos de ambas recompensas en la misma cantidad absoluta. La investigación de Ainslie mostró que una cantidad sustancial de sujetos informaron que preferirían $50 inmediatamente en lugar de $100 en seis meses, pero NO preferirían $50 en 3 meses en lugar de $100 en nueve meses, aunque esta era la misma elección observada a una distancia mayor de 3 meses. Más significativamente, aquellos sujetos que dijeron que preferían $50 en 3 meses a $100 en 9 meses dijeron que NO preferirían $50 en 12 meses a $100 en 18 meses (de nuevo, el mismo par de opciones a una distancia diferente), lo que demuestra que el efecto de inversión de preferencias no depende de la emoción de obtener una recompensa inmediata. ^[10] Tampoco depende de la cultura humana; los primeros hallazgos de inversión de preferencias se dieron en ratas y palomas. ^{[11] [12] [13]}

Muchos experimentos posteriores han confirmado que las preferencias espontáneas de los sujetos humanos y no humanos siguen una curva hiperbólica en lugar de la curva exponencial convencional que produciría una elección consistente a lo largo del tiempo. ^{[14] [15]} Por ejemplo, cuando se les ofrece la opción de elegir entre $50 ahora y $100 dentro de un año, muchas personas elegirán los $50 inmediatamente. Sin embargo, si se les da la opción de elegir entre $50 en cinco años o $100 en seis años, casi todos elegirán $100 en seis años, aunque esa sea la misma elección que se observa a cinco años de mayor distancia.

También se ha descubierto que el descuento hiperbólico se relaciona con ejemplos del mundo real de autocontrol. De hecho, una variedad de estudios han utilizado medidas de descuento hiperbólico para encontrar que los individuos dependientes de drogas descuentan las consecuencias tardías más que los controles no dependientes emparejados, lo que sugiere que el descuento hiperbólico extremo es un proceso conductual fundamental en la dependencia de drogas. ^{[16] [17] [18]} Algunas evidencias sugieren que los jugadores patológicos también descuentan los resultados retrasados ​​​​en tasas más altas que los controles emparejados. ^[19] Actualmente se desconoce si las altas tasas de descuento hiperbólico preceden a las adicciones o viceversa, aunque algunos estudios han informado que los descuentadores de alta tasa tienen más probabilidades de consumir alcohol ^[20] y cocaína ^[21] que los descuentadores de tasa baja. Asimismo, algunos han sugerido que el descuento hiperbólico de alta tasa hace que los resultados impredecibles ( juegos de azar ) sean más satisfactorios. ^[22]

El grado de descuento es de vital importancia para describir el descuento hiperbólico, especialmente en el descuento de recompensas específicas como el dinero. El descuento de recompensas monetarias varía según los grupos de edad debido a la tasa de descuento variable. ^[14] La tasa depende de una variedad de factores, incluida la especie observada, la edad, la experiencia y la cantidad de tiempo necesario para consumir la recompensa. ^{[23] [24]}

Modelo matemático

Explicación paso a paso

Supongamos que en un estudio se ofrece a los participantes la opción de tomar x dólares inmediatamente o tomar y dólares n días después. Supongamos además que un participante en ese estudio emplea el descuento exponencial y otro emplea el descuento hiperbólico. Ambos participantes saben que pueden invertir el dinero que reciben hoy en un plan de ahorro que les da un interés de r . Ambos se dan cuenta de que deberían tomar x dólares inmediatamente si el valor futuro del plan de ahorro rendirá más de y dólares n días después. Cada participante entiende correctamente la pregunta fundamental que se está formulando: "Para cualquier valor dado de y dólares y n días, ¿cuál es la cantidad mínima x de dólares que debería estar dispuesto a aceptar? En otras palabras, ¿cuántos dólares necesitaría invertir hoy para obtener y dólares n días después?" Cada uno tomará x dólares si x es mayor que el resultado que calculan, y cada uno tomará y dólares n días después si x es menor que ese resultado. Sin embargo, los métodos que utilizan para calcular esa cantidad y las respuestas que obtienen serán diferentes, y solo el descontador exponencial utilizará el método correcto y obtendrá un resultado confiablemente correcto:

• El descontador exponencial piensa: "El plan de ahorro añade a su valor, cada día, un r por ciento del valor que tenía el día anterior. Por lo que cada día multiplica su valor una vez por (100% + r %) . Por lo tanto, si mantengo la inversión durante n días, su valor se habrá multiplicado por esta cantidad n veces, lo que hace que ese valor sea (100% + r %) ⁿ de lo que era al principio, es decir, ( 1 + r ) ⁿ veces lo que era al principio. Entonces, para averiguar cuánto necesitaría comenzar hoy para obtener y dólares dentro de n días, necesito dividir y dólares por (1 + r ) ⁿ ".
• El descontador hiperbólico, sin embargo, piensa: "El plan de ahorro suma a su valor, cada día, r por ciento. Por lo tanto, después de n días, suma a su valor r × n por ciento [Allí reside el error del descontador hiperbólico]. Por lo tanto, para calcular cuánto necesitaría empezar hoy para obtener y dólares dentro de n días, necesito dividir y dólares por (1 + nr ) ".

A medida que n se vuelve muy grande, el valor de (1 + r ) ⁿ se vuelve mucho mayor que el valor de (1 + nr ) , con el efecto de que el valor de se vuelve mucho menor que el valor de Por lo tanto, el valor mínimo de x (la cantidad de dólares en la elección inmediata) que basta para ser mayor que esa cantidad será mucho menor de lo que piensa el descontador hiperbólico, con el resultado de que percibirá los valores de x en el rango de a inclusive como demasiado pequeños y, como resultado, rechazará irracionalmente esas alternativas cuando, de hecho, son la mejor inversión. ${\displaystyle {\tfrac {y}{(1+r)^{n}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {y}{1+nr}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {y}{(1+r)^{n}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {y}{1+nr}}}$

Modelo formal

El descuento hiperbólico se describe matemáticamente como $${\displaystyle g(D)={\frac {1}{1+kD}}}$$

donde g ( D ) es el factor de descuento que multiplica el valor de la recompensa, D es el retraso en la recompensa y k es un parámetro que rige el grado de descuento (por ejemplo, la tasa de interés ). Esto se compara con la fórmula para el descuento exponencial: $${\displaystyle f(D)=e^{-kD}}$$

Comparación

Consideremos una función de descuento exponencial con y una función hiperbólica con , y supongamos que ambas usan unidades de semanas para medir D , el retraso. Entonces el descuento exponencial de una semana a partir de "ahora" ( D = 0 ) es y el descuento exponencial de D semanas de retraso a D + 1 semanas es por lo que el descuento incremental asociado con una semana adicional de retraso es el mismo. Para el modelo hiperbólico que usa g ( D ) , el descuento para una semana a partir de ahora es que es el mismo que para f en el modelo exponencial, mientras que el descuento incremental para una semana adicional después de un retraso de D semanas no es el mismo: De esto se puede ver que los dos modelos de descuento son los mismos "ahora"; esta es la razón para la elección de los parámetros de tasa de interés k . Sin embargo, cuando D es mucho mayor que 1, de modo que el descuento hiperbólico de una semana adicional después de un largo retraso casi no es descuento en absoluto, mientras que el factor de descuento exponencial sigue siendo 1/2, por lo que todavía hay un descuento sustancial en el futuro lejano. El descuento hiperbólico aplica muy poco descuento a una semana adicional de retraso más allá de un retraso ya grande, mientras que el descuento exponencial aplica un descuento constante a cada semana de retraso, ya sea que se trate de un futuro lejano o de la semana siguiente. ${\displaystyle f(D)=2^{-D},}$ ${\displaystyle k=\ln 2\approx 0.69}$ ${\displaystyle g(D)={\tfrac {1}{1+D}},}$ ${\displaystyle k=1}$ $${\displaystyle {\frac {f(1)}{f(0)}}={\frac {1}{2}},}$$ $${\displaystyle {\frac {f(D+1)}{f(D)}}={\frac {1}{2}},}$$ $${\displaystyle {\frac {g(1)}{g(0)}}={\frac {1}{2}},}$$ $${\displaystyle {\frac {g(D+1)}{g(D)}}=1-{\frac {1}{D+2}}}$$ $${\displaystyle {\frac {g(D+1)}{g(D)}}\approx 1,}$$

Aproximación cuasi-hiperbólica

La función de descuento "cuasi-hiperbólica" (a veces llamada "descuento beta-delta"), propuesta por Laibson (1997), ^[7] aproxima la función de descuento hiperbólica anterior en tiempo discreto mediante

$${\displaystyle f(D)={\begin{cases}1&D=0\\\beta \delta ^{D}&D=1,2,3,...\end{cases}}}$$

donde β y δ son constantes entre 0 y 1; y D es el retraso en la recompensa, pero ahora solo acepta valores enteros. La condición f (0) = 1 establece que las recompensas tomadas en el momento actual no se descuentan.

El descuento cuasi-hiperbólico conserva gran parte de la manejabilidad analítica del descuento exponencial al tiempo que captura la característica cualitativa clave del descuento hiperbólico.

Explicaciones

Riesgos inciertos

El hecho de que sea racional o no descontar las ganancias futuras (y a qué tasa se deben descontar esas ganancias) depende en gran medida de las circunstancias. Existen muchos ejemplos en el mundo financiero, por ejemplo, en los que es razonable suponer que existe un riesgo implícito de que la recompensa no esté disponible en la fecha futura y, además, que este riesgo aumenta con el tiempo. Consideremos pagar $50 por una cena hoy o retrasar el pago durante sesenta años pero pagar $100.000. En este caso, el dueño del restaurante sería razonable al descontar el valor futuro prometido, ya que existe un riesgo significativo de que no se pague (por ejemplo, debido a la muerte del dueño del restaurante o del comensal).

La incertidumbre de este tipo se puede cuantificar con el análisis bayesiano . ^[25] Por ejemplo, supongamos que la probabilidad de que la recompensa esté disponible después del tiempo t es, para una tasa de riesgo conocida λ,

${\displaystyle P(R_{t}|\lambda )=\exp(-\lambda t),\,}$

pero el decisor desconoce la tasa. Si la distribución de probabilidad previa de λ es

${\displaystyle p(\lambda )=\exp(-\lambda /k)/k,\,}$

Entonces el tomador de decisiones esperará que la probabilidad de la recompensa después del tiempo t sea

${\displaystyle P(R_{t})=\int _{0}^{\infty }P(R_{t}|\lambda )p(\lambda )d\lambda ={\frac {1}{1+kt}},\,}$

que es exactamente la tasa de descuento hiperbólica. Se pueden obtener conclusiones similares a partir de otras distribuciones plausibles para λ. ^[25]

Aplicaciones

Más recientemente, estas observaciones sobre las funciones de descuento se han utilizado para estudiar el ahorro para la jubilación , los ingresos personales ^[26] , la adicción a las drogas ^[27] , los préstamos con tarjetas de crédito y la procrastinación . Se ha utilizado con frecuencia para explicar la adicción ^{[28] [29] El descuento hiperbólico también se ha ofrecido como una explicación de la divergencia entre las actitudes y el comportamiento en materia de privacidad [30]} .

Valores actuales de las anualidades

Valor actual de una anualidad estándar

El valor actual de una serie de flujos de efectivo anuales iguales en mora descontados hiperbólicamente es

${\displaystyle V=P{\frac {\ln(1+kD)}{k}},\,}$

donde V es el valor actual, P es el flujo de caja anual, D es el número de pagos anuales y k es el factor que rige el descuento.

Crítica

Se han propuesto varias explicaciones alternativas del descuento no exponencial. Un artículo de 2003 señaló que este patrón podría explicarse mejor mediante una heurística de similitud que mediante un descuento hiperbólico. ^[31] Los sujetos también han informado de cambios en sus preferencias relativas a medida que ven más detalles de lo que están eligiendo, un efecto de “interpretación temporal”. ^[32]

Un estudio de Daniel Read introduce el "descuento subaditivo": el hecho de que el descuento sobre un período de tiempo aumenta si el período de tiempo se divide en intervalos más pequeños. Esta hipótesis puede explicar el hallazgo principal de muchos estudios que apoyan el descuento hiperbólico (la observación de que la impaciencia disminuye con el tiempo), al tiempo que también explica las observaciones no predichas por el descuento hiperbólico. ^[33] Sin embargo, aunque estas observaciones se apartan del descuento exponencial, no implican una inversión de las preferencias a medida que aumenta el tiempo desde la elección hasta la recompensa anterior.

La excitación del apetito o la emoción a veces conduce a una inversión de las preferencias, y esta ha sido la alternativa más ampliamente aceptada a una función simplemente hiperbólica: el descuento hiperboloide o cuasi-hiperbólico fusiona curvas exponenciales con un aumento de la excitación cuando una recompensa visceral se vuelve inminente. ^[34] Estos casos son obviamente importantes, pero todavía no dan cuenta de los casos en los que se hace ambas elecciones o ninguna durante la excitación.

La objeción más obvia al descuento hiperbólico es que muchas o la mayoría de las personas aprenden a elegir de manera consistente a lo largo del tiempo en la mayoría de las situaciones. De manera similar, un artículo de 2014 criticó los estudios existentes por utilizar principalmente datos recopilados de estudiantes universitarios y ser demasiado rápidos para concluir que el modelo hiperbólico de descuento es correcto. ^[35] Los experimentos humanos han informado con frecuencia de amplias variaciones entre sujetos. ^{[6] [10] [36]} Si superar la tendencia a la preferencia temporal requiere aprendizaje, la siguiente tarea obvia para los experimentadores es probar teorías de cómo y cuándo ocurre este aprendizaje (por ejemplo, Ainslie, 2012). ^[37]

Véase también

• Acrasia
• Gratificación diferida
• Elección intertemporal
• Teoría de la motivación temporal
• Preferencia horaria
• Valor temporal del dinero

Referencias

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