Valor temporal del dinero

Conjetura de que es más beneficioso recibir una suma de dinero ahora que después

El valor presente de 1.000 dólares, 100 años en el futuro. Las curvas representan tasas de descuento constantes del 2%, 3%, 5% y 7%.

El valor temporal del dinero es la conjetura ampliamente aceptada de que es mayor el beneficio de recibir una suma de dinero ahora que recibir una suma idéntica más adelante. Puede verse como una implicación del concepto de preferencia temporal desarrollado posteriormente .

El valor temporal del dinero es uno de los factores que se consideran al sopesar los costos de oportunidad de gastar dinero en lugar de ahorrar o invertir . Como tal, es una de las razones por las que se pagan o ganan intereses : los intereses, ya sea sobre un depósito bancario o sobre una deuda , compensan al depositante o al prestamista por la pérdida del uso de su dinero. Los inversores están dispuestos a renunciar a gastar su dinero ahora sólo si esperan un rendimiento neto favorable de su inversión en el futuro, de modo que el aumento de valor que estará disponible más adelante sea lo suficientemente alto como para compensar tanto la preferencia por gastar dinero ahora como la inflación (si está presente). ); consulte la tasa de rendimiento requerida .

Historia

El Talmud (~500 d.C.) reconoce el valor del dinero en el tiempo. En la página 3a del Tratado Makkos , el Talmud analiza un caso en el que los testigos afirmaron falsamente que el plazo de un préstamo era de 30 días, cuando en realidad era de 10 años. Los testigos falsos deben pagar la diferencia del valor del préstamo "en una situación en la que se le exigiría devolver el dinero (dentro de) treinta días..., y esa misma suma en una situación en la que se le exigiría que entregara el dinero de vuelta (dentro de) 10 años... La diferencia es la suma que el testimonio de los (falsos) testigos buscaba que perdiera el prestatario, por lo tanto, es la suma que debe pagar." ^[1]

La noción fue descrita posteriormente por Martín de Azpilcueta (1491-1586) de la Escuela de Salamanca .

Cálculos

Los problemas del valor del dinero en el tiempo involucran el valor neto de los flujos de efectivo en diferentes momentos en el tiempo.

En un caso típico, las variables podrían ser: un saldo (el valor real o nominal de una deuda o un activo financiero en términos de unidades monetarias), una tasa de interés periódica, el número de períodos y una serie de flujos de efectivo. (En el caso de una deuda, los flujos de efectivo son pagos contra el principal y los intereses; en el caso de un activo financiero, son contribuciones o retiros del saldo). De manera más general, los flujos de efectivo pueden no ser periódicos, pero pueden especificarse. individualmente. Cualquiera de estas variables puede ser la variable independiente (la respuesta buscada) en un problema determinado. Por ejemplo, se puede saber que: el interés es del 0,5% por período (por ejemplo, por mes); el número de períodos es 60 (meses); el saldo inicial (de la deuda, en este caso) es de 25.000 unidades; y el saldo final es 0 unidades. La variable desconocida puede ser el pago mensual que debe pagar el prestatario.

Por ejemplo, 100 libras invertidas durante un año, con un interés del 5%, valdrán 105 libras después de un año; por lo tanto, £100 pagadas ahora y £105 pagadas exactamente un año después tienen el mismo valor para un receptor que espera un interés del 5% suponiendo que la inflación sería del cero por ciento. Es decir, £100 invertidas durante un año al 5% de interés tienen un valor futuro de £105 bajo el supuesto de que la inflación sería del cero por ciento. ^[2]

Este principio permite la valoración de un flujo probable de ingresos en el futuro, de tal manera que los ingresos anuales se descuentan y luego se suman, proporcionando así un "valor presente" global de todo el flujo de ingresos; Todos los cálculos estándar del valor del dinero en el tiempo se derivan de la expresión algebraica más básica para el valor presente de una suma futura, "descontada" al presente en una cantidad igual al valor del dinero en el tiempo. Por ejemplo, la suma del valor futuro que se recibirá en un año se descuenta a la tasa de interés para obtener la suma del valor presente : ${\displaystyle FV}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle PV}$

${\displaystyle PV={\frac {FV}{(1+r)}}}$

Algunos cálculos estándar basados ​​en el valor del dinero en el tiempo son:

• Valor presente : El valor actual de una suma futura de dinero o flujo de efectivo , dada una tasa de rendimiento específica . Los flujos de efectivo futuros se "descuentan" a la tasa de descuento; cuanto mayor sea la tasa de descuento, menor será el valor presente de los flujos de efectivo futuros. Determinar la tasa de descuento adecuada es la clave para valorar adecuadamente los flujos de efectivo futuros, ya sean ganancias u obligaciones. ^[3]
• Valor presente de una anualidad : Una anualidad es una serie de pagos o recibos iguales que ocurren en intervalos uniformemente espaciados. Los arrendamientos y los pagos de alquiler son ejemplos. Los pagos o cobros ocurren al final de cada período para una anualidad ordinaria, mientras que ocurren al comienzo de cada período para una anualidad vencida. ^[4]

El valor presente de una perpetuidad es un flujo infinito y constante de flujos de efectivo idénticos. ^[5]

• Valor futuro : El valor de un activo o efectivo en una fecha específica en el futuro, basado en el valor de ese activo en el presente. ^[6]
• Valor futuro de una anualidad (FVA) : el valor futuro de un flujo de pagos (anualidad), suponiendo que los pagos se inviertan a una tasa de interés determinada.

Hay varias ecuaciones básicas que representan las igualdades enumeradas anteriormente. Las soluciones se pueden encontrar utilizando (en la mayoría de los casos) fórmulas, una calculadora financiera o una hoja de cálculo . Las fórmulas están programadas en la mayoría de las calculadoras financieras y en varias funciones de hojas de cálculo (como PV, FV, RATE, NPER y PMT). ^[7]

Para cualquiera de las ecuaciones siguientes, la fórmula también se puede reorganizar para determinar una de las otras incógnitas. En el caso de la fórmula de anualidad estándar, no existe una solución algebraica de forma cerrada para la tasa de interés (aunque las calculadoras financieras y los programas de hojas de cálculo pueden determinar fácilmente soluciones mediante algoritmos rápidos de prueba y error).

Estas ecuaciones se combinan frecuentemente para usos particulares. Por ejemplo, el precio de los bonos se puede fijar fácilmente utilizando estas ecuaciones. Un bono con cupón típico se compone de dos tipos de pagos: un flujo de pagos de cupones similar a una anualidad y un retorno global del capital al final del vencimiento del bono , es decir, un pago futuro. Las dos fórmulas se pueden combinar para determinar el valor actual del bono.

Una nota importante es que la tasa de interés i es la tasa de interés para el período relevante. Para una anualidad que realiza un pago por año, i será la tasa de interés anual. Para un flujo de ingresos o pagos con un calendario de pagos diferente, la tasa de interés debe convertirse a la tasa de interés periódica correspondiente. Por ejemplo, una tasa mensual para una hipoteca con pagos mensuales requiere que la tasa de interés se divida por 12 (consulte el ejemplo a continuación). Consulte interés compuesto para obtener detalles sobre cómo convertir entre diferentes tasas de interés periódicas.

La tasa de rendimiento en los cálculos puede ser la variable resuelta o una variable predefinida que mide una tasa de descuento, interés, inflación, tasa de rendimiento, costo de capital, costo de deuda o cualquier número de otros conceptos análogos. La elección de la tasa apropiada es crítica para el ejercicio, y el uso de una tasa de descuento incorrecta hará que los resultados carezcan de significado.

Para los cálculos que involucran anualidades, se debe decidir si los pagos se realizan al final de cada período (conocido como anualidad ordinaria) o al comienzo de cada período (conocido como anualidad vencida). Cuando se utiliza una calculadora financiera o una hoja de cálculo , normalmente se puede configurar para cualquiera de los cálculos. Las siguientes fórmulas son para una anualidad ordinaria. Para obtener la respuesta del valor presente de una anualidad adeudada, el VP de una anualidad ordinaria se puede multiplicar por (1 + i ).

Fórmula

La siguiente fórmula utiliza estas variables comunes:

• PV es el valor en el momento cero (valor actual)
• FV es el valor en el momento n (valor futuro)
• A es el valor de los pagos individuales en cada período de capitalización
• n es el número de períodos (no necesariamente un número entero)
• i es la tasa de interés a la que el monto se compone en cada período
• g es la tasa creciente de pagos en cada período de tiempo

Valor futuro de una suma presente

La fórmula del valor futuro ( FV ) es similar y utiliza las mismas variables.

${\displaystyle FV\ =\ PV\cdot (1+i)^{n}}$

Valor presente de una suma futura

La fórmula del valor presente es la fórmula central para el valor del dinero en el tiempo; cada una de las otras fórmulas se deriva de esta fórmula. Por ejemplo, la fórmula de la anualidad es la suma de una serie de cálculos del valor presente.

La fórmula del valor actual ( PV ) tiene cuatro variables, cada una de las cuales puede resolverse mediante métodos numéricos :

${\displaystyle PV\ =\ {\frac {FV}{(1+i)^{n}}}}$

El valor presente acumulado de los flujos de efectivo futuros se puede calcular sumando las contribuciones de FV _t , el valor del flujo de efectivo en el momento t :

${\displaystyle PV\ =\ \sum _{t=1}^{n}{\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}}$

Tenga en cuenta que esta serie se puede sumar para un valor dado de n , o cuando n es ∞. ^[8] Esta es una fórmula muy general, que conduce a varios casos especiales importantes que se detallan a continuación.

Valor presente de una anualidad para n períodos de pago

En este caso, los valores del flujo de efectivo siguen siendo los mismos a lo largo de los n períodos. La fórmula del valor presente de una anualidad (PVA) tiene cuatro variables, cada una de las cuales puede resolverse mediante métodos numéricos:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{\frac {A}{i}}\cdot \left[{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}\right]}$

Para obtener el PV de una anualidad adeudada , multiplique la ecuación anterior por (1 + i ).

Valor presente de una anualidad creciente.

En este caso, cada flujo de efectivo crece por un factor de (1+ g ). De manera similar a la fórmula para una anualidad, el valor presente de una anualidad en crecimiento (PVGA) utiliza las mismas variables con la adición de g como tasa de crecimiento de la anualidad (A es el pago de la anualidad en el primer período). Este es un cálculo que rara vez se incluye en las calculadoras financieras.

Donde yo ≠ g :

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over (i-g)}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]}$

donde yo = gramo :

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A\times n \over 1+i}}$

Para obtener el PV de una anualidad creciente , multiplique la ecuación anterior por (1 + i ).

Valor presente de una perpetuidad

Una perpetuidad son pagos de una cantidad determinada de dinero que ocurren de forma rutinaria y continúan para siempre. Cuando n → ∞, el PV de una fórmula de perpetuidad (una anualidad perpetua) se convierte en una división simple.

${\displaystyle PV(P)\ =\ {A \over i}}$

Valor presente de una perpetuidad creciente

Cuando el pago de la anualidad perpetua crece a una tasa fija ( g , con g < i ), el valor se determina de acuerdo con la siguiente fórmula, que se obtiene estableciendo n en infinito en la fórmula anterior para una perpetuidad creciente:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over i-g}}$

En la práctica, existen pocos valores con características precisas y la aplicación de este enfoque de valoración está sujeta a diversas calificaciones y modificaciones. Lo más importante es que es raro encontrar una anualidad perpetua en crecimiento con tasas de crecimiento fijas y una verdadera generación de flujo de efectivo perpetuo. A pesar de estas salvedades, el enfoque general puede utilizarse en valoraciones de bienes inmuebles, acciones y otros activos.

Este es el conocido modelo de crecimiento de Gordon utilizado para la valoración de acciones .

Valor futuro de una anualidad

El valor futuro (después de n períodos) de una fórmula de anualidad (FVA) tiene cuatro variables, cada una de las cuales puede resolverse mediante métodos numéricos:

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}}$

Para obtener el FV de una anualidad adeudada, multiplique la ecuación anterior por (1 + i).

Valor futuro de una anualidad en crecimiento

El valor futuro (después de n períodos) de una fórmula de anualidad creciente (FVA) tiene cinco variables, cada una de las cuales puede resolverse mediante métodos numéricos:

Donde yo ≠ g :

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-\left(1+g\right)^{n}}{i-g}}}$

donde yo = gramo :

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot n(1+i)^{n-1}}$

tabla de fórmulas

La siguiente tabla resume las diferentes fórmulas comúnmente utilizadas para calcular el valor del dinero en el tiempo. ^[9] Estos valores a menudo se muestran en tablas donde se especifica la tasa de interés y el tiempo.

Notas:

• A es un monto de pago fijo, cada período.
• G es el monto de pago inicial de un monto de pago creciente, que comienza en G y aumenta en G para cada período posterior.
• D es el monto de pago inicial de un monto de pago que aumenta exponencialmente (geométricamente), que comienza en D y aumenta en un factor de (1+ g ) en cada período posterior.

Derivaciones

Derivación de anualidades

La fórmula para el valor presente de un flujo regular de pagos futuros (una anualidad) se deriva de la suma de la fórmula para el valor futuro de un pago futuro único, como se muestra a continuación, donde C es el monto del pago y n el período.

Un pago único C en el momento futuro m tiene el siguiente valor futuro en el momento futuro n :

${\displaystyle FV\ =C(1+i)^{n-m}}$

Sumar todos los pagos desde el momento 1 hasta el momento n y luego revertir t

${\displaystyle FVA\ =\sum _{m=1}^{n}C(1+i)^{n-m}\ =\sum _{k=0}^{n-1}C(1+i)^{k}}$

Tenga en cuenta que esta es una serie geométrica , siendo el valor inicial a = C , siendo el factor multiplicativo 1 + i , con n términos. Aplicando la fórmula para series geométricas, obtenemos

${\displaystyle FVA\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{1-(1+i)}}\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{-i}}}$

El valor presente de la anualidad (PVA) se obtiene simplemente dividiendo por : ${\displaystyle (1+i)^{n}}$

${\displaystyle PVA\ ={\frac {FVA}{(1+i)^{n}}}={\frac {C}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)}$

Otra forma sencilla e intuitiva de derivar el valor futuro de una anualidad es considerar una dotación, cuyos intereses se pagan como la anualidad y cuyo principal permanece constante. El principal de esta hipotética dotación se puede computar como aquel cuyo interés equivale al monto del pago de la anualidad:

${\displaystyle {\text{Principal}}\times i=C}$

${\displaystyle {\text{Principal}}={\frac {C}{i}}+{\text{goal}}}$

Tenga en cuenta que ningún dinero entra ni sale del sistema combinado de capital de dotación + pagos de anualidades acumuladas y, por lo tanto, el valor futuro de este sistema se puede calcular simplemente mediante la fórmula del valor futuro:

${\displaystyle FV=PV(1+i)^{n}}$

Inicialmente, antes de cualquier pago, el valor presente del sistema es solo el capital de la dotación . Al final, el valor futuro es el capital de la dotación (que es lo mismo) más el valor futuro de los pagos totales de anualidades ( ). Volviendo a introducir esto en la ecuación: ${\displaystyle PV={\frac {C}{i}}}$ ${\displaystyle FV={\frac {C}{i}}+FVA}$

${\displaystyle {\frac {C}{i}}+FVA={\frac {C}{i}}(1+i)^{n}}$

${\displaystyle FVA={\frac {C}{i}}\left[\left(1+i\right)^{n}-1\right]}$

Derivación de la perpetuidad

Sin mostrar aquí la derivación formal, la fórmula de perpetuidad se deriva de la fórmula de anualidad. En concreto, el término:

${\displaystyle \left({1-{1 \over {(1+i)^{n}}}}\right)}$

Se puede ver que se acerca al valor de 1 a medida que n crece. En el infinito es igual a 1, quedando como único término restante. ${\displaystyle {C \over i}}$

Composición continua

A veces, las tasas se convierten al equivalente de tasa de interés compuesta continua porque el equivalente continuo es más conveniente (por ejemplo, se diferencia más fácilmente). Cada una de las fórmulas anteriores podrá reexpresarse en sus equivalentes continuos. Por ejemplo, el valor presente en el momento 0 de un pago futuro en el momento t se puede reexpresar de la siguiente manera, donde e es la base del logaritmo natural y r es la tasa de capitalización continua:

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}}$

Esto se puede generalizar a tasas de descuento que varían con el tiempo: en lugar de una tasa de descuento constante r, se utiliza una función del tiempo r ( t ). En ese caso, el factor de descuento, y por tanto el valor presente, de un flujo de efectivo en el momento T viene dado por la integral de la tasa de capitalización continua r ( t ):

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)}$

De hecho, una razón clave para utilizar la capitalización continua es simplificar el análisis de las diferentes tasas de descuento y permitir el uso de las herramientas de cálculo. Además, para los intereses acumulados y capitalizados a un día (por lo tanto, compuestos diariamente), la capitalización continua es una aproximación cercana a la capitalización diaria real. Un análisis más sofisticado incluye el uso de ecuaciones diferenciales, como se detalla a continuación.

Ejemplos

El uso de la composición continua produce las siguientes fórmulas para varios instrumentos:

Anualidad

${\displaystyle \ PV\ =\ {A(1-e^{-rt}) \over e^{r}-1}}$

Perpetuidad

${\displaystyle \ PV\ =\ {A \over e^{r}-1}}$

anualidad creciente

${\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t}) \over e^{(r-g)}-1}}$

Perpetuidad creciente

${\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g} \over e^{(r-g)}-1}}$

Anualidad con pagos continuos

${\displaystyle \ PV\ =\ {1-e^{(-rt)} \over r}}$

Estas fórmulas suponen que el pago A se realiza en el primer período de pago y la anualidad finaliza en el momento t. ^[10]

Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales (EDO y PDE) : las ecuaciones que involucran derivados y una (respectivamente, múltiples) variables son omnipresentes en tratamientos más avanzados de las matemáticas financieras . Si bien el valor del dinero en el tiempo puede entenderse sin utilizar el marco de ecuaciones diferenciales, la sofisticación añadida arroja luz adicional sobre el valor del tiempo y proporciona una introducción sencilla antes de considerar situaciones más complicadas y menos familiares. A continuación se presenta esta exposición (Carr y Flesaker 2006, págs. 6-7).  

El cambio fundamental que trae la perspectiva de la ecuación diferencial es que, en lugar de calcular un número (el valor presente ahora ), se calcula una función (el valor presente ahora o en cualquier momento en el futuro ). Luego se puede analizar esta función  :  ¿cómo cambia su valor con el tiempo?  —  o en comparación con otras funciones.

Formalmente, la afirmación de que "el valor disminuye con el tiempo" se obtiene definiendo el operador diferencial lineal como: ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}:=-\partial _{t}+r(t).}$

Esto establece que el valor disminuye (-) con el tiempo (∂ _t ) a la tasa de descuento ( r ( t )). Aplicado a una función se obtiene:

${\displaystyle {\mathcal {L}}f=-\partial _{t}f(t)+r(t)f(t).}$

Para un instrumento cuyo flujo de pagos se describe mediante f ( t ), el valor V ( t ) satisface la EDO no homogénea de primer orden ("homogénea" es porque se tiene f en lugar de 0, y "de primer orden" es porque se tiene f primeras derivadas pero no derivadas superiores) : esto codifica el hecho de que cuando se produce cualquier flujo de efectivo, el valor del instrumento cambia según el valor del flujo de efectivo (si recibe un cupón de £10, el valor restante disminuye exactamente £10) . ${\displaystyle {\mathcal {L}}V=f}$  

La herramienta técnica estándar en el análisis de EDO son las funciones de Green , a partir de las cuales se pueden construir otras soluciones. En términos del valor del dinero en el tiempo, la función de Green (para la EDO del valor en el tiempo) es el valor de un bono que paga £1 en un único momento u  ;  el valor de cualquier otra corriente de flujos de efectivo puede obtenerse entonces tomando combinaciones de este flujo de efectivo básico. En términos matemáticos, este flujo de caja instantáneo se modela como una función delta de Dirac. ${\displaystyle \delta _{u}(t):=\delta (t-u).}$

La función de Green para el valor en el momento t de un flujo de caja de £1 en el momento u es

${\displaystyle b(t;u):=H(u-t)\cdot \exp \left(-\int _{t}^{u}r(v)\,dv\right)}$

donde H es la función escalonada de Heaviside ; la notación " " sirve para enfatizar que u es un parámetro (fijo en cualquier caso : el momento en que se producirá el flujo de efectivo), mientras que t es una variable (tiempo). En otras palabras, los flujos de efectivo futuros se descuentan exponencialmente (exp) por la suma (integral, ) de las tasas de descuento futuras ( para el futuro, r ( v ) para las tasas de descuento), mientras que los flujos de efectivo pasados ​​valen 0 ( ), porque ya han ocurrido. Tenga en cuenta que el valor en el momento de un flujo de efectivo no está bien definido : hay una discontinuidad en ese punto y se puede usar una convención (suponer que los flujos de efectivo ya han ocurrido o no han ocurrido), o simplemente no definir el valor en el momento de un flujo de efectivo. valor en ese punto. ${\displaystyle ;u}$   ${\displaystyle \textstyle {\int }}$ ${\displaystyle \textstyle {\int _{t}^{u}}}$ ${\displaystyle H(u-t)=1{\text{ if }}t<u,0{\text{ if }}t>u}$  

En caso de que la tasa de descuento sea constante, esto se simplifica a ${\displaystyle r(v)\equiv r,}$

${\displaystyle b(t;u)=H(u-t)\cdot e^{-(u-t)r}={\begin{cases}e^{-(u-t)r}&t<u\\0&t>u,\end{cases}}}$

donde es el "tiempo restante hasta el flujo de caja". ${\displaystyle (u-t)}$

Por lo tanto, para una corriente de flujos de efectivo f ( u ) que finaliza en el momento T (que puede establecerse sin horizonte temporal) , el valor en el momento t viene dado por la combinación de los valores de estos flujos de efectivo individuales: ${\displaystyle T=+\infty }$ ${\displaystyle V(t;T)}$

${\displaystyle V(t;T)=\int _{t}^{T}f(u)b(t;u)\,du.}$

Esto formaliza el valor temporal del dinero en valores futuros de los flujos de efectivo con diferentes tasas de descuento, y es la base de muchas fórmulas en matemáticas financieras, como la fórmula de Black-Scholes con diferentes tasas de interés .

Ver también

• portal de dinero

• ciencia actuarial

• Flujo de caja descontado

• Crecimiento de ganancias

• Crecimiento exponencial

• Gestión financiera

• Descuento hiperbólico

• Tasa interna de retorno

• Valor presente neto

• Valor de tiempo de la opción

• Valor real versus valor nominal (economía)

• Efecto bola de nieve

Notas

1. "Makkot 3a William Davidson Talmud en línea".
2. Carther, Shauna (3 de diciembre de 2003). "Comprensión del valor temporal del dinero".
3. Personal, Investopedia (25 de noviembre de 2003). "Valor actual - PV".
4. "Valor actual de una anualidad".
5. Personal, Investopedia (24 de noviembre de 2003). "Perpetuidad".
6. Personal, Investopedia (23 de noviembre de 2003). "Valor futuro - FV".
7. Hovey, M. (2005). Modelado de hojas de cálculo para finanzas. Frenchs Forest, Nueva Gales del Sur: Pearson Education Australia.
8. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html Serie geométrica
9. "Examen NCEES FE".
10. "Anualidades y perpetuidades con capitalización continua". 11 de octubre de 2012.

Referencias

• Carr, Pedro; Flesaker, Bjorn (2006), Replicación robusta de reclamaciones contingentes por incumplimiento (diapositivas de presentación) (PDF) , Bloomberg LP , archivado desde el original (PDF) el 27 de febrero de 2009. Véase también Presentación de audio y artículo. {{citation}}: Enlace externo en |postscript=( ayuda )CS1 maint: postscript (link)
• Crosson, SV y Needles, BE (2008). Contabilidad gerencial (8ª Ed). Boston: Compañía Houghton Mifflin.

enlaces externos

• Valor del dinero en el tiempo organizado por la Universidad de Arizona
• Libro electrónico El valor del dinero en el tiempo