Detección de campo eléctrico

Amortiguación de campos eléctricos.

En física , el apantallamiento es la amortiguación de campos eléctricos provocada por la presencia de portadores de carga móviles . Es una parte importante del comportamiento de los fluidos portadores de carga , como gases ionizados ( plasmas clásicos ), electrolitos y portadores de carga en conductores electrónicos ( semiconductores , metales ). En un fluido, con una permitividad dada ε , compuesto de partículas constituyentes cargadas eléctricamente, cada par de partículas (con cargas q ₁ y q ₂ ) interactúan a través de la fuerza de Coulomb como

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {r} \right|^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$

r1/ r ²rr ²isotrópico

En realidad, estos efectos de largo alcance son suprimidos por el flujo de partículas en respuesta a los campos eléctricos. Este flujo reduce la interacción efectiva entre partículas a una interacción de Coulomb "cribada" de corto alcance. Este sistema corresponde al ejemplo más simple de una interacción renormalizada. ^[1]

En física del estado sólido , especialmente para metales y semiconductores , el efecto de apantallamiento describe el campo electrostático y el potencial de Coulomb de un ion dentro del sólido. Así como el campo eléctrico del núcleo se reduce dentro de un átomo o ion debido al efecto de protección , los campos eléctricos de los iones en los sólidos conductores se reducen aún más por la nube de electrones de conducción .

Descripción

Considere un fluido compuesto por electrones que se mueven sobre un fondo uniforme de carga positiva (plasma de un componente). Cada electrón posee una carga negativa. Según la interacción de Coulomb, las cargas negativas se repelen entre sí. En consecuencia, este electrón repelerá a otros electrones creando una pequeña región a su alrededor en la que hay menos electrones. Esta región puede tratarse como un "agujero de detección" cargado positivamente. Visto desde una gran distancia, este agujero protector tiene el efecto de una carga positiva superpuesta que anula el campo eléctrico producido por el electrón. Sólo a distancias cortas, dentro de la región del agujero, se puede detectar el campo del electrón. Para un plasma, este efecto puede hacerse explícito mediante un cálculo del cuerpo. ^{[2] : §5} Si el fondo está formado por iones positivos, su atracción por el electrón de interés refuerza el mecanismo de detección anterior. En física atómica, existe un efecto pertinente para los átomos con más de una capa electrónica: el efecto de protección . En física del plasma, el cribado del campo eléctrico también se denomina cribado o blindaje de Debye. Se manifiesta a escalas macroscópicas por una vaina ( vaina de Debye ) junto a un material con el que está en contacto el plasma. ${\displaystyle N}$

El potencial apantallado determina la fuerza interatómica y la relación de dispersión de fonones en los metales. El potencial filtrado se utiliza para calcular la estructura de bandas electrónicas de una gran variedad de materiales, a menudo en combinación con modelos de pseudopotencial . El efecto de cribado conduce a la aproximación del electrón independiente , lo que explica el poder predictivo de los modelos introductorios de sólidos como el modelo Drude , el modelo del electrón libre y el modelo del electrón casi libre .

Teoría y modelos

El primer tratamiento teórico del apantallamiento electrostático, debido a Peter Debye y Erich Hückel , ^[3] trató sobre una carga puntual estacionaria incrustada en un fluido.

Considere un fluido de electrones en un fondo de iones pesados ​​con carga positiva. Para simplificar, ignoramos el movimiento y la distribución espacial de los iones, aproximandolos como una carga de fondo uniforme. Esta simplificación es permisible ya que los electrones son más ligeros y móviles que los iones, siempre que consideremos distancias mucho mayores que la separación iónica. En física de la materia condensada , este modelo se conoce como gelatina .

Interacciones de Coulomb seleccionadas

Sea ρ la densidad numérica de electrones y φ el potencial eléctrico . Al principio, los electrones están distribuidos uniformemente de modo que hay carga neta cero en cada punto. Por lo tanto, φ también es inicialmente una constante.

Ahora introducimos una carga puntual fija Q en el origen. La densidad de carga asociada es Qδ ( r ), donde δ ( r ) es la función delta de Dirac . Después de que el sistema haya regresado al equilibrio, supongamos que el cambio en la densidad electrónica y el potencial eléctrico sea Δ ρ ( r ) y Δ φ ( r ) respectivamente. La densidad de carga y el potencial eléctrico están relacionados por la ecuación de Poisson , que da

$${\displaystyle -\nabla ^{2}[\Delta \phi (r)]={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[Q\delta (r)-e\Delta \rho (r)],}$$

ε ₀permitividad del vacío

Para continuar, debemos encontrar una segunda ecuación independiente que relacione Δρ y Δφ . Consideramos dos posibles aproximaciones, bajo las cuales las dos cantidades son proporcionales: la aproximación de Debye-Hückel, válida a altas temperaturas (por ejemplo, plasmas clásicos), y la aproximación de Thomas-Fermi, válida a bajas temperaturas (por ejemplo, electrones en metales).

Aproximación de Debye-Hückel

En la aproximación de Debye-Hückel, ^[3] mantenemos el sistema en equilibrio termodinámico, a una temperatura T lo suficientemente alta como para que las partículas del fluido obedezcan las estadísticas de Maxwell-Boltzmann . En cada punto del espacio, la densidad de electrones con energía j tiene la forma

$${\displaystyle \rho _{j}(r)=\rho _{j}^{(0)}(r)\;\exp \left[{\frac {e\phi (r)}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]}$$

k _Bla constante de Boltzmannφ

$${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$$

$${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {\rho e^{2}}{\varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}}}$$

La longitud asociada λ _D ≡ 1/ k ₀ se llama longitud de Debye . La longitud de Debye es la escala de longitud fundamental de un plasma clásico.

Aproximación de Thomas-Fermi

En la aproximación de Thomas-Fermi, ^[4] que lleva el nombre de Llewellyn Thomas y Enrico Fermi , el sistema se mantiene a un potencial químico electrónico constante ( nivel de Fermi ) y a baja temperatura. La primera condición corresponde, en un experimento real, a mantener el metal/fluido en contacto eléctrico con una diferencia de potencial fija con tierra . El potencial químico μ es, por definición, la energía de añadir un electrón extra al fluido. Esta energía se puede descomponer en una parte de energía cinética T y la parte de energía potencial − eφ . Como el potencial químico se mantiene constante,

$${\displaystyle \Delta \mu =\Delta T-e\Delta \phi =0.}$$

Si la temperatura es extremadamente baja, el comportamiento de los electrones se acerca al modelo mecánico cuántico de un gas de Fermi . Por lo tanto, aproximamos T por la energía cinética de un electrón adicional en el modelo de gas de Fermi, que es simplemente la energía de Fermi E _F . La energía de Fermi para un sistema 3D está relacionada con la densidad de los electrones (incluida la degeneración del espín) por

$${\displaystyle \rho =2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\left({\frac {4}{3}}\pi k_{\mathrm {F} }^{3}\right),\quad E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}},}$$

k _F

$${\displaystyle \Delta \rho \simeq {\frac {3\rho }{2E_{\mathrm {F} }}}\Delta E_{\mathrm {F} }.}$$

Insertando esto en la ecuación anterior para Δ μ se obtiene

$${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$$

$${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {3e^{2}\rho }{2\varepsilon _{0}E_{\mathrm {F} }}}}={\sqrt {\frac {me^{2}k_{\mathrm {F} }}{\varepsilon _{0}\pi ^{2}\hbar ^{2}}}}}$$

Este resultado se deriva de las ecuaciones del gas de Fermi, que es un modelo de electrones que no interactúan, mientras que el fluido que estamos estudiando contiene la interacción de Coulomb. Por tanto, la aproximación de Thomas-Fermi sólo es válida cuando la densidad electrónica es baja, de modo que las interacciones entre partículas son relativamente débiles.

Resultado: potencial filtrado

Nuestros resultados de la aproximación de Debye-Hückel o Thomas-Fermi ahora pueden insertarse en la ecuación de Poisson. El resultado es

$${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-k_{0}^{2}\right]\phi (r)=-{\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\delta (r),}$$

ecuación de Poisson filtrada

$${\displaystyle \phi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}e^{-k_{0}r},}$$

k ₀potencial de Yukawafunción dieléctrica ${\displaystyle \varepsilon (r)=\varepsilon _{0}e^{k_{0}r}}$

Teoría de muchos cuerpos

Física clásica y respuesta lineal.

Un enfoque de cuerpo mecánico proporciona en conjunto la derivación del efecto de apantallamiento y de la amortiguación Landau . ^{[2] [5]} Se trata de una realización única de un plasma de un componente cuyos electrones tienen una dispersión de velocidad (para un plasma térmico, debe haber muchas partículas en una esfera de Debye, un volumen cuyo radio es la longitud de Debye). Al utilizar el movimiento linealizado de los electrones en su propio campo eléctrico, se obtiene una ecuación del tipo ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}\Phi =S,}$$

donde es un operador lineal, es un término fuente debido a las partículas y es la transformada de Fourier-Laplace del potencial electrostático. Al sustituir una integral sobre una función de distribución suave para la suma discreta sobre las partículas en , se obtiene ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

$${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )\,\Phi (\mathbf {k} ,\omega )=S(\mathbf {k} ,\omega ),}$$

ecuación linealizada de Vlasov-Poisson^{[6] : §6.4 [2] : Ecuación 20} ${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$ ${\displaystyle N}$

Mediante la transformada inversa de Fourier-Laplace, el potencial debido a cada partícula es la suma de dos partes ^{[2] : §4.1} Una corresponde a la excitación de las ondas de Langmuir por la partícula y la otra es su potencial apantallado, como se obtiene clásicamente mediante un cálculo vlasoviano linealizado que involucra una partícula de prueba. ^{[6] : §9.2} El potencial apantallado es el potencial de Coulomb apantallado anteriormente para un plasma térmico y una partícula térmica. Para una partícula más rápida, el potencial se modifica. ^{[6] : §9.2} Sustituyendo una integral sobre una función de distribución suave para la suma discreta sobre las partículas en , se obtiene la expresión de Vlasovia que permite calcular el amortiguamiento de Landau. ^{[6] : §6.4} ${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$

Enfoque mecánico-cuántico

En los metales reales, el efecto de detección es más complejo que el descrito anteriormente en la teoría de Thomas-Fermi. La suposición de que los portadores de carga (electrones) pueden responder en cualquier vector de onda es sólo una aproximación. Sin embargo, no es energéticamente posible que un electrón dentro o sobre una superficie de Fermi responda a vectores de onda más cortos que el vector de onda de Fermi. Esta restricción está relacionada con el fenómeno de Gibbs , donde las series de Fourier para funciones que varían rápidamente en el espacio no son buenas aproximaciones a menos que se retenga una gran cantidad de términos de la serie. En física, este fenómeno se conoce como oscilaciones de Friedel y se aplica tanto al cribado en superficie como en masa. En cada caso, el campo eléctrico neto no cae exponencialmente en el espacio, sino más bien como una ley de potencia inversa multiplicada por un término oscilatorio. Los cálculos teóricos se pueden obtener de la hidrodinámica cuántica y la teoría funcional de la densidad (DFT).

Ver también

• Longitud de Bjerrum
• longitud de bye

Referencias

1. McComb, WD (2007). Métodos de renormalización: una guía para principiantes (reimpreso con correcciones, edición reimpresa). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. §1.2.1, §3.2. ISBN 978-0199236527.
2. Escandé, DF; Elskens, Yves; Doveil, F (1 de febrero de 2015). "Camino directo desde la mecánica microscópica al blindaje de Debye, la amortiguación de Landau y la interacción onda-partícula". Física del Plasma y Fusión Controlada . 57 (2): 025017. arXiv : 1409.4323 . Código Bib : 2015PPCF...57b5017E. doi :10.1088/0741-3335/57/2/025017. S2CID  8246103.
3. P. Debye y E. Hückel (1923). "La teoría de los electrolitos. I. Descenso del punto de congelación y fenómenos relacionados" (PDF) . Physikalische Zeitschrift . 24 : 185-206. Archivado desde el original (PDF) el 2 de noviembre de 2013.
4. NW Ashcroft y ND Mermin, Física del estado sólido (Thomson Learning, Toronto, 1976)
5. Escandé, DF; Doveil, F; Elskens, Yves (2016). "Descripción del cuerpo N del blindaje Debye y la amortiguación Landau". Física del Plasma y Fusión Controlada . 58 (1): 014040. arXiv : 1506.06468 . Código Bib : 2016PPCF...58a4040E. doi :10.1088/0741-3335/58/1/014040. S2CID  118576116.
6. Nicholson, DR (1983). Introducción a la Teoría del Plasma . Nueva York: John Wiley. ISBN 978-0471090458.

enlaces externos

• Fitzpatrick, Richard (31 de marzo de 2011). "Debye Blindaje". La Universidad de Texas en Austin . Consultado el 12 de julio de 2018 .