Ecuación de Vlasov

Descripción de la evolución temporal del plasma.

En física del plasma , la ecuación de Vlasov es una ecuación diferencial que describe la evolución temporal de la función de distribución del plasma que consiste en partículas cargadas con interacción de largo alcance, como la interacción de Coulomb . La ecuación fue sugerida por primera vez para la descripción del plasma por Anatoly Vlasov en 1938 ^{[1] [2]} y luego fue discutida por él en detalle en una monografía. ^[3]

Dificultades del enfoque cinético estándar

En primer lugar, Vlasov sostiene que el enfoque cinético estándar basado en la ecuación de Boltzmann tiene dificultades cuando se aplica a una descripción del plasma con interacción de Coulomb de largo alcance . Menciona los siguientes problemas que surgen al aplicar la teoría cinética basada en colisiones de pares a la dinámica del plasma:

1. La teoría de las colisiones de pares contradice el descubrimiento de Rayleigh , Irving Langmuir y Lewi Tonks de las vibraciones naturales en el plasma de electrones.
2. La teoría de colisiones de pares no es formalmente aplicable a la interacción de Coulomb debido a la divergencia de los términos cinéticos.
3. La teoría de colisiones de pares no puede explicar los experimentos de Harrison Merrill y Harold Webb sobre la dispersión anómala de electrones en el plasma gaseoso. ^[4]

Vlasov sugiere que estas dificultades se originan en el carácter de largo alcance de la interacción de Coulomb. Comienza con la ecuación de Boltzmann sin colisiones (a veces llamada ecuación de Vlasov, anacrónicamente en este contexto), en coordenadas generalizadas : $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=0,}$$

explícitamente una EDP : y la adaptó al caso de un plasma, lo que conduce a los sistemas de ecuaciones que se muestran a continuación. ^[5] Aquí f es una función de distribución general de partículas con momento p en las coordenadas r y tiempo dado t . Nótese que el término es la fuerza F que actúa sobre la partícula. $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=0,}$$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$

El sistema de ecuaciones de Vlasov-Maxwell (unidades gaussianas)

En lugar de una descripción cinética basada en colisiones para la interacción de partículas cargadas en el plasma, Vlasov utiliza un campo colectivo autoconsistente creado por las partículas cargadas del plasma. Dicha descripción utiliza funciones de distribución y para electrones e iones (positivos) del plasma . La función de distribución para la especie α describe el número de partículas de la especie α que tienen aproximadamente el momento cerca de la posición en el tiempo t . En lugar de la ecuación de Boltzmann, se propuso el siguiente sistema de ecuaciones para la descripción de los componentes cargados del plasma (electrones e iones positivos): ${\displaystyle f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{e}\cdot \nabla f_{e}&-e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{e}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{e}}{\partial \mathbf {p} }}=0\\{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{i}\cdot \nabla f_{i}&+Z_{i}e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{i}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} }}=0\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {E} &=4\pi \rho \\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \rho =e\int (Z_{i}f_{i}-f_{e})\mathrm {d} ^{3}p,\quad \mathbf {j} =e\int (Z_{i}f_{i}\mathbf {v} _{i}-f_{e}\mathbf {v} _{e})\mathrm {d} ^{3}p,\quad \mathbf {v} _{\alpha }={\frac {\frac {\mathbf {p} }{m_{\alpha }}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{(m_{\alpha }c)^{2}}}\right)^{1/2}}}}$$

Aquí e es la carga elemental ( ), c ​​es la velocidad de la luz , m _i es la masa del ion, y representan el campo electromagnético colectivo autoconsistente creado en el punto en el momento t por todas las partículas de plasma. La diferencia esencial de este sistema de ecuaciones con respecto a las ecuaciones para partículas en un campo electromagnético externo es que el campo electromagnético autoconsistente depende de manera compleja de las funciones de distribución de electrones e iones y . ${\displaystyle e>0}$ ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$

La ecuación de Vlasov-Poisson

Las ecuaciones de Vlasov-Poisson son una aproximación de las ecuaciones de Vlasov-Maxwell en el límite de campo magnético cero no relativista: $${\displaystyle {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+\mathbf {v} _{\alpha }\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {q_{\alpha }\mathbf {E} }{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {v} }}=0,}$$

y la ecuación de Poisson para el campo eléctrico autoconsistente: $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +{\frac {\rho }{\varepsilon }}=0.}$$

Aquí q _α es la carga eléctrica de la partícula, m _α es la masa de la partícula, es el campo eléctrico autoconsistente , el potencial eléctrico autoconsistente , ρ es la densidad de carga eléctrica y es la permitividad eléctrica . ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Las ecuaciones de Vlasov-Poisson se utilizan para describir diversos fenómenos en el plasma, en particular la amortiguación de Landau y las distribuciones en un plasma de doble capa , donde son necesariamente fuertemente no maxwellianas y, por lo tanto, inaccesibles a los modelos de fluidos.

Ecuaciones de momento

En las descripciones de fluidos de plasmas (ver modelado de plasma y magnetohidrodinámica (MHD)) no se considera la distribución de velocidad. Esto se logra reemplazando con momentos de plasma como la densidad numérica n , la velocidad de flujo u y la presión p . ^[6] Se denominan momentos de plasma porque el n -ésimo momento de se puede encontrar integrando sobre la velocidad. Estas variables son solo funciones de la posición y el tiempo, lo que significa que se pierde algo de información. En la teoría de multifluidos, las diferentes especies de partículas se tratan como fluidos diferentes con diferentes presiones, densidades y velocidades de flujo. Las ecuaciones que gobiernan los momentos de plasma se denominan ecuaciones de momento o de fluido. ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v^{n}f}$

A continuación se presentan las dos ecuaciones de momento más utilizadas (en unidades del SI ). Para obtener las ecuaciones de momento a partir de la ecuación de Vlasov no es necesario hacer suposiciones sobre la función de distribución.

Ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad describe cómo cambia la densidad con el tiempo. Se puede hallar mediante la integración de la ecuación de Vlasov en todo el espacio de velocidades. $${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} ^{3}v=\int \left({\frac {\partial }{\partial t}}f+(\mathbf {v} \cdot \nabla _{r})f+(\mathbf {a} \cdot \nabla _{v})f\right)\mathrm {d} ^{3}v=0}$$

Después de algunos cálculos, uno termina con $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}n+\nabla \cdot (n\mathbf {u} )=0.}$$

La densidad numérica n y la densidad de momento n u son momentos de orden cero y primer orden: $${\displaystyle n=\int f\mathrm {d^{3}} v}$$ $${\displaystyle n\mathbf {u} =\int \mathbf {v} f\mathrm {d} ^{3}v}$$

Ecuación del momento

La tasa de cambio del momento de una partícula viene dada por la ecuación de Lorentz: $${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$$

Al utilizar esta ecuación y la ecuación de Vlasov, la ecuación de momento para cada fluido se convierte en donde es el tensor de presión. La derivada del material es $${\displaystyle mn{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathbf {u} =-\nabla \cdot {\mathcal {P}}+qn\mathbf {E} +qn\mathbf {u} \times \mathbf {B} ,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}$$

El tensor de presión se define como la masa de la partícula multiplicada por la matriz de covarianza de la velocidad: $${\displaystyle p_{ij}=m\int (v_{i}-u_{i})(v_{j}-u_{j})f\mathrm {d} ^{3}v.}$$

La aproximación congelada

En cuanto al MHD ideal , el plasma puede considerarse ligado a las líneas de campo magnético cuando se cumplen ciertas condiciones. A menudo se dice que las líneas de campo magnético están congeladas en el plasma. Las condiciones de congelación se pueden derivar de la ecuación de Vlasov.

Introducimos las escalas T , L y V para el tiempo, la distancia y la velocidad respectivamente. Representan magnitudes de los diferentes parámetros que dan grandes cambios en . Por grandes queremos decir que ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}T\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\right|L\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\right|V\sim f.}$$

Luego escribimos $${\displaystyle t'={\frac {t}{T}},\quad \mathbf {r} '={\frac {\mathbf {r} }{L}},\quad \mathbf {v} '={\frac {\mathbf {v} }{V}}.}$$

La ecuación de Vlasov ahora se puede escribir $${\displaystyle {\frac {1}{T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {V}{L}}\mathbf {v} '\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} '}}+{\frac {q}{mV}}(\mathbf {E} +V\mathbf {v} '\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}=0.}$$

Hasta ahora no se han hecho aproximaciones. Para poder continuar, fijamos , donde es la frecuencia del giroscopio y R es el radio de giro . Dividiendo por ω _g , obtenemos ${\displaystyle V=R\omega _{g}}$ ${\displaystyle \omega _{g}=qB/m}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{g}T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {R}{L}}\mathbf {v} '\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} '}}+\left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} '\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}=0}$$

Si y , los dos primeros términos serán mucho menores que ya que y debido a las definiciones de T , L y V anteriores. Dado que el último término es del orden de , podemos descuidar los dos primeros términos y escribir ${\displaystyle 1/\omega _{g}\ll T}$ ${\displaystyle R\ll L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial f/\partial t'\sim f,v'\lesssim 1}$ ${\displaystyle \partial f/\partial \mathbf {r} '\sim f}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} '\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}\approx 0\Rightarrow (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\approx 0}$$

Esta ecuación se puede descomponer en un campo alineada y una parte perpendicular: $${\displaystyle \mathbf {E} _{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\parallel }}}+(\mathbf {E} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$$

El siguiente paso es escribir , donde ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}+\Delta \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} =-\mathbf {E} _{\perp }}$$

Pronto quedará claro por qué se hace esto. Con esta sustitución, obtenemos $${\displaystyle \mathbf {E} _{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\parallel }}}+(\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$$

Si el campo eléctrico paralelo es pequeño, $${\displaystyle (\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$$

Esta ecuación significa que la distribución es girotrópica. ^[7] La ​​velocidad media de una distribución girotrópica es cero. Por lo tanto, es idéntica a la velocidad media, u , y tenemos ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} \approx 0}$$

En resumen, el período y el radio del giroscopio deben ser mucho menores que los tiempos y las longitudes típicos que dan grandes cambios en la función de distribución. El radio del giroscopio se estima a menudo reemplazando V por la velocidad térmica o la velocidad de Alfvén . En este último caso, R se denomina a menudo longitud inercial. Las condiciones de congelación se deben evaluar para cada especie de partícula por separado. Debido a que los electrones tienen un período y un radio de giroscopio mucho menores que los iones, las condiciones de congelación se cumplirán con mayor frecuencia.

Véase también

• Ecuación de Fokker-Planck

Referencias

1. AA Vlasov (1938). "Sobre las propiedades vibratorias del gas electrónico". J. Exp. Theor. Phys. (en ruso). 8 (3): 291.
2. AA Vlasov (1968). "Las propiedades vibracionales de un gas de electrones". Física soviética Uspekhi . 10 (6): 721–733. Código Bibliográfico :1968SvPhU..10..721V. doi :10.1070/PU1968v010n06ABEH003709. S2CID  122952713.
3. AA Vlasov (1945). Teoría de las propiedades vibracionales de un gas de electrones y sus aplicaciones .
4. HJ Merrill y HW Webb (1939). "Dispersión de electrones y oscilaciones del plasma". Physical Review . 55 (12): 1191. Bibcode :1939PhRv...55.1191M. doi :10.1103/PhysRev.55.1191.
5. Hénon, M. (1982). "¿Ecuación de Vlasov?". Astronomía y Astrofísica . 114 (1): 211–212. Código Bibliográfico :1982A&A...114..211H.
6. Baumjohann, W.; Treumann, RA (1997). Física básica del plasma espacial . Imperial College Press. ISBN 1-86094-079-X.
7. Clemmow, PC; Dougherty, John P. (1969). Electrodinámica de partículas y plasmas . Ediciones de Addison-Wesley Pub. Co .: cMUlGV7CWTQC.

Lectura adicional

• Vlasov, AA (1961). "Teoría de muchas partículas y su aplicación al plasma". Nueva York . Bibcode :1961temc.book.....V.