Amortiguación Landau

En física , el amortiguamiento de Landau , llamado así por su descubridor, ^[1] el físico soviético Lev Davidovich Landau (1908-68), es el efecto de amortiguamiento ( disminución exponencial en función del tiempo) de las ondas de carga espacial longitudinales en el plasma o un entorno similar. ^[2] Este fenómeno evita que se desarrolle una inestabilidad y crea una región de estabilidad en el espacio de parámetros . Más tarde, Donald Lynden-Bell argumentó que estaba ocurriendo un fenómeno similar en la dinámica galáctica, ^[3] donde el gas de electrones que interactúan por fuerzas electrostáticas es reemplazado por un "gas de estrellas" que interactúa por fuerzas gravitacionales. ^[4] El amortiguamiento de Landau se puede manipular exactamente en simulaciones numéricas como la simulación de partículas en celdas . ^[5] Malmberg y Wharton demostraron su existencia experimentalmente en 1964, ^[6] casi dos décadas después de su predicción por Landau en 1946. ^[7]

Interacciones onda-partícula

El amortiguamiento de Landau se produce debido al intercambio de energía entre una onda electromagnética con velocidad de fase y partículas en el plasma con velocidad aproximadamente igual a , que pueden interactuar fuertemente con la onda. ^[8] Aquellas partículas que tengan velocidades ligeramente menores que serán aceleradas por el campo eléctrico de la onda para moverse con la velocidad de fase de la onda, mientras que aquellas partículas con velocidades ligeramente mayores que serán desaceleradas perdiendo energía con la onda: las partículas tienden a sincronizarse con la onda. Esto se ha demostrado experimentalmente con un tubo de ondas viajeras . ^[9] ${\displaystyle v_{\text{ph}}}$ ${\displaystyle v_{\text{ph}}}$ ${\displaystyle v_{\text{ph}}}$ ${\displaystyle v_{\text{ph}}}$

En un plasma magnetohidrodinámico (MHD) ideal, las velocidades de las partículas se toman a menudo como aproximadamente una función de distribución de Maxwell . Si la pendiente de la función es negativa, el número de partículas con velocidades ligeramente menores que la velocidad de fase de la onda es mayor que el número de partículas con velocidades ligeramente mayores. Por lo tanto, hay más partículas que ganan energía de la onda que las que la pierden, lo que conduce a la amortiguación de la onda. Sin embargo, si la pendiente de la función es positiva, el número de partículas con velocidades ligeramente menores que la velocidad de fase de la onda es menor que el número de partículas con velocidades ligeramente mayores. Por lo tanto, hay más partículas que pierden energía de la onda que las que la ganan, lo que conduce a un aumento resultante en la energía de la onda. Entonces, la amortiguación de Landau se sustituye por el crecimiento de Landau.

Interpretación física

La teoría matemática del amortiguamiento de Landau es algo compleja (véase § Tratamiento matemático) . Sin embargo, en el caso de ondas con amplitud finita, existe una interpretación física simple ^{[2] : §7.5} que, aunque no es estrictamente correcta, ayuda a visualizar este fenómeno.

Los veleros (o surfistas) que intentan atrapar una ola del océano aceleran y desaceleran para igualar la velocidad de la ola.

Es posible imaginar las olas de Langmuir como olas en el mar y las partículas como surfistas que intentan atrapar la ola, todas moviéndose en la misma dirección. Si el surfista se mueve sobre la superficie del agua a una velocidad ligeramente menor que la de las olas, acabará siendo atrapado y empujado a lo largo de la ola (ganando energía), mientras que un surfista que se mueve ligeramente más rápido que la ola empujará la ola mientras se mueve cuesta arriba (perdiendo energía a favor de la ola).

Cabe señalar que sólo los surfistas juegan un papel importante en estas interacciones energéticas con las olas; una pelota de playa que flota en el agua (velocidad cero) subirá y bajará a medida que pase la ola, sin ganar energía en absoluto. Además, una embarcación que se mueve más rápido que las olas no intercambia mucha energía con la ola.

Los electrones en un plasma inicialmente maxwelliano se mueven a través de un espacio de fases unidimensional en presencia de una onda electrostática.

Se obtiene una imagen algo más detallada considerando las trayectorias de las partículas en el espacio de fases , en el marco de referencia de la onda. Las partículas cercanas a la velocidad de fase quedan atrapadas y se ven obligadas a moverse con los frentes de onda, a la velocidad de fase. De este modo, todas las partículas que inicialmente estaban por debajo de la velocidad de fase se han acelerado, mientras que todas las partículas que inicialmente estaban por encima de la velocidad de fase se han desacelerado. Debido a que, para un plasma maxwelliano, inicialmente hay más partículas por debajo de la velocidad de fase que por encima de ella, el plasma ha ganado energía neta y, por lo tanto, la onda ha perdido energía. ^{[2] : 246–247}

Una descripción mecánica simple de la dinámica de partículas proporciona una estimación cuantitativa de la sincronización de las partículas con la onda. ^{[9] : Eq. 1} Un enfoque más riguroso muestra que la sincronización más fuerte ocurre para partículas con una velocidad en el marco de la onda proporcional a la tasa de amortiguamiento e independiente de la amplitud de la onda. ^{[10] : §3.2} Dado que el amortiguamiento de Landau ocurre para ondas con amplitudes arbitrariamente pequeñas, esto muestra que las partículas más activas en este amortiguamiento están lejos de ser atrapadas. Esto es natural, ya que el atrapamiento implica escalas de tiempo divergentes para tales ondas (específicamente para una amplitud de onda ). ${\displaystyle T_{\text{trap}}\sim A^{-1/2}}$ ${\displaystyle A}$

Tratamiento matemático

Teoría de la perturbación en el marco vlasoviano

El tratamiento teórico comienza con la ecuación de Vlasov en el límite de campo magnético cero no relativista, el conjunto de ecuaciones de Vlasov-Poisson. Se obtienen soluciones explícitas en el límite de un campo pequeño. La función de distribución y el campo se desarrollan en una serie: , y se recogen los términos de igual orden. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f=f_{0}(v)+f_{1}(x,v,t)+\cdots }$ ${\displaystyle E=E_{1}(x,t)+E_{2}(x,t)+\cdots }$

Para ordenar en primer orden las ecuaciones de Vlasov-Poisson, léase $${\displaystyle (\partial _{t}+v\partial _{x})f_{1}+{e \over m}E_{1}f'_{0}=0,\quad \partial _{x}E_{1}={e \over \epsilon _{0}}\int f_{1}\mathrm {d} v.}$$

Landau calculó ^[1] la onda causada por una perturbación inicial y encontró, con ayuda de la transformada de Laplace y la integración de contornos, una onda viajera amortiguada de la forma con número de onda y decremento de amortiguamiento ${\displaystyle f_{1}(x,v,0)=g(v)\exp(ikx)}$ ${\displaystyle \exp[ik(x-v_{\text{ph}}t)-\gamma t]}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \gamma \approx -{\pi \omega _{p}^{3} \over 2k^{2}N}f'_{0}(v_{\text{ph}}),\quad N=\int f_{0}\mathrm {d} v.}$$

Aquí está la frecuencia de oscilación del plasma y es la densidad electrónica. Más tarde, Nico van Kampen demostró ^[11] que se puede obtener el mismo resultado con la transformada de Fourier . Demostró que las ecuaciones de Vlasov-Poisson linealizadas tienen un espectro continuo de modos normales singulares, ahora conocidos como modos de van Kampen en los que significa valor principal, es la función delta (ver función generalizada ) y es la permitividad del plasma. Al descomponer la perturbación inicial en estos modos, obtuvo el espectro de Fourier de la onda resultante. La amortiguación se explica por la mezcla de fases de estos modos de Fourier con frecuencias ligeramente diferentes cerca de . ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\frac {\omega _{p}^{2}}{kN}}f'_{0}{\frac {\mathcal {P}}{kv-\omega }}+\epsilon \delta \left(v-{\frac {\omega }{k}}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \epsilon =1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{kN}}\int f'_{0}{\frac {\mathcal {P}}{\omega -kv}}\mathrm {d} v}$$ ${\displaystyle \omega _{p}}$

No estaba claro cómo podía producirse la amortiguación en un plasma sin colisiones: ¿a dónde va la energía de la onda? En la teoría de fluidos, en la que el plasma se modela como un medio dieléctrico dispersivo, ^[12] se conoce la energía de las ondas de Langmuir: energía de campo multiplicada por el factor de Brillouin . Pero la amortiguación no se puede derivar en este modelo. Para calcular el intercambio de energía de la onda con los electrones resonantes, la teoría del plasma de Vlasov debe ampliarse al segundo orden y surgen problemas sobre las condiciones iniciales adecuadas y los términos seculares. ${\displaystyle \partial _{\omega }(\omega \epsilon )}$

En la referencia ^[13] se estudian estos problemas. Debido a que los cálculos para una onda infinita son deficientes en segundo orden, se analiza un paquete de ondas . Se encuentran condiciones iniciales de segundo orden que suprimen el comportamiento secular y excitan un paquete de ondas cuya energía concuerda con la teoría de fluidos. La figura muestra la densidad de energía de un paquete de ondas que viaja a la velocidad de grupo , siendo su energía transportada por electrones que se mueven a la velocidad de fase. La energía total, el área bajo las curvas, se conserva.

El problema de Cauchy para soluciones perturbativas

La teoría matemática rigurosa se basa en resolver el problema de Cauchy para la ecuación de evolución (aquí la ecuación diferencial parcial de Vlasov-Poisson) y demostrar estimaciones de la solución.

En primer lugar, desde Landau se ha desarrollado una teoría matemática linealizada bastante completa. ^[14]

Ir más allá de la ecuación linealizada y abordar la no linealidad ha sido un problema de larga data en la teoría matemática del amortiguamiento de Landau. Anteriormente, un resultado matemático a nivel no lineal fue la existencia de una clase de soluciones exponencialmente amortiguadas de la ecuación de Vlasov-Poisson en un círculo que se había demostrado en ^[15] mediante una técnica de dispersión (este resultado se ha ampliado recientemente en ^[16] ). Sin embargo, estos resultados de existencia no dicen nada sobre qué datos iniciales podrían conducir a tales soluciones amortiguadas.

En un artículo publicado por los matemáticos franceses Cédric Villani y Clément Mouhot ^[17] , se resuelve el problema de los datos iniciales y se establece matemáticamente por primera vez el amortiguamiento de Landau para la ecuación no lineal de Vlasov. Se demuestra que las soluciones que comienzan en algún vecindario (para la topología analítica o de Gevrey) de una solución estacionaria homogénea linealmente estable son (orbitalmente) estables para todos los tiempos y se amortiguan globalmente en el tiempo. El fenómeno del amortiguamiento se reinterpreta en términos de transferencia de regularidad de en función de y , respectivamente, en lugar de intercambios de energía. Las variaciones de gran escala pasan a variaciones de escala cada vez más pequeña en el espacio de velocidad, correspondientes a un desplazamiento del espectro de Fourier de en función de . Este desplazamiento, bien conocido en la teoría lineal, demuestra ser válido en el caso no lineal. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v}$

Teoría de la perturbación en unanorte-bastidor de carrocería

La descripción mecánica de N -cuerpos, que originalmente se consideraba imposible, permite un cálculo riguroso del amortiguamiento de Landau utilizando la segunda ley de movimiento de Newton y la serie de Fourier. ^[10] No se requieren ni la ecuación de Vlasov ni las transformadas de Laplace para esta derivación. El cálculo del intercambio de energía (más precisamente el momento) de la onda con los electrones se realiza de manera similar. Este cálculo hace intuitiva la interpretación del amortiguamiento de Landau como la sincronización de partículas que pasan casi resonantes.

Referencias

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2. Chen, Francis F. Introducción a la física del plasma y la fusión controlada . Segunda edición, 1984 Plenum Press, Nueva York.
3. Lynden-Bell, D (1962). "La estabilidad y vibraciones de un gas de estrellas". Mon. Not. R. Astron. Soc . 124 (4): 279–296. Código Bibliográfico :1962MNRAS.124..279L. doi :10.1093/mnras/124.4.279.{{cite journal}}: CS1 maint: unflagged free DOI (link)
4. Binney, J., y Tremaine, S. Galactic Dynamics , segunda edición. Princeton Series in Astrophysics, Princeton University Press , 2008.
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6. Malmberg, JH; Wharton, CB (10 de agosto de 1964). "Amortiguación sin colisión de ondas de plasma electrostático". Physical Review Letters . 13 (6): 184–186. Código Bibliográfico :1964PhRvL..13..184M. doi :10.1103/PhysRevLett.13.184.
7. Landau, LD "Sobre las vibraciones del plasma electrónico". Zh. Eksp. Teor. Fiz . 16 : 574–86 (reimpreso en 1965 en Collected Papers of Landau ed D ter Haar (Oxford: Pergamon) pp 445–60).
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9. Doveil, F.; Escande, DF; Macor, A. (4 de marzo de 2005). "Observación experimental de sincronización no lineal debida a una onda única". Physical Review Letters . 94 (8): 085003. Bibcode :2005PhRvL..94h5003D. doi :10.1103/PhysRevLett.94.085003. PMID  15783900.
10. Escande, DF, Bénisti, D., Elskens, Y., Zarzoso, D., y Doveil, F. (2018). Física básica del plasma microscópico a partir de la mecánica de N-cuerpos, Un homenaje a Pierre-Simon de Laplace, Reseñas de física moderna del plasma, 2, 1-68
11. van Kampen, NG, "Sobre la teoría de las ondas estacionarias en el plasma", Physica 21 (1955), 949–963. Véase http://theor.jinr.ru/~kuzemsky/kampenbio.html
12. Landau, LD y Lifshitz, EM, Electrodinámica de medios continuos §80, Pergamon Press (1984).
13. Best, Robert WB, "Densidad de energía y momento de un paquete de ondas amortiguado por Landau", J. Plasma Phys. 63 (2000), 371-391
14. Véase, por ejemplo, Backus, G. "Oscilaciones de plasma linealizadas en distribuciones arbitrarias de electrones". J. Math. Phys. 1 (1960), 178-191, 559. Degond, P. "Teoría espectral de la ecuación linealizada de Vlasov-Poisson". Trans. Amer. Math. Soc. 294, 2 (1986), 435-453. Maslov, VP y Fedoryuk, MV "La teoría lineal del amortiguamiento de Landau". Mat. Sb. (NS) 127(169), 4 (1985), 445-475, 559.
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16. Hwang, HJ y Velázquez JJL "Sobre la existencia de soluciones exponencialmente decrecientes del problema de amortiguamiento no lineal de Landau", Indiana Univ. Math. J. 68, 6 (2009), 2623–2660
17. Mouhot, Clément; Villani, Cédric (2011). "Sobre el amortiguamiento de Landau". Acta Mathematica . 207 (1). Prensa internacional de Boston: 29–201. arXiv : 0904.2760 . doi : 10.1007/s11511-011-0068-9 . ISSN  0001-5962.