Análisis de Fourier

Rama de las matemáticas

Señal de tiempo de la nota A de la cuerda abierta de la guitarra baja (55 Hz).

Transformada de Fourier de la señal de tiempo de la nota A de la cuerda abierta (55 Hz) de un bajo eléctrico. El análisis de Fourier revela los componentes oscilatorios de las señales y las funciones .

En matemáticas , el análisis de Fourier ( / ˈfʊrieɪ , -iər / ) [ ^1] es el estudio de la forma en que las funciones generales pueden representarse o aproximarse mediante sumas de funciones trigonométricas más simples . El análisis de Fourier surgió del estudio de las series de Fourier y recibe su nombre de Joseph Fourier , quien demostró que representar una función como una suma de funciones trigonométricas simplifica enormemente el estudio de la transferencia de calor .

El análisis de Fourier abarca un amplio espectro de las matemáticas. En las ciencias y la ingeniería, el proceso de descomposición de una función en componentes oscilatorios se suele denominar análisis de Fourier, mientras que la operación de reconstruir la función a partir de estos fragmentos se conoce como síntesis de Fourier . Por ejemplo, determinar qué frecuencias componentes están presentes en una nota musical implicaría calcular la transformada de Fourier de una nota musical muestreada. A continuación, se podría volver a sintetizar el mismo sonido incluyendo los componentes de frecuencia tal como se revelan en el análisis de Fourier. En matemáticas, el término análisis de Fourier suele referirse al estudio de ambas operaciones.

El proceso de descomposición en sí se denomina transformación de Fourier . Su resultado, la transformada de Fourier , suele recibir un nombre más específico, que depende del dominio y otras propiedades de la función que se transforma. Además, el concepto original del análisis de Fourier se ha ampliado con el tiempo para aplicarse a situaciones cada vez más abstractas y generales, y el campo general suele conocerse como análisis armónico . Cada transformada utilizada para el análisis (consulte la lista de transformadas relacionadas con Fourier ) tiene una transformada inversa correspondiente que se puede utilizar para la síntesis.

Para utilizar el análisis de Fourier, los datos deben estar espaciados de manera uniforme. Se han desarrollado diferentes enfoques para analizar datos espaciados de manera desigual, en particular los métodos de análisis espectral de mínimos cuadrados (LSSA) que utilizan un ajuste de mínimos cuadrados de las sinusoides a las muestras de datos, similar al análisis de Fourier. ^{[2] [3]} El análisis de Fourier, el método espectral más utilizado en la ciencia, generalmente aumenta el ruido de período largo en registros con espacios largos; LSSA mitiga estos problemas. ^[4]

Aplicaciones

El análisis de Fourier tiene muchas aplicaciones científicas: en física , ecuaciones diferenciales parciales , teoría de números , combinatoria , procesamiento de señales , procesamiento de imágenes digitales , teoría de probabilidad , estadística , ciencia forense , fijación de precios de opciones , criptografía , análisis numérico , acústica , oceanografía , sonar , óptica , difracción , geometría , análisis de estructura de proteínas y otras áreas.

Esta amplia aplicabilidad se deriva de muchas propiedades útiles de las transformaciones :

• Las transformadas son operadores lineales y, con la normalización adecuada, también son unitarias (una propiedad conocida como teorema de Parseval o, más generalmente, como teorema de Plancherel , y más generalmente a través de la dualidad de Pontryagin ). ^[5]
• Las transformaciones suelen ser invertibles.
• Las funciones exponenciales son funciones propias de diferenciación , lo que significa que esta representación transforma ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes en ecuaciones algebraicas ordinarias. ^[6] Por lo tanto, el comportamiento de un sistema lineal invariante en el tiempo se puede analizar en cada frecuencia de forma independiente.
• Según el teorema de convolución , las transformadas de Fourier convierten la complicada operación de convolución en una simple multiplicación, lo que significa que proporcionan una forma eficiente de calcular operaciones basadas en convolución, como el filtrado de señales, la multiplicación de polinomios y la multiplicación de números grandes . ^[7]
• La versión discreta de la transformada de Fourier (ver más abajo) se puede evaluar rápidamente en computadoras utilizando algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT). ^[8]

En el campo forense, los espectrofotómetros infrarrojos de laboratorio utilizan el análisis de transformada de Fourier para medir las longitudes de onda de la luz a las que un material absorberá en el espectro infrarrojo. El método FT se utiliza para decodificar las señales medidas y registrar los datos de longitud de onda. Y mediante el uso de una computadora, estos cálculos de Fourier se llevan a cabo rápidamente, de modo que en cuestión de segundos, un instrumento FT-IR operado por computadora puede producir un patrón de absorción infrarroja comparable al de un instrumento de prisma. ^[9]

La transformación de Fourier también es útil como representación compacta de una señal. Por ejemplo, la compresión JPEG utiliza una variante de la transformación de Fourier ( transformada de coseno discreta ) de pequeños fragmentos cuadrados de una imagen digital. Los componentes de Fourier de cada cuadrado se redondean a una precisión aritmética menor y los componentes débiles se eliminan por completo, de modo que los componentes restantes se pueden almacenar de forma muy compacta. En la reconstrucción de imágenes, cada cuadrado de la imagen se vuelve a ensamblar a partir de los componentes aproximados conservados de la transformada de Fourier, que luego se transforman de forma inversa para producir una aproximación de la imagen original.

En el procesamiento de señales , la transformada de Fourier a menudo toma una serie temporal o una función de tiempo continuo y la convierte en un espectro de frecuencias . Es decir, lleva una función del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia ; es una descomposición de una función en sinusoides de diferentes frecuencias; en el caso de una serie de Fourier o una transformada de Fourier discreta , las sinusoides son armónicos de la frecuencia fundamental de la función que se analiza.

Cuando una función es una función del tiempo y representa una señal física , la transformación tiene una interpretación estándar como el espectro de frecuencia de la señal. La magnitud de la función compleja resultante en la frecuencia representa la amplitud de un componente de frecuencia cuya fase inicial está dada por el ángulo de (coordenadas polares). ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S(f)}$

Las transformadas de Fourier no se limitan a funciones de tiempo y frecuencias temporales. También se pueden aplicar para analizar frecuencias espaciales y, de hecho, para casi cualquier dominio de funciones. Esto justifica su uso en ramas tan diversas como el procesamiento de imágenes , la conducción de calor y el control automático .

Al procesar señales, como audio , ondas de radio , ondas de luz, ondas sísmicas e incluso imágenes, el análisis de Fourier puede aislar los componentes de banda estrecha de una forma de onda compuesta, concentrándolos para una detección o eliminación más sencilla. Una gran familia de técnicas de procesamiento de señales consiste en transformar una señal mediante Fourier, manipular los datos transformados mediante Fourier de una manera sencilla e invertir la transformación. ^[10]

Algunos ejemplos incluyen :

• Ecualización de grabaciones de audio con una serie de filtros de paso de banda ;
• Recepción de radio digital sin circuito superheterodino , como en un teléfono móvil moderno o un escáner de radio ;
• Procesamiento de imágenes para eliminar artefactos periódicos o anisotrópicos, como irregularidades en videos entrelazados , artefactos de tiras en fotografías aéreas de tiras o patrones de ondas de interferencias de radiofrecuencia en una cámara digital;
• Correlación cruzada de imágenes similares para co-alineación;
• Cristalografía de rayos X para reconstruir una estructura cristalina a partir de su patrón de difracción;
• Espectrometría de masas por resonancia de iones de ciclotrón con transformada de Fourier para determinar la masa de iones a partir de la frecuencia del movimiento del ciclotrón en un campo magnético;
• Muchas otras formas de espectroscopia, incluidas las espectroscopias infrarrojas y de resonancia magnética nuclear ;
• Generación de espectrogramas de sonido utilizados para analizar sonidos;
• Sonar pasivo utilizado para clasificar objetivos según el ruido de la maquinaria.

Variantes del análisis de Fourier

Una transformada de Fourier y tres variaciones causadas por el muestreo periódico (en el intervalo ) y/o la suma periódica (en el intervalo ) de la función del dominio temporal subyacente. La relativa facilidad computacional de la secuencia DFT y la información que proporciona la convierten en una herramienta de análisis popular. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S(f)}$

Transformada de Fourier (continua)

En la mayoría de los casos, el término transformada de Fourier no calificado se refiere a la transformada de funciones de un argumento real continuo , y produce una función continua de frecuencia, conocida como distribución de frecuencia . Una función se transforma en otra y la operación es reversible. Cuando el dominio de la función de entrada (inicial) es el tiempo ( ), y el dominio de la función de salida (final) es la frecuencia ordinaria , la transformada de la función en la frecuencia viene dada por el número complejo : ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}$

Al evaluar esta cantidad para todos los valores de se obtiene la función en el dominio de la frecuencia . Luego se puede representar como una recombinación de exponenciales complejos de todas las frecuencias posibles : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}$

que es la fórmula de transformación inversa. El número complejo transmite tanto la amplitud como la fase de la frecuencia. ${\displaystyle S(f),}$ ${\displaystyle f.}$

Consulte la transformada de Fourier para obtener mucha más información, incluyendo :

• Convenciones para la normalización de amplitud y escalamiento/unidades de frecuencia
• transformar propiedades
• transformaciones tabuladas de funciones específicas
• una extensión/generalización para funciones de múltiples dimensiones, como imágenes.

Serie de Fourier

La transformada de Fourier de una función periódica, con período, se convierte en una función peine de Dirac , modulada por una secuencia de coeficientes complejos : ${\displaystyle s_{_{P}}(t),}$ ${\displaystyle P,}$

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{_{P}}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (donde es la integral sobre cualquier intervalo de longitud ). ${\displaystyle \int _{P}}$ ${\displaystyle P}$

La transformada inversa, conocida como serie de Fourier , es una representación en términos de una suma de un número potencialmente infinito de senos armónicamente relacionados o funciones exponenciales complejas , cada una con una amplitud y fase especificadas por uno de los coeficientes : ${\displaystyle s_{_{P}}(t)}$

${\displaystyle s_{_{P}}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.}$

Cualquiera puede expresarse como una suma periódica de otra función, : ${\displaystyle s_{_{P}}(t)}$ ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s_{_{P}}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}$

y los coeficientes son proporcionales a muestras de en intervalos discretos de : ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{P}}}$

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}$^[A]

Nótese que cualquier cuya transformada tenga los mismos valores de muestra discretos puede usarse en la suma periódica. Una condición suficiente para recuperar (y por lo tanto ) solo a partir de estas muestras (es decir, de la serie de Fourier) es que la porción distinta de cero de esté confinada a un intervalo conocido de duración que es el dual del dominio de frecuencia del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle P,}$

Consulte la serie de Fourier para obtener más información, incluido el desarrollo histórico.

Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT)

La DTFT es el dual matemático de la serie de Fourier en el dominio del tiempo. Por lo tanto, una suma periódica convergente en el dominio de la frecuencia se puede representar mediante una serie de Fourier, cuyos coeficientes son muestras de una función de tiempo continua relacionada :

${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier series (DTFT)}}} _{\text{Poisson summation formula}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \delta (t-nT)\right\},\,}$

que se conoce como DTFT. Por lo tanto, la DTFT de la secuencia es también la transformada de Fourier de la función peine de Dirac modulada . ^[B] ${\displaystyle s[n]}$

Los coeficientes de la serie de Fourier (y la transformada inversa), se definen por :

${\displaystyle s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\tfrac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.}$

El parámetro corresponde al intervalo de muestreo, y esta serie de Fourier ahora puede reconocerse como una forma de la fórmula de suma de Poisson . Por lo tanto, tenemos el resultado importante de que cuando una secuencia de datos discretos es proporcional a las muestras de una función continua subyacente, se puede observar una suma periódica de la transformada de Fourier continua. Nótese que cualquier con los mismos valores de muestra discretos produce la misma DTFT. Pero bajo ciertas condiciones idealizadas, uno puede recuperar teóricamente y exactamente. Una condición suficiente para una recuperación perfecta es que la porción distinta de cero de esté confinada a un intervalo de frecuencia conocido de ancho.   Cuando ese intervalo es la fórmula de reconstrucción aplicable es la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon . Esta es una piedra angular en la base del procesamiento de señales digitales . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s[n],}$ ${\displaystyle s(t),}$ ${\displaystyle S(f).}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{T}}.}$ ${\displaystyle \left[-{\tfrac {1}{2T}},{\tfrac {1}{2T}}\right],}$

Otro motivo de interés es que a menudo proporciona información sobre la cantidad de alias causado por el proceso de muestreo. ${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f)}$

Las aplicaciones de la DTFT no se limitan a las funciones muestreadas. Consulte Transformada de Fourier de tiempo discreto para obtener más información sobre este y otros temas, incluidos :

• unidades de frecuencia normalizadas
• Ventanas (secuencias de longitud finita)
• transformar propiedades
• transformaciones tabuladas de funciones específicas

Transformada de Fourier discreta (DFT)

De manera similar a una serie de Fourier, la DTFT de una secuencia periódica, con período , se convierte en una función peine de Dirac, modulada por una secuencia de coeficientes complejos (ver DTFT § Datos periódicos ) : ${\displaystyle s_{_{N}}[n],}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle S[k]=\sum _{n}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (donde es la suma sobre cualquier secuencia de longitud ) ${\displaystyle \sum _{n}}$ ${\displaystyle N.}$

La secuencia se conoce habitualmente como la DFT de un ciclo de También es periódica, por lo que nunca es necesario calcular más de coeficientes. La transformada inversa, también conocida como serie de Fourier discreta , viene dada por : ${\displaystyle S[k]}$ ${\displaystyle s_{_{N}}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle s_{_{N}}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},}$   ¿Dónde está la suma sobre cualquier secuencia de longitud? ${\displaystyle \sum _{k}}$ ${\displaystyle N.}$

Cuando se expresa como suma periódica de otra función : ${\displaystyle s_{_{N}}[n]}$

${\displaystyle s_{_{N}}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN],}$   y   ${\displaystyle s[n]\,\triangleq \,T\cdot s(nT),}$

Los coeficientes son muestras de intervalos discretos de : ${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}={\tfrac {1}{NT}}}$

${\displaystyle S[k]=S_{\tfrac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).}$

Por el contrario, cuando se desea calcular un número arbitrario de muestras discretas de un ciclo de una DTFT continua, se puede hacer calculando la DFT relativamente simple de como se definió anteriormente. En la mayoría de los casos, se elige igual a la longitud de la porción distinta de cero de Aumentar, conocido como relleno de ceros o interpolación , da como resultado muestras más espaciadas de un ciclo de Decreciente provoca superposición (adición) en el dominio del tiempo (análogo al aliasing ), que corresponde a la decimación en el dominio de la frecuencia. (ver Transformada de Fourier de tiempo discreto § L=N×I ) En la mayoría de los casos de interés práctico, la secuencia representa una secuencia más larga que fue truncada por la aplicación de una función de ventana de longitud finita o una matriz de filtros FIR . ${\displaystyle (N)}$ ${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f),}$ ${\displaystyle s_{_{N}}[n],}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s[n].}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f).}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle s[n]}$

La DFT se puede calcular utilizando un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT), lo que la convierte en una transformación práctica e importante en las computadoras.

Consulte Transformada de Fourier discreta para obtener mucha más información, incluyendo :

• transformar propiedades
• aplicaciones
• transformaciones tabuladas de funciones específicas

Resumen

En el caso de las funciones periódicas, tanto la transformada de Fourier como la DTFT comprenden únicamente un conjunto discreto de componentes de frecuencia (series de Fourier), y las transformadas divergen en esas frecuencias. Una práctica común (no analizada anteriormente) es manejar esa divergencia mediante las funciones delta de Dirac y peine de Dirac . Pero la misma información espectral se puede discernir a partir de un solo ciclo de la función periódica, ya que todos los demás ciclos son idénticos. De manera similar, las funciones de duración finita se pueden representar como una serie de Fourier, sin pérdida real de información, excepto que la periodicidad de la transformada inversa es un mero artefacto.

En la práctica, es habitual que la duración de s (•) se limite al período P o N. Pero estas fórmulas no requieren esa condición.

Propiedades de simetría

Cuando las partes reales e imaginarias de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, denotados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay una correspondencia biunívoca entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja : ^[11]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

De esto se desprenden diversas relaciones, por ejemplo :

• La transformada de una función de valor real es la función simétrica conjugada . Por el contrario, una transformada simétrica conjugada implica un dominio de tiempo de valor real. ${\displaystyle (s_{_{RE}}+s_{_{RO}})}$ ${\displaystyle S_{RE}+i\ S_{IO}.}$
• La transformada de una función de valor imaginario es la función antisimétrica conjugada y la inversa es verdadera. ${\displaystyle (i\ s_{_{IE}}+i\ s_{_{IO}})}$ ${\displaystyle S_{RO}+i\ S_{IE},}$
• La transformada de una función simétrica conjugada es la función de valor real y la inversa es verdadera. ${\displaystyle (s_{_{RE}}+i\ s_{_{IO}})}$ ${\displaystyle S_{RE}+S_{RO},}$
• La transformada de una función antisimétrica conjugada es la función de valor imaginario y la recíproca es verdadera. ${\displaystyle (s_{_{RO}}+i\ s_{_{IE}})}$ ${\displaystyle i\ S_{IE}+i\ S_{IO},}$

Historia

Una forma temprana de series armónicas se remonta a las matemáticas de la antigua Babilonia , donde se utilizaban para calcular efemérides (tablas de posiciones astronómicas). ^{[12] [13] [14] [15]}

Los conceptos griegos clásicos de deferente y epiciclo en el sistema astronómico ptolemaico estaban relacionados con las series de Fourier (ver Deferente y epiciclo § Formalismo matemático ).

En tiempos modernos, variantes de la transformada de Fourier discreta fueron utilizadas por Alexis Clairaut en 1754 para calcular una órbita, ^[16] que ha sido descrita como la primera fórmula para la DFT, ^[17] y en 1759 por Joseph Louis Lagrange , para calcular los coeficientes de una serie trigonométrica para una cuerda vibrante. ^[17] Técnicamente, el trabajo de Clairaut fue una serie de solo coseno (una forma de transformada de coseno discreta ), mientras que el trabajo de Lagrange fue una serie de solo seno (una forma de transformada de seno discreta ); Gauss utilizó una verdadera DFT de coseno + seno en 1805 para la interpolación trigonométrica de órbitas de asteroides . ^[18] Euler y Lagrange discretizaron el problema de la cuerda vibrante, utilizando lo que hoy se llamarían muestras. ^[17]

Un desarrollo moderno temprano hacia el análisis de Fourier fue el artículo de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations de Lagrange, que en el método de los resolventes de Lagrange utilizó una descomposición compleja de Fourier para estudiar la solución de una ecuación cúbica : ^[19] Lagrange transformó las raíces en los resolventes : ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2},}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}}$

donde ζ es una raíz cúbica de la unidad , que es la DFT de orden 3.

Varios autores, en particular Jean le Rond d'Alembert y Carl Friedrich Gauss, utilizaron series trigonométricas para estudiar la ecuación del calor , ^[20] pero el avance decisivo fue el artículo de 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides de Joseph Fourier , cuya idea crucial fue modelar todas las funciones mediante series trigonométricas, introduciendo las series de Fourier.

Los historiadores están divididos en cuanto a cuánto crédito se le debe a Lagrange y otros por el desarrollo de la teoría de Fourier : Daniel Bernoulli y Leonhard Euler habían introducido representaciones trigonométricas de funciones, y Lagrange había dado la solución de la serie de Fourier a la ecuación de onda, por lo que la contribución de Fourier fue principalmente la afirmación audaz de que una función arbitraria podía representarse mediante una serie de Fourier. ^[17]

El desarrollo posterior del campo se conoce como análisis armónico y también es un ejemplo temprano de la teoría de la representación .

El primer algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT) para la DFT fue descubierto alrededor de 1805 por Carl Friedrich Gauss al interpolar mediciones de la órbita de los asteroides Juno y Pallas , aunque ese algoritmo FFT en particular se atribuye más a menudo a sus redescubridores modernos Cooley y Tukey . ^{[18] [16]}

Transformadas de tiempo y frecuencia

En términos de procesamiento de señales , una función (de tiempo) es una representación de una señal con una resolución temporal perfecta , pero sin información de frecuencia, mientras que la transformada de Fourier tiene una resolución de frecuencia perfecta , pero sin información de tiempo.

Como alternativas a la transformada de Fourier, en el análisis de tiempo-frecuencia , se utilizan transformadas de tiempo-frecuencia para representar señales en una forma que tiene algo de información de tiempo y algo de información de frecuencia; por el principio de incertidumbre , existe un equilibrio entre estos. Estas pueden ser generalizaciones de la transformada de Fourier, como la transformada de Fourier de tiempo corto , la transformada de Gabor o la transformada de Fourier fraccionaria (FRFT), o pueden usar diferentes funciones para representar señales, como en las transformadas wavelet y las transformadas chirplet , siendo el análogo wavelet de la transformada de Fourier (continua) la transformada wavelet continua .

Transformadas de Fourier en grupos topológicos abelianos arbitrarios y localmente compactos

Las variantes de Fourier también pueden generalizarse a transformadas de Fourier en grupos topológicos abelianos localmente compactos arbitrarios , que se estudian en el análisis armónico ; allí, la transformada de Fourier convierte las funciones de un grupo en funciones del grupo dual. Este tratamiento también permite una formulación general del teorema de convolución , que relaciona las transformadas de Fourier y las convoluciones . Véase también la dualidad de Pontryagin para los fundamentos generalizados de la transformada de Fourier.

Más específicamente, el análisis de Fourier se puede realizar en clases laterales, ^[21] incluso clases laterales discretas.

Véase también

• Serie de Fourier conjugada
• Serie de Fourier generalizada
• Serie de Fourier-Bessel
• Transformadas relacionadas con Fourier
• Transformada de Laplace (LT)
• Transformada de Laplace de dos lados
• Transformación de Mellin
• Transformada de Fourier discreta no uniforme (NDFT)
• Transformada cuántica de Fourier (QFT)
• Transformación de la teoría de números
• Vectores básicos
• Bispectro
• Función característica (teoría de la probabilidad)
• Funciones ortogonales
• Espacio Schwartz
• Densidad espectral
• Estimación de la densidad espectral
• Música espectral
• Función Walsh
• Ondícula

Notas

1. ${\displaystyle \int _{P}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt} _{\triangleq \,S\left({\frac {k}{P}}\right)}}$
2. También podemos observar que :

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(nT)\delta (t-nT)&=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(t)\delta (t-nT)\\&=s(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT).\end{aligned}}}$

   En consecuencia, una práctica común es modelar el "muestreo" como una multiplicación por la función peine de Dirac , lo que, por supuesto, sólo es "posible" en un sentido puramente matemático.
   
   

Referencias

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Lectura adicional

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• Kamen, EW; Heck, BS (2 de marzo de 2000). Fundamentos de señales y sistemas utilizando la Web y Matlab (2.ª edición). Prentiss-Hall. ISBN 978-0-13-017293-8.
• Müller, Meinard (2015). La transformada de Fourier en pocas palabras (PDF) . Springer. En Fundamentos del procesamiento musical, Sección 2.1, págs. 40-56. doi :10.1007/978-3-319-21945-5. ISBN 978-3-319-21944-8. S2CID  8691186. Archivado (PDF) del original el 8 de abril de 2016.
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• Smith, Steven W. (1999). Guía para científicos e ingenieros sobre procesamiento de señales digitales (segunda edición). San Diego: California Technical Publishing. ISBN 978-0-9660176-3-2.
• Stein, EM; Weiss, G. (1971). Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9.

Enlaces externos

• Tablas de transformadas integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Una explicación intuitiva de la teoría de Fourier por Steven Lehar.
• Lecciones sobre procesamiento de imágenes: una colección de 18 lecciones en formato PDF de la Universidad de Vanderbilt. La lección 6 trata sobre la transformada de Fourier unidimensional y bidimensional. Las lecciones 7 a 15 la utilizan., por Alan Peters
• Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). "Suma Σ (y análisis de Fourier)". Sixty Symbols (Sesenta símbolos ). Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
• Introducción al análisis de Fourier de series temporales en Medium