Ecuación diferencial estocástica

Ecuaciones diferenciales que involucran procesos estocásticos.

Una ecuación diferencial estocástica ( SDE ) es una ecuación diferencial en la que uno o más de los términos es un proceso estocástico , ^[1] dando como resultado una solución que también es un proceso estocástico. Las SDE tienen muchas aplicaciones a lo largo de las matemáticas puras y se utilizan para modelar diversos comportamientos de modelos estocásticos como precios de acciones , ^[2] modelos de crecimiento aleatorio ^[3] o sistemas físicos que están sujetos a fluctuaciones térmicas .

Las SDE tienen un diferencial aleatorio que, en el caso más básico, es ruido blanco aleatorio calculado como la derivada de un movimiento browniano o, más generalmente, una semimartingala . Sin embargo, son posibles otros tipos de comportamiento aleatorio, como procesos de salto como los procesos de Lévy ^[4] o semimartingalas con saltos. Las ecuaciones diferenciales aleatorias se conjugan con ecuaciones diferenciales estocásticas. Las ecuaciones diferenciales estocásticas también se pueden extender a variedades diferenciales . ^{[5] [6] [7] [8]}

Fondo

Las ecuaciones diferenciales estocásticas se originaron en la teoría del movimiento browniano , en el trabajo de Albert Einstein y Marian Smoluchowski en 1905, aunque Louis Bachelier fue la primera persona a la que se le atribuye el modelado del movimiento browniano en 1900, dando un ejemplo muy temprano de una ecuación diferencial estocástica ahora conocida. como modelo Bachelier . Algunos de estos primeros ejemplos fueron ecuaciones diferenciales estocásticas lineales, también llamadas ecuaciones de Langevin en honor al físico francés Langevin , que describían el movimiento de un oscilador armónico sujeto a una fuerza aleatoria. La teoría matemática de las ecuaciones diferenciales estocásticas se desarrolló en la década de 1940 gracias al trabajo innovador del matemático japonés Kiyosi Itô , quien introdujo el concepto de integral estocástica e inició el estudio de las ecuaciones diferenciales estocásticas no lineales. Posteriormente, el físico ruso Stratonovich propuso otro enfoque , que condujo a un cálculo similar al cálculo ordinario.

Terminología

La forma más común de SDE en la literatura es una ecuación diferencial ordinaria con el lado derecho perturbado por un término dependiente de una variable de ruido blanco . En la mayoría de los casos, las SDE se entienden como un límite de tiempo continuo de las correspondientes ecuaciones en diferencias estocásticas . Esta comprensión de las SDE es ambigua y debe complementarse con una definición matemática adecuada de la integral correspondiente. ^{[1] [3]} Esta definición matemática fue propuesta por primera vez por Kiyosi Itô en la década de 1940, dando lugar a lo que hoy se conoce como el cálculo de Itô . Posteriormente, el físico ruso Stratonovich propuso otra construcción , lo que condujo a lo que se conoce como integral de Stratonovich . La integral de Itô y la integral de Stratonovich son objetos relacionados, pero diferentes, y la elección entre ellos depende de la aplicación considerada. El cálculo de Itô se basa en el concepto de no anticipación o causalidad, lo cual es natural en aplicaciones donde la variable es el tiempo. El cálculo de Stratonovich, por otro lado, tiene reglas que se asemejan al cálculo ordinario y tiene propiedades geométricas intrínsecas que lo hacen más natural cuando se trata de problemas geométricos como el movimiento aleatorio en variedades , aunque es posible y en algunos casos preferible modelar el movimiento aleatorio. en variedades a través de Itô SDE, ^[6] por ejemplo, cuando se intenta aproximar de manera óptima las SDE en subvariedades. ^[9]

Una visión alternativa de las SDE es el flujo estocástico de difeomorfismos. Esta comprensión es inequívoca y corresponde a la versión de Stratonovich del límite de tiempo continuo de las ecuaciones en diferencias estocásticas. Asociada con las SDE está la ecuación de Smoluchowski o la ecuación de Fokker-Planck , una ecuación que describe la evolución temporal de las funciones de distribución de probabilidad . La generalización de la evolución de Fokker-Planck a la evolución temporal de formas diferenciales la proporciona el concepto de operador de evolución estocástica .

En la ciencia física, existe una ambigüedad en el uso del término "SDE de Langevin" . Si bien las SDE de Langevin pueden tener una forma más general , este término generalmente se refiere a una clase limitada de SDE con campos vectoriales de flujo gradiente. Esta clase de SDE es particularmente popular porque es un punto de partida del procedimiento de cuantificación estocástica de Parisi-Sourlas, ^[10] que conduce a un modelo supersimétrico N=2 estrechamente relacionado con la mecánica cuántica supersimétrica . Sin embargo, desde el punto de vista físico, esta clase de SDE no es muy interesante porque nunca muestra una ruptura espontánea de la supersimetría topológica, es decir, las SDE de Langevin (sobreamortiguadas) nunca son caóticas .

cálculo estocástico

Se descubrió que el movimiento browniano o proceso de Wiener era matemáticamente excepcionalmente complejo. Es casi seguro que el proceso de Wiener no es diferenciable en ninguna parte; ^{[1] [3]} por lo tanto, requiere sus propias reglas de cálculo. Hay dos versiones dominantes del cálculo estocástico, el cálculo estocástico de Itô y el cálculo estocástico de Stratonovich . Cada uno de los dos tiene ventajas y desventajas, y los recién llegados a menudo se sienten confundidos sobre si uno es más apropiado que el otro en una situación determinada. Existen directrices (por ejemplo, Øksendal, 2003) ^[3] y, convenientemente, uno puede convertir fácilmente un SDE de Itô en un SDE de Stratonovich equivalente y viceversa. ^{[1] [3]} Aun así, hay que tener cuidado con qué cálculo utilizar cuando se escribe inicialmente el SDE.

Soluciones numéricas

Los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales estocásticas ^[11] incluyen el método de Euler-Maruyama , el método de Milstein , el método de Runge-Kutta (SDE) , el método de Rosenbrock, ^[12] y métodos basados ​​en diferentes representaciones de integrales estocásticas iteradas. ^{[13] [14]}

Uso en física

En física, las SDE tienen una amplia aplicabilidad que va desde la dinámica molecular hasta la neurodinámica y la dinámica de objetos astrofísicos. Más específicamente, las SDE describen todos los sistemas dinámicos en los que los efectos cuánticos no son importantes o pueden tenerse en cuenta como perturbaciones. Las SDE pueden verse como una generalización de la teoría de sistemas dinámicos a modelos con ruido. Esta es una generalización importante porque los sistemas reales no pueden aislarse completamente de sus entornos y, por esta razón, siempre experimentan influencia estocástica externa.

Existen técnicas estándar para transformar ecuaciones de orden superior en varias ecuaciones acopladas de primer orden mediante la introducción de nuevas incógnitas. Por lo tanto, la siguiente es la clase más general de SDE:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,}$

donde es la posición en el sistema en su espacio de fase (o estado) , se supone que es una variedad diferenciable, es un campo vectorial de flujo que representa la ley determinista de la evolución y es un conjunto de campos vectoriales que definen el acoplamiento del sistema. al ruido blanco gaussiano, . Si es un espacio lineal y son constantes, se dice que el sistema está sujeto a ruido aditivo, en caso contrario se dice que está sujeto a ruido multiplicativo. Este término es algo engañoso ya que ha llegado a significar el caso general aunque parece implicar el caso limitado en el que . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\in TX}$ ${\displaystyle g_{\alpha }\in TX}$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x)\propto x}$

Para una configuración fija de ruido, SDE tiene una solución única diferenciable con respecto a la condición inicial. ^[15] La no trivialidad del caso estocástico aparece cuando se intenta promediar varios objetos de interés sobre configuraciones de ruido. En este sentido, una SDE no es una entidad definida de forma única cuando el ruido es multiplicativo y cuando la SDE se entiende como un límite de tiempo continuo de una ecuación en diferencias estocástica . En este caso, las SDE deben complementarse con lo que se conoce como "interpretaciones de las SDE", como las interpretaciones de Itô o Stratonovich de las SDE. Sin embargo, cuando el SDE se ve como un flujo estocástico de difeomorfismos en tiempo continuo, es un objeto matemático definido de manera única que corresponde al enfoque de Stratonovich para un límite de tiempo continuo de una ecuación en diferencias estocástica.

En física, el principal método de solución es encontrar la función de distribución de probabilidad en función del tiempo utilizando la ecuación equivalente de Fokker-Planck (FPE). La ecuación de Fokker-Planck es una ecuación diferencial parcial determinista . Indica cómo la función de distribución de probabilidad evoluciona en el tiempo de manera similar a cómo la ecuación de Schrödinger da la evolución temporal de la función de onda cuántica o la ecuación de difusión da la evolución temporal de la concentración química. Alternativamente, se pueden obtener soluciones numéricas mediante simulación de Monte Carlo . Otras técnicas incluyen la integración de trayectorias que se basa en la analogía entre la física estadística y la mecánica cuántica (por ejemplo, la ecuación de Fokker-Planck se puede transformar en la ecuación de Schrödinger reescalando algunas variables) o escribiendo ecuaciones diferenciales ordinarias para los momentos estadísticos. de la función de distribución de probabilidad. ^{[ cita necesaria ]}

Uso en probabilidad y finanzas matemáticas.

La notación utilizada en la teoría de la probabilidad (y en muchas aplicaciones de la teoría de la probabilidad, por ejemplo en el procesamiento de señales con el problema de filtrado y en las finanzas matemáticas ) es ligeramente diferente. También es la notación utilizada en publicaciones sobre métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales estocásticas. Esta notación hace más explícita la naturaleza exótica de la función aleatoria del tiempo en la formulación física. En términos estrictamente matemáticos, no se puede elegir como una función ordinaria, sino sólo como una función generalizada . La formulación matemática trata esta complicación con menos ambigüedad que la formulación física. ${\displaystyle \eta _{m}}$ ${\displaystyle \eta _{m}}$

Una ecuación típica es de la forma

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},}$

donde denota un proceso de Wiener (movimiento browniano estándar). Esta ecuación debe interpretarse como una forma informal de expresar la ecuación integral correspondiente. ${\displaystyle B}$

${\displaystyle X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.}$

La ecuación anterior caracteriza el comportamiento del proceso estocástico _de tiempo continuo Xt como la suma de una integral de Lebesgue ordinaria y una integral de Itô . Una interpretación heurística (pero muy útil) de la ecuación diferencial estocástica es que en un pequeño intervalo de tiempo de longitud δ el proceso estocástico X _t cambia su valor en una cantidad que se distribuye normalmente con expectativa μ ( X _t ,  t )  δ y varianza. σ ( X _t ,  t ) ² δ y es independiente del comportamiento pasado del proceso. Esto es así porque los incrementos de un proceso de Wiener son independientes y están distribuidos normalmente. La función μ se denomina coeficiente de deriva, mientras que σ se denomina coeficiente de difusión. El proceso estocástico Xt se llama proceso _de difusión y satisface la propiedad de Markov . ^[1]  

La interpretación formal de una SDE se da en términos de lo que constituye una solución a la SDE. Hay dos definiciones principales de solución a una SDE, una solución fuerte y una solución débil ^[1] Ambas requieren la existencia de un proceso X _t que resuelva la versión de ecuación integral de la SDE. La diferencia entre ambos radica en el espacio de probabilidad subyacente ( ). Una solución débil consta de un espacio de probabilidad y un proceso que satisface la ecuación integral, mientras que una solución fuerte es un proceso que satisface la ecuación y se define en un espacio de probabilidad dado. El teorema de Yamada-Watanabe establece una conexión entre ambos. ${\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}$

Un ejemplo importante es la ecuación del movimiento browniano geométrico.

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

que es la ecuación para la dinámica del precio de una acción en el modelo de valoración de opciones de Black-Scholes ^[2] de matemáticas financieras.

Generalizando el movimiento browniano geométrico, también es posible definir SDE que admitan soluciones fuertes y cuya distribución sea una combinación convexa de densidades provenientes de diferentes movimientos brownianos geométricos o modelos de Black Scholes, obteniendo un único SDE cuyas soluciones se distribuyan como una mezcla dinámica de lognormales. distribuciones de diferentes modelos de Black Scholes. ^{[2] [16] [17] [18]} Esto conduce a modelos que pueden abordar la sonrisa de la volatilidad en las matemáticas financieras.

El SDE más simple llamado movimiento browniano aritmético ^[3]

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu \,\mathrm {d} t+\sigma \,\mathrm {d} B_{t}}$

Fue utilizado por Louis Bachelier como primer modelo para los precios de las acciones en 1900, conocido hoy como modelo Bachelier .

También hay ecuaciones diferenciales estocásticas más generales donde los coeficientes μ y σ dependen no sólo del valor actual del proceso _Xt , sino también de valores anteriores del proceso y posiblemente también de valores presentes o anteriores de otros procesos. En ese caso el proceso de solución, X , no es un proceso de Markov, y se llama proceso de Itô y no proceso de difusión. Cuando los coeficientes dependen sólo de los valores presentes y pasados ​​de X , la ecuación definitoria se denomina ecuación diferencial de retardo estocástico.

Una generalización de ecuaciones diferenciales estocásticas con la integral de Fisk-Stratonovich para semimartingalas con saltos son las SDE de tipo Marcus . La integral de Marcus es una extensión del cálculo estocástico de McShane. ^[19]

Una aplicación innovadora en finanzas estocásticas se deriva del uso de la ecuación del proceso de Ornstein-Uhlenbeck.

${\displaystyle \mathrm {d} R_{t}=\mu R_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma _{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

que es la ecuación para la dinámica del rendimiento del precio de una acción bajo la hipótesis de que los rendimientos muestran una distribución log-normal . Bajo esta hipótesis, las metodologías desarrolladas por Marcello Minenna determinan intervalos de predicción capaces de identificar rentabilidades anormales que podrían ocultar fenómenos de abuso de mercado . ^{[20] [21]}

SDE en colectores

De manera más general, se puede extender la teoría del cálculo estocástico a variedades diferenciales y, para ello, se utiliza la integral de Fisk-Stratonovich. Considere una variedad , un espacio vectorial de dimensión finita , un espacio de probabilidad filtrado que cumpla las condiciones habituales y sea la compactificación de un punto y sea medible. Una ecuación diferencial estocástica escrita ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}},P)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$ ${\displaystyle {\widehat {M}}=M\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {d} X=A(X)\circ dZ}$

es un par , tal que ${\displaystyle (A,Z)}$

• ${\displaystyle Z}$es una semimartingala de valor continuo, ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle A:M\times E\to TM,(x,e)\mapsto A(x)e}$es un homomorfismo de haces de vectores sobre . ${\displaystyle M}$

Para cada uno el mapa es lineal y para cada . ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle A(x):E\to T_{x}M}$ ${\displaystyle A(\cdot )e\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle e\in E}$

Una solución al SDE con condición inicial es un proceso continuo de valor adaptado hasta el tiempo de vida , st para cada función de prueba el proceso es una semimartingala de valor real y para cada tiempo de parada con la ecuación ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{0}=x_{0}}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X_{t})_{t<\zeta }}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 0\leq \tau <\zeta }$

${\displaystyle f(X_{\tau })=f(x_{0})+\int _{0}^{\tau }(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z}$

Se cumple -casi con seguridad- dónde está el diferencial en . Es una solución máxima si el tiempo de vida es máximo, es decir, ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (df)_{X}:T_{x}M\to T_{f(x)}M}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{\zeta <\infty \}\subset \left\{\lim \limits _{t\nearrow \zeta }X_{t}=\infty {\text{ in }}{\widehat {M}}\right\}}$

${\displaystyle P}$-casi seguro. Se deduce del hecho de que para cada función de prueba hay una semimartingala, es decir, una semimartingala en . Dada una solución máxima, podemos extender el tiempo de a pleno y después de continuar con obtenemos ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {M}}}$

${\displaystyle f(X_{t})=f(X_{0})+\int _{0}^{t}(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z,\quad t\geq 0}$

hasta procesos indistinguibles. ^[22] Aunque las SDE de Stratonovich son la elección natural para las SDE en variedades, dado que satisfacen la regla de la cadena y que sus coeficientes de deriva y difusión se comportan como campos vectoriales bajo cambios de coordenadas, hay casos en los que es preferible el cálculo de Ito en variedades. Laurent Schwartz desarrolló por primera vez una teoría del cálculo de Ito en variedades a través del concepto de morfismo de Schwartz; ^véase también la interpretación relacionada de 2 chorros de SDE de Ito en variedades basadas en el haz de chorros. ^[8] Esta interpretación es útil cuando se intenta aproximar de manera óptima la solución de un SDE dada en un espacio grande con las soluciones de una SDE dada en una subvariedad de ese espacio, ^[9] en el sentido de que una proyección basada en Stratonovich no resulta ser óptimo. Esto se ha aplicado al problema del filtrado , dando lugar a filtros de proyección óptimos. ^[9]

Como caminos ásperos

Generalmente la solución de una SDE requiere una configuración probabilística, ya que la integral implícita en la solución es una integral estocástica. Si fuera posible abordar la ecuación diferencial camino por camino, no sería necesario definir una integral estocástica y se podría desarrollar una teoría independientemente de la teoría de la probabilidad. Esto apunta a considerar la SDE

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}(\omega )=\mu (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} B_{t}(\omega )}$

como una única ecuación diferencial determinista para cada , donde es el espacio muestral en el espacio de probabilidad dado ( ). Sin embargo, no es posible una interpretación directa de la SDE, ya que las trayectorias de movimiento browniano tienen una variación ilimitada y en ninguna parte son diferenciables con probabilidad uno, por lo que no existe una forma ingenua de dar significado a términos como , excluyendo también una trayectoria ingenua. Definición inteligente de la integral estocástica como una integral contra cada uno . Sin embargo, motivado por el resultado de Wong-Zakai ^[23] para los límites de soluciones de SDE con ruido regular y utilizando la teoría de caminos aproximados , al tiempo que se agrega una definición elegida de integrales iteradas del movimiento browniano, es posible definir una integral aproximada determinista para cada único que coincide por ejemplo con la integral de Ito con probabilidad uno para una elección particular de la integral browniana iterada. ^[23] Otras definiciones de la integral iterada conducen a equivalentes deterministas de diferentes integrales estocásticas, como la integral de Stratonovich. Esto se ha utilizado, por ejemplo, en matemáticas financieras para valorar opciones sin probabilidad. ^[24] ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}$ ${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$ ${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Existencia y singularidad de las soluciones.

Al igual que con las ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias deterministas, es importante saber si una SDE determinada tiene una solución y si es única o no. El siguiente es un teorema típico de existencia y unicidad para las SDE de Itô que toman valores en el espacio euclidiano de n dimensiones R ⁿ y son impulsados ​​por un movimiento browniano de m dimensiones B ; la prueba se puede encontrar en Øksendal (2003, §5.2). ^[3]

Sea T  > 0 y sea

${\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};}$

${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};}$

ser funciones medibles para las cuales existen constantes C y D tales que

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};}$

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;}$

para todo t  ∈ [0,  T ] y todo x e y  ∈  R ⁿ , donde

${\displaystyle |\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.}$

Sea Z una variable aleatoria independiente de la σ -álgebra generada por B _s , s  ≥ 0, y con segundo momento finito :

${\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}$

Entonces el problema de ecuación diferencial estocástica/valor inicial

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];}$

${\displaystyle X_{0}=Z;}$

tiene una solución P- casi seguramente única t -continua ( t ,  ω ) ↦  X _t ( ω ) tal que X se adapta a la filtración F _t ^Z generada por Z y B _s , s  ≤  t , y

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}$

Caso general: condición de Lipschitz local y soluciones máximas.

La ecuación diferencial estocástica anterior es sólo un caso especial de una forma más general.

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha (t,Y_{t})\mathrm {d} X_{t}}$

dónde

• ${\displaystyle X}$es una semimartingala continua en y es una semimartingala continua en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$
• ${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} _{+}\times U\to \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}$es un mapa de algún conjunto abierto no vacío , donde es el espacio de todos los mapas lineales desde hasta . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

De manera más general, también se pueden observar ecuaciones diferenciales estocásticas en variedades .

Que la solución de esta ecuación explote depende de la elección de . Supongamos que satisface alguna condición de Lipschitz local, es decir, para y algún conjunto compacto y alguna constante la condición ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle K\subset U}$ ${\displaystyle L(t,K)}$

${\displaystyle |\alpha (s,y)-\alpha (s,x)|\leq L(t,K)|y-x|,\quad x,y\in K,\;0\leq s\leq t,}$

¿Dónde está la norma euclidiana? Esta condición garantiza la existencia y unicidad de la llamada solución máxima . ${\displaystyle |\cdot |}$

Supongamos que es continua y satisface la condición local de Lipschitz anterior y sea alguna condición inicial, lo que significa que es una función medible con respecto al σ-álgebra inicial. Sea un tiempo de parada predecible y casi seguro. Una semimartingala valorada se llama solución máxima de ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F:\Omega \to U}$ ${\displaystyle \zeta :\Omega \to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}}$ ${\displaystyle \zeta >0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (Y_{t})_{t<\zeta }}$

${\displaystyle dY_{t}=\alpha (t,Y_{t})dX_{t},\quad Y_{0}=F}$

con tiempo de vida si ${\displaystyle \zeta }$

• para uno (y por lo tanto para todos) anunciar el proceso detenido es una solución a la ecuación diferencial estocástica detenida ${\displaystyle \zeta _{n}\nearrow \zeta }$ ${\displaystyle Y^{\zeta _{n}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y=\alpha (t,Y)\mathrm {d} X^{\zeta _{n}}}$

• En el set es casi seguro que tenemos eso con . ^[25] ${\displaystyle \{\zeta <\infty \}}$ ${\displaystyle Y_{t}\to \partial U}$ ${\displaystyle t\to \zeta }$

${\displaystyle \zeta }$También es el llamado tiempo de explosión .

Algunos ejemplos explícitamente solucionables

Las SDE que se pueden resolver explícitamente incluyen: ^[11]

SDE lineal: caso general

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))\mathrm {d} t+(b(t)X_{t}+d(t))\mathrm {d} W_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)\mathrm {d} (s))\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}\mathrm {d} (s)\mathrm {d} W_{s}\right)}$

dónde

${\displaystyle \Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}b(s)\mathrm {d} W_{s}\right)}$

SDE reducibles: Caso 1

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}$

para una función diferenciable dada es equivalente al SDE de Stratonovich ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}}$

que tiene una solución general

${\displaystyle X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))}$

dónde

${\displaystyle h(x)=\int ^{x}{\frac {\mathrm {d} s}{f(s)}}}$

SDE reducibles: Caso 2

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}$

para una función diferenciable dada es equivalente al SDE de Stratonovich ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\alpha f(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\circ W_{t}}$

que es reducible a

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha \mathrm {d} t+\mathrm {d} W_{t}}$

donde donde se define como antes. Su solución general es ${\displaystyle Y_{t}=h(X_{t})}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))}$

SDE y supersimetría

En la teoría supersimétrica de las SDE, la dinámica estocástica se define mediante un operador de evolución estocástica que actúa sobre las formas diferenciales en el espacio de fase del modelo. En esta formulación exacta de dinámica estocástica, todas las SDE poseen supersimetría topológica que representa la preservación de la continuidad del espacio de fase mediante un flujo de tiempo continuo. La ruptura espontánea de esta supersimetría es la esencia matemática del omnipresente fenómeno dinámico conocido en todas las disciplinas como caos , turbulencia , criticidad autoorganizada , etc. y el teorema de Goldstone explica el comportamiento dinámico de largo alcance asociado, es decir, el efecto mariposa , 1/ f y ruidos crepitantes , y estadísticas sin escala de terremotos, neuroavalanchas, erupciones solares, etc.

Ver también

• Ecuación diferencial estocástica hacia atrás
• Dinámica de Langevin
• Volatilidad local
• Proceso estocástico
• Volatilidad estocástica
• Ecuaciones diferenciales parciales estocásticas
• Proceso de difusión
• Ecuación en diferencias estocásticas

Referencias

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Otras lecturas

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• Adomian, George (1983). Sistemas estocásticos . Matemáticas en Ciencias e Ingeniería (169). Orlando, Florida: Academic Press Inc.
• Adomian, George (1986). Ecuaciones de operadores estocásticos no lineales . Orlando, FL: Academic Press Inc. ISBN 978-0-12-044375-8.
• Adomian, George (1989). Teoría de sistemas estocásticos no lineales y aplicaciones a la física . Matemáticas y sus aplicaciones (46). Dordrecht: Grupo de editores académicos de Kluwer.
• Calín, Ovidiu (2015). Una introducción informal al cálculo estocástico con aplicaciones . Singapur: World Scientific Publishing. pag. 315.ISBN​ 978-981-4678-93-3.
• Teugels, J.; Sund, B., eds. (2004). Enciclopedia de ciencias actuariales . Chichester: Wiley. págs. 523–527.
• CW Gardiner (2004). Manual de métodos estocásticos: para física, química y ciencias naturales . Saltador. pag. 415.
• Thomas Mikosch (1998). Cálculo estocástico elemental: con las finanzas a la vista . Singapur: World Scientific Publishing. pag. 212.ISBN​ 981-02-3543-7.
• Seifedine Kadry (2007). "Una solución de la ecuación diferencial estocástica lineal". Transacciones Wseas sobre Matemáticas . EE.UU.: WSEAS TRANSACTIONS on MATEMÁTICAS, abril de 2007.: 618. ISSN  1109-2769.
• Higham., Desmond J. (enero de 2001). "Una introducción algorítmica a la simulación numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas". Revisión SIAM . 43 (3): 525–546. Código Bib : 2001SIAMR..43..525H. CiteSeerX  10.1.1.137.6375 . doi :10.1137/S0036144500378302.
• Desmond Higham y Peter Kloeden: "Introducción a la simulación numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas", SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).