ecuación de pell

Tipo de ecuación diofántica

La ecuación de Pell para n  = 2 y seis de sus soluciones enteras

La ecuación de Pell , también llamada ecuación de Pell-Fermat , es cualquier ecuación diofántica de la forma donde n es un entero positivo no cuadrado dado y se buscan soluciones enteras para x e y . En coordenadas cartesianas , la ecuación se representa mediante una hipérbola ; Las soluciones ocurren dondequiera que la curva pase por un punto cuyas coordenadas x e y sean números enteros, como la solución trivial con x  = 1 e y  = 0. Joseph Louis Lagrange demostró que, siempre que n no sea un cuadrado perfecto , la ecuación de Pell tiene infinitas soluciones enteras distintas. Estas soluciones se pueden utilizar para aproximar con precisión la raíz cuadrada de  n mediante números racionales de la forma  x / y . ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1,}$

Esta ecuación se estudió extensamente por primera vez en la India, comenzando con Brahmagupta , ^[1] quien encontró una solución entera en su Brāhmasphuṭasiddhānta alrededor del año 628. ^[2] Bhaskara II en el siglo XII y Narayana Pandit en el siglo XIV encontraron soluciones generales a la ecuación de Pell. y otras ecuaciones cuadráticas indeterminadas. A Bhaskara II generalmente se le atribuye el desarrollo del método chakravala , basándose en el trabajo de Jayadeva y Brahmagupta. Las soluciones a ejemplos específicos de la ecuación de Pell, como los números de Pell que surgen de la ecuación con n  = 2, se conocían desde mucho antes, desde la época de Pitágoras en Grecia y una fecha similar en la India. William Brouncker fue el primer europeo en resolver la ecuación de Pell. El nombre de la ecuación de Pell surgió de que Leonhard Euler atribuyó erróneamente la solución de la ecuación de Brouncker a John Pell . ^{[3] [4] [nota 1]} ${\displaystyle 92x^{2}+1=y^{2}}$

Historia

Ya en el año 400 a. C., en India y Grecia , los matemáticos estudiaban los números que surgían del caso n  = 2 de la ecuación de Pell,

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}$

y de la ecuación estrechamente relacionada

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$

debido a la conexión de estas ecuaciones con la raíz cuadrada de 2 . ^[5] De hecho, si x e y son números enteros positivos que satisfacen esta ecuación, entonces x / y es una aproximación de √ 2 . Los números x e y que aparecen en estas aproximaciones, llamados números de lado y diámetro , eran conocidos por los pitagóricos , y Proclo observó que en dirección opuesta estos números obedecían a una de estas dos ecuaciones. ^[5] De manera similar, Baudhayana descubrió que x = 17, y = 12 y x = 577, y = 408 son dos soluciones a la ecuación de Pell, y que 17/12 y 577/408 son aproximaciones muy cercanas a la raíz cuadrada de 2. [ ^6]

Posteriormente, Arquímedes aproximó la raíz cuadrada de 3 mediante el número racional 1351/780. Aunque no explicó sus métodos, esta aproximación se puede obtener de la misma manera, como solución a la ecuación de Pell. ^[5] Del mismo modo, el problema del ganado de Arquímedes , un antiguo problema verbal sobre cómo encontrar el número de ganado perteneciente al dios sol Helios , se puede resolver reformulándolo como una ecuación de Pell. El manuscrito que contiene el problema afirma que fue ideado por Arquímedes y registrado en una carta a Eratóstenes , ^[7] y la atribución a Arquímedes se acepta generalmente en la actualidad. ^{[8] [9]}

Alrededor del año 250 d.C., Diofanto consideró la ecuación

${\displaystyle a^{2}x^{2}+c=y^{2},}$

donde a y c son números fijos y x e y son las variables a resolver. Esta ecuación tiene una forma diferente de la ecuación de Pell pero es equivalente a ella. Diofanto resolvió la ecuación para ( a ,  c ) igual a (1, 1), (1, −1), (1, 12) y (3, 9). Al-Karaji , un matemático persa del siglo X, trabajó en problemas similares a Diofanto. ^[10]

En matemáticas indias, Brahmagupta descubrió que

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

una forma de lo que ahora se conoce como la identidad de Brahmagupta . Usando esto pudo "componer" triples y que eran soluciones de , para generar los nuevos triples. ${\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})}$ ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},k_{1}k_{2})}$y ${\displaystyle (x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},k_{1}k_{2}).}$

Esto no solo brindó una manera de generar infinitas soluciones a partir de una solución, sino que también, al dividir dicha composición por , a menudo se podían obtener soluciones enteras o "casi enteras". Por ejemplo, para , Brahmagupta compuso el triple (10, 1, 8) (ya que ) consigo mismo para obtener el nuevo triple (192, 20, 64). Dividiendo todo por 64 ("8" para y ) dio el triple (24, 5/2, 1), que cuando se compuso consigo mismo dio la solución entera deseada (1151, 120, 1). Brahmagupta resolvió muchas ecuaciones de Pell con este método, demostrando que da soluciones a partir de una solución entera de para k = ±1, ±2 o ±4. ^[11] ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$ ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$ ${\displaystyle N=92}$ ${\displaystyle 10^{2}-92(1^{2})=8}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$

El primer método general para resolver la ecuación de Pell (para todo N ) fue propuesto por Bhāskara II en 1150, ampliando los métodos de Brahmagupta. Llamado método chakravala (cíclico) , comienza eligiendo dos números enteros relativamente primos y luego componiendo el triple (es decir, uno que satisface ) con el triple trivial para obtener el triple , que se puede reducir a ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b,k)}$ ${\displaystyle a^{2}-Nb^{2}=k}$ ${\displaystyle (m,1,m^{2}-N)}$ ${\displaystyle {\big (}am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N){\big )}}$

${\displaystyle \left({\frac {am+Nb}{k}},{\frac {a+bm}{k}},{\frac {m^{2}-N}{k}}\right).}$

Cuando se elige de modo que sea un número entero, también lo serán los otros dos números del triple. Entre ellos , el método elige uno que minimiza y repite el proceso. Este método siempre termina con una solución. Bhaskara lo usó para dar la solución x  =  ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\frac {a+bm}{k}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\frac {m^{2}-N}{k}}}$1 766 319 049 , y  = 226 153 980 al caso N  = 61. ^[11]

Varios matemáticos europeos redescubrieron cómo resolver la ecuación de Pell en el siglo XVII. Pierre de Fermat descubrió cómo resolver la ecuación y en una carta de 1657 la presentó como un desafío para los matemáticos ingleses. ^[12] En una carta a Kenelm Digby , Bernard Frénicle de Bessy dijo que Fermat encontró la solución más pequeña para N hasta 150 y desafió a John Wallis a resolver los casos N = 151 o 313. Tanto Wallis como William Brouncker dieron soluciones a estos problemas. , aunque Wallis sugiere en una carta que la solución se debió a Brouncker. ^[13]

La conexión de John Pell con la ecuación es que revisó la traducción de Thomas Branker ^[14] del libro Teutsche Algebra ^{[nota 2] de} Johann Rahn de 1659 al inglés, con una discusión sobre la solución de la ecuación de Brouncker. Leonhard Euler pensó erróneamente que esta solución se debía a Pell, por lo que nombró la ecuación en honor a Pell. ^[4]

Lagrange desarrolló la teoría general de la ecuación de Pell, basada en fracciones continuas y manipulaciones algebraicas con números de la forma, en 1766-1769. ^[15] En particular, Lagrange demostró que el algoritmo de Brouncker-Wallis siempre termina. ${\displaystyle P+Q{\sqrt {a}},}$

Soluciones

Solución fundamental mediante fracciones continuas.

Denotemos la secuencia de convergentes a la fracción continua regular para . Esta secuencia es única. Entonces, el par de enteros positivos que resuelven la ecuación de Pell y minimizan x satisface x ₁ = h _i y y ₁ = k _i para alguna i . Este par se llama solución fundamental . La secuencia de números enteros en la fracción continua regular de siempre es eventualmente periódica. Se puede escribir en la forma , donde la parte periódica se repite indefinidamente. Además, la tupla es palindrómica . Se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. ^[16] La solución fundamental es entonces ${\displaystyle h_{i}/k_{i}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \left[\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor ;{\overline {a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p-1},2\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }}\right]}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p-1},2\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p-1})}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1})={\begin{cases}(h_{p-1},k_{p-1}),&{\text{ for }}p{\text{ even}}\\(h_{2p-1},k_{2p-1}),&{\text{ for }}p{\text{ odd}}\end{cases}}}$

El tiempo para encontrar la solución fundamental utilizando el método de fracción continua, con la ayuda del algoritmo de Schönhage-Strassen para la multiplicación rápida de enteros, está dentro de un factor logarítmico del tamaño de la solución, el número de dígitos del par . Sin embargo, este no es un algoritmo de tiempo polinomial porque el número de dígitos en la solución puede ser tan grande como √ n , mucho mayor que un polinomio en el número de dígitos en el valor de entrada n . ^[17] ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

Soluciones adicionales de la solución fundamental.

Una vez encontrada la solución fundamental, todas las soluciones restantes se pueden calcular algebraicamente a partir de ^[17]

${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k},}$

expandiendo el lado derecho, igualando los coeficientes de en ambos lados e igualando los otros términos en ambos lados. Esto produce las relaciones de recurrencia ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

${\displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k},}$

${\displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.}$

Representación concisa y algoritmos más rápidos.

Aunque escribir la solución fundamental ( x ₁ , y ₁ ) como un par de números binarios puede requerir una gran cantidad de bits, en muchos casos puede representarse de manera más compacta en la forma

${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=\prod _{i=1}^{t}(a_{i}+b_{i}{\sqrt {n}})^{c_{i}}}$

utilizando números enteros mucho más pequeños a _i , b _i y c _i .

Por ejemplo, el problema del ganado de Arquímedes es equivalente a la ecuación de Pell , cuya solución fundamental tiene ${\displaystyle x^{2}-410\,286\,423\,278\,424y^{2}=1}$206 545 dígitos si se escribe explícitamente. Sin embargo, la solución también es igual a

${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=u^{2329},}$

dónde

${\displaystyle u=x'_{1}+y'_{1}{\sqrt {4\,729\,494}}=(300\,426\,607\,914\,281\,713\,365{\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\,258{\sqrt {7766}})^{2}}$

y y solo tienen 45 y 41 dígitos decimales respectivamente. ^[17] ${\displaystyle x'_{1}}$ ${\displaystyle y'_{1}}$

Se pueden utilizar métodos relacionados con el enfoque de tamiz cuadrático para la factorización de enteros para recopilar relaciones entre números primos en el campo numérico generado por √ n y combinar estas relaciones para encontrar una representación de producto de este tipo. El algoritmo resultante para resolver la ecuación de Pell es más eficiente que el método de fracción continua, aunque todavía requiere más que el tiempo polinomial. Bajo el supuesto de la hipótesis generalizada de Riemann , se puede demostrar que lleva tiempo

${\displaystyle \exp O({\sqrt {\log N\log \log N}}),}$

donde N  = log  n es el tamaño de entrada, de manera similar al tamiz cuadrático. ^[17]

Algoritmos cuánticos

Hallgren demostró que una computadora cuántica puede encontrar una representación de producto, como se describió anteriormente, para la solución de la ecuación de Pell en tiempo polinómico. ^[18] El algoritmo de Hallgren, que puede interpretarse como un algoritmo para encontrar el grupo de unidades de un campo numérico cuadrático real , fue extendido a campos más generales por Schmidt y Völlmer. ^[19]

Ejemplo

Como ejemplo, consideremos el caso de la ecuación de Pell para n = 7; eso es,

${\displaystyle x^{2}-7y^{2}=1.}$

La fracción continua de tiene la forma . Dado que el período tiene una longitud , que es un número par, el convergente que produce la solución fundamental se obtiene truncando la fracción continua justo antes del final de la primera aparición del período: . ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ ${\displaystyle [2;{\overline {1,1,1,4}}]}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle [2,1,1,1]={\frac {8}{3}}}$

La secuencia de convergentes para la raíz cuadrada de siete es

Aplicar la fórmula de recurrencia a esta solución genera la secuencia infinita de soluciones.

(1, 0); (8, 3); (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151, 3096720); (130576328, 49353213); ... (secuencia A001081 ( x ) y A001080 ( y ) en OEIS )

Para la ecuación de Pell

${\displaystyle x^{2}-13y^{2}=1.}$

la fracción continua tiene un período de duración impar. Para esto la solución fundamental se obtiene truncando la fracción continua justo antes de la segunda ocurrencia del período . Por tanto, la solución fundamental es . ${\displaystyle {\sqrt {13}}=[3;{\overline {1,1,1,1,6}}]}$ ${\displaystyle [3;1,1,1,1,6,1,1,1,1]={\frac {649}{180}}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(649,180)}$

La solución más pequeña puede ser muy grande. Por ejemplo, la solución más pequeña es ( ${\displaystyle x^{2}-313y^{2}=1}$32 188 120 829 134 849 , 1 819 380 158 564 160 ), y ésta es la ecuación que Frenicle retó a Wallis a resolver. ^[20] Los valores de n tales que la solución más pequeña de es mayor que la solución más pequeña para cualquier valor menor de n son ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$

1, 2, 5, 10, 13, 29, 46, 53, 61, 109, 181, 277, 397, 409, 421, 541, 661, 1021, 1069, 1381, 1549, 1621, 2389, 3061, 3469, 4621, 4789, 4909, 5581, 6301, 6829, 8269, 8941, 9949,... (secuencia A033316 en la OEIS ).

(Para estos registros, consulte OEIS : A033315 para x y OEIS : A033319 para y ).

Lista de soluciones fundamentales de las ecuaciones de Pell

La siguiente es una lista de la solución fundamental con n ≤ 128. Cuando n es un cuadrado entero, no hay solución excepto la solución trivial (1, 0). Los valores de x son la secuencia A002350 y los de y son la secuencia A002349 en OEIS . ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$

Conexiones

La ecuación de Pell tiene conexiones con varios otros temas importantes de las matemáticas.

Teoría algebraica de números

La ecuación de Pell está estrechamente relacionada con la teoría de los números algebraicos , ya que la fórmula

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})}$

es la norma para el anillo y para el campo cuadrático estrechamente relacionado . Así, un par de números enteros resuelve la ecuación de Pell si y sólo si es una unidad con norma 1 en . ^[21] El teorema de la unidad de Dirichlet , de que todas las unidades de pueden expresarse como potencias de una sola unidad fundamental (y multiplicación por un signo), es una reafirmación algebraica del hecho de que todas las soluciones de la ecuación de Pell pueden generarse a partir de la solución fundamental. . ^[22] En general, la unidad fundamental se puede encontrar resolviendo una ecuación tipo Pell, pero no siempre corresponde directamente a la solución fundamental de la ecuación de Pell en sí, porque la unidad fundamental puede tener norma −1 en lugar de 1 y sus coeficientes pueden ser seminúmeros enteros en lugar de números enteros. ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x+y{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$

Polinomios de Chebyshev

Demeyer menciona una conexión entre la ecuación de Pell y los polinomios de Chebyshev : Si y son los polinomios de Chebyshev del primer y segundo tipo respectivamente, entonces estos polinomios satisfacen una forma de la ecuación de Pell en cualquier anillo polinómico , con : ^[23] ${\displaystyle T_{i}(x)}$ ${\displaystyle U_{i}(x)}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle n=x^{2}-1}$

${\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1.}$

Por tanto, estos polinomios pueden generarse mediante la técnica estándar para las ecuaciones de Pell de tomar potencias de una solución fundamental:

${\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.}$

Se puede observar además que si son las soluciones de cualquier número entero de la ecuación de Pell, entonces y . ^[24] ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}=T_{i}(x_{1})}$ ${\displaystyle y_{i}=y_{1}U_{i-1}(x_{1})}$

fracciones continuas

Se puede presentar un desarrollo general de las soluciones de la ecuación de Pell en términos de fracciones continuas de , ya que las soluciones xey son aproximadas a la raíz cuadrada de n y , por lo tanto , son un caso especial de aproximaciones de fracciones continuas para irracionales cuadráticos . ^[dieciséis] ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

La relación con las fracciones continuas implica que las soluciones de la ecuación de Pell forman un subconjunto de semigrupo del grupo modular . Así, por ejemplo, si p y q satisfacen la ecuación de Pell, entonces

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\nq&p\end{pmatrix}}}$

es una matriz de determinante unitario . Los productos de tales matrices toman exactamente la misma forma y, por tanto, todos esos productos dan soluciones a la ecuación de Pell. Se puede entender que esto surge en parte del hecho de que los sucesivos convergentes de una fracción continua comparten la misma propiedad: si p _{k −1} / q _{k −1} y p _k / q _k son dos convergentes sucesivos de una fracción continua, entonces el matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{k-1}&p_{k}\\q_{k-1}&q_{k}\end{pmatrix}}}$

tiene determinante (−1) ^k .

Números suaves

El teorema de Størmer aplica las ecuaciones de Pell para encontrar pares de números suaves consecutivos , enteros positivos cuyos factores primos son todos menores que un valor dado. ^{[25] [26]} Como parte de esta teoría, Størmer también investigó las relaciones de divisibilidad entre soluciones de la ecuación de Pell; en particular, demostró que cada solución distinta de la solución fundamental tiene un factor primo que no divide  a n . ^[25]

La ecuación negativa de Pell

La ecuación negativa de Pell viene dada por

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=-1}$

y también ha sido ampliamente estudiado. Se puede resolver mediante el mismo método de fracciones continuas y tiene soluciones si y sólo si el período de la fracción continua tiene una longitud impar. Sin embargo, no se sabe qué raíces tienen longitudes de período impares y, por lo tanto, no se sabe cuándo se puede resolver la ecuación negativa de Pell. Una condición necesaria (pero no suficiente) para la solubilidad es que n no sea divisible por 4 o por un primo de la forma 4 k  + 3. ^{[nota 3]} Así, por ejemplo, x ²  − 3 ny ²  = −1 nunca es resoluble , pero x ²  − 5 ny ²  = −1 puede serlo. ^[27]

Los primeros números n para los cuales x ²  −  ny ²  = −1 se pueden resolver son

1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, ... (secuencia A031396 en el OEIS ).

Dejar . La proporción de n libres de cuadrados divisible por k primos de la forma 4 m  + 1 para los cuales la ecuación negativa de Pell se puede resolver es al menos α . ^[28] Cuando el número de divisores primos no es fijo, la proporción viene dada por 1 -  α. ^{[29] [30]} ${\displaystyle \alpha =\Pi _{j{\text{ is odd}}}(1-2^{j})}$

Si la ecuación de Pell negativa tiene una solución para un n particular , su solución fundamental conduce a la fundamental para el caso positivo elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación definitoria:

${\displaystyle (x^{2}-ny^{2})^{2}=(-1)^{2}}$

implica

${\displaystyle (x^{2}+ny^{2})^{2}-n(2xy)^{2}=1.}$

Como se indicó anteriormente, si la ecuación de Pell negativa tiene solución, se puede encontrar una solución utilizando el método de fracciones continuas como en la ecuación de Pell positiva. Sin embargo, la relación de recursividad funciona de forma ligeramente diferente. Dado que , la siguiente solución se determina en términos de cuándo hay coincidencia, es decir, cuándo es impar. La relación de recursividad resultante es (módulo un signo menos, que es irrelevante debido a la naturaleza cuadrática de la ecuación) ${\displaystyle (x+{\sqrt {n}}y)(x-{\sqrt {n}}y)=-1}$ ${\displaystyle i(x_{k}+{\sqrt {n}}y_{k})=(i(x+{\sqrt {n}}y))^{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle x_{k}=x_{k-2}x_{1}^{2}+nx_{k-2}y_{1}^{2}+2ny_{k-2}y_{1}x_{1},}$

${\displaystyle y_{k}=y_{k-2}x_{1}^{2}+ny_{k-2}y_{1}^{2}+2x_{k-2}y_{1}x_{1},}$

lo que da una torre infinita de soluciones a la ecuación negativa de Pell.

Ecuación de Pell generalizada

La ecuacion

${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$

se llama ecuación de Pell generalizada ^{[31] [32]} (o general ^[16] ) . La ecuación es el correspondiente solvente de Pell . ^[16] Lagrange propuso un algoritmo recursivo en 1768 para resolver la ecuación, reduciendo el problema al caso . ^{[33] [34]} Estas soluciones se pueden derivar utilizando el método de fracciones continuas como se describió anteriormente. ${\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1}$ ${\displaystyle |N|<{\sqrt {d}}}$

Si es una solución de y es una solución de entonces tal que es una solución de , un principio llamado principio multiplicativo . ^[16] La solución se llama múltiplo de Pell de la solución . ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N,}$ ${\displaystyle (u_{n},v_{n})}$ ${\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1,}$ ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}}={\big (}x_{0}+y_{0}{\sqrt {d}}{\big )}{\big (}u_{n}+v_{n}{\sqrt {d}}{\big )}}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$ ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Existe un conjunto finito de soluciones tal que cada solución es un múltiplo de Pell de una solución de ese conjunto. En particular, si es la solución fundamental de , entonces cada solución de la ecuación es un múltiplo de Pell de una solución con y , donde . ^[35] ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle |x|\leq {\sqrt {|N|}}\left({\sqrt {|U|}}+1\right)/2}$ ${\displaystyle |y|\leq {\sqrt {|N|}}\left({\sqrt {|U|}}+1\right)/{\big (}2{\sqrt {d}}{\big )}}$ ${\displaystyle U=u+v{\sqrt {d}}}$

Si x e y son soluciones enteras positivas de la ecuación de Pell con , entonces es convergente a la fracción continua de . ^[35] ${\displaystyle |N|<{\sqrt {d}}}$ ${\displaystyle x/y}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

Las soluciones a la ecuación generalizada de Pell se utilizan para resolver ciertas ecuaciones diofánticas y unidades de ciertos anillos , ^{[36] [37]} y surgen en el estudio de SIC-POVM en la teoría de la información cuántica . ^[38]

La ecuacion

${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$

es similar al resolutivo en que si se puede encontrar una solución mínima, entonces todas las soluciones de la ecuación se pueden generar de manera similar al caso . Con seguridad , las soluciones de se pueden generar a partir de aquellas con , en el sentido de que si cada tercera solución de tiene par, generando una solución para . ^[dieciséis] ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ ${\displaystyle d\equiv 5{\pmod {8}},}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$

Notas

1. Vollständige Anleitung zur Algebra de Euler (págs. 227 y siguientes), presenta una solución a la ecuación de Pell que fue tomada del Commercium epistolicum de John Wallis , específicamente, la Carta 17 ( Epistola XVII ) y la Carta 19 ( Epistola XIX ) de:
   • Wallis, John, ed. (1658). Commercium epistolicum, de Quaestionibus quibusdam Mathematicis nuper habitum [ Correspondencia sobre algunas investigaciones matemáticas realizadas recientemente ] (en inglés, latín y francés). Oxford, Inglaterra: A. Lichfield.Las letras están en latín. La carta 17 aparece en las páginas 56–72. La carta 19 aparece en las páginas 81–91.
   • Traducciones francesas de las cartas de Wallis: Fermat, Pierre de (1896). Curtiduría, Paul; Enrique, Carlos (eds.). Oeuvres de Fermat (en francés y latín). vol. 3. París, Francia: Gauthier-Villars et fils.La carta 17 aparece en las páginas 457–480. La carta 19 aparece en las páginas 490–503.
   Las cartas de Wallis que muestran una solución a la ecuación de Pell también aparecen en el volumen 2 de la Opera mathematica de Wallis (1693), que incluye artículos de John Pell:
   • Wallis, Juan (1693). Opera matemática: de Algebra Tractatus; Historicus & Practicus [ Obras matemáticas: Tratado de Álgebra; histórico y como se practica actualmente ] (en latín, inglés y francés). vol. 2. Oxford, Inglaterra.La carta 17 está en las páginas 789–798; La carta 19 está en las páginas 802–806. Véanse también los artículos de Pell, donde Wallis menciona (págs. 235, 236, 244) que los métodos de Pell son aplicables a la solución de ecuaciones diofánticas:

   • De Álgebra D. Johannis Pellii; & speciatim de Problematis imperfecte determinatis (Sobre álgebra del Dr. John Pell y especialmente sobre un problema determinado de forma incompleta), págs.
   • Muestra de Methodi Pellianae (ejemplo del método de Pell), págs.
   • Specimen aliud Methodi Pellianae (Otro ejemplo del método de Pell), págs.

   Ver también:
   • Whitford, Edward Everett (1912) "La ecuación de Pell", tesis doctoral, Universidad de Columbia (Nueva York, Nueva York, EE.UU.), p. 52.
   • Brezo, Thomas L. (1910). Diofanto de Alejandría: un estudio de la historia del álgebra griega. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. pag. 286.
2. Teutsch es una forma obsoleta de Deutsch , que significa "alemán". Libro electrónico gratuito: Teutsche Algebra en Google Books.
3. Esto se debe a que la ecuación de Pell implica que −1 es un módulo de residuo cuadrático n .

Referencias

1. O'Connor, JJ; Robertson, EF (febrero de 2002). "Ecuación de Pell". Escuela de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia . Consultado el 13 de julio de 2020 .
2. Dunham, William. "Teoría de números - Teoría de números en Oriente". Enciclopedia Británica . Consultado el 4 de enero de 2020 .
3. Ya en 1732-1733, Euler creía que John Pell había desarrollado un método para resolver la ecuación de Pell, aunque Euler sabía que Wallis había desarrollado un método para resolverla (aunque William Brouncker en realidad había hecho la mayor parte del trabajo):
   • Euler, Leonhard (1732-1733). "De solucione problematum Diophantaeorum per numeros integros" [Sobre la solución de problemas diofánticos mediante números enteros]. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (Memorias de la Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo) (en latín). 6 : 175–188. De la pág. 182: "At si a huiusmodi fuerit numerus, qui nullo modo ad illas formulas potest reduci, peculiaris ad invenienda p et q adhibenda est Methodus, qua olim iam usi sunt Pellius et Fermatius ". (Pero si tal a es un número que no puede reducirse de ninguna manera a estas fórmulas, se aplica el método específico para encontrar p y q que Pell y Fermat han utilizado desde hace algún tiempo.) De la p. 183: "§. 19. Methodus haec extat descripta in operibus Wallisii , et hanc ob rem eam hic fusius non expono". (§ 19. Este método existe descrito en las obras de Wallis, y por esta razón no lo presento aquí con más detalle.)
   • Letra IX. Euler à Goldbach, fechado el 10 de agosto de 1750 en: Fuss, P. H., ed. (1843). Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle... [ Correspondencia matemática y física de algunos geómetras famosos del siglo XVIII... ] (en francés, latín y alemán). San Petersburgo, Rusia. pag. 37. De la página 37: "Pro hujusmodi quaestionibus solvendis excogitavit D. Pell Anglus peculiarem Methodum in Wallisii operibus expositam". (Para resolver estas cuestiones, el inglés Dr. Pell ideó un método singular [que se muestra] en las obras de Wallis).
   • Euler, Leonhard (1771). Vollständige Anleitung zur Algebra, II. Theil [ Introducción completa al álgebra, parte 2 ] (en alemán). Kayserlichen Akademie der Wissenschaften (Academia Imperial de Ciencias): San Petersburgo, Rusia. pag. 227.De la pág. 227: "§98. Hierzu hat vormals ein gelehrter Engländer, Namens Pell, eine ganz sinnreiche Methode erfunden, welche wir hier erklären wollen". (§ 98 A este respecto, un erudito inglés llamado Pell ya había encontrado un método bastante ingenioso, que explicaremos aquí.)
   • Traducción al inglés: Euler, Leonhard (1810). Elementos de álgebra... vol. 2 (2ª ed.). Londres, Inglaterra: J. Johnson. pag. 78.
   • Brezo, Thomas L. (1910). Diofanto de Alejandría: un estudio de la historia del álgebra griega. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. pag. 286.Véase especialmente la nota a pie de página 4.
4. Tattersall, James (2000). Teoría de números elemental en nueve capítulos (PDF) . Cambridge. pag. 274. doi : 10.1017/CBO9780511756344. ISBN 9780521850148. S2CID  118948378. Archivado desde el original (PDF) el 15 de febrero de 2020.
5. Knorr, Wilbur R. (1976), "Arquímedes y la medida del círculo: una nueva interpretación", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 15 (2): 115–140, doi :10.1007/bf00348496, MR  0497462, S2CID  120954547.
6. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Baudhayana", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
7. Vardi, I. (1998). "El problema del ganado de Arquímedes". Mensual Matemático Estadounidense . 105 (4). Asociación Matemática de América: 305–319. CiteSeerX 10.1.1.33.4288 . doi :10.2307/2589706. JSTOR  2589706. 
8. Fraser, Peter M. (1972). Alejandría ptolemaica . Prensa de la Universidad de Oxford.
9. Weil, André (1972). Teoría de números, una aproximación a través de la historia . Birkhäuser.
10. Izadi, Farzali (2015). "Números congruentes mediante la ecuación de Pell y su contraparte análoga" (PDF) . Apuntes sobre teoría de números y matemáticas discretas . 21 : 70–78.
11. John Stillwell (2002), Las matemáticas y su historia (2ª ed.), Springer, págs. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6.
12. En febrero de 1657, Pierre de Fermat escribió dos cartas sobre la ecuación de Pell. Una carta (en francés) estaba dirigida a Bernard Frénicle de Bessy, y la otra (en latín) estaba dirigida a Kenelm Digby, a quien llegó a través de Thomas White y luego de William Brouncker.
    • Fermat, Pierre de (1894). Curtiduría, Paul; Enrique, Carlos (eds.). Oeuvres de Fermat (en francés y latín). vol. 2do vol. París, Francia: Gauthier-Villars et fils. págs. 333–335.La carta a Frénicle aparece en las páginas 333-334; la carta a Digby, en las págs. 334–335.
    La carta en latín a Digby está traducida al francés en:
    • Fermat, Pierre de (1896). Curtiduría, Paul; Enrique, Carlos (eds.). Oeuvres de Fermat (en francés y latín). vol. 3er vol. París, Francia: Gauthier-Villars et fils. págs. 312–313.
    Ambas cartas están traducidas (en parte) al inglés en:
    • Struik, Dirk Jan, ed. (1986). Un libro de consulta en matemáticas, 1200–1800. Princeton, Nueva Jersey, Estados Unidos: Princeton University Press. págs. 29 y 30. ISBN 9781400858002.
13. En enero de 1658, al final de la Epistola XIX (carta 19), Wallis felicitó efusivamente a Brouncker por su victoria en una batalla de ingenio contra Fermat con respecto a la solución de la ecuación de Pell. De la pág. 807 de (Wallis, 1693): "Et quidem cum Vir Nobilissimus, utut hac sibi suisque tam peculiaria putaverit, & altis impervia, ( quippe non omnis fert omnia tellus ) ut ab Anglis haud speraverit solucionem;profiteatur tamen qu'il sera pourtant ravi d'estre destrompé par cet ingenieux & scavant Signieur ; erit cur & ipse tibi gratuletur Me quod attinet, humillimas est quod rependam gratias, quod in Victoriae tuae partem advocare dignatus es,..." (Y de hecho, Muy Noble Señor [es decir, , Vizconde Brouncker], él [es decir, Fermat] podría haber pensado [tener] para sí un [tema, es decir, la ecuación de Pell] tan esotérico con sus profundidades impenetrables ( pues no toda tierra soporta todas las cosas [es decir, no todas nación puede sobresalir en todo]), por lo que difícilmente podría haber esperado una solución de los ingleses; sin embargo, confiesa que, sin embargo, estará encantado de que este ingenioso y erudito Lord [es decir, Brouncker] lo desengañe; Será por eso que él mismo [es decir, Fermat] te felicitaría. Respecto a mí, le correspondo con humilde agradecimiento por haberse dignado llamarme a participar en su Victoria,...) Nota: La fecha al final de la carta de Wallis es "20 de enero de 1657"; sin embargo, esa fecha correspondía al antiguo calendario juliano que Gran Bretaña finalmente descartó en 1752 : la mayor parte del resto de Europa habría considerado esa fecha como el 31 de enero de 1658. Ver fechas de estilo antiguo y nuevo#Transposición de fechas de eventos históricos y posibles conflictos de fechas .
14. Rahn, Johann Heinrich (1668) [1659], Brancker, Thomas; Pell (eds.), Una introducción al álgebra.
15. "Solution d'un Problème d'Arithmétique", en Joseph Alfred Serret (ed.), Œuvres de Lagrange, vol. 1, págs. 671–731, 1867.
16. Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2015). Ecuaciones diofánticas cuadráticas . Nueva York : Springer. ISBN 978-0-387-35156-8.
17. Lenstra, HW Jr. (2002), "Resolver la ecuación de Pell" (PDF) , Avisos de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 49 (2): 182–192, MR  1875156.
18. Hallgren, Sean (2007), "Algoritmos cuánticos de tiempo polinomial para la ecuación de Pell y el problema ideal principal", Journal of the ACM , 54 (1): 1–19, doi :10.1145/1206035.1206039, S2CID  948064.
19. Schmidt, A.; Völlmer, U. (2005), "Algoritmo cuántico de tiempo polinómico para el cálculo del grupo unitario de un campo numérico" (PDF) , Actas del trigésimo séptimo simposio anual ACM sobre teoría de la computación - STOC '05 , Nueva York: ACM, Simposio sobre teoría de la informática, págs. 475–480, CiteSeerX 10.1.1.420.6344 , doi :10.1145/1060590.1060661, ISBN  1581139608, S2CID  6654142.
20. "¡Primeras curiosidades!: 313".
21. Clark, Pete. "La ecuación de Pell" (PDF) . Universidad de Georgia .
22. Conrado, Keith. "Teorema unitario de Dirichlet" (PDF) . Consultado el 14 de julio de 2020 .
23. Demeyer, Jeroen (2007), Conjuntos diofánticos sobre anillos polinomiales y el décimo problema de Hilbert para campos funcionales (PDF) , tesis doctoral, Universidad de Gante , p. 70, archivado desde el original (PDF) el 2 de julio de 2007 , consultado el 27 de febrero de 2009..
24. Barbeau, Edward J. (2003), "3. Surds cuadráticos", Ecuación de Pell , Libros de problemas de matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95529-1, señor  1949691.
25. Størmer, Carl (1897). "Quelques théorèmes sur l'équation de Pell et leurs application". Skrifter Videnskabs-selskabet (Christiania), Mat.-Naturv. kl. (en francés). Yo (2). ${\displaystyle x^{2}-Dy^{2}=\pm 1}$
26. Lehmer, DH (1964). "Sobre un problema de Størmer". Revista de Matemáticas de Illinois . 8 (1): 57–79. doi : 10.1215/ijm/1256067456 . SEÑOR  0158849.
27. Wang, Jiaqi; Cai, Lide (diciembre de 2013). "La solubilidad de la ecuación de Pell negativa" (PDF) . Universidad Tsinghua : 5–6.
28. Cremona, John E.; Odoni, RWK (1989), "Algunos resultados de densidad para ecuaciones negativas de Pell; una aplicación de la teoría de grafos", Revista de la Sociedad Matemática de Londres , Segunda Serie, 39 (1): 16–28, doi :10.1112/jlms/s2- 39.1.16, ISSN  0024-6107.
29. "Las ecuaciones antiguas ofrecen una nueva visión de los grupos numéricos". Revista Quanta . 10 de agosto de 2022 . Consultado el 18 de agosto de 2022 .
30. Koymans, Peter; Pagano, Carlo (31 de enero de 2022). "Sobre la conjetura de Stevenhagen". arXiv : 2201.13424 [matemáticas.NT].
31. Peker, Sentina (2021). Estudios Actuales en Ciencias Básicas, Ingeniería y Tecnología 2021 (PDF) . Editorial ISRES. pag. 136 . Consultado el 25 de febrero de 2024 .
32. Tamang, Bal Bahadur (agosto de 2022). Solubilidad de la ecuación generalizada de Pell y sus aplicaciones en la vida real (PDF) (Reporte). Universidad Tribhuvan . Consultado el 25 de febrero de 2024 .
33. Lagrange, Joseph-Louis (1867–1892). Obras de Lagrange. T. 2 / publiées par les soins de MJ-A. Serret [y G. Darboux]; [précédé d'une Notice sur la vie et les ouvrages de J.-L. Lagrange, por M. Delambre] (en francés).
34. Matthews, Keith. "La ecuación diofántica x2 - Dy2 = N, D > 0" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 18 de marzo de 2015 . Consultado el 20 de julio de 2020 .
35. Conrad, Keith. "ECUACIÓN DE PELL, II" (PDF) . Consultado el 14 de octubre de 2021 .
36. Bernstein, León (1 de octubre de 1975). "Unidades truncadas en infinitos campos de números algebraicos de degreen ≧4". Annalen Matemáticas . 213 (3): 275–279. doi :10.1007/BF01350876. ISSN  1432-1807. S2CID  121165073.
37. Bernstein, León (1 de marzo de 1974). "Sobre la ecuación diofántica x(x + d)(x + 2d) + y(y + d)(y + 2d) = z(z + d)(z + 2d)". Boletín de Matemáticas Canadiense . 17 (1): 27–34. doi : 10.4153/CMB-1974-005-5 . ISSN  0008-4395. S2CID  125002637.
38. Appleby, Marco; Flamia, Steven; McConnell, Gary; Yard, Jon (agosto de 2017). "SIC y teoría algebraica de números". Fundamentos de la Física . 47 (8): 1042-1059. arXiv : 1701.05200 . Código Bib : 2017FoPh...47.1042A. doi :10.1007/s10701-017-0090-7. ISSN  0015-9018. S2CID  119334103.

Otras lecturas

• Edwards, Harold M. (1996) [1977]. El último teorema de Fermat: una introducción genética a la teoría algebraica de números . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 50. Springer-Verlag . ISBN 0-387-90230-9. SEÑOR  0616635.
• Pellizco, RGE (1988). "Ecuaciones pelianas simultáneas". Matemáticas. Proc. Filosofía de Cambridge. Soc . 103 (1): 35–46. Código Bib : 1988MPCPS.103...35P. doi :10.1017/S0305004100064598. S2CID  123098216.
• Whitford, Edward Everett (1912). La ecuación de Pell (Tesis Doctoral) . Universidad de Colombia.
• Williams, HC (2002). "Resolver la ecuación de Pell". En Bennett, MA; Berndt, antes de Cristo ; Boston, N .; Diamante, HG; Hildebrand, AJ; Philipp, W. (eds.). Encuestas sobre teoría de números: artículos de la conferencia milenaria sobre teoría de números . Natick, MA: AK Peters . págs. 325–363. ISBN 1-56881-162-4. Zbl  1043.11027.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "La ecuación de Pell". MundoMatemático .
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Ecuación de Pell", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Solucionador de ecuaciones de Pell ( n no tiene límite superior)
• Solucionador de ecuaciones de Pell ( n < 10 ¹⁰ , también puede devolver la solución a x ²  −  ny ² = ±1, ±2, ±3 y ±4)