Ecuación seno-Gordon

Ecuación diferencial parcial hiperbólica

La ecuación del seno-Gordon es una ecuación diferencial parcial hiperbólica no lineal para una función que depende de dos variables típicamente denotadas y , que involucran al operador de onda y el seno de . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi }$

Fue introducido originalmente por Edmond Bour  (1862) en el curso del estudio de superficies de curvatura negativa constante como la ecuación de Gauss-Codazzi para superficies de curvatura gaussiana constante −1 en un espacio tridimensional . ^[1] La ecuación fue redescubierta por Frenkel y Kontorova (1939) en su estudio de las dislocaciones de cristales conocido como modelo de Frenkel-Kontorova . ^[2]

Esta ecuación atrajo mucha atención en la década de 1970 debido a la presencia de soluciones de solitones , ^[3] y es un ejemplo de PDE integrable . Entre las PDE integrables conocidas, la ecuación del seno-Gordon es el único sistema relativista debido a su invariancia de Lorentz .

Realizaciones de la ecuación seno-Gordon.

Geometría diferencial

Ésta es la primera derivación de la ecuación, realizada por Bour (1862).

Hay dos formas equivalentes de la ecuación seno-Gordon. En las coordenadas espacio-temporales ( reales ) , denotadas , la ecuación dice: ^[4] ${\displaystyle (x,t)}$

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0,}$

donde las derivadas parciales se indican mediante subíndices. Pasando a las coordenadas del cono de luz ( u ,  v ), similares a las coordenadas asintóticas donde

${\displaystyle u={\frac {x+t}{2}},\quad v={\frac {x-t}{2}},}$

la ecuación toma la forma ^[5]

${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .}$

Esta es la forma original de la ecuación seno-Gordon, tal como se consideró en el siglo XIX durante la investigación de superficies de curvatura gaussiana constante K  = −1, también llamadas superficies pseudoesféricas .

Considere una superficie pseudoesférica arbitraria. A través de cada punto de la superficie hay dos curvas asintóticas . Esto nos permite construir un sistema de coordenadas distinguido para dicha superficie, en el que u  = constante, v  = constante son las líneas asintóticas y las coordenadas se incrementan según la longitud del arco en la superficie. En cada punto de la superficie, sea el ángulo entre las líneas asintóticas. ${\displaystyle \varphi }$

La primera forma fundamental de la superficie es

${\displaystyle ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},}$

y la segunda forma fundamental es

$${\displaystyle L=N=0,M=\sin \varphi }$$

ecuación de Gauss-Codazzi

$${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .}$$

singularteorema de incrustación de Hilbertla pseudoesfera

Por el contrario, se puede comenzar con una solución a la ecuación del seno-Gordon para obtener una pseudoesfera única hasta transformaciones rígidas . Existe un teorema, a veces llamado teorema fundamental de las superficies , que dice que si un par de formas bilineales matriciales satisfacen las ecuaciones de Gauss-Codazzi, entonces son la primera y segunda formas fundamentales de una superficie incrustada en un espacio tridimensional. Se pueden utilizar soluciones de la ecuación del seno-Gordon para construir dichas matrices utilizando las formas obtenidas anteriormente.

Transformada de mentira aplicada a pseudoesfera para obtener una superficie Dini

Nuevas soluciones a partir de viejas

El estudio de esta ecuación y de las transformaciones asociadas de superficies pseudoesféricas en el siglo XIX por Bianchi y Bäcklund condujo al descubrimiento de las transformaciones de Bäcklund . Otra transformación de superficies pseudoesféricas es la transformada de Lie introducida por Sophus Lie en 1879, que corresponde a los impulsos de Lorentz para soluciones de la ecuación del seno-Gordon. ^[6]

También hay algunas formas más sencillas de construir nuevas soluciones pero que no dan nuevas superficies. Dado que la ecuación del seno de Gordon es impar, el negativo de cualquier solución es otra solución. Sin embargo, esto no da como resultado una nueva superficie, ya que el cambio de signo se reduce a la elección de la dirección de la normal a la superficie. Se pueden encontrar nuevas soluciones traduciendo la solución: si es una solución, también lo es para un número entero. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi +2n\pi }$ ${\displaystyle n}$

Modelo de Frenkel-Kontorova

Un modelo mecánico

Una línea de péndulo, con un "patrón de respiración" que oscila en el medio. Desafortunadamente, la imagen está dibujada con la gravedad apuntando hacia arriba .

Considere una línea de péndulo, suspendida en línea recta, en gravedad constante. Conecte las bolas del péndulo entre sí mediante una cuerda en tensión constante. Sea el ángulo del péndulo en la ubicación , entonces esquemáticamente, la dinámica de la línea del péndulo sigue la segunda ley de Newton: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \underbrace {m\varphi _{tt}} _{\text{mass times acceleration}}=\underbrace {T\varphi _{xx}} _{\text{tension}}-\underbrace {mg\sin \varphi } _{\text{gravity}}}$$

Tenga en cuenta que esto no es exactamente correcto, ya que la fuerza neta sobre un péndulo debido a la tensión no es exactamente , sino más exactamente . Sin embargo, esto da una imagen intuitiva de la ecuación seno-gordon. Se pueden producir realizaciones mecánicas exactas de la ecuación seno-gordon mediante métodos más complejos. ^[7] ${\displaystyle T\varphi _{xx}}$ ${\displaystyle T\varphi _{xx}(1+\varphi _{x}^{2})^{-3/2}}$

Nombrar

El nombre "ecuación seno-Gordon" es un juego de palabras con la conocida ecuación de Klein-Gordon en física: ^[4]

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.}$

La ecuación seno-Gordon es la ecuación de Euler-Lagrange del campo cuya densidad lagrangiana está dada por

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .}$

Usando la expansión en serie de Taylor del coseno en el lagrangiano,

${\displaystyle \cos(\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}},}$

se puede reescribir como el lagrangiano de Klein-Gordon más términos de orden superior:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}\\&={\mathcal {L}}_{\text{KG}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

Soluciones Solitón

Una característica interesante de la ecuación seno-Gordon es la existencia de soluciones solitón y multisolitón.

soluciones de 1 solitón

La ecuación del seno-Gordon tiene las siguientes soluciones de 1- solitón :

${\displaystyle \varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan \left(e^{m\gamma (x-vt)+\delta }\right),}$

dónde

${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}},}$

y se supone la forma ligeramente más general de la ecuación:

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+m^{2}\sin \varphi =0.}$

La solución de 1 solitón para la cual hemos elegido la raíz positiva se llama torcedura y representa un giro en la variable que lleva al sistema de una solución constante a una solución constante adyacente . Los estados se conocen como estados de vacío, ya que son soluciones constantes de energía cero. La solución de 1 solitón en la que tomamos la raíz negativa se llama antitorcedura . La forma de las soluciones de 1 solitón se puede obtener mediante la aplicación de una transformada de Bäcklund a la solución trivial (de vacío) y la integración de los diferenciales de primer orden resultantes: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \varphi =2\pi }$ ${\displaystyle \varphi \cong 2\pi n}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2}},}$

${\displaystyle \varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2}}{\text{ with }}\varphi =\varphi _{0}=0}$

para todo el tiempo.

Las soluciones de 1 solitón se pueden visualizar con el uso del modelo seno-Gordon de cinta elástica introducido por Julio Rubinstein en 1970. ^[8] Aquí tomamos un giro en el sentido de las agujas del reloj ( a la izquierda ) de la cinta elástica para convertirlo en un torcedura con características topológicas. cargar . El giro alternativo en sentido antihorario ( hacia la derecha ) con carga topológica será un antitorcedura. ${\displaystyle \theta _{\text{K}}=-1}$ ${\displaystyle \theta _{\text{AK}}=+1}$

Solución estática de 1 solitón ${\displaystyle 4\arctan e^{x}}$

soluciones de 2 solitones

Las soluciones multisolitón se pueden obtener mediante la aplicación continua de la transformada de Bäcklund a la solución de 1 solitón, según lo prescrito por una red de Bianchi que relaciona los resultados transformados. ^[10] Las soluciones de 2 solitones de la ecuación del seno de Gordon muestran algunos de los rasgos característicos de los solitones. Los pliegues y/o anti-pliegues del seno Gordon viajero se atraviesan como si fueran perfectamente permeables, y el único efecto observado es un cambio de fase . Dado que los solitones que colisionan recuperan su velocidad y forma , dicha interacción se denomina colisión elástica .

La solución de torsión está dada por

$${\displaystyle \varphi _{K/K}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\sinh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\cosh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)}$$

mientras que la solución kink-antikink viene dada por

$${\displaystyle \varphi _{K/AK}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\cosh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\sinh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)}$$

Otra solución interesante de 2 solitones surge de la posibilidad de un comportamiento acoplado de torsión y antitorsión conocido como respiradero . Se conocen tres tipos de respiradores: respirador de pie , respirador itinerante de gran amplitud y respirador itinerante de pequeña amplitud . ^[11]

La solución de respiración estacionaria está dada por

$${\displaystyle \varphi (x,t)=4\arctan \left({\frac {{\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;\cos(\omega t)}{\omega \;\cosh({\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;x)}}\right).}$$

soluciones de 3 solitones

Las colisiones de 3 solitones entre un torcedura móvil y un respirador permanente o un antikink itinerante y un respirador permanente dan como resultado un cambio de fase del respirador permanente. En el proceso de colisión entre una torcedura en movimiento y un respiradero estacionario, el desplazamiento del respiradero viene dado por ${\displaystyle \Delta _{\text{B}}}$

${\displaystyle \Delta _{\text{B}}={\frac {2\operatorname {artanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K}}^{2})}}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}},}$

donde es la velocidad de la torcedura y es la frecuencia del respirador. ^[11] Si la antigua posición del respiradero permanente es , después de la colisión la nueva posición será . ${\displaystyle v_{\text{K}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}+\Delta _{\text{B}}}$

Transformación de Backlund

Supongamos que es una solución de la ecuación del seno-Gordon. ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .\,}$

Entonces el sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{u}&=\varphi _{u}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {\psi +\varphi }{2}}{\Bigr )}\\\psi _{v}&=-\varphi _{v}+{\frac {2}{a}}\sin {\Bigl (}{\frac {\psi -\varphi }{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$

donde a es un parámetro arbitrario, se puede resolver para una función que también satisfará la ecuación seno-Gordon. Este es un ejemplo de una transformada auto-Bäcklund, ya que tanto y son soluciones de la misma ecuación, es decir, la ecuación del seno-Gordon. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

Al utilizar un sistema matricial, también es posible encontrar una transformada de Bäcklund lineal para soluciones de la ecuación seno-Gordon.

Por ejemplo, si es la solución trivial , entonces la solución de un solitón está relacionada con el impulso aplicado al solitón. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \equiv 0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle a}$

Carga topológica y energía.

La carga topológica o número de devanados de una solución es ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle N={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\left[\varphi (x=\infty ,t)-\varphi (x=-\infty ,t)\right].}$$

energía ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} }dx\left({\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}+\varphi _{x}^{2})+m^{2}(1-\cos \varphi )\right)}$$

La carga topológica se conserva si la energía es finita. La carga topológica no determina la solución, ni siquiera en el caso de los impulsos de Lorentz. Tanto la solución trivial como la solución del par solitón-antisolitón tienen . ${\displaystyle N=0}$

Formulación de curvatura cero

La ecuación del seno de Gordon es equivalente a que la curvatura de una conexión particular sea igual a cero. ^[12] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Explícitamente, con coordenadas en , los componentes de la conexión están dados por ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

$${\displaystyle A_{u}={\begin{pmatrix}i\lambda &{\frac {i}{2}}\varphi _{u}\\{\frac {i}{2}}\varphi _{u}&-i\lambda \end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\varphi _{u}i\sigma _{1}+\lambda i\sigma _{3},}$$

$${\displaystyle A_{v}={\begin{pmatrix}-{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi &-{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi \\{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi &{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi \end{pmatrix}}=-{\frac {1}{4\lambda }}i\sin \varphi \sigma _{2}-{\frac {1}{4\lambda }}i\cos \varphi \sigma _{3},}$$

matrices de Pauli ${\displaystyle \sigma _{i}}$

$${\displaystyle \partial _{v}A_{u}-\partial _{u}A_{v}+[A_{u},A_{v}]=0}$$

es equivalente a la ecuación del seno-Gordon . La ecuación de curvatura cero se llama así porque corresponde a que la curvatura sea igual a cero si está definida . ${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi }$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]}$

El par de matrices y también se conocen como par de Lax para la ecuación seno-Gordon, en el sentido de que la ecuación de curvatura cero recupera la PDE en lugar de satisfacer la ecuación de Lax. ${\displaystyle A_{u}}$ ${\displaystyle A_{v}}$

Ecuaciones relacionadas

ElLa ecuación de Sinh-Gordon viene dada por^[13]

${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .}$

Esta es la ecuación de Euler-Lagrange del lagrangiano

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .}$

Otra ecuación estrechamente relacionada es la ecuación elíptica del seno-Gordon o ecuación euclidiana del seno-Gordon , dada por

${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,}$

donde ahora es una función de las variables x e y . Esta ya no es una ecuación de solitón, pero tiene muchas propiedades similares, ya que está relacionada con la ecuación seno-Gordon por la continuación analítica (o rotación de Wick ) y  = i t . ${\displaystyle \varphi }$

La ecuación elíptica de Sinh-Gordon se puede definir de manera similar.

Otra ecuación similar proviene de la ecuación de Euler-Lagrange para la teoría de campos de Liouville.

$${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=2e^{2\varphi }.}$$

La teoría de campos de Toda da una generalización . ^[14] Más precisamente, la teoría de campos de Liouville es la teoría de campos de Toda para el álgebra finita de Kac-Moody , mientras que sin(h)-Gordon es la teoría de campos de Toda para el álgebra afín de Kac-Moody . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {sl}}}_{2}}$

Volumen infinito y en media línea.

También se puede considerar el modelo del seno de Gordon en un círculo, ^[15] en un segmento de línea o en una media línea. ^[16] Es posible encontrar condiciones de contorno que preserven la integrabilidad del modelo. ^[16] En una media línea, el espectro contiene estados límite además de los solitones y respiradores. ^[dieciséis]

Modelo cuántico de seno-Gordon

En la teoría cuántica de campos, el modelo seno-Gordon contiene un parámetro que puede identificarse con la constante de Planck . El espectro de partículas consta de un solitón, un antisolitón y un número finito (posiblemente cero) de respiradores . ^{[17] [18] [19]} El número de respiraderos depende del valor del parámetro. La producción de múltiples partículas se cancela en la capa de masa.

La cuantificación semiclásica del modelo seno-Gordon fue realizada por Ludwig Faddeev y Vladimir Korepin . ^[20] La matriz de dispersión cuántica exacta fue descubierta por Alexander Zamolodchikov . ^[21] Este modelo es S-dual con respecto al modelo Thirring , descubierto por Coleman .^[22] Esto a veces se conoce como correspondencia de Coleman y sirve como ejemplo de correspondencia bosón-fermión en el caso de interacción. Este artículo también mostró que las constantes que aparecen en el modelo se comportan bien bajo la renormalización : hay tres parámetros y . Coleman demostró que recibe solo una corrección multiplicativa, recibe solo una corrección aditiva y no se vuelve a normalizar. Además, para un valor crítico distinto de cero , la teoría es de hecho dual a una teoría de campo masivo libre de Dirac . ${\displaystyle \alpha _{0},\beta }$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta ={\sqrt {4\pi }}}$

La ecuación cuántica del seno-Gordon debe modificarse para que los exponenciales se conviertan en operadores de vértice

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QsG}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi +{\frac {1}{2}}m_{0}\varphi ^{2}-\alpha (V_{\beta }+V_{-\beta })}$

con , donde el punto y coma indican el orden normal . Se incluye un posible término de masa. ${\displaystyle V_{\beta }=:e^{i\beta \varphi }:}$

Regímenes de renormalizabilidad

Para diferentes valores del parámetro , las propiedades de renormalización de la teoría del seno-Gordon cambian. ^[23] La identificación de estos regímenes se atribuye a Jürg Fröhlich . ${\displaystyle \beta ^{2}}$

El régimen finito es , donde no se necesitan contratérminos para que la teoría esté bien planteada. El régimen superrenormalizable es , donde se necesita un número finito de contratérminos para que la teoría esté bien planteada. Se necesitan más contratérminos para cada umbral superado. ^[24] Para , la teoría queda mal definida (Coleman 1975). Los valores límite son y , que son respectivamente el punto del fermión libre, ya que la teoría es dual con un fermión libre a través de la correspondencia de Coleman, y el punto auto-dual, donde los operadores de vértice forman una subálgebra afín sl 2 , y la teoría se convierte en estrictamente renormalizable (renormalizable, pero no superrenormalizable). ${\displaystyle \beta ^{2}<4\pi }$ ${\displaystyle 4\pi <\beta ^{2}<8\pi }$ ${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}8\pi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}>8\pi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}=4\pi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}=8\pi }$

Modelo estocástico seno-Gordon

El modelo estocástico o dinámico del seno-Gordon ha sido estudiado por Martin Hairer y Hao Shen ^[25] , lo que permite probar los resultados heurísticos de la teoría cuántica del seno-Gordon en un entorno estadístico.

La ecuación es

$${\displaystyle \partial _{t}u={\frac {1}{2}}\Delta u+c\sin(\beta u+\theta )+\xi ,}$$

ruido blanco ${\displaystyle c,\beta ,\theta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {n}{n+1}}8\pi }$

Modelo supersimétrico de seno-Gordon

También existe una extensión supersimétrica del modelo seno-Gordon. ^[26] También se puede encontrar integrabilidad que preserve las condiciones límite para esta extensión. ^[26]

Aplicaciones físicas

El modelo seno-Gordon surge como el límite continuo del modelo de Frenkel-Kontorova que modela las dislocaciones de cristales.

La dinámica en uniones largas de Josephson está bien descrita por las ecuaciones de seno-Gordon y, a la inversa, proporciona un sistema experimental útil para estudiar el modelo de seno-Gordon. ^[27]

El modelo seno-Gordon está en la misma clase de universalidad que la acción efectiva de un gas de Coulomb de vórtices y antivórtices en el modelo XY clásico continuo , que es un modelo de magnetismo. ^{[28] [29]} Por lo tanto, la transición de Kosterlitz-Thouless para vórtices puede derivarse de un análisis de grupo de renormalización de la teoría de campos del seno-Gordon. ^{[30] [31]}

La ecuación seno-Gordon también surge como el límite continuo formal de un modelo diferente de magnetismo, el modelo cuántico de Heisenberg , en particular el modelo XXZ. ^[32]

Ver también

• efecto josephson
• Fluxón
• Ondas de forma

Referencias

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enlaces externos

• Ecuación seno-Gordon en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Sinh-Gordon en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• ecuación seno-Gordon Archivado el 16 de marzo de 2012 en Wayback Machine en NEQwiki, la enciclopedia de ecuaciones no lineales.