Ecuación de Fokker-Planck

Ecuación diferencial parcial

Solución de la ecuación unidimensional de Fokker-Planck, con el término de deriva y el de difusión. En este caso, la condición inicial es una función delta de Dirac centrada lejos de la velocidad cero. Con el tiempo, la distribución se amplía debido a impulsos aleatorios.

En mecánica estadística y teoría de la información , la ecuación de Fokker-Planck es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad de la velocidad de una partícula bajo la influencia de fuerzas de arrastre y fuerzas aleatorias, como en el movimiento browniano . La ecuación también se puede generalizar a otros observables. ^[1] La ecuación de Fokker-Planck tiene múltiples aplicaciones en teoría de la información, teoría de grafos, ciencia de datos, finanzas, economía, etc.

Recibe su nombre en honor a Adriaan Fokker y Max Planck , quienes la describieron en 1914 y 1917. ^{[2] [3]} También se la conoce como ecuación directa de Kolmogorov , en honor a Andrey Kolmogorov , quien la descubrió de forma independiente en 1931. ^[4] Cuando se aplica a distribuciones de posición de partículas, se la conoce mejor como ecuación de Smoluchowski (en honor a Marian Smoluchowski ), ^[5] y en este contexto es equivalente a la ecuación de convección-difusión . Cuando se aplica a distribuciones de posición y momento de partículas, se la conoce como ecuación de Klein-Kramers . El caso con difusión cero es la ecuación de continuidad . La ecuación de Fokker-Planck se obtiene a partir de la ecuación maestra a través de la expansión de Kramers-Moyal . ^[6]

La primera derivación microscópica consistente de la ecuación de Fokker-Planck en el esquema único de la mecánica clásica y cuántica fue realizada por Nikolay Bogoliubov y Nikolay Krylov . ^{[7] [8]}

Una dimensión

En una dimensión espacial x , para un proceso de Itô impulsado por el proceso de Wiener estándar y descrito por la ecuación diferencial estocástica (EDT) ${\displaystyle W_{t}}$ $${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}}$$

Con coeficiente de deriva y difusión , la ecuación de Fokker-Planck para la densidad de probabilidad de la variable aleatoria es ^[9] ${\displaystyle \mu (X_{t},t)}$ ${\displaystyle D(X_{t},t)=\sigma ^{2}(X_{t},t)/2}$ ${\displaystyle p(x,t)}$ ${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu (x,t)p(x,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D(x,t)p(x,t)\right].}$

Relación entre la ecuación de Fokker-Planck y la ecuación de Itô

En lo siguiente, utilice . ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {2D}}}$

Defina el generador infinitesimal (lo siguiente se puede encontrar en la referencia ^[10] ): ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}p(X_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\mathbb {E} {\big [}p(X_{t+\Delta t})\mid X_{t}=x{\big ]}-p(x)\right).}$$

Aquí se introduce la probabilidad de transición , la probabilidad de pasar de a ; la esperanza se puede escribir como Ahora reemplazamos en la definición de , multiplicamos por e integramos sobre . El límite se toma en Nótese ahora que que es el teorema de Chapman-Kolmogorov. Cambiando la variable ficticia a , se obtiene que es una derivada temporal. Finalmente llegamos a De aquí, se puede deducir la ecuación inversa de Kolmogorov. Si en cambio usamos el operador adjunto de , , definido de tal manera que entonces llegamos a la ecuación directa de Kolmogorov, o ecuación de Fokker-Planck, que, simplificando la notación , en su forma diferencial se lee ${\displaystyle \mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')}$ ${\displaystyle (t',x')}$ ${\displaystyle (t,x)}$ $${\displaystyle \mathbb {E} (p(X_{t+\Delta t})\mid X_{t}=x)=\int p(y)\,\mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,dy.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')}$ ${\displaystyle dx}$ $${\displaystyle \int p(y)\int \mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx\,dy-\int p(x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx.}$$ $${\displaystyle \int \mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\mathbb {P} _{t+\Delta t,t'}(y\mid x'),}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int p(x)\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\mathbb {P} _{t+\Delta t,t'}(x\mid x')-\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\right)\,dx,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int [{\mathcal {L}}p(x)]\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\int p(x)\,\partial _{t}\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\dagger }}$ $${\displaystyle \int [{\mathcal {L}}p(x)]\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\int p(x)[{\mathcal {L}}^{\dagger }\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')]\,dx,}$$ ${\displaystyle p(x,t)=\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\dagger }p(x,t)=\partial _{t}p(x,t).}$$

Queda por definir explícitamente . Esto se puede hacer tomando la expectativa de la forma integral del lema de Itô : ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\big (}p(X_{t}){\big )}=p(X_{0})+\mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}\left(\partial _{t}+\mu \partial _{x}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{x}^{2}\right)p(X_{t'})\,dt'\right).}$$

La parte que depende de desapareció debido a la propiedad martingala. ${\displaystyle dW_{t}}$

Entonces, para una partícula sujeta a una ecuación de Itô, se puede calcular fácilmente, mediante integración por partes, lo que nos lleva a la ecuación de Fokker-Planck: $${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mu \partial _{x}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{x}^{2},}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\dagger }=-\partial _{x}(\mu \cdot )+{\frac {1}{2}}\partial _{x}^{2}(\sigma ^{2}\cdot ),}$$ $${\displaystyle \partial _{t}p(x,t)=-\partial _{x}{\big (}\mu (x,t)\cdot p(x,t){\big )}+\partial _{x}^{2}\left({\frac {\sigma (x,t)^{2}}{2}}\,p(x,t)\right).}$$

Si bien la ecuación de Fokker-Planck se utiliza con problemas donde se conoce la distribución inicial, si el problema es conocer la distribución en tiempos anteriores, se puede utilizar la fórmula de Feynman-Kac , que es una consecuencia de la ecuación hacia atrás de Kolmogorov.

El proceso estocástico definido anteriormente en el sentido de Itô se puede reescribir dentro de la convención de Stratonovich como una SDE de Stratonovich: incluye un término de deriva inducido por ruido adicional debido a los efectos del gradiente de difusión si el ruido depende del estado. Esta convención se utiliza con más frecuencia en aplicaciones físicas. De hecho, es bien sabido que cualquier solución a la SDE de Stratonovich es una solución a la SDE de Itô. $${\displaystyle dX_{t}=\left[\mu (X_{t},t)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X_{t}}}D(X_{t},t)\right]\,dt+{\sqrt {2D(X_{t},t)}}\circ dW_{t}.}$$

La ecuación de deriva cero con difusión constante puede considerarse como un modelo del movimiento browniano clásico : $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=D_{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[p(x,t)\right].}$$

Este modelo tiene un espectro discreto de soluciones si se agrega la condición de límites fijos para : ${\displaystyle \{0\leq x\leq L\}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p(0,t)&=p(L,t)=0,\\p(x,0)&=p_{0}(x).\end{aligned}}}$$

Se ha demostrado ^[11] que en este caso un espectro analítico de soluciones permite derivar una relación de incertidumbre local para el volumen de fase de coordenadas-velocidad: Aquí hay un valor mínimo de un espectro de difusión correspondiente , mientras que y representan la incertidumbre de la definición de coordenadas-velocidad. $${\displaystyle \Delta x\,\Delta v\geq D_{0}.}$$ ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta v}$

Dimensiones superiores

De manera más general, si

$${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\,d\mathbf {W} _{t},}$$

donde y son vectores N -dimensionales , es una matriz y es un proceso de Wiener estándar M -dimensional , la densidad de probabilidad para satisface la ecuación de Fokker-Planck ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)}$ ${\displaystyle N\times M}$ ${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$ ${\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$

${\displaystyle {\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right],}$

con vector de deriva y tensor de difusión , es decir ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{N})}$ ${\textstyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma \sigma }}^{\mathsf {T}}}$ $${\displaystyle D_{ij}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t).}$$

Si en lugar de una SDE de Itô se considera una SDE de Stratonovich ,

$${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\circ d\mathbf {W} _{t},}$$

La ecuación de Fokker-Planck se leerá: ^{[10] : 129}

$${\displaystyle {\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left\{\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]\right\}}$$

Generalización

En general, las ecuaciones de Fokker-Planck son un caso especial de la ecuación directa general de Kolmogorov.

$${\displaystyle \partial _{t}\rho ={\mathcal {A}}^{*}\rho }$$

donde el operador lineal es el adjunto hermítico del generador infinitesimal para el proceso de Markov . ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$

Ejemplos

Proceso de Wiener

Un proceso escalar de Wiener estándar se genera mediante la ecuación diferencial estocástica

$${\displaystyle dX_{t}=dW_{t}.}$$

Aquí el término de deriva es cero y el coeficiente de difusión es 1/2. Por lo tanto, la ecuación de Fokker-Planck correspondiente es

$${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},}$$

que es la forma más simple de una ecuación de difusión . Si la condición inicial es , la solución es ${\displaystyle p(x,0)=\delta (x)}$

$${\displaystyle p(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-{x^{2}}/({2t})}.}$$

Distribución de Boltzmann en el equilibrio termodinámico

La ecuación de Langevin sobreamortiguada da . La distribución de Boltzmann es una distribución de equilibrio y, suponiendo que crece con la suficiente rapidez (es decir, que el pozo de potencial es lo suficientemente profundo como para confinar la partícula), la distribución de Boltzmann es el único equilibrio. $${\displaystyle dx_{t}=-{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}(\nabla _{x}U)dt+dW_{t}}$$ ${\textstyle \partial _{t}p={\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {p}{k_{\text{B}}T}}\nabla U+\nabla p\right)}$ ${\displaystyle p(x)\propto e^{-U(x)/k_{\text{B}}T}}$ ${\displaystyle U}$

Proceso de Ornstein-Uhlenbeck

El proceso Ornstein-Uhlenbeck es un proceso definido como

$${\displaystyle dX_{t}=-aX_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}.}$$

con . Físicamente, esta ecuación se puede motivar de la siguiente manera: una partícula de masa con velocidad que se mueve en un medio, por ejemplo, un fluido, experimentará una fuerza de fricción que resiste el movimiento cuya magnitud se puede aproximar como proporcional a la velocidad de la partícula con . Otras partículas en el medio patearán aleatoriamente a la partícula cuando colisionen con ella y este efecto se puede aproximar mediante un término de ruido blanco; . La segunda ley de Newton se escribe como ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V_{t}}$ ${\displaystyle -aV_{t}}$ ${\displaystyle a=\mathrm {constant} }$ ${\displaystyle \sigma (dW_{t}/dt)}$

$${\displaystyle m{\frac {dV_{t}}{dt}}=-aV_{t}+\sigma {\frac {dW_{t}}{dt}}.}$$

Tomando la simplicidad y cambiando la notación a medida que llegamos a la forma familiar . ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle V_{t}\rightarrow X_{t}}$ ${\displaystyle dX_{t}=-aX_{t}dt+\sigma dW_{t}}$

La ecuación de Fokker-Planck correspondiente es $${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=a{\frac {\partial }{\partial x}}\left(x\,p(x,t)\right)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},}$$

La solución estacionaria ( ) es ${\displaystyle \partial _{t}p=0}$ $${\displaystyle p_{ss}(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{ax^{2}}/{\sigma ^{2}}}.}$$

Física del plasma

En física del plasma, la función de distribución para una especie de partícula , , reemplaza a la función de densidad de probabilidad . La ecuación de Boltzmann correspondiente viene dada por ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p_{s}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial p_{s}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}p_{s}+{\frac {Z_{s}e}{m_{s}}}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot {\boldsymbol {\nabla }}_{v}p_{s}=-{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\left(p_{s}\langle \Delta v_{i}\rangle \right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial v_{i}\,\partial v_{j}}}\left(p_{s}\langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\rangle \right),}$$

donde el tercer término incluye la aceleración de la partícula debido a la fuerza de Lorentz y el término de Fokker-Planck en el lado derecho representa los efectos de las colisiones de partículas. Las cantidades y son el cambio promedio en la velocidad que experimenta una partícula de tipo debido a las colisiones con todas las demás especies de partículas en la unidad de tiempo. Las expresiones para estas cantidades se dan en otra parte. ^[13] Si se ignoran las colisiones, la ecuación de Boltzmann se reduce a la ecuación de Vlasov . ${\displaystyle \langle \Delta v_{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\rangle }$ ${\displaystyle s}$

Ecuación de difusión de Smoluchowski

Consideremos una partícula browniana sobreamortiguada bajo una fuerza externa : ^[14] donde el término es despreciable (el significado de "sobreamortiguada"). Por lo tanto, es solo . La ecuación de Fokker-Planck para esta partícula es la ecuación de difusión de Smoluchowski: Donde es la constante de difusión y . La importancia de esta ecuación es que permite tanto la inclusión del efecto de la temperatura en el sistema de partículas como una constante de difusión dependiente del espacio. ${\displaystyle F(r)}$ $${\displaystyle m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \xi (t)}$$ ${\displaystyle m{\ddot {r}}}$ ${\displaystyle \gamma \,dr=F(r)\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ $${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot [D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})]}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$

Derivación de la ecuación de Smoluchowski a partir de la ecuación de Fokker-Planck

Comenzando con la ecuación de Langevin de una partícula browniana en un campo externo , donde es el término de fricción, es una fuerza fluctuante sobre la partícula y es la amplitud de la fluctuación. ${\displaystyle F(r)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \xi (t)}$$

En el equilibrio, la fuerza de fricción es mucho mayor que la fuerza de inercia, por lo que la ecuación de Langevin se convierte en: ${\displaystyle \left\vert \gamma {\dot {r}}\right\vert \gg \left\vert m{\ddot {r}}\right\vert }$

$${\displaystyle \gamma {\dot {r}}=F(r)+\sigma \xi (t)}$$

Lo que genera la siguiente ecuación de Fokker-Planck,

$${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\left(\nabla ^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}-\nabla \cdot {\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

Reordenando la ecuación de Fokker-Planck,

$${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

Donde . Nótese que el coeficiente de difusión puede no ser necesariamente independiente espacialmente si o son espacialmente dependientes. ${\displaystyle D={\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$

A continuación, el número total de partículas en cualquier volumen particular viene dado por,

$${\displaystyle N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V}drP(r,t|r_{0},t_{0})}$$

Por lo tanto, el flujo de partículas se puede determinar tomando la derivada temporal del número de partículas en un volumen dado, introduciendo la ecuación de Fokker-Planck y luego aplicando el teorema de Gauss .

$${\displaystyle \partial _{t}N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V}dV\nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})=\int _{\partial V}d\mathbf {a} \cdot j(r,t|r_{0},t_{0})}$$

$${\displaystyle j(r,t|r_{0},t_{0})=\left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

En equilibrio, se supone que el flujo tiende a cero. Por lo tanto, se pueden aplicar las estadísticas de Boltzmann para la probabilidad de que una partícula se encuentre en equilibrio, donde es una fuerza conservativa y la probabilidad de que una partícula se encuentre en un estado se expresa como . ${\displaystyle F(r)=-\nabla U(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle P(r,t|r_{0},t_{0})={\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}}$

$${\displaystyle j(r,t|r_{0},t_{0})=\left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right){\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}=0}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \nabla D=F(r)\left({\frac {1}{\gamma }}-D\beta \right)}$$

Esta relación es una realización del teorema de fluctuación-disipación . Ahora, aplicando y utilizando el teorema de fluctuación-disipación, ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ ${\displaystyle DP(r,t|r_{0},t_{0})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \nabla DP(r,t|r_{0},t_{0})&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t|r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0})\nabla D\\&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t|r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0}){\frac {F(r)}{\gamma }}-\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0})D\beta F(r)\end{aligned}}}$$

Reorganizando,

$${\displaystyle \Rightarrow \nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

Por lo tanto, la ecuación de Fokker-Planck se convierte en la ecuación de Smoluchowski, $${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

por una fuerza arbitraria . ${\displaystyle F(r)}$

Consideraciones computacionales

El movimiento browniano sigue la ecuación de Langevin , que se puede resolver para muchas fuerzas estocásticas diferentes y cuyos resultados se pueden promediar (conjunto canónico en dinámica molecular ). Sin embargo, en lugar de este enfoque que requiere mucho cálculo, se puede utilizar la ecuación de Fokker-Planck y considerar la probabilidad de que la partícula tenga una velocidad en el intervalo en el que comienza su movimiento en el tiempo 0. ${\displaystyle p(\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} }$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$

Simulación de dinámica browniana para partículas en potencial lineal 1-D comparada con la solución de la ecuación de Fokker-Planck

Ejemplo de potencial lineal 1-D

La dinámica browniana en una dimensión es simple. ^{[14] [15]}

Teoría

Comenzando con un potencial lineal de la forma , la ecuación de Smoluchowski correspondiente se convierte en, ${\displaystyle U(x)=cx}$

$${\displaystyle \partial _{t}P(x,t|x_{0},t_{0})=\partial _{x}D(\partial _{x}+\beta c)P(x,t|x_{0},t_{0})}$$

Donde la constante de difusión, , es constante en el espacio y el tiempo. Las condiciones de contorno son tales que la probabilidad se anula en con una condición inicial del conjunto de partículas que comienza en el mismo lugar, . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$ ${\displaystyle P(x,t|x_{0},t_{0})=\delta (x-x_{0})}$

Definición y aplicación de la transformación de coordenadas, ${\displaystyle \tau =Dt}$ ${\displaystyle b=\beta c}$

$${\displaystyle y=x+\tau b,\ \ \ y_{0}=x_{0}+\tau _{0}b}$$

Con la ecuación de Smoluchowki se obtiene: ${\displaystyle P(x,t,|x_{0},t_{0})=q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})}$ $${\displaystyle \partial _{\tau }q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})=\partial _{y}^{2}q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})}$$

¿Cuál es la ecuación de difusión libre con solución? $${\displaystyle q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi (\tau -\tau _{0})}}}e^{-{\frac {(y-y_{0})^{2}}{4(\tau -\tau _{0})}}}}$$

Y después de transformarse nuevamente a las coordenadas originales, $${\displaystyle P(x,t|x_{0},t_{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi D(t-t_{0})}}}\exp {\left[{-{\frac {(x-x_{0}+D\beta c(t-t_{0}))^{2}}{4D(t-t_{0})}}}\right]}}$$

Simulación

La simulación de la derecha se completó utilizando una simulación de dinámica browniana . ^{[16] [17]} Comenzando con una ecuación de Langevin para el sistema, donde es el término de fricción, es una fuerza fluctuante sobre la partícula y es la amplitud de la fluctuación. En equilibrio, la fuerza de fricción es mucho mayor que la fuerza de inercia, . Por lo tanto, la ecuación de Langevin se convierte en, $${\displaystyle m{\ddot {x}}=-\gamma {\dot {x}}-c+\sigma \xi (t)}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \left|\gamma {\dot {x}}\right|\gg \left|m{\ddot {x}}\right|}$ $${\displaystyle \gamma {\dot {x}}=-c+\sigma \xi (t)}$$

Para la simulación dinámica browniana, se supone que la fuerza de fluctuación es gaussiana y que la amplitud depende de la temperatura del sistema . Reescribiendo la ecuación de Langevin, ${\displaystyle \xi (t)}$ ${\textstyle \sigma ={\sqrt {2\gamma k_{\text{B}}T}}}$

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-D\beta c+{\sqrt {2D}}\xi (t)}$$donde es la relación de Einstein. La integración de esta ecuación se realizó mediante el método de Euler-Maruyama para aproximar numéricamente la trayectoria de esta partícula browniana. ${\textstyle D={\frac {k_{\text{B}}T}{\gamma }}}$

Solución

Al ser una ecuación diferencial parcial , la ecuación de Fokker-Planck se puede resolver analíticamente solo en casos especiales. Una analogía formal de la ecuación de Fokker-Planck con la ecuación de Schrödinger permite el uso de técnicas avanzadas de operadores conocidas de la mecánica cuántica para su solución en varios casos. Además, en el caso de dinámica sobreamortiguada cuando la ecuación de Fokker-Planck contiene segundas derivadas parciales con respecto a todas las variables espaciales, la ecuación se puede escribir en forma de una ecuación maestra que se puede resolver fácilmente numéricamente. ^[18] En muchas aplicaciones, solo se está interesado en la distribución de probabilidad de estado estacionario , que se puede encontrar a partir de . El cálculo de los tiempos medios de primer paso y las probabilidades de división se pueden reducir a la solución de una ecuación diferencial ordinaria que está íntimamente relacionada con la ecuación de Fokker-Planck. ${\displaystyle p_{0}(x)}$ ${\textstyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=0}$

Casos particulares con solución conocida e inversión

En finanzas matemáticas para el modelado de volatilidad de opciones a través de volatilidad local , uno tiene el problema de derivar un coeficiente de difusión consistente con una densidad de probabilidad obtenida a partir de las cotizaciones de opciones del mercado. El problema es, por lo tanto, una inversión de la ecuación de Fokker-Planck: dada la densidad f(x,t) de la opción subyacente X deducida del mercado de opciones, uno apunta a encontrar la volatilidad local consistente con f . Este es un problema inverso que ha sido resuelto en general por Dupire (1994, 1997) con una solución no paramétrica. ^{[19] [20]} Brigo y Mercurio (2002, 2003) proponen una solución en forma paramétrica a través de una volatilidad local particular consistente con una solución de la ecuación de Fokker-Planck dada por un modelo de mezcla . ^{[21] [22]} También hay más información disponible en Fengler (2008), ^[23] Gatheral (2008), ^[24] y Musiela y Rutkowski (2008). ^[25] ${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$ ${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$ ${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$

Ecuación de Fokker-Planck e integral de trayectoria

Toda ecuación de Fokker-Planck es equivalente a una integral de trayectoria . La formulación de la integral de trayectoria es un excelente punto de partida para la aplicación de métodos de teoría de campos. ^[26] Esto se utiliza, por ejemplo, en dinámica crítica .

Es posible derivar la integral de trayectoria de una manera similar a la de la mecánica cuántica. La derivación de una ecuación de Fokker-Planck con una variable es la siguiente. Comience insertando una función delta y luego integre por partes: ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}p{\left(x',t\right)}&=-{\frac {\partial }{\partial x'}}\left[D_{1}(x',t)p(x',t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {x'}^{2}}}\left[D_{2}(x',t)p(x',t)\right]\\[1ex]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\left[\left(D_{1}{\left(x,t\right)}{\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}{\left(x,t\right)}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)\delta {\left(x'-x\right)}\right]p(x,t).\end{aligned}}}$$

Las derivadas aquí sólo actúan sobre la función , no sobre . Integrar sobre un intervalo de tiempo , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle p(x,t)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle p(x',t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\,\mathrm {d} x\left(\left(1+\varepsilon \left[D_{1}(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]\right)\delta (x'-x)\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).}$$

Insertar la integral de Fourier

$${\displaystyle \delta {\left(x'-x\right)}=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}e^{{\tilde {x}}{\left(x-x'\right)}}}$$

para la función, ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(x',t+\varepsilon )&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}\left(1+\varepsilon \left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)e^{{\tilde {x}}(x-x')}p(x,t)+O(\varepsilon ^{2})\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}\exp \left(\varepsilon \left[-{\tilde {x}}{\frac {(x'-x)}{\varepsilon }}+{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).\end{aligned}}}$$

Esta ecuación se expresa como funcional de . Iterando las veces y realizando el límite se obtiene una integral de trayectoria con acción ${\displaystyle p(x',t+\varepsilon )}$ ${\displaystyle p(x,t)}$ ${\displaystyle (t'-t)/\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$

$${\displaystyle S=\int \mathrm {d} t\left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)-{\tilde {x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\right].}$$

Las variables conjugadas a se denominan "variables de respuesta". ^[27] ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle x}$

Aunque formalmente son equivalentes, los distintos problemas se pueden resolver más fácilmente con la ecuación de Fokker-Planck o con la formulación de la integral de trayectorias. Por ejemplo, la distribución de equilibrio se puede obtener más directamente a partir de la ecuación de Fokker-Planck.

Véase también

• Jerarquía de ecuaciones de Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon
• Ecuación de Boltzmann
• Ecuación de convección-difusión
• Ecuación de Klein-Kramers
• Ecuación inversa de Kolmogorov
• Ecuación de Kolmogorov
• Ecuación de Langevin
• Ecuación maestra
• Teoría de juegos de campo medio
• Proceso de Ornstein-Uhlenbeck
• Ecuación de Vlasov

Notas y referencias

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Lectura adicional

• Frank, Till Daniel (2005). Ecuaciones no lineales de Fokker-Planck: fundamentos y aplicaciones . Springer Series in Synergetics. Springer. ISBN 3-540-21264-7.
• Gardiner, Crispin (2009). Métodos estocásticos (4.ª ed.). Springer. ISBN 978-3-540-70712-7.
• Pavliotis, Grigorios A. (2014). Procesos estocásticos y aplicaciones: procesos de difusión, ecuaciones de Fokker-Planck y de Langevin . Springer Texts in Applied Mathematics. Springer. ISBN 978-1-4939-1322-0.
• Risken, Hannes (1996). La ecuación de Fokker-Planck: métodos de solución y aplicaciones . Springer Series in Synergetics (2.ª ed.). Springer. ISBN 3-540-61530-X.