Modelo de tiempo de primer golpe

Subclase de modelos de supervivencia

En términos más coloquiales, el tiempo de primer paso en un sistema estocástico es el tiempo que tarda una variable de estado en alcanzar un valor determinado. Comprender esta métrica permite comprender mejor el sistema físico en observación y, como tal, ha sido tema de investigación en campos muy diversos, desde la economía hasta la ecología . ^[1]

La idea de que un tiempo de primer paso de un proceso estocástico podría describir el tiempo hasta la ocurrencia de un evento tiene una larga historia, comenzando con un interés en el tiempo de primer paso de los procesos de difusión de Wiener en economía y luego en física a principios del siglo XX. ^{[2] [3] [4]} El modelado de la probabilidad de ruina financiera como un tiempo de primer paso fue una aplicación temprana en el campo de los seguros. ^[5] Un interés en las propiedades matemáticas de los tiempos de primer paso y los modelos y métodos estadísticos para el análisis de datos de supervivencia apareció de manera constante entre mediados y fines del siglo XX. ^{[6] [7] [8] [9] [10]}

Ejemplos

Un ejemplo común de un modelo de tiempo de primer golpe es un problema de ruina , como la ruina del jugador . En este ejemplo, una entidad (a menudo descrita como un jugador o una compañía de seguros) tiene una cantidad de dinero que varía aleatoriamente con el tiempo, posiblemente con cierta desviación . El modelo considera el evento en el que la cantidad de dinero llega a 0, lo que representa la quiebra. El modelo puede responder preguntas como la probabilidad de que esto ocurra dentro de un tiempo finito o el tiempo medio hasta el cual ocurre.

Los modelos de tiempo de primer impacto se pueden aplicar a las vidas útiles esperadas de los pacientes o de los dispositivos mecánicos. Cuando el proceso alcanza un estado umbral adverso por primera vez, el paciente muere o el dispositivo se estropea.

Marcello Minenna desarrolló una aplicación financiera de la probabilidad del primer impacto para calcular el horizonte temporal de inversión mínima. ^{[11] [12]}

Tiempo del primer paso de una partícula browniana unidimensional

Uno de los sistemas estocásticos más simples y omnipresentes es el de la partícula browniana en una dimensión. Este sistema describe el movimiento de una partícula que se mueve estocásticamente en un espacio unidimensional, con la misma probabilidad de moverse hacia la izquierda o hacia la derecha. Dado que el movimiento browniano se utiliza a menudo como una herramienta para comprender fenómenos más complejos, es importante comprender la probabilidad de que un primer paso de la partícula browniana alcance una posición distante de su ubicación de partida. Esto se hace a través de los siguientes medios.

La función de densidad de probabilidad (PDF) para una partícula en una dimensión se encuentra resolviendo la ecuación de difusión unidimensional . (Esta ecuación establece que la densidad de probabilidad de posición se difunde hacia afuera con el tiempo. Es análogo a decir que la crema en una taza de café estaba contenida inicialmente en un pequeño lugar. Después de un largo tiempo, la crema se ha difundido por toda la bebida de manera uniforme). Es decir,

${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t\mid x_{0})}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}p(x,t\mid x_{0})}{\partial x^{2}}},}$

dada la condición inicial ; donde es la posición de la partícula en un momento dado, es la posición inicial de la partícula marcada y es la constante de difusión con unidades del SI (una medida indirecta de la velocidad de la partícula). La barra en el argumento de la probabilidad instantánea se refiere a la probabilidad condicional. La ecuación de difusión establece que la tasa de cambio a lo largo del tiempo en la probabilidad de encontrar la partícula en la posición depende de la desaceleración a lo largo de la distancia de dicha probabilidad en esa posición. ${\displaystyle p(x,t={0}\mid x_{0})=\delta (x-x_{0})}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m^{2}s^{-1}}$ ${\displaystyle x(t)}$

Se puede demostrar que la PDF unidimensional es

${\displaystyle p(x,t;x_{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right).}$

Esto indica que la probabilidad de encontrar la partícula en es gaussiana, y el ancho de la gaussiana depende del tiempo. Más específicamente, el ancho completo en la mitad del máximo (FWHM) –técnicamente, esto es en realidad la duración completa en la mitad del máximo ya que la variable independiente es el tiempo– escala como ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle {\rm {FWHM}}\sim {\sqrt {t}}.}$

Utilizando la PDF se puede derivar el promedio de una función dada, , en el tiempo : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \langle L(t)\rangle \equiv \int _{-\infty }^{\infty }L(x,t)p(x,t)\,dx,}$

donde el promedio se toma sobre todo el espacio (o cualquier variable aplicable).

La densidad de tiempo de primer paso (FPTD) es la probabilidad de que una partícula haya alcanzado primero un punto en el tiempo exacto (no en algún momento durante el intervalo hasta ). Esta densidad de probabilidad se puede calcular a partir de la probabilidad de supervivencia (una medida de probabilidad más común en estadística). Considere la condición de contorno absorbente (el subíndice c para el punto de absorción es una abreviatura de acantilado que se usa en muchos textos como analogía de un punto de absorción). La densidad de probabilidad que satisface esta condición de contorno está dada por ${\displaystyle x_{c}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p(x_{c},t)=0}$ ${\displaystyle x_{c}}$

${\displaystyle p(x,t;x_{0},x_{c})={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x-(2x_{c}-x_{0}))^{2}}{4Dt}}\right)\right),}$

para . La probabilidad de supervivencia, la probabilidad de que la partícula haya permanecido en una posición durante todos los tiempos hasta , está dada por ${\displaystyle x<x_{c}}$ ${\displaystyle x<x_{c}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle S(t)\equiv \int _{-\infty }^{x_{c}}p(x,t;x_{0},x_{c})\,dx=\operatorname {erf} \left({\frac {x_{c}-x_{0}}{2{\sqrt {Dt}}}}\right),}$

donde es la función de error . La relación entre la probabilidad de supervivencia y la FPTD es la siguiente: la probabilidad de que una partícula haya alcanzado el punto de absorción entre los tiempos y es . Si se utiliza la aproximación de Taylor de primer orden, la definición de la FPTD es la siguiente): ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+dt}$ ${\displaystyle f(t)\,dt=S(t)-S(t+dt)}$

${\displaystyle f(t)=-{\frac {\partial S(t)}{\partial t}}.}$

Al utilizar la ecuación de difusión e integrarla, la FPTD explícita es

${\displaystyle f(t)\equiv {\frac {|x_{c}-x_{0}|}{\sqrt {4\pi Dt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {(x_{c}-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right).}$

Por lo tanto, el tiempo de primer paso de una partícula browniana sigue una distribución de Lévy .

Porque de lo anterior se sigue que ${\displaystyle t\gg {\frac {(x_{c}-x_{0})^{2}}{4D}}}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\Delta x}{\sqrt {4\pi Dt^{3}}}}\sim t^{-3/2},}$

donde . Esta ecuación establece que la probabilidad de que una partícula browniana logre un primer paso en un tiempo prolongado (definido en el párrafo anterior) se vuelve cada vez más pequeña, pero siempre es finita . ${\displaystyle \Delta x\equiv |x_{c}-x_{0}|}$

El primer momento de la FPTD diverge (ya que es una distribución llamada de cola pesada ), por lo tanto, no se puede calcular el FPT promedio, por lo que, en cambio, se puede calcular el tiempo típico , el tiempo en que la FPTD está en un máximo ( ), es decir, ${\displaystyle \partial f/\partial t=0}$

${\displaystyle \tau _{\rm {ty}}={\frac {\Delta x^{2}}{6D}}.}$

Aplicaciones de primer impacto en muchas familias de procesos estocásticos

Los tiempos de primer impacto son características centrales de muchas familias de procesos estocásticos, incluidos los procesos de Poisson , los procesos de Wiener , los procesos gamma y las cadenas de Markov , por nombrar solo algunos. El estado del proceso estocástico puede representar, por ejemplo, la fortaleza de un sistema físico, la salud de un individuo o la condición financiera de una empresa comercial. El sistema, el individuo o la empresa falla o experimenta algún otro punto final crítico cuando el proceso alcanza un estado umbral por primera vez. El evento crítico puede ser un evento adverso (como una falla del equipo, insuficiencia cardíaca congestionada o cáncer de pulmón) o un evento positivo (como la recuperación de una enfermedad, el alta de una estadía en el hospital, el nacimiento de un niño o el regreso al trabajo después de una lesión traumática). El lapso de tiempo hasta que ocurre ese evento crítico generalmente se interpreta de manera genérica como un "tiempo de supervivencia". En algunas aplicaciones, el umbral es un conjunto de múltiples estados, por lo que se consideran los tiempos de primer impacto en competencia para alcanzar el primer umbral en el conjunto, como es el caso cuando se consideran causas en competencia de falla en el equipo o la muerte de un paciente.

Regresión de umbral: regresión del momento del primer golpe

Las aplicaciones prácticas de los modelos teóricos para los tiempos de primer impacto a menudo implican estructuras de regresión . Cuando los modelos de tiempo de primer impacto están equipados con estructuras de regresión, que acomodan datos de covariables, llamamos a esa estructura de regresión regresión de umbral . ^[13] El estado de umbral, los parámetros del proceso e incluso la escala de tiempo pueden depender de las covariables correspondientes. La regresión de umbral aplicada a los datos de tiempo hasta el evento ha surgido desde principios de este siglo y ha crecido rápidamente, como se describe en un artículo de encuesta de 2006 ^[13] y sus referencias. Las conexiones entre los modelos de regresión de umbral derivados de los tiempos de primer impacto y el ubicuo modelo de regresión de riesgos proporcionales de Cox ^[14] se investigaron en. ^[15] Las aplicaciones de la regresión de umbral abarcan muchos campos, incluidas las ciencias físicas y naturales, la ingeniería, las ciencias sociales, la economía y los negocios, la agricultura, la salud y la medicina. ^{[16] [17] [18] [19] [20]}

Latente vs. observable

En muchas aplicaciones del mundo real, un modelo de tiempo de primer impacto (FHT) tiene tres componentes subyacentes: (1) un proceso estocástico padre , que puede ser latente, (2) un umbral (o la barrera) y (3) una escala de tiempo . El tiempo de primer impacto se define como el momento en que el proceso estocástico alcanza por primera vez el umbral. Es muy importante distinguir si la ruta de muestra del proceso padre es latente (es decir, no observable) u observable, y dicha distinción es una característica del modelo FHT. De lejos, los procesos latentes son los más comunes. Para dar un ejemplo, podemos utilizar un proceso de Wiener como el proceso estocástico padre. Dicho proceso de Wiener se puede definir con el parámetro de media , el parámetro de varianza y el valor inicial . ${\displaystyle \{X(t)\}\,\,}$ ${\displaystyle \{X(t),t\geq 0\,\}\,}$ ${\displaystyle {\mu }\,\,}$ ${\displaystyle {\sigma ^{2}}\,\,}$ ${\displaystyle X(0)=x_{0}>0\,}$

Escala de tiempo operacional o analítica

La escala de tiempo del proceso estocástico puede ser el tiempo del calendario o del reloj o alguna medida más operativa de la progresión del tiempo, como el kilometraje de un automóvil, el desgaste acumulado de un componente de una máquina o la exposición acumulada a humos tóxicos. En muchas aplicaciones, el proceso estocástico que describe el estado del sistema es latente o no observable y sus propiedades deben inferirse indirectamente a partir de datos censurados de tiempo hasta el evento y/o lecturas tomadas a lo largo del tiempo en procesos correlacionados, como procesos de marcadores. La palabra "regresión" en regresión de umbral se refiere a modelos de tiempo de primer impacto en los que se insertan una o más estructuras de regresión en el modelo para conectar los parámetros del modelo con variables explicativas o covariables. Los parámetros dados a las estructuras de regresión pueden ser parámetros del proceso estocástico, el estado de umbral y/o la escala de tiempo en sí.

Véase también

• Análisis de supervivencia
• Modelos de riesgos proporcionales

Referencias

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2. Bachelier, L. Théorie de la especulación. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Serie 3, Volumen 17 (1900), págs. 21-86. doi: 10.24033/asens.476. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.476/
3. De E 1900
4. Smoluchowski 1915
5. Lundberg, F. (1903) Aproximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Återförsäkering av Kollektivrisker, Almqvist & Wiksell, Uppsala.
6. Tweedie 1945
7. Tweedie 1957-1
8. Tweedie 1957-2
9. Whitmore 1970
10. Lancaster 1972
11. "Resumen ampliado".
12. "Un marco cuantitativo para evaluar el perfil riesgo-recompensa de productos no accionarios".
13. Lee 2006
14. Cox 1972
15. Lee 2010
16. Aarón 2010
17. Chambaz 2014
18. Aarón 2015
19. Él 2015
20. Hou 2016

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