Proceso gamma

También conocido como el proceso (Moran-)Gamma, ^[1] el proceso gamma es un proceso aleatorio estudiado en matemáticas , estadística , teoría de probabilidad y estocástica . El proceso gamma es un proceso estocástico o aleatorio que consiste en distribuciones gamma distribuidas independientemente donde representa el número de ocurrencias de eventos desde el tiempo 0 hasta el tiempo . La distribución gamma tiene parámetro de forma y parámetro de tasa , a menudo escrito como . ^[1] Ambos y deben ser mayores que 0. El proceso gamma a menudo se escribe como donde representa el tiempo desde 0. El proceso es un proceso de Lévy de salto puro creciente con medida de intensidad para todos los positivos . Por lo tanto, los saltos cuyo tamaño se encuentra en el intervalo ocurren como un proceso de Poisson con intensidad El parámetro controla la tasa de llegadas de saltos y el parámetro de escala controla inversamente el tamaño del salto. Se supone que el proceso comienza desde un valor 0 en  t  = 0, lo que significa .   ${\displaystyle N(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Gamma (\gamma ,\lambda )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Gamma (t,\gamma ,\lambda )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \nu (x)=\gamma x^{-1}\exp(-\lambda x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x,x+dx)}$ ${\displaystyle \nu (x)\,dx.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N(0)=0}$

El proceso gamma a veces también se parametriza en términos de la media ( ) y la varianza ( ) del aumento por unidad de tiempo, lo que es equivalente a y . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \gamma =\mu ^{2}/v}$ ${\displaystyle \lambda =\mu /v}$

Definición en inglés simple

El proceso gamma es un proceso que mide la cantidad de ocurrencias de variables independientes distribuidas en gamma durante un período de tiempo . La siguiente imagen muestra dos procesos gamma diferentes desde el tiempo 0 hasta el tiempo 4. El proceso rojo tiene más ocurrencias en el período de tiempo en comparación con el proceso azul porque su parámetro de forma es mayor que el parámetro de forma azul.

Propiedades

En estas propiedades utilizamos la función Gamma , por lo que el lector debe distinguir entre (la función Gamma) y (el proceso Gamma). En ocasiones abreviaremos el proceso como . ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ ${\displaystyle \Gamma (t;\gamma ,\lambda )}$ ${\displaystyle X_{t}\equiv \Gamma (t;\gamma ,\lambda )}$

Algunas propiedades básicas del proceso gamma son: ^{[ cita requerida ]}

Distribución marginal

La distribución marginal de un proceso gamma en el tiempo es una distribución gamma con media y varianza. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma t/\lambda }$ ${\displaystyle \gamma t/\lambda ^{2}.}$

Es decir, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria está dada por la densidad ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{t}}$ $${\displaystyle f(x;t,\gamma ,\lambda )={\frac {\lambda ^{\gamma t}}{\Gamma (\gamma t)}}x^{\gamma t\,-\,1}e^{-\lambda x}.}$$

Escalada

La multiplicación de un proceso gamma por una constante escalar es nuevamente un proceso gamma con una tasa de incremento media diferente. ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha \Gamma (t;\gamma ,\lambda )\simeq \Gamma (t;\gamma ,\lambda /\alpha )}$

Agregar procesos independientes

La suma de dos procesos gamma independientes es nuevamente un proceso gamma.

${\displaystyle \Gamma (t;\gamma _{1},\lambda )+\Gamma (t;\gamma _{2},\lambda )\simeq \Gamma (t;\gamma _{1}+\gamma _{2},\lambda )}$

Momentos

La función de momento ayuda a los matemáticos a encontrar valores esperados, varianzas, asimetría y curtosis.

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}^{n})=\lambda ^{-n}\cdot {\frac {\Gamma (\gamma t+n)}{\Gamma (\gamma t)}},\ \quad n\geq 0,}$ ¿Dónde está la función Gamma ? ${\displaystyle \Gamma (z)}$

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos es el valor esperado de donde X es la variable aleatoria . ${\displaystyle \exp(tX)}$

${\displaystyle \operatorname {E} {\Big (}\exp(\theta X_{t}){\Big )}=\left(1-{\frac {\theta }{\lambda }}\right)^{-\gamma t},\ \quad \theta <\lambda }$

Correlación

La correlación muestra la relación estadística entre dos procesos gamma.

${\displaystyle \operatorname {Corr} (X_{s},X_{t})={\sqrt {\frac {s}{t}}},\ s<t}$, para cualquier proceso gamma ${\displaystyle X(t).}$

El proceso gamma se utiliza como distribución para el cambio de tiempo aleatorio en el proceso gamma de varianza .

Literatura

• Procesos de Lévy y cálculo estocástico por David Applebaum, CUP 2004, ISBN  0-521-83263-2 .

Referencias

1. Klenke, Achim, ed. (2008), "El proceso de puntos de Poisson", Teoría de la probabilidad: un curso completo , Londres: Springer, págs. 525–542, doi :10.1007/978-1-84800-048-3_24, ISBN 978-1-84800-048-3, consultado el 4 de abril de 2023