División por cero

Clase de expresión matemática

La función recíproca y = ⁠1/incógnita⁠ . A medida que x se acerca a cero desde la derecha, y tiende a infinito positivo. A medida que x se acerca a cero desde la izquierda, y tiende a infinito negativo.

En matemáticas , la división por cero , división en la que el divisor (denominador) es cero , es un caso especial único y problemático. Si se utiliza la notación fraccionaria , el ejemplo general se puede escribir como , donde es el dividendo (numerador). ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle a}$

La definición habitual del cociente en aritmética elemental es el número que produce el dividendo cuando se multiplica por el divisor. Es decir, es equivalente a Según esta definición, el cociente no tiene sentido, ya que el producto es siempre en lugar de algún otro número Seguir las reglas ordinarias del álgebra elemental mientras se permite la división por cero puede crear una falacia matemática , un error sutil que lleva a resultados absurdos. Para evitar esto, la aritmética de números reales y estructuras numéricas más generales llamadas cuerpos deja la división por cero sin definir , y las situaciones en las que podría ocurrir la división por cero deben tratarse con cuidado. Dado que cualquier número multiplicado por cero es cero, la expresión también está indefinida. ${\displaystyle c={\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle c\cdot b=a.}$ ${\displaystyle q={\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle q\cdot 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$

El cálculo estudia el comportamiento de las funciones en el límite a medida que su entrada tiende a algún valor. Cuando una función real se puede expresar como una fracción cuyo denominador tiende a cero, la salida de la función se vuelve arbitrariamente grande y se dice que " tiende a infinito " , un tipo de singularidad matemática . Por ejemplo, la función recíproca tiende a infinito como tiende a Cuando tanto el numerador como el denominador tienden a cero en la misma entrada, se dice que la expresión toma una forma indeterminada , ya que el límite resultante depende de las funciones específicas que forman la fracción y no se puede determinar a partir de sus límites separados. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0.}$

Como alternativa a la convención común de trabajar con cuerpos como los números reales y dejar la división por cero sin definir, es posible definir el resultado de la división por cero de otras maneras, lo que da como resultado diferentes sistemas numéricos. Por ejemplo, el cociente puede definirse como igual a cero; puede definirse como igual a un nuevo punto explícito en el infinito , a veces denotado por el símbolo de infinito ; o puede definirse como que dé como resultado infinito con signo, con signo positivo o negativo dependiendo del signo del dividendo. En estos sistemas numéricos, la división por cero ya no es una excepción especial per se, sino que el punto o los puntos en el infinito implican sus propios tipos nuevos de comportamiento excepcional. ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle \infty }$

En informática , un intento de dividir por cero puede dar como resultado un error. Según el contexto y el tipo de número involucrado, dividir por cero puede dar como resultado infinito positivo o negativo , devolver un valor especial que no es un número o hacer que el programa se bloquee , entre otras posibilidades.

Aritmética elemental

El significado de la división

La división puede interpretarse conceptualmente de varias maneras. ^[1] ${\displaystyle N/D=Q}$

En la división cociente , se supone que el dividendo se divide en partes de tamaño (el divisor), y el cociente es el número de partes resultantes. Por ejemplo, imaginemos que se deben hacer diez rebanadas de pan para hacer sándwiches, cada uno de los cuales requiere dos rebanadas de pan. Se pueden hacer un total de cinco sándwiches ( ). Ahora imaginemos en cambio que se requieren cero rebanadas de pan por sándwich (quizás un wrap de lechuga ). Se pueden hacer arbitrariamente muchos sándwiches de ese tipo con diez rebanadas de pan, ya que el pan es irrelevante. ^[2] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$

El concepto cuantitativo de división se presta al cálculo por sustracción repetida : dividir implica contar cuántas veces se puede restar el divisor antes de que se agote el dividendo. Como ningún número finito de restas de cero agotará jamás un dividendo distinto de cero, el cálculo de la división por cero de esta manera nunca termina . ^[3] Este interminable algoritmo de división por cero se exhibe físicamente en algunas calculadoras mecánicas . ^[4]

En la división partitiva , se supone que el dividendo se divide en partes y que el cociente es el tamaño resultante de cada parte. Por ejemplo, imaginemos que se deben dividir diez galletas entre dos amigos. Cada amigo recibirá cinco galletas ( ). Ahora imaginemos que las diez galletas se deben dividir entre cero amigos. ¿Cuántas galletas recibirá cada amigo? Como no hay amigos, esto es un absurdo. ^[5] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$

La pendiente de una línea en el plano es la relación entre las diferencias de coordenadas verticales y horizontales. Para una línea vertical, es 1:0 , una especie de división por cero.

En otra interpretación, el cociente representa la proporción ^[6] Por ejemplo, una receta de torta podría requerir diez tazas de harina y dos tazas de azúcar, una proporción de o, proporcionalmente, Para escalar esta receta a cantidades mayores o menores de torta, se podría mantener una proporción de harina a azúcar proporcional a, por ejemplo, una taza de harina y un quinto de taza de azúcar, o cincuenta tazas de harina y diez tazas de azúcar. ^[7] Ahora imagine que una receta de torta sin azúcar requiere diez tazas de harina y cero tazas de azúcar. La proporción o proporcionalmente es perfectamente sensata: ^[8] solo significa que la torta no tiene azúcar. Sin embargo, la pregunta "¿Cuántas partes de harina por cada parte de azúcar?" todavía no tiene una respuesta numérica significativa. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N:D.}$ ${\displaystyle 10:2}$ ${\displaystyle 5:1.}$ ${\displaystyle 5:1}$ ${\displaystyle 10:0,}$ ${\displaystyle 1:0,}$

Una apariencia geométrica de la interpretación de la división como razón es la pendiente de una línea recta en el plano cartesiano . ^[9] La pendiente se define como la "elevación" (cambio en la coordenada vertical) dividida por el "desplazamiento" (cambio en la coordenada horizontal) a lo largo de la línea. Cuando esto se escribe utilizando la notación de razón simétrica, una línea horizontal tiene pendiente y una línea vertical tiene pendiente. Sin embargo, si la pendiente se toma como un solo número real , entonces una línea horizontal tiene pendiente mientras que una línea vertical tiene una pendiente indefinida, ya que en la aritmética de números reales el cociente no está definido. ^[10] La pendiente de valor real de una línea que pasa por el origen es la coordenada vertical de la intersección entre la línea y una línea vertical en la coordenada horizontal discontinua negra en la figura. Las líneas verticales roja y discontinua negra son paralelas , por lo que no tienen intersección en el plano. A veces se dice que se intersecan en un punto en el infinito , y la razón se representa con un nuevo número ; ^[11] vea § Línea real extendida proyectivamente a continuación. A veces se dice que las líneas verticales tienen una pendiente "infinitamente pronunciada". ${\displaystyle 0:1}$ ${\displaystyle 1:0.}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{1}}=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {y}{x}}}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1:0}$ ${\displaystyle \infty }$

Inversa de la multiplicación

La división es la inversa de la multiplicación , lo que significa que multiplicar y luego dividir por la misma cantidad distinta de cero, o viceversa, deja una cantidad original sin cambios; por ejemplo , ^[12] Por lo tanto, un problema de división como se puede resolver reescribiéndolo como una ecuación equivalente que involucra multiplicación, donde representa la misma cantidad desconocida, y luego encontrando el valor para el cual la afirmación es verdadera; en este caso, la cantidad desconocida es porque entonces, por lo tanto, ^[13] ${\displaystyle (5\times 3)/3={}}$ ${\displaystyle (5/3)\times 3=5}$ ${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}={?}}$ ${\displaystyle {?}\times 3=6,}$ ${\displaystyle {?}}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 2\times 3=6,}$ ${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}=2.}$

Un problema análogo que involucra división por cero, requiere determinar una cantidad desconocida que satisfaga Sin embargo, cualquier número multiplicado por cero es cero en lugar de seis, por lo que no existe ningún número que pueda sustituir a para hacer una afirmación verdadera. ^[14] ${\displaystyle {\tfrac {6}{0}}={?},}$ ${\displaystyle {?}\times 0=6.}$ ${\displaystyle {?}}$

Cuando el problema se cambia al enunciado multiplicativo equivalente es ; en este caso, cualquier valor puede sustituirse por la cantidad desconocida para obtener un enunciado verdadero, por lo que no hay un único número que pueda asignarse como cociente ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}={?},}$ ${\displaystyle {?}\times 0=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}.}$

Debido a estas dificultades, los cocientes donde el divisor es cero se consideran tradicionalmente indefinidos y no se permite la división por cero. ^{[15] [16]}

Falacias

Una razón convincente para no permitir la división por cero es que permitirla conduce a falacias .

Al trabajar con números, es fácil identificar una división ilegal por cero. Por ejemplo:

De y se obtiene Cancelando 0 de ambos lados se obtiene , una declaración falsa. ${\displaystyle 0\times 1=0}$ ${\displaystyle 0\times 2=0}$ ${\displaystyle 0\times 1=0\times 2.}$ ${\displaystyle 1=2}$

La falacia aquí surge de la suposición de que es legítimo cancelar el 0 como cualquier otro número, cuando en realidad hacerlo es una forma de división por 0 .

Utilizando el álgebra , es posible disfrazar una división por cero ^[17] para obtener una prueba inválida . Por ejemplo: ^[18]

Sea x = 1. Multiplica ambos lados por x para obtener . Resta 1 de cada lado para obtener El lado derecho se puede factorizar. Dividiendo ambos lados por x − 1 se obtiene Sustituyendo x = 1 se obtiene ${\displaystyle x=x^{2}}$ $${\displaystyle x-1=x^{2}-1.}$$ $${\displaystyle x-1=(x+1)(x-1).}$$ $${\displaystyle 1=x+1.}$$ $${\displaystyle 1=2.}$$

En esencia, se trata del mismo cálculo falaz que la versión numérica anterior, pero la división por cero quedó confusa porque escribimos 0 como x − 1 .

Primeros intentos

El Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta (c. 598–668) es el texto más antiguo que trata al cero como un número por derecho propio y que define las operaciones que involucran al cero. ^[17] Según Brahmagupta,

Un número positivo o negativo dividido por cero es una fracción con el cero como denominador. Cero dividido por un número negativo o positivo es cero o se expresa como una fracción con cero como numerador y la cantidad finita como denominador. Cero dividido por cero es cero.

En 830, Mahāvīra intentó sin éxito corregir el error que Brahmagupta cometió en su libro Ganita Sara Samgraha : "Un número permanece inalterado cuando se divide por cero". ^[17]

El Līlāvatī de Bhāskara II (siglo XII) propuso que la división por cero da como resultado una cantidad infinita, ^[19]

Una cantidad dividida por cero se convierte en una fracción cuyo denominador es cero. Esta fracción se llama cantidad infinita. En esta cantidad que consiste en aquello que tiene cero por divisor, no hay alteración, aunque se puedan insertar o extraer muchas; así como no se produce ningún cambio en el Dios infinito e inmutable cuando se crean o destruyen mundos, aunque se absorban o expulsen numerosos órdenes de seres.

Históricamente, una de las primeras referencias registradas a la imposibilidad matemática de asignar un valor a algo se encuentra en la crítica del filósofo angloirlandés George Berkeley al cálculo infinitesimal en 1734 en The Analyst ("fantasmas de cantidades fallecidas"). ^[20] ${\textstyle {\tfrac {a}{0}}}$

Cálculo

El cálculo estudia el comportamiento de las funciones utilizando el concepto de límite , el valor al que tiende la salida de una función cuando su entrada tiende a un valor específico. La notación significa que el valor de la función se puede hacer arbitrariamente cercano a eligiendo un valor suficientemente cercano a ${\textstyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c.}$

En el caso en que el límite de la función real aumenta sin límite a medida que tiende a la función no se define en un tipo de singularidad matemática . En cambio, se dice que la función " tiende al infinito ", denotado y su gráfico tiene la línea como asíntota vertical . Si bien dicha función no está definida formalmente para y el símbolo de infinito en este caso no representa ningún número real específico , se dice informalmente que dichos límites "son iguales al infinito". Si el valor de la función disminuye sin límite, se dice que la función "tiende al infinito negativo". En algunos casos, una función tiende a dos valores diferentes cuando tiende a desde arriba ( ) y desde abajo ( ) ; dicha función tiene dos límites unilaterales distintos . ^[21] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\textstyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle x=c,}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty .}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x\to c^{+}}$ ${\displaystyle x\to c^{-}}$

Un ejemplo básico de una singularidad infinita es la función recíproca , que tiende al infinito positivo o negativo según tiende a : ${\displaystyle f(x)=1/x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=+\infty ,\qquad \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty .}$$

En la mayoría de los casos, el límite de un cociente de funciones es igual al cociente de los límites de cada función por separado,

$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)}}.}$$

Sin embargo, cuando una función se construye dividiendo dos funciones cuyos límites separados son ambos iguales a entonces el límite del resultado no puede determinarse a partir de los límites separados, por lo que se dice que toma una forma indeterminada , escrita informalmente (Otra forma indeterminada, resulta de dividir dos funciones cuyos límites tienden ambos al infinito). Tal límite puede ser igual a cualquier valor real, puede tender al infinito o puede no converger en absoluto, dependiendo de las funciones particulares. Por ejemplo, en ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }},}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\dfrac {x^{2}-1}{x-1}},}$$

los límites separados del numerador y denominador son , por lo que tenemos la forma indeterminada , pero al simplificar primero el cociente se muestra que el límite existe: ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(x+1)}{x-1}}=\lim _{x\to 1}(x+1)=2.}$$

Sistemas de numeración alternativos

Línea real extendida

Los números reales afínmente extendidos se obtienen a partir de los números reales sumando dos nuevos números y se leen como "infinito positivo" e "infinito negativo" respectivamente, y representan puntos en el infinito . Con la adición del concepto de "límite en el infinito" se puede hacer que funcione como un límite finito. Cuando se trabaja con números reales extendidos positivos y negativos, la expresión generalmente se deja sin definir. Sin embargo, en contextos donde solo se consideran valores no negativos, a menudo es conveniente definir . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty ,}$ ${\displaystyle \pm \infty ,}$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle 1/0=+\infty }$

Línea real extendida proyectivamente

El conjunto es la línea real extendida proyectivamente , que es una compactificación de un punto de la línea real. Aquí significa un infinito sin signo o un punto en el infinito , una cantidad infinita que no es ni positiva ni negativa. Esta cantidad satisface , lo cual es necesario en este contexto. En esta estructura, se puede definir para a distinto de cero y cuando a no es . Es la forma natural de ver el rango de la función tangente y las funciones cotangentes de la trigonometría : tan( x ) se acerca al único punto en el infinito cuando x se acerca a + ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty =\infty }$ ${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty }$ ${\displaystyle {\frac {a}{\infty }}=0}$ ${\displaystyle \infty }$π/2⁠ o − ⁠π/2⁠ desde cualquier dirección.

Esta definición conduce a muchos resultados interesantes. Sin embargo, la estructura algebraica resultante no es un cuerpo y no se debe esperar que se comporte como tal. Por ejemplo, no está definida en esta extensión de la línea real. ${\displaystyle \infty +\infty }$

Esfera de Riemann

El tema del análisis complejo aplica los conceptos del cálculo a los números complejos . En este tema, son de gran importancia los números complejos extendidos, el conjunto de números complejos con un único número adicional añadido, generalmente denotado por el símbolo de infinito y que representa un punto en el infinito , que se define como contenido en cada dominio exterior , lo que hace de estos sus vecindarios topológicos . ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle \infty }$

Esto puede considerarse intuitivamente como envolver los bordes infinitos del plano complejo y unirlos en un único punto ( una compactificación de un punto) , lo que hace que los números complejos extendidos sean topológicamente equivalentes a una esfera . Esta equivalencia se puede extender a una equivalencia métrica asignando cada número complejo a un punto de la esfera mediante una proyección estereográfica inversa , con la distancia esférica resultante aplicada como una nueva definición de distancia entre números complejos; y, en general, la geometría de la esfera se puede estudiar utilizando aritmética compleja y, a la inversa, la aritmética compleja se puede interpretar en términos de geometría esférica. Como consecuencia, el conjunto de números complejos extendidos a menudo se denomina esfera de Riemann . El conjunto suele denotarse con el símbolo de los números complejos decorado con un asterisco, una línea superior, una tilde o un circunflejo, por ejemplo ${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$

En los números complejos extendidos, para cualquier número complejo distinto de cero, la aritmética compleja ordinaria se extiende mediante las reglas adicionales. Sin embargo, , , y se dejan sin definir. ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle {\tfrac {z}{0}}=\infty ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {z}{\infty }}=0,}$ ${\displaystyle \infty +0=\infty ,}$ ${\displaystyle \infty +z=\infty ,}$ ${\displaystyle \infty \cdot z=\infty .}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty }$

Matemáticas superiores

Las cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) aplicadas a números enteros (enteros positivos), con algunas restricciones, en aritmética elemental se utilizan como marco para apoyar la extensión del ámbito de los números a los que se aplican. Por ejemplo, para que sea posible restar cualquier número entero de otro, el ámbito de los números debe expandirse a todo el conjunto de números enteros para incorporar los enteros negativos. De manera similar, para admitir la división de cualquier número entero por cualquier otro, el ámbito de los números debe expandirse a los números racionales . Durante esta expansión gradual del sistema numérico, se tiene cuidado de garantizar que las "operaciones extendidas", cuando se aplican a los números más antiguos, no produzcan resultados diferentes. En términos generales, dado que la división por cero no tiene significado (no está definida ) en el contexto de los números enteros, esto sigue siendo cierto a medida que el contexto se expande a los números reales o incluso complejos . ^[22]

A medida que se amplía el ámbito de los números a los que se pueden aplicar estas operaciones, también se producen cambios en la forma en que se consideran. Por ejemplo, en el ámbito de los números enteros, la resta ya no se considera una operación básica, ya que puede reemplazarse por la suma de números con signo. ^[23] De manera similar, cuando el ámbito de los números se expande para incluir los números racionales, la división se reemplaza por la multiplicación por ciertos números racionales. En consonancia con este cambio de punto de vista, la pregunta "¿Por qué no podemos dividir por cero?" se convierte en "¿Por qué un número racional no puede tener un denominador cero?". Responder a esta pregunta revisada con precisión requiere un examen minucioso de la definición de números racionales.

En el enfoque moderno para construir el campo de los números reales, los números racionales aparecen como un paso intermedio en el desarrollo que se basa en la teoría de conjuntos. Primero, los números naturales (incluido el cero) se establecen sobre una base axiomática como el sistema de axiomas de Peano y luego esto se expande al anillo de los números enteros . El siguiente paso es definir los números racionales teniendo en cuenta que esto debe hacerse utilizando solo los conjuntos y operaciones que ya se han establecido, a saber, la adición, la multiplicación y los números enteros. Comenzando con el conjunto de pares ordenados de números enteros, {( a , b )} con b ≠ 0 , defina una relación binaria en este conjunto por ( a , b ) ≃ ( c , d ) si y solo si ad = bc . Se muestra que esta relación es una relación de equivalencia y sus clases de equivalencia se definen como los números racionales. Es en la prueba formal de que esta relación es una relación de equivalencia que se necesita el requisito de que la segunda coordenada no sea cero (para verificar la transitividad ). ^{[24] [25] [26]}

Aunque la división por cero no puede definirse sensatamente con números reales y enteros, es posible definirla de manera consistente, o operaciones similares, en otras estructuras matemáticas.

Análisis no estándar

En los números hiperreales , la división por cero sigue siendo imposible, pero la división por infinitesimales distintos de cero es posible. ^[27] Lo mismo ocurre en los números surrealistas . ^[28]

Teoría de la distribución

En teoría de distribuciones se puede extender la función a una distribución en todo el espacio de números reales (en efecto, utilizando los valores principales de Cauchy ). Sin embargo, no tiene sentido preguntar por un "valor" de esta distribución en x  = 0; una respuesta sofisticada se refiere al soporte singular de la distribución. ${\textstyle {\frac {1}{x}}}$

Álgebra lineal

En el álgebra matricial , los bloques cuadrados o rectangulares de números se manipulan como si fueran números en sí mismos: las matrices se pueden sumar y multiplicar y, en algunos casos, también existe una versión de la división. Dividir por una matriz significa, más precisamente, multiplicar por su inversa . No todas las matrices tienen inversas. ^[29] Por ejemplo, una matriz que contiene solo ceros no es invertible.

Se puede definir una pseudodivisión, haciendo a / b  =  ab ⁺ , en la que b ⁺ representa la pseudoinversa de b . Se puede demostrar que si b ⁻¹ existe, entonces b ⁺ = b ⁻¹ . Si b es igual a 0, entonces b ⁺ = 0.

Álgebra abstracta

En álgebra abstracta, los números enteros, los números racionales, los números reales y los números complejos pueden abstraerse en estructuras algebraicas más generales, como un anillo conmutativo , que es una estructura matemática en la que la suma, la resta y la multiplicación se comportan como lo hacen en los sistemas numéricos más familiares, pero la división puede no estar definida. La unión de inversos multiplicativos a un anillo conmutativo se denomina localización . Sin embargo, la localización de cada anillo conmutativo en cero es el anillo trivial , donde , por lo que los anillos conmutativos no triviales no tienen inversos en cero y, por lo tanto, la división por cero no está definida para los anillos conmutativos no triviales. ${\displaystyle 0=1}$

Sin embargo, cualquier sistema numérico que forme un anillo conmutativo puede extenderse a una estructura llamada rueda en la que siempre es posible la división por cero. ^[30] Sin embargo, la estructura matemática resultante ya no es un anillo conmutativo, ya que la multiplicación ya no se distribuye sobre la adición. Además, en una rueda, la división de un elemento por sí mismo ya no da como resultado el elemento identidad multiplicativo , y si el sistema original era un dominio integral , la multiplicación en la rueda ya no da como resultado un semigrupo cancelativo . ${\displaystyle 1}$

Los conceptos aplicados a la aritmética estándar son similares a los de las estructuras algebraicas más generales, como los anillos y los cuerpos . En un cuerpo, cada elemento distinto de cero es invertible bajo la multiplicación; como antes, la división plantea problemas solo cuando se intenta dividir por cero. Esto también es cierto en un cuerpo sesgado (que por esta razón se llama anillo de división ). Sin embargo, en otros anillos, la división por elementos distintos de cero también puede plantear problemas. Por ejemplo, el anillo Z /6 Z de números enteros módulo 6. El significado de la expresión debería ser la solución x de la ecuación . Pero en el anillo Z /6 Z , 2 es un divisor de cero . Esta ecuación tiene dos soluciones distintas, x = 1 y x = 4 , por lo que la expresión no está definida . ${\textstyle {\frac {2}{2}}}$ ${\displaystyle 2x=2}$ ${\textstyle {\frac {2}{2}}}$

En teoría de campos, la expresión es solo una forma abreviada de la expresión formal ab ⁻¹ , donde b ⁻¹ es el inverso multiplicativo de b . Dado que los axiomas de campos solo garantizan la existencia de tales inversos para elementos distintos de cero, esta expresión no tiene sentido cuando b es cero. Los textos modernos, que definen los campos como un tipo especial de anillo, incluyen el axioma 0 ≠ 1 para campos (o su equivalente) de modo que el anillo cero queda excluido de ser un campo. En el anillo cero, la división por cero es posible, lo que demuestra que los otros axiomas de campo no son suficientes para excluir la división por cero en un cuerpo. ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$

Aritmética informática

Aritmética de punto flotante

En informática, la mayoría de los cálculos numéricos se realizan con aritmética de punto flotante , que desde la década de 1980 ha sido estandarizada por la especificación IEEE 754. En la aritmética de punto flotante IEEE, los números se representan utilizando un signo (positivo o negativo), un mantisa de precisión fija y un exponente entero . Los números cuyo exponente es demasiado grande para representar en su lugar "se desbordan" hasta el infinito positivo o negativo (+∞ o −∞), mientras que los números cuyo exponente es demasiado pequeño para representar en su lugar " se desbordan " hasta el cero positivo o negativo (+0 o −0). Un valor NaN (no un número) representa resultados indefinidos.

En la aritmética IEEE, la división de 0/0 o ∞/∞ da como resultado NaN, pero en caso contrario la división siempre produce un resultado bien definido. Dividir cualquier número distinto de cero por cero positivo (+0) da como resultado un infinito del mismo signo que el dividendo. Dividir cualquier número distinto de cero por cero negativo (−0) da como resultado un infinito del signo opuesto al dividendo. Esta definición conserva el signo del resultado en caso de desbordamiento aritmético . ^[31]

Por ejemplo, si se utiliza la aritmética IEEE de precisión simple, si x = −2 ⁻¹⁴⁹ , entonces x /2 se desborda a −0, y al dividir 1 por este resultado se obtiene 1/( x /2) = −∞. El resultado exacto −2 ¹⁵⁰ es demasiado grande para representarlo como un número de precisión simple, por lo que se utiliza en su lugar un infinito del mismo signo para indicar un desbordamiento.

Aritmética de números enteros

Las calculadoras portátiles, como esta TI-86 , normalmente se detienen y muestran un mensaje de error después de intentar dividir por cero.

La división de enteros por cero generalmente se maneja de manera diferente a la de punto flotante, ya que no hay una representación entera para el resultado. Las CPU difieren en el comportamiento: por ejemplo, los procesadores x86 activan una excepción de hardware , mientras que los procesadores PowerPC generan silenciosamente un resultado incorrecto para la división y continúan, y los procesadores ARM pueden causar una excepción de hardware o devolver cero. ^[32] Debido a esta inconsistencia entre plataformas, los lenguajes de programación C y C++ consideran el resultado de dividir por cero como un comportamiento indefinido . ^[33] En lenguajes de programación de nivel superior típicos , como Python , ^[34] se genera una excepción para el intento de división por cero, que se puede manejar en otra parte del programa.

En los asistentes de prueba

Muchos asistentes de prueba , como Coq y Lean , definen 1/0 = 0. Esto se debe al requisito de que todas las funciones sean totales . Esta definición no crea contradicciones, ya que las manipulaciones posteriores (como la cancelación de ) aún requieren que el divisor sea distinto de cero. ^{[35] [36]}

Accidentes históricos

• El 21 de septiembre de 1997, un error de división por cero en el "Remote Data Base Manager" a bordo del USS Yorktown (CG-48) hizo caer todas las máquinas de la red, causando que el sistema de propulsión del barco fallara. ^{[37] [38]}

Véase también

• Divisor de cero
• Cero elevado a cero
• La regla del Hospital

Notas

1. Cheng 2023, págs. 75–83.
2. Zazkis y Liljedahl 2009, pág. 52–53.
3. Zazkis y Liljedahl 2009, pág. 55–56.
4. Kochenburger, Ralph J.; Turcio, Carolyn J. (1974), Computers in Modern Society, Santa Barbara: Hamilton, Algunas otras operaciones, incluida la división, también se pueden realizar con la calculadora de escritorio (pero no intente dividir por cero; la calculadora nunca dejará de intentar dividir hasta que la detenga manualmente).
   Para ver una demostración en video, consulte: ¿Qué sucede cuando se divide por cero en una calculadora mecánica?, 7 de marzo de 2021 , consultado el 6 de enero de 2024 – vía YouTube
5. Zazkis y Liljedahl 2009, págs. 53-54, dan un ejemplo de los herederos de un rey que dividen equitativamente su herencia de 12 diamantes y preguntan qué sucedería en el caso de que todos los herederos murieran antes de que se pudiera ejecutar el testamento del rey.
6. En China, Taiwán y Japón, los libros de texto escolares suelen distinguir entre la razón y el valor de la razón. Por el contrario, en los EE. UU. los libros de texto suelen tratarlos como dos notaciones para la misma cosa. ${\displaystyle N:D}$ ${\displaystyle {\tfrac {N}{D}}.}$
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13. Cheng 2023, pag. 78; Zazkis y Liljedahl 2009, pág. 55
14. Zazkis y Liljedahl 2009, pág. 55.
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Fuentes

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• Schumacher, Carol (1996), Capítulo cero: Nociones fundamentales de matemáticas abstractas , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1
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Lectura adicional

• Northrop, Eugene P. (1944), Acertijos en matemáticas: un libro de paradojas , Nueva York: D. Van Nostrand, cap. 5, "No dividirás por cero", págs. 77-96
• Seife, Charles (2000), Zero: La biografía de una idea peligrosa , Nueva York: Penguin, ISBN 0-14-029647-6
• Suppes, Patrick (1957), Introducción a la lógica , Princeton: D. Van Nostrand, §8.5 "El problema de la división por cero" y §8.7 "Cinco enfoques para la división por cero"(Reimpresión de Dover, 1999)
• Tarski, Alfred (1941), Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas , Oxford University Press, §53 "Definiciones cuyo definiendum contiene el signo de identidad"