Distribución de Laplace

Distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución de Laplace es una distribución de probabilidad continua que recibe su nombre de Pierre-Simon Laplace . A veces también se la denomina distribución exponencial doble , porque se puede considerar como dos distribuciones exponenciales (con un parámetro de ubicación adicional) empalmadas a lo largo de la abscisa , aunque el término también se usa a veces para referirse a la distribución de Gumbel . La diferencia entre dos variables aleatorias exponenciales independientes distribuidas de manera idéntica está gobernada por una distribución de Laplace, al igual que un movimiento browniano evaluado en un tiempo aleatorio distribuido exponencialmente ^{[ cita requerida ]} . Los incrementos del movimiento de Laplace o un proceso de varianza gamma evaluado en la escala de tiempo también tienen una distribución de Laplace.

Definiciones

Función de densidad de probabilidad

Una variable aleatoria tiene una distribución si su función de densidad de probabilidad es ${\displaystyle \operatorname {Laplace} (\mu ,b)}$

${\displaystyle f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right),}$

donde es un parámetro de ubicación y , que a veces se denomina "diversidad", es un parámetro de escala . Si y , la semirrecta positiva es exactamente una distribución exponencial escalada por 1/2. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle b=1}$

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Laplace también recuerda a la distribución normal ; sin embargo, mientras que la distribución normal se expresa en términos de la diferencia al cuadrado de la media , la densidad de Laplace se expresa en términos de la diferencia absoluta de la media. En consecuencia, la distribución de Laplace tiene colas más gruesas que la distribución normal. Es un caso especial de la distribución normal generalizada y la distribución hiperbólica . Las distribuciones simétricas continuas que tienen colas exponenciales, como la distribución de Laplace, pero que tienen funciones de densidad de probabilidad que son diferenciables en la moda incluyen la distribución logística , la distribución secante hiperbólica y la distribución de Champernowne . ${\displaystyle \mu }$

Función de distribución acumulativa

La distribución de Laplace es fácil de integrar (si se distinguen dos casos simétricos) debido al uso de la función de valor absoluto . Su función de distribución acumulativa es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{cases}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x-\mu )\left(1-\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\right).\end{aligned}}}$

La función de distribución acumulativa inversa está dada por

${\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|).}$

Propiedades

Momentos

${\displaystyle \mu _{r}'={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}\sum _{k=0}^{r}{\bigg [}{\frac {r!}{(r-k)!}}b^{k}\mu ^{(r-k)}\{1+(-1)^{k}\}{\bigg ]}.}$

Distribuciones relacionadas

• Si entonces . ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ ${\displaystyle kX+c\sim {\textrm {Laplace}}(k\mu +c,|k|b)}$
• Si entonces . ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$ ${\displaystyle bX\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)}$
• Si entonces ( distribución exponencial ). ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)}$ ${\displaystyle \left|X\right|\sim {\textrm {Exponential}}\left(b^{-1}\right)}$
• Si entonces ． ${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$ ${\displaystyle X-Y\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)}$
• Si entonces . ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ ${\displaystyle \left|X-\mu \right|\sim {\textrm {Exponential}}(b^{-1})}$
• Si entonces ( distribución de potencia exponencial ). ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {EPD}}(\mu ,b,1)}$
• Si ( distribución normal ) entonces y . ${\displaystyle X_{1},...,X_{4}\sim {\textrm {N}}(0,1)}$ ${\displaystyle X_{1}X_{2}-X_{3}X_{4}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$ ${\displaystyle (X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+X_{3}^{2}-X_{4}^{2})/2\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$
• Si entonces ( distribución chi-cuadrado ). ${\displaystyle X_{i}\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ ${\displaystyle {\frac {\displaystyle 2}{b}}\sum _{i=1}^{n}|X_{i}-\mu |\sim \chi ^{2}(2n)}$
• Si entonces . ( Distribución F ) ${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ ${\displaystyle {\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$
• Si ( distribución uniforme ) entonces . ${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {U}}(0,1)}$ ${\displaystyle \log(X/Y)\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$
• Si y ( distribución de Bernoulli ) son independientes de , entonces . ${\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$ ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Bernoulli}}(0.5)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(2Y-1)\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)}$
• Si y es independiente de , entonces ． ${\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$ ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Exponential}}(\nu )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda X-\nu Y\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$
• Si tiene una distribución de Rademacher y entonces . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$ ${\displaystyle XY\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )}$
• Si y es independiente de , entonces . ${\displaystyle V\sim {\textrm {Exponential}}(1)}$ ${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)}$
• Si ( distribución geométrica estable ) entonces . ${\displaystyle X\sim {\textrm {GeometricStable}}(2,0,\lambda ,0)}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,\lambda )}$
• La distribución de Laplace es un caso límite de la distribución hiperbólica .
• Si con ( distribución de Rayleigh ) entonces . Nótese que si , entonces con , que a su vez es igual a la distribución exponencial . ${\displaystyle X|Y\sim {\textrm {N}}(\mu ,Y^{2})}$ ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$ ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)}$ ${\displaystyle Y^{2}\sim {\textrm {Gamma}}(1,2b^{2})}$ ${\displaystyle {\textrm {E}}(Y^{2})=2b^{2}}$ ${\displaystyle {\textrm {Exp}}(1/(2b^{2}))}$
• Dado un número entero , si ( distribución gamma , usando caracterización), entonces ( divisibilidad infinita ) ^[2] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle X_{i},Y_{i}\sim \Gamma \left({\frac {1}{n}},b\right)}$ ${\displaystyle k,\theta }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mu }{n}}+X_{i}-Y_{i}\right)\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$
• Si X tiene una distribución de Laplace, entonces Y = e ^X tiene una distribución log-Laplace; por el contrario, si X tiene una distribución log-Laplace, entonces su logaritmo tiene una distribución de Laplace.

Probabilidad de que un Laplace sea mayor que otro

Sean variables aleatorias de Laplace independientes: y , y queremos calcular . ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{X},b_{X})}$ ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{Y},b_{Y})}$ ${\displaystyle P(X>Y)}$

La probabilidad de se puede reducir (usando las propiedades a continuación) a , donde . Esta probabilidad es igual a ${\displaystyle P(X>Y)}$ ${\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})}$ ${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$

${\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})={\begin{cases}{\frac {b^{2}e^{\mu /b}-e^{\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu <0\\1-{\frac {b^{2}e^{-\mu /b}-e^{-\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}$

Cuando , ambas expresiones se reemplazan por su límite como : ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle b\to 1}$

${\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})={\begin{cases}e^{\mu }{\frac {(2-\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu <0\\1-e^{-\mu }{\frac {(2+\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}$

Para calcular el caso de , tenga en cuenta que ${\displaystyle \mu >0}$ ${\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})=1-P(\mu +Z_{1}<Z_{2})=1-P(-\mu -Z_{1}>-Z_{2})=1-P(-\mu +Z_{1}>Z_{2})}$

desde cuando . ${\displaystyle Z\sim -Z}$ ${\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$

Relación con la distribución exponencial

Una variable aleatoria de Laplace se puede representar como la diferencia de dos variables aleatorias exponenciales independientes e idénticamente distribuidas ( iid ). ^[2] Una forma de demostrar esto es utilizando el enfoque de la función característica . Para cualquier conjunto de variables aleatorias continuas independientes, para cualquier combinación lineal de esas variables, su función característica (que determina de forma única la distribución) se puede obtener multiplicando las funciones características correspondientes.

Consideremos dos variables aleatorias iid . Las funciones características para son ${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$ ${\displaystyle X,-Y}$

${\displaystyle {\frac {\lambda }{-it+\lambda }},\quad {\frac {\lambda }{it+\lambda }}}$

respectivamente. Al multiplicar estas funciones características (equivalentes a la función característica de la suma de las variables aleatorias ), el resultado es ${\displaystyle X+(-Y)}$

${\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{(-it+\lambda )(it+\lambda )}}={\frac {\lambda ^{2}}{t^{2}+\lambda ^{2}}}.}$

Esta es la misma que la función característica para , que es ${\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {t^{2}}{\lambda ^{2}}}}}.}$

Distribuciones de Sargan

Las distribuciones de Sargan son un sistema de distribuciones del que la distribución de Laplace es un miembro central. Una distribución de Sargan de orden n tiene densidad ^{[3] [4]} ${\displaystyle p}$

${\displaystyle f_{p}(x)={\tfrac {1}{2}}\exp(-\alpha |x|){\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\alpha ^{j}|x|^{j}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}j!\beta _{j}}},}$

para los parámetros . Los resultados de la distribución de Laplace para . ${\displaystyle \alpha \geq 0,\beta _{j}\geq 0}$ ${\displaystyle p=0}$

Inferencia estadística

Dadas muestras independientes e idénticamente distribuidas , el estimador de máxima verosimilitud (MLE) de es la mediana de la muestra , ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\hat {\mu }}=\mathrm {med} (x).}$

El estimador MLE de es la desviación absoluta media de la mediana, ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\hat {\mu }}|.}$

revelando un vínculo entre la distribución de Laplace y las desviaciones mínimas absolutas . Se puede aplicar una corrección para muestras pequeñas de la siguiente manera:

${\displaystyle {\hat {b}}^{*}={\hat {b}}\cdot n/(n-2)}$

(ver: distribución exponencial#Estimación de parámetros ).

Ocurrencia y aplicaciones

La distribución laplaciana se ha utilizado en el reconocimiento de voz para modelar valores anteriores en coeficientes DFT ^[6] y en la compresión de imágenes JPEG para modelar coeficientes AC ^[7] generados por una DCT .

• La adición de ruido extraído de una distribución laplaciana, con un parámetro de escala apropiado para la sensibilidad de una función, a la salida de una consulta de base de datos estadística es el medio más común para proporcionar privacidad diferencial en bases de datos estadísticas.

Distribución de Laplace ajustada a las precipitaciones máximas de un día ^[8]

• En el análisis de regresión , la estimación de las desviaciones mínimas absolutas surge como la estimación de máxima verosimilitud si los errores tienen una distribución de Laplace.
• El lazo puede considerarse como una regresión bayesiana con una prior laplaciana para los coeficientes. ^[9]
• En hidrología, la distribución de Laplace se aplica a eventos extremos, como las precipitaciones máximas anuales de un día y las descargas de los ríos. La imagen azul, realizada con CumFreq , ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Laplace a las precipitaciones máximas anuales de un día clasificadas, mostrando también el cinturón de confianza del 90 % basado en la distribución binomial . Los datos de precipitaciones se representan mediante el trazado de posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .
• La distribución de Laplace tiene aplicaciones en finanzas. Por ejemplo, SG Kou desarrolló un modelo para los precios de instrumentos financieros que incorpora una distribución de Laplace (en algunos casos una distribución de Laplace asimétrica ) para abordar los problemas de asimetría , curtosis y la sonrisa de volatilidad que a menudo ocurren cuando se utiliza una distribución normal para fijar los precios de estos instrumentos. ^{[10] [11]}

La distribución de Laplace, al ser una distribución compuesta o doble , es aplicable en situaciones donde los valores más bajos se originan bajo condiciones externas diferentes a los más altos, de modo que siguen un patrón diferente. ^[12]

Generación de variables aleatorias

Dada una variable aleatoria extraída de la distribución uniforme en el intervalo , la variable aleatoria ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(-1/2,1/2\right)}$

${\displaystyle X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)}$

tiene una distribución de Laplace con parámetros y . Esto se desprende de la función de distribución acumulativa inversa dada anteriormente. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle b}$

Una variable también se puede generar como la diferencia de dos variables aleatorias iid . De manera equivalente, también se puede generar como el logaritmo del cociente de dos variables aleatorias uniformes iid . ${\displaystyle {\textrm {Laplace}}(0,b)}$ ${\displaystyle {\textrm {Exponential}}(1/b)}$ ${\displaystyle {\textrm {Laplace}}(0,1)}$

Historia

Esta distribución se conoce a menudo como la "primera ley de errores de Laplace". La publicó en 1774, modelando la frecuencia de un error como una función exponencial de su magnitud una vez que se descartaba su signo. Laplace reemplazaría más tarde este modelo con su "segunda ley de errores", basada en la distribución normal, después del descubrimiento del teorema del límite central . ^{[13] [14]}

Keynes publicó un artículo en 1911 basado en su tesis anterior en el que demostraba que la distribución de Laplace minimizaba la desviación absoluta de la mediana. ^[15]

Véase también

• Distribución normal generalizada#Versión simétrica
• Distribución de Laplace multivariante
• Medida de Besov , una generalización de la distribución de Laplace a espacios funcionales
• Distribución de Cauchy , también llamada "distribución de Lorentz", es decir, la transformada de Fourier de Laplace.
• Función característica (teoría de la probabilidad)

Referencias

1. Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2019). "Cálculo de CVaR y bPOE para distribuciones de probabilidad comunes con aplicación a la optimización de carteras y estimación de densidad" (PDF) . Anales de investigación de operaciones . 299 (1–2). Springer: 1281–1315. doi :10.1007/s10479-019-03373-1 . Consultado el 27 de febrero de 2023 .
2. Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgórski, Krzysztof (2001). La distribución de Laplace y las generalizaciones: una revisión con aplicaciones a las comunicaciones, la economía, la ingeniería y las finanzas. Birkhauser. pp. 23 (Proposición 2.2.2, Ecuación 2.2.8). ISBN 9780817641665.
3. Everitt, BS (2002) Diccionario de estadística de Cambridge , CUP. ISBN 0-521-81099-X 
4. Johnson, NL, Kotz S., Balakrishnan, N. (1994) Distribuciones univariadas continuas , Wiley. ISBN 0-471-58495-9 . pág. 60. 
5. Robert M. Norton (mayo de 1984). "La distribución exponencial doble: uso del cálculo para encontrar un estimador de máxima verosimilitud". The American Statistician . 38 (2). Asociación Estadounidense de Estadística: 135–136. doi :10.2307/2683252. JSTOR  2683252.
6. Eltoft, T.; Taesu Kim; Te-Won Lee (2006). "Sobre la distribución multivariante de Laplace" (PDF) . IEEE Signal Processing Letters . 13 (5): 300–303. doi :10.1109/LSP.2006.870353. S2CID  1011487. Archivado desde el original (PDF) el 2013-06-06 . Consultado el 2012-07-04 .
7. Minguillon, J.; Pujol, J. (2001). "Modelado de error de cuantificación uniforme estándar JPEG con aplicaciones a modos de operación secuencial y progresivo" (PDF) . Journal of Electronic Imaging . 10 (2): 475–485. doi :10.1117/1.1344592. hdl : 10609/6263 .
8. CumFreq para ajuste de distribución de probabilidad
9. Pardo, Scott (2020). Análisis estadístico de datos empíricos. Métodos para las ciencias aplicadas. Springer. pág. 58. ISBN 978-3-030-43327-7.
10. Kou, SG (8 de agosto de 2002). "Un modelo de difusión por saltos para la fijación de precios de opciones". Management Science . 48 (8): 1086–1101. doi :10.1287/mnsc.48.8.1086.166. JSTOR  822677 . Consultado el 1 de marzo de 2022 .
11. Chen, Jian (2018). Método de fijación de precios de opciones de equilibrio general: estudio teórico y empírico . Springer. pág. 70. ISBN 9789811074288.
12. Una colección de distribuciones compuestas
13. Laplace, PD. (1774). Mémoire sur la probabilité des cause par les évènements. Mémoires de l'Academie Royale des Sciences Presentés par Divers Savan, 6, 621–656
14. Wilson, Edwin Bidwell (1923). "Primera y segunda ley del error". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 18 (143). Informa UK Limited: 841–851. doi :10.1080/01621459.1923.10502116. ISSN  0162-1459. Este artículo incorpora texto de esta fuente, que se encuentra en el dominio público .
15. Keynes, JM (1911). "Los promedios principales y las leyes de error que conducen a ellos". Revista de la Royal Statistical Society . 74 (3). JSTOR: 322–331. doi :10.2307/2340444. ISSN  0952-8385. JSTOR  2340444.

Enlaces externos

• "Distribución de Laplace", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]