Dimensión de Krull

En matemáticas, dimensión de un anillo.

En álgebra conmutativa , la dimensión de Krull de un anillo conmutativo R , llamado así por Wolfgang Krull , es el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primos . La dimensión de Krull no necesita ser finita ni siquiera para un anillo noetheriano . De manera más general, la dimensión de Krull se puede definir para módulos sobre anillos posiblemente no conmutativos como la desviación del conjunto parcial de submódulos.

La dimensión de Krull se introdujo para proporcionar una definición algebraica de la dimensión de una variedad algebraica : la dimensión de la variedad afín definida por un ideal I en un anillo polinomial R es la dimensión de Krull de R / I.

Un cuerpo k tiene dimensión de Krull 0; más generalmente, k [ x ₁ , ..., x _n ] tiene dimensión de Krull n . Un dominio ideal principal que no es un cuerpo tiene dimensión de Krull 1. Un anillo local tiene dimensión de Krull 0 si y solo si cada elemento de su ideal máximo es nilpotente .

Existen otras formas que se han utilizado para definir la dimensión de un anillo. La mayoría de ellas coinciden con la dimensión de Krull para los anillos noetherianos, pero pueden diferir para los anillos no noetherianos.

Explicación

Decimos que una cadena de ideales primos de la forma tiene longitud n . Es decir, la longitud es el número de inclusiones estrictas, no el número de primos; estos difieren en 1. Definimos la dimensión de Krull de como el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primos en . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Dado un ideal primo en R , definimos el ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$altura de, escrita, como el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primos contenidos en, lo que significa que.^[1] En otras palabras, la altura dees la dimensión de Krull de lalocalizacióndeRen. Un ideal primo tiene altura cero si y solo si es unideal primo mínimo. La dimensión de Krull de un anillo es el supremo de las alturas de todos los ideales máximos, o las de todos los ideales primos. La altura también se denomina a veces codimensión, rango o altitud de un ideal primo. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

En un anillo noetheriano , cada ideal primo tiene una altura finita. No obstante, Nagata dio un ejemplo de un anillo noetheriano de dimensión infinita de Krull. ^[2] Un anillo se llama catenario si cualquier inclusión de ideales primos se puede extender a una cadena máxima de ideales primos entre y , y cualesquiera dos cadenas máximas entre y tienen la misma longitud. Un anillo se llama universalmente catenario si cualquier álgebra finitamente generada sobre él es catenaria. Nagata dio un ejemplo de un anillo noetheriano que no es catenario. ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

En un anillo noetheriano, un ideal primo tiene una altura de como máximo n si y solo si es un ideal primo mínimo sobre un ideal generado por n elementos ( teorema de la altura de Krull y su inverso). ^[4] Esto implica que la condición de cadena descendente se cumple para ideales primos de tal manera que las longitudes de las cadenas que descienden de un ideal primo están limitadas por el número de generadores del primo. ^[5]

De manera más general, la altura de un ideal I es el ínfimo de las alturas de todos los ideales primos que contienen a I. En el lenguaje de la geometría algebraica , esta es la codimensión de la subvariedad de Spec( ) correspondiente a I. ^[6] ${\displaystyle R}$

Esquemas

De la definición del espectro de un anillo Spec( R ), el espacio de ideales primos de R equipado con la topología de Zariski, se deduce fácilmente que la dimensión de Krull de R es igual a la dimensión de su espectro como espacio topológico, es decir, el supremo de las longitudes de todas las cadenas de subconjuntos cerrados irreducibles. Esto se deduce inmediatamente de la conexión de Galois entre ideales de R y subconjuntos cerrados de Spec( R ) y de la observación de que, por la definición de Spec( R ), cada ideal primo de R corresponde a un punto genérico del subconjunto cerrado asociado a él por la conexión de Galois. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Ejemplos

• La dimensión de un anillo polinómico sobre un cuerpo k [ x ₁ , ..., x _n ] es el número de variables n . En el lenguaje de la geometría algebraica , esto dice que el espacio afín de dimensión n sobre un cuerpo tiene dimensión n , como se esperaba. En general, si R es un anillo noetheriano de dimensión n , entonces la dimensión de R [ x ] es n + 1. Si se descarta la hipótesis noetheriana, entonces R [ x ] puede tener una dimensión en cualquier lugar entre n + 1 y 2 n + 1.
• Por ejemplo, el ideal tiene altura 2 ya que podemos formar la cadena ascendente máxima de ideales primos . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle (0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}}$
• Dado un polinomio irreducible , el ideal no es primo (ya que , pero ninguno de los factores lo es), pero podemos calcular fácilmente la altura ya que el ideal primo más pequeño que contiene es simplemente . ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x,y,z]}$ ${\displaystyle I=(f^{3})}$ ${\displaystyle f\cdot f^{2}\in I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (f)}$
• El anillo de números enteros Z tiene dimensión 1. De manera más general, cualquier dominio ideal principal que no sea un campo tiene dimensión 1.
• Un dominio integral es un campo si y solo si su dimensión de Krull es cero. Los dominios de Dedekind que no son campos (por ejemplo, anillos de valoración discretos ) tienen dimensión uno.
• La dimensión de Krull del anillo cero se define normalmente como o . El anillo cero es el único anillo con una dimensión negativa. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -1}$
• Un anillo es artiniano si y solo si es noetheriano y su dimensión de Krull es ≤0.
• Una extensión integral de un anillo tiene la misma dimensión que el anillo.
• Sea R un álgebra sobre un cuerpo k que es un dominio integral. Entonces la dimensión de Krull de R es menor o igual que el grado de trascendencia del cuerpo de fracciones de R sobre k . ^[7] La ​​igualdad se cumple si R se genera finitamente como un álgebra (por ejemplo, mediante el lema de normalización de Noether ).
• Sea R un anillo noetheriano, I un ideal y sea el anillo graduado asociado (los geómetras lo llaman el anillo del cono normal de I ). Entonces es el supremo de las alturas de los ideales máximos de R que contienen a I . ^[8] ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} \operatorname {gr} _{I}(R)}$
• Un anillo noetheriano conmutativo de dimensión de Krull cero es un producto directo de un número finito (posiblemente uno) de anillos locales de dimensión de Krull cero.
• Un anillo local noetheriano se denomina anillo de Cohen-Macaulay si su dimensión es igual a su profundidad . Un anillo local regular es un ejemplo de este tipo de anillo.
• Un dominio integral noetheriano es un dominio de factorización único si y solo si cada ideal primo de altura 1 es principal. ^[9]
• Para un anillo noetheriano conmutativo las tres condiciones siguientes son equivalentes: ser un anillo reducido de dimensión de Krull cero, ser un cuerpo o un producto directo de cuerpos, ser regular de von Neumann .

De un módulo

Si R es un anillo conmutativo y M es un módulo R , definimos la dimensión de Krull de M como la dimensión de Krull del cociente de R, lo que hace que M sea un módulo fiel . Es decir, lo definimos con la fórmula:

${\displaystyle \dim _{R}M:=\dim(R/{\operatorname {Ann} _{R}(M)})}$

donde Ann _R ( M ), el aniquilador , es el núcleo de la función natural R → End _R (M) de R en el anillo de endomorfismos R -lineales de M .

En el lenguaje de los esquemas , los módulos generados finitamente se interpretan como haces coherentes o paquetes vectoriales de rango finito generalizados .

Para anillos no conmutativos

La dimensión de Krull de un módulo sobre un anillo posiblemente no conmutativo se define como la desviación del conjunto de submódulos ordenados por inclusión. Para los anillos noetherianos conmutativos, esta es la misma que la definición que utiliza cadenas de ideales primos. ^[10] Las dos definiciones pueden ser diferentes para los anillos conmutativos que no son noetherianos.

Véase también

• Propagación analítica
• Teoría de la dimensión (álgebra)
• Dimensión de Gelfand-Kirillov
• Función de Hilbert
• Conjeturas homológicas en álgebra conmutativa
• Teorema del ideal principal de Krull
• Timbre local regular

Notas

1. Matsumura, Hideyuki: "Teoría del anillo conmutativo", página 30-31, 1989
2. Eisenbud, D. Álgebra conmutativa (1995). Springer, Berlín. Ejercicio 9.6.
3. Matsumura, H. Álgebra conmutativa (1970). Benjamin, Nueva York. Ejemplo 14.E.
4. Serre 2000, Cap. III, § B.2, Teorema 1, Corolario 4.
5. Eisenbud 1995, Corolario 10.3.
6. Matsumura, Hideyuki: "Teoría del anillo conmutativo", página 30-31, 1989
7. Dimensión de Krull menor o igual que el grado de trascendencia?
8. Eisenbud 1995, ejercicio 13.8
9. Hartshorne, Robin: "Geometría algebraica", página 7, 1977
10. McConnell, JC y Robson, JC Anillos noetherianos no conmutativos (2001). Amer. Math. Soc., Providence. Corolario 6.4.8.

Bibliografía

• Irving Kaplansky , Anillos conmutativos (edición revisada) , University of Chicago Press , 1974, ISBN  0-226-42454-5 . Página 32.
• LA Bokhut'; IV L'vov; VK Kharchenko (1991). "I. Anillos no conmutativos". En Kostrikin, AI ; Shafarevich, IR (eds.). Álgebra II . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol. 18. Springer-Verlag . ISBN 3-540-18177-6. Sección 4.7.
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, Sr.  1322960
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
• Serre, Jean-Pierre (2000). Álgebra local . Springer Monographs in Mathematics (en alemán). doi :10.1007/978-3-662-04203-8. ISBN 978-3-662-04203-8.OCLC 864077388  .