Teoría ideal

Teoría de ideales en anillos conmutativos en matemáticas

En matemáticas , la teoría ideal es la teoría de los ideales en anillos conmutativos . Si bien la noción de ideal también existe para anillos no conmutativos , existe una teoría mucho más sustancial solo para anillos conmutativos (y, por lo tanto, este artículo solo considera ideales en anillos conmutativos).

En los artículos, los anillos se refieren a anillos conmutativos. Véase también el artículo ideal (teoría de anillos) para operaciones básicas como la suma o los productos de ideales.

Ideales en un álgebra finitamente generada sobre un cuerpo

Los ideales en un álgebra finitamente generada sobre un cuerpo (es decir, un cociente de un anillo de polinomios sobre un cuerpo) se comportan de alguna manera mejor que aquellos en un anillo conmutativo general. Primero, en contraste con el caso general, si es un álgebra finitamente generada sobre un cuerpo, entonces el radical de un ideal en es la intersección de todos los ideales maximales que contienen al ideal (porque es un anillo de Jacobson ). Esto puede considerarse como una extensión del Nullstellensatz de Hilbert , que concierne al caso cuando es un anillo de polinomios. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Topología determinada por un ideal

Si I es un ideal en un anillo A , entonces determina la topología en A donde un subconjunto U de A es abierto si, para cada x en U ,

${\displaystyle x+I^{n}\subset U.}$

para algún entero . Esta topología se denomina topología I -ádica. También se denomina topología a -ádica si se genera a partir de un elemento . ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle I=aA}$ ${\displaystyle a}$

Por ejemplo, tomemos , el anillo de números enteros y un ideal generado por un número primo p . Para cada número entero , definamos cuándo , primo a . Entonces, claramente, ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I=pA}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|_{p}=p^{-n}}$ ${\displaystyle x=p^{n}y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x+p^{n}A=B(x,p^{-(n-1)})}$

donde denota una esfera abierta de radio con centro . Por lo tanto, la topología -ádica en es la misma que la topología del espacio métrico dada por . Como espacio métrico, se puede completar . El espacio métrico completo resultante tiene una estructura de un anillo que extendió la estructura de anillo de ; este anillo se denota como y se llama el anillo de números enteros p -ádicos . ${\displaystyle B(x,r)=\{z\in \mathbb {Z} \mid |z-x|_{p}<r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Grupo de clase ideal

En un dominio de Dedekind A (por ejemplo, un anillo de números enteros en un cuerpo de números o el anillo de coordenadas de una curva afín suave) con el cuerpo de fracciones , un ideal es invertible en el sentido: existe un ideal fraccionario (es decir, un A -submódulo de ) tal que , donde el producto de la izquierda es un producto de submódulos de K . En otras palabras, los ideales fraccionarios forman un grupo bajo un producto. El cociente del grupo de ideales fraccionarios por el subgrupo de ideales principales es entonces el grupo de clases ideal de A . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I^{-1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I\,I^{-1}=A}$

En un anillo general, un ideal puede no ser invertible (de hecho, la definición de un ideal fraccionario no es clara). Sin embargo, sobre un dominio integral noetheriano, todavía es posible desarrollar alguna teoría que generalice la situación en los dominios de Dedekind. Por ejemplo, el capítulo VII del Álgebra conmutativa de Bourbaki ofrece una teoría de este tipo.

El grupo de clases ideal de A , cuando se puede definir, está estrechamente relacionado con el grupo de Picard del espectro de A (a menudo los dos son iguales; por ejemplo, para los dominios de Dedekind).

En la teoría de números algebraicos, especialmente en la teoría de campos de clases , es más conveniente utilizar una generalización de un grupo de clases ideal llamado grupo de clases ideal .

Operaciones de cierre

Existen varias operaciones sobre ideales que desempeñan funciones de clausura. La más básica es la radicalización de un ideal . Otra es la clausura integral de un ideal . Dada una descomposición primaria irredundante , la intersección de s cuyos radicales son mínimos (no contienen ninguno de los radicales de otros s) está determinada de forma única por ; esta intersección se denomina entonces parte no mezclada de . También es una operación de clausura. ${\displaystyle I=\cap Q_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle Q_{j}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Dados ideales en un anillo , el ideal ${\displaystyle I,J}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (I:J^{\infty })=\{f\in A\mid fJ^{n}\subset I,n\gg 0\}=\bigcup _{n>0}\operatorname {Ann} _{A}((J^{n}+I)/I)}$

se llama saturación de con respecto a y es una operación de cierre (esta noción está estrechamente relacionada con el estudio de la cohomología local). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Véase también cierre hermético .

Teoría de la reducción

Cohomología local en la teoría ideal

La cohomología local se puede utilizar a veces para obtener información sobre un ideal. En esta sección se presupone cierta familiaridad con la teoría de haces y la teoría de esquemas.

Sea un módulo sobre un anillo y un ideal. Entonces determina el haz sobre (la restricción a Y del haz asociado a M ). Desdoblando la definición, se ve: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (R)-V(I)}$

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\Gamma (Y,{\widetilde {M}})=\varinjlim \operatorname {Hom} (I^{n},M)}$.

Aquí, se llama transformada ideal de con respecto a . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \Gamma _{I}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$

Véase también

• Sistema de parámetros

Referencias

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 . 
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Cierre integral de ideales, anillos y módulos, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 336, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4, MR  2266432, archivado desde el original el 15 de noviembre de 2019 , consultado el 15 de noviembre de 2019