Radical de un ideal

Concepto en álgebra

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , el radical de un ideal de un anillo conmutativo es otro ideal definido por la propiedad de que un elemento está en el radical si y solo si alguna potencia de está en . Tomar el radical de un ideal se llama radicalización . Un ideal radical (o ideal semiprimo ) es un ideal que es igual a su radical. El radical de un ideal primario es un ideal primo . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$

Este concepto se generaliza a los anillos no conmutativos en el artículo sobre el anillo semiprimo .

Definición

El radical de un ideal en un anillo conmutativo , denotado por o , se define como ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {rad} (I)}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\left\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{for some}}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\right\},}$

(nótese que ). Intuitivamente, se obtiene tomando todas las raíces de los elementos de dentro del anillo . De manera equivalente, es la preimagen del ideal de los elementos nilpotentes (el nilradical ) del anillo cociente (a través de la función natural ). Esta última prueba que es un ideal. ^{[Nota 1]} ${\displaystyle I\subseteq {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

Si el radical de se genera finitamente , entonces alguna potencia de está contenida en . ^[1] En particular, si y son ideales de un anillo noetheriano , entonces y tienen el mismo radical si y solo si contiene alguna potencia de y contiene alguna potencia de . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$

Si un ideal coincide con su propio radical, entonces se llama ideal radical o ideal semiprimo . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Ejemplos

• Consideremos el anillo de números enteros . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
  1. El radical del ideal de múltiplos enteros de es (los pares ). ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$
  2. El radical de es . ${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$
  3. El radical de es . ${\displaystyle 12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$
  4. En general, el radical de es , donde es el producto de todos los factores primos distintos de , el factor libre cuadrado más grande de (ver Radical de un entero ). De hecho, esto se generaliza a un ideal arbitrario (ver la sección Propiedades). ${\displaystyle m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$
• Consideremos el ideal . Es trivial demostrar (usando la propiedad básica) ${\displaystyle I=\left(y^{4}\right)\subseteq \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}=(y)}$ ${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$),pero damos algunos métodos alternativos: ^{[ aclaración necesaria ]} El radical corresponde al nilradical del anillo cociente , que es la intersección de todos los ideales primos del anillo cociente. Esto está contenido en el radical de Jacobson , que es la intersección de todos los ideales maximales , que son los núcleos de homomorfismos de cuerpos . Cualquier homomorfismo de anillo debe tener en el núcleo para tener un homomorfismo bien definido (si dijéramos, por ejemplo, que el núcleo debería ser la composición de sería , que es lo mismo que intentar forzar ). Como es algebraicamente cerrado , todo homomorfismo debe factorizarse a través de , por lo que solo tenemos que calcular la intersección de para calcular el radical de Entonces encontramos que ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}}$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y]/\!\left(y^{4}\right)}$ ${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to R\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left(x,y^{4},y-1\right)}$ ${\displaystyle 1=0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{\ker(\Phi ):\Phi \in \operatorname {Hom} (R,\mathbb {C} )\}}$ ${\displaystyle (0).}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}=(y)\subseteq R.}$

Propiedades

Esta sección continuará con la convención de que I es un ideal de un anillo conmutativo : ${\displaystyle R}$

• Siempre es cierto que , es decir, la radicalización es una operación idempotente . Además, es el ideal radical más pequeño que contiene . ${\textstyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$es la intersección de todos los ideales primos de que contienen y por lo tanto el radical de un ideal primo es igual a sí mismo. Demostración: Por un lado, todo ideal primo es radical, y por lo tanto esta intersección contiene a . Supóngase que es un elemento de que no está en , y sea el conjunto . Por la definición de , debe ser disjunto de . también es multiplicativamente cerrado . Por lo tanto, por una variante del teorema de Krull , existe un ideal primo que contiene y sigue siendo disjunto de (véase Ideal primo ). Como contiene a , pero no a , esto demuestra que no está en la intersección de ideales primos que contienen a . Esto termina la demostración. La afirmación puede reforzarse un poco: el radical de es la intersección de todos los ideales primos de que son mínimos entre los que contienen a . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{\stackrel {{\mathfrak {p}}{\text{ prime}}}{R\supsetneq {\mathfrak {p}}\supseteq I}}{\mathfrak {p}},}$$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left\{r^{n}\mid n=0,1,2,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$
• Especializando el último punto, el nilradical (el conjunto de todos los elementos nilpotentes) es igual a la intersección de todos los ideales primos de ^{[Nota 2]} Se considera que esta propiedad es equivalente a la anterior a través de la función natural , que produce una biyección : definida por ^{[2] [Nota 3]} ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\sqrt {0}}={\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\subsetneq R{\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}.}$$ ${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace \quad {\overset {u}{\rightleftharpoons }}\quad \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,}$$ ${\displaystyle u\colon J\mapsto J/I=\lbrace r+I\mid r\in J\rbrace .}$
• Un ideal en un anillo es radical si y sólo si el anillo cociente se reduce . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$
• El radical de un ideal homogéneo es homogéneo.
• El radical de una intersección de ideales es igual a la intersección de sus radicales: . ${\displaystyle {\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}}$
• El radical de un ideal primario es primo. Si el radical de un ideal es máximo, entonces es primario. ^[3] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
• Si es un ideal, . Dado que los ideales primos son ideales radicales, para cualquier ideal primo . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {p}}^{n}}}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• Sean ideales de un anillo . Si son co-máximos , entonces son co-máximos. ^{[Nota 4]} ${\displaystyle I,J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}},{\sqrt {J}}}$ ${\displaystyle I,J}$
• Sea un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano . Entonces ^[4] donde es el soporte de y es el conjunto de primos asociados de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {supp} M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {ass} M}$ ${\displaystyle M}$

Aplicaciones

La motivación principal para estudiar los radicales es el teorema de Hilbert sobre el álgebra conmutativa . Una versión de este célebre teorema establece que para cualquier ideal en el anillo de polinomios sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , se tiene ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$

${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (J))={\sqrt {J}}}$

dónde

${\displaystyle \operatorname {V} (J)=\left\{x\in \mathbb {k} ^{n}\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in J\right\}}$

y

${\displaystyle \operatorname {I} (V)=\{f\in \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in V\}.}$

Geométricamente, esto dice que si una variedad es recortada por las ecuaciones polinómicas , entonces los únicos otros polinomios que se desvanecen son aquellos en el radical del ideal . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{r}=0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{r})}$

Otra forma de decirlo: la composición es un operador de cierre sobre el conjunto de ideales de un anillo. ${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (-))={\sqrt {-}}}$

Véase también

• Jacobson radical
• Nilradical de un anillo
• Radical real

Notas

1. He aquí una prueba directa de que es un ideal. Empecemos con algunas potencias . Para demostrar que , utilizamos el teorema del binomio (que se cumple para cualquier anillo conmutativo): ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle a,b\in {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle a^{n},b^{m}\in I}$ ${\displaystyle a+b\in {\sqrt {I}}}$

   ${\displaystyle \textstyle (a+b)^{n+m-1}=\sum _{i=0}^{n+m-1}{\binom {n+m-1}{i}}a^{i}b^{n+m-1-i}.}$

   Para cada , tenemos o bien . Por lo tanto, en cada término , uno de los exponentes será lo suficientemente grande como para hacer que ese factor se encuentre en . Como cualquier elemento de por un elemento de se encuentra en (como es un ideal), este término se encuentra en . Por lo tanto , y por lo tanto . Para terminar de comprobar que el radical es un ideal, tomemos con , y cualquier . Luego , por lo tanto . Por lo tanto, el radical es un ideal. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\geq n}$ ${\displaystyle n+m-1-i\geq m}$ ${\displaystyle a^{i}b^{n+m-1-i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (a+b)^{n+m-1}\in I}$ ${\displaystyle a+b\in {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle a\in {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle a^{n}\in I}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle (ra)^{n}=r^{n}a^{n}\in I}$ ${\displaystyle ra\in {\sqrt {I}}}$
2. Para una prueba directa, véase también la caracterización del nilradical de un anillo .
3. Este hecho también se conoce como cuarto teorema de isomorfismo .
4. Prueba: implica . ${\textstyle R={\sqrt {{\sqrt {I}}+{\sqrt {J}}}}={\sqrt {I+J}}}$ ${\displaystyle I+J=R}$

Citas

1. Atiyah y Macdonald 1994, Proposición 7.14
2. Aluffi, Paolo (2009). Álgebra: Capítulo 0. AMS. pág. 142. ISBN 978-0-8218-4781-7.
3. Atiyah y Macdonald 1994, Proposición 4.2
4. Lang 2002, Cap. X, Proposición 2.10

Referencias

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, Ian G. (1994). Introducción al álgebra conmutativa . Reading, MA: Addison-Wesley . ISBN 0-201-40751-5.
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 150. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-94268-8.Señor 1322960  .
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001