En cálculo , el diferencial representa la parte principal del cambio en una función con respecto a los cambios en la variable independiente. El diferencial se define por dónde está la derivada de f con respecto a , y es una variable real adicional (por lo que es función de y ). La notación es tal que la ecuación
se cumple, donde la derivada se representa en la notación de Leibniz , y esto es consistente con considerar la derivada como el cociente de las diferenciales. Uno también escribe
El significado preciso de las variables depende del contexto de la aplicación y del nivel requerido de rigor matemático. El dominio de estas variables puede adquirir un significado geométrico particular si el diferencial se considera como una forma diferencial particular , o un significado analítico si el diferencial se considera como una aproximación lineal al incremento de una función. Tradicionalmente, las variables y se consideran muy pequeñas ( infinitésimos ), y esta interpretación se hace rigurosa en análisis no estándar .
El diferencial fue introducido por primera vez a través de una definición intuitiva o heurística por Isaac Newton y promovido por Gottfried Leibniz , quien pensó en el diferencial dy como un cambio infinitamente pequeño (o infinitesimal ) en el valor y de la función, correspondiente a un cambio infinitamente pequeño dx. en el argumento de la función x . Por esa razón, la tasa de cambio instantánea de y con respecto a x , que es el valor de la derivada de la función, se denota por la fracción
en lo que se llama notación de Leibniz para derivadas. El cociente no es infinitamente pequeño; más bien es un número real .
El uso de infinitesimales en esta forma fue ampliamente criticado, por ejemplo en el famoso folleto The Analyst del obispo Berkeley. Augustin-Louis Cauchy (1823) definió el diferencial sin apelar al atomismo de los infinitesimales de Leibniz. [1] [2] En cambio, Cauchy, siguiendo a d'Alembert , invirtió el orden lógico de Leibniz y sus sucesores: la derivada misma se convirtió en el objeto fundamental, definida como un límite de cocientes de diferencias, y las diferenciales se definieron entonces en términos de él. Es decir, uno era libre de definir el diferencial mediante una expresión en la que y son simplemente nuevas variables que toman valores reales finitos, [3] no infinitesimales fijos como lo habían sido para Leibniz. [4]
Según Boyer (1959, p. 12), el enfoque de Cauchy supuso una mejora lógica significativa con respecto al enfoque infinitesimal de Leibniz porque, en lugar de invocar la noción metafísica de infinitesimales, las cantidades y ahora podían manipularse exactamente de la misma manera que cualquier otra cantidades reales de manera significativa. El enfoque conceptual general de Cauchy hacia los diferenciales sigue siendo el estándar en los tratamientos analíticos modernos, [5] aunque la última palabra sobre el rigor, una noción completamente moderna del límite, se debió en última instancia a Karl Weierstrass . [6]
En tratamientos físicos, como los aplicados a la teoría de la termodinámica , aún prevalece la visión infinitesimal. Courant y John (1999, p. 184) concilian el uso físico de diferenciales infinitesimales con la imposibilidad matemática de los mismos de la siguiente manera. Los diferenciales representan valores finitos distintos de cero que son menores que el grado de precisión requerido para el propósito particular para el que están destinados. Por lo tanto, los "infinitésimos físicos" no necesitan apelar a un infinitesimal matemático correspondiente para tener un sentido preciso.
Tras los avances del siglo XX en el análisis matemático y la geometría diferencial , quedó claro que la noción de diferencial de una función podía ampliarse de diversas maneras. En el análisis real , es más deseable tratar directamente con el diferencial como parte principal del incremento de una función. Esto lleva directamente a la noción de que el diferencial de una función en un punto es un funcional lineal de un incremento . Este enfoque permite desarrollar el diferencial (como un mapa lineal) para una variedad de espacios más sofisticados, dando lugar en última instancia a nociones como el derivado de Fréchet o Gateaux . Asimismo, en geometría diferencial , el diferencial de una función en un punto es una función lineal de un vector tangente (un "desplazamiento infinitamente pequeño"), que lo exhibe como una especie de forma única: la derivada exterior de la función. En el cálculo no estándar , los diferenciales se consideran infinitesimales, que a su vez pueden situarse sobre una base rigurosa (ver diferencial (infinitesimal) ).
El diferencial se define en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera. [7] El diferencial de una función de una sola variable real es la función de dos variables reales independientes y está dado por
Uno o ambos argumentos pueden suprimirse, es decir, uno puede ver o simplemente . Si , el diferencial también se puede escribir como . Dado que , es convencional escribir de manera que se cumpla la siguiente igualdad:
Esta noción de diferencial es ampliamente aplicable cuando se busca una aproximación lineal a una función, en la que el valor del incremento es lo suficientemente pequeño. Más precisamente, si es una función diferenciable en , entonces la diferencia en valores
satisface
donde el error en la aproximación satisface como . En otras palabras, se tiene la identidad aproximada
en el que el error puede hacerse tan pequeño como se desee restringiendo que sea suficientemente pequeño; es decir, como . Por esta razón, el diferencial de una función se conoce como la parte principal (lineal) del incremento de una función: el diferencial es una función lineal del incremento , y aunque el error puede ser no lineal, tiende a cero rápidamente a medida que tiende a cero.
Siguiendo a Goursat (1904, I, §15), para funciones de más de una variable independiente,
el diferencial parcial de y con respecto a cualquiera de las variables x 1 es la parte principal del cambio en y resultante de un cambio dx 1 en esa variable. Por tanto, el diferencial parcial es
involucrando la derivada parcial de y con respecto a x 1 . La suma de los diferenciales parciales con respecto a todas las variables independientes es el diferencial total.
que es la parte principal del cambio en y resultante de cambios en las variables independientes x i .
Más precisamente, en el contexto del cálculo multivariable, siguiendo a Courant (1937b), si f es una función diferenciable, entonces, según la definición de diferenciabilidad , el incremento
donde los términos de error ε i tienden a cero a medida que los incrementos Δ x i tienden conjuntamente a cero. El diferencial total se define entonces rigurosamente como
Dado que con esta definición se tiene
Como en el caso de una variable, la identidad aproximada se cumple
en el que el error total puede hacerse tan pequeño como se desee limitando la atención a incrementos suficientemente pequeños.
En medición, el diferencial total se utiliza para estimar el error de una función en función de los errores de los parámetros . Suponiendo que el intervalo es lo suficientemente corto como para que el cambio sea aproximadamente lineal:
y que todas las variables son independientes, entonces para todas las variables,
Esto se debe a que la derivada con respecto al parámetro particular da la sensibilidad de la función a un cambio en , en particular, el error . Como se supone que son independientes, el análisis describe el peor de los casos. Se utilizan los valores absolutos de los errores de los componentes porque, después de un cálculo simple, la derivada puede tener un signo negativo. De este principio se derivan las reglas de error de suma, multiplicación, etc., por ejemplo:
Evaluar las derivadas: dividir por f , que es a × b
Es decir, en la multiplicación, el error relativo total es la suma de los errores relativos de los parámetros.
Para ilustrar cómo esto depende de la función considerada, considere el caso en el que la función es . Luego, se puede calcular que la estimación del error se realiza con un factor ' ln b ' adicional que no se encuentra en el caso de un producto simple. Este factor adicional tiende a hacer que el error sea menor, ya que ln b no es tan grande como b simple .
Los diferenciales de orden superior de una función y = f ( x ) de una única variable x se pueden definir mediante: [8] y, en general, Informalmente, esto motiva la notación de Leibniz para derivadas de orden superior Cuando se permite la propia variable independiente x depender de otras variables, entonces la expresión se vuelve más complicada, ya que debe incluir también diferenciales de orden superior en el propio x . Así, por ejemplo, y así sucesivamente.
Se aplican consideraciones similares a la definición de diferenciales de orden superior de funciones de varias variables. Por ejemplo, si f es una función de dos variables x e y , entonces donde es un coeficiente binomial . En más variables, se cumple una expresión análoga, pero con una expansión multinomial apropiada en lugar de una expansión binomial. [9]
Los diferenciales de orden superior en varias variables también se vuelven más complicados cuando se permite que las variables independientes dependan de otras variables. Por ejemplo, para una función f de x e y a las que se les permite depender de variables auxiliares, se tiene
Debido a esta torpeza en la notación, Hadamard (1935) criticó rotundamente el uso de diferenciales de orden superior y concluyó:
En fin, que significa o que representa la igualdad
A mon avis, rien du tout.
Es decir: Finalmente, ¿qué se entiende, o representa, por la igualdad [...]? En mi opinión, nada de nada. A pesar de este escepticismo, los diferenciales de orden superior surgieron como una herramienta importante en el análisis. [10]
En estos contextos, el diferencial de orden n de la función f aplicado a un incremento Δ x se define por o una expresión equivalente, como dónde está una diferencia directa n ésima con incremento t Δ x .
Esta definición también tiene sentido si f es una función de varias variables (para simplificar, se toma aquí como un argumento vectorial). Entonces el n -ésimo diferencial definido de esta manera es una función homogénea de grado n en el incremento vectorial Δ x . Además, la serie de Taylor de f en el punto x está dada por La derivada de Gateaux de orden superior generaliza estas consideraciones a espacios de dimensiones infinitas.
Varias propiedades del diferencial se derivan de manera directa de las propiedades correspondientes de la derivada, la derivada parcial y la derivada total. Estos incluyen: [11]
Una operación d con estas dos propiedades se conoce en álgebra abstracta como derivación . Implican la regla del poder . Además, se mantienen varias formas de la regla de la cadena , en un nivel creciente de generalidad: [12]
Se puede desarrollar una noción consistente de diferencial para una función f : R n → R m entre dos espacios euclidianos . Sea x ,Δ x ∈ R n un par de vectores euclidianos . El incremento en la función f es Si existe una matriz A m × n tal que en la que el vector ε → 0 sea Δ x → 0 , entonces f es por definición diferenciable en el punto x . La matriz A se conoce a veces como matriz jacobiana , y la transformación lineal que asocia al incremento Δ x ∈ R n el vector A Δ x ∈ R m se conoce, en este contexto general, como diferencial df ( x ) de f en el punto x . Esta es precisamente la derivada de Fréchet , y se puede hacer que la misma construcción funcione para una función entre cualquier espacio de Banach .
Otro punto de vista fructífero es definir el diferencial directamente como una especie de derivada direccional : que es el enfoque ya adoptado para definir diferenciales de orden superior (y que se acerca más a la definición establecida por Cauchy). Si t representa el tiempo y x la posición, entonces h representa una velocidad en lugar de un desplazamiento como lo hemos considerado hasta ahora. Esto produce otro refinamiento de la noción de diferencial: que debería ser una función lineal de una velocidad cinemática. El conjunto de todas las velocidades a través de un punto dado del espacio se conoce como espacio tangente , por lo que df da una función lineal en el espacio tangente: una forma diferencial . Con esta interpretación, la diferencial de f se conoce como derivada exterior y tiene una amplia aplicación en geometría diferencial porque la noción de velocidades y el espacio tangente tiene sentido en cualquier variedad diferenciable . Si, además, el valor de salida de f también representa una posición (en un espacio euclidiano), entonces un análisis dimensional confirma que el valor de salida de df debe ser una velocidad. Si se trata el diferencial de esta manera, entonces se lo conoce como empuje hacia adelante , ya que "empuja" velocidades desde un espacio fuente hacia velocidades en un espacio objetivo.
Aunque la noción de tener un incremento infinitesimal dx no está bien definida en el análisis matemático moderno , existe una variedad de técnicas para definir el diferencial infinitesimal de modo que el diferencial de una función pueda manejarse de una manera que no entre en conflicto con la notación de Leibniz. . Éstas incluyen:
Los diferenciales pueden utilizarse eficazmente en el análisis numérico para estudiar la propagación de errores experimentales en un cálculo y, por tanto, la estabilidad numérica general de un problema (Courant 1937a). Supongamos que la variable x representa el resultado de un experimento y y es el resultado de un cálculo numérico aplicado a x . La pregunta es hasta qué punto los errores en la medición de x influyen en el resultado del cálculo de y . Si se conoce que x está dentro de Δ x de su valor verdadero, entonces el teorema de Taylor da la siguiente estimación del error Δ y en el cálculo de y : donde ξ = x + θ Δ x para algunos 0 < θ < 1 . Si Δ x es pequeño, entonces el término de segundo orden es insignificante, de modo que Δ y está, para fines prácticos, bien aproximado por dy = f' ( x ) Δ x .
La diferencial suele ser útil para reescribir una ecuación diferencial en la forma particular cuando se quiere separar las variables .