Notación de Leibniz

Notación matemática utilizada para el cálculo.

dy

dx

d ² años

dx ²

La primera y segunda derivada de y con respecto a x , en la notación de Leibniz.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), filósofo y matemático alemán y homónimo de esta notación matemática ampliamente utilizada en cálculo.

En cálculo , la notación de Leibniz , llamada así en honor al filósofo y matemático alemán del siglo XVII Gottfried Wilhelm Leibniz , utiliza los símbolos dx y dy para representar incrementos infinitamente pequeños (o infinitesimales ) de x e y , respectivamente, tal como Δ x y Δ y representan incrementos finitos de x e y , respectivamente. ^[1]

Considere y como función de una variable x , o y = f ( x ) . Si este es el caso, entonces la derivada de y con respecto a x , que más tarde llegó a ser vista como el límite

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},}$

era, según Leibniz, el cociente de un incremento infinitesimal de y por un incremento infinitesimal de x , o

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x),}$

donde el lado derecho es la notación de Joseph-Louis Lagrange para la derivada de f en x . Los incrementos infinitesimales se llaman diferenciales . Relacionada con esto está la integral en la que se suman los incrementos infinitesimales (por ejemplo, para calcular longitudes, áreas y volúmenes como sumas de piezas diminutas), para la cual Leibniz también proporcionó una notación estrechamente relacionada que involucra los mismos diferenciales, una notación cuya eficiencia resultó decisiva en El desarrollo de las matemáticas en Europa continental.

El concepto de infinitesimales de Leibniz, considerado durante mucho tiempo demasiado impreciso para ser utilizado como base del cálculo, finalmente fue reemplazado por conceptos rigurosos desarrollados por Weierstrass y otros en el siglo XIX. En consecuencia, la notación del cociente de Leibniz fue reinterpretada para representar el límite de la definición moderna. Sin embargo, en muchos casos, el símbolo parecía actuar como lo haría un cociente real y su utilidad lo mantuvo popular incluso frente a varias notaciones en competencia. En el siglo XX se desarrollaron varios formalismos diferentes que pueden dar un significado riguroso a las nociones de infinitesimales y desplazamientos infinitesimales, incluido el análisis no estándar , el espacio tangente , la notación O y otros.

Las derivadas e integrales del cálculo pueden agruparse en la teoría moderna de formas diferenciales , en la que la derivada es realmente una razón de dos diferenciales y la integral también se comporta exactamente de acuerdo con la notación de Leibniz. Sin embargo, esto requiere que la derivada y la integral se definan primero por otros medios y, como tales, expresa la autoconsistencia y la eficacia computacional de la notación de Leibniz en lugar de darle una nueva base.

Historia

Manuscrito de Leibniz de notación integral y diferencial.

El enfoque de Newton-Leibniz para el cálculo infinitesimal se introdujo en el siglo XVII. Mientras Newton trabajaba con fluxiones y fluidos, Leibniz basó su enfoque en generalizaciones de sumas y diferencias. ^[2] Leibniz adaptó el símbolo integral de la s alargada inicial de la palabra latina ſ umma ("suma") tal como estaba escrita en ese momento. Al considerar las diferencias como la operación inversa de la suma, ^[3] utilizó el símbolo d , la primera letra del latín diferencial , para indicar esta operación inversa. ^[2] Leibniz era exigente con la notación, ya que había pasado años experimentando, ajustando, rechazando y manteniendo correspondencia con otros matemáticos sobre ellas. ^[4] Las notaciones que utilizó para el diferencial de y oscilaron sucesivamente entre ω , l y ${\displaystyle \textstyle \int }$y/dhasta que finalmente se decidió por dy . ^[5] Su signo integral apareció públicamente por primera vez en el artículo " De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum " ("Sobre una geometría oculta y análisis de los indivisibles y los infinitos"), publicado en Acta Eruditorum en junio de 1686, ^{[6] [7 ]} pero lo había estado utilizando en manuscritos privados al menos desde 1675. ^{[8] [9] [10]} Leibniz utilizó por primera vez dx en el artículo " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " también publicado en Acta Eruditorum en 1684. ^[11] Mientras que el símbolodx/dyaparece en manuscritos privados de 1675, ^{[12] [13]} no aparece en esta forma en ninguna de las obras publicadas antes mencionadas. Leibniz, sin embargo, utilizó formas como dy ad dx y dy  : dx impresas. ^[11]

A finales del siglo XIX, los seguidores de Weierstrass dejaron de tomar literalmente la notación de Leibniz para derivadas e integrales. Es decir, los matemáticos sintieron que el concepto de infinitesimales contenía contradicciones lógicas en su desarrollo. Varios matemáticos del siglo XIX (Weierstrass y otros) encontraron formas lógicamente rigurosas de tratar derivadas e integrales sin infinitesimales utilizando límites como se muestra arriba, mientras que Cauchy explotó tanto los infinitesimales como los límites (ver Cours d'Analyse ). No obstante, la notación de Leibniz todavía se utiliza de forma generalizada. Aunque no es necesario tomar la notación literalmente, suele ser más sencilla que las alternativas cuando se utiliza la técnica de separación de variables en la solución de ecuaciones diferenciales. En aplicaciones físicas, se puede, por ejemplo, considerar f ( x ) medido en metros por segundo y dx en segundos, de modo que f ( x ) dx está en metros, al igual que el valor de su integral definida. De esa manera, la notación de Leibniz está en armonía con el análisis dimensional .

Notación de Leibniz para la diferenciación

Supongamos que una variable dependiente y representa una función f de una variable independiente x , es decir,

${\displaystyle y=f(x).}$

Entonces la derivada de la función f , en la notación de derivación de Leibniz , se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ or }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}.}$

La expresión de Leibniz, también escrita a veces dy / dx , es una de varias notaciones utilizadas para derivadas y funciones derivadas. Una alternativa común es la notación de Lagrange.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x).}$

Otra alternativa es la notación de Newton , utilizada a menudo para derivadas con respecto al tiempo (como la velocidad ), que requiere colocar un punto sobre la variable dependiente (en este caso, x ):

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}.}$

La notación " prima " de Lagrange es especialmente útil en discusiones sobre funciones derivadas y tiene la ventaja de tener una forma natural de denotar el valor de la función derivada en un valor específico. Sin embargo, la notación de Leibniz tiene otras virtudes que la han mantenido popular a través de los años.

En su interpretación moderna, la expresióndy/dxno debe leerse como la división de dos cantidades dx y dy (como lo había previsto Leibniz); más bien, toda la expresión debe verse como un símbolo único que es una abreviatura de

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

(tenga en cuenta Δ frente a d , donde Δ indica una diferencia finita).

La expresión también puede considerarse como la aplicación del operador diferencial d/dx(nuevamente, un solo símbolo) a y , considerado como una función de x . Este operador se escribe D en notación de Euler . Leibniz no utilizó esta forma, pero su uso del símbolo d corresponde bastante estrechamente a este concepto moderno.

Si bien tradicionalmente la notación no implica ninguna división (pero consulte Análisis no estándar ), la notación tipo división es útil ya que en muchas situaciones, el operador de derivada se comporta como una división, lo que hace que algunos resultados sobre las derivadas sean fáciles de obtener y recordar. ^[14] Esta notación debe su longevidad al hecho de que parece llegar al corazón mismo de las aplicaciones geométricas y mecánicas del cálculo. ^[15]

Notación de Leibniz para derivadas superiores

Si y = f ( x ) , la enésima derivada de f en notación de Leibniz viene dada por, ^[16]

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$

Esta notación, para la segunda derivada , se obtiene usandod/dxcomo operador de la siguiente manera, ^[16]

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

Una tercera derivada, que podría escribirse como,

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,}$

se puede obtener de

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right).}$

De manera similar, las derivadas superiores pueden obtenerse inductivamente.

Si bien es posible, con definiciones cuidadosamente elegidas, interpretardy/dxcomo cociente de diferenciales , esto no debe hacerse con las formas de orden superior. ^[17] Sin embargo, una notación alternativa de Leibniz para la diferenciación de órdenes superiores lo permite. ^{[ cita necesaria ]}

Sin embargo, Leibniz no utilizó esta notación. En sus impresiones no utilizó notación de varios niveles ni exponentes numéricos (antes de 1695). Para escribir x ³ , por ejemplo, escribiría xxx , como era común en su época. El cuadrado de un diferencial, tal como podría aparecer en una fórmula de longitud de arco , por ejemplo, se escribía como dxdx . Sin embargo, Leibniz usó su notación d como usaríamos hoy los operadores, es decir, escribiría una segunda derivada como ddy y una tercera derivada como dddy . En 1695, Leibniz comenzó a escribir d ² ⋅ x y d ³ ⋅ x para ddx y dddx respectivamente, pero L'Hôpital , en su libro de texto sobre cálculo escrito aproximadamente al mismo tiempo, utilizó las formas originales de Leibniz. ^[18]

Uso en varias fórmulas.

Una de las razones por las que las notaciones de Leibniz en cálculo han perdurado tanto tiempo es que permiten recordar fácilmente las fórmulas apropiadas utilizadas para la diferenciación y la integración. Por ejemplo, la regla de la cadena : supongamos que la función g es diferenciable en x y y = f ( u ) es diferenciable en u = g ( x ) . Entonces la función compuesta y = f ( g ( x )) es diferenciable en x y su derivada se puede expresar en notación de Leibniz como, ^[19]

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Esto se puede generalizar para tratar con los compuestos de varias funciones relacionadas y definidas apropiadamente, u ₁ , u ₂ , ..., u _n y se expresaría como,

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.}$

Además, la fórmula de integración por sustitución puede expresarse mediante ^[20]

${\displaystyle \int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,}$

donde x se considera una función de una nueva variable u y la función y de la izquierda se expresa en términos de x mientras que la de la derecha se expresa en términos de u .

Si y = f ( x ) donde f es una función diferenciable que es invertible , la derivada de la función inversa, si existe, puede estar dada por, ^[21]

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}},}$

donde se añaden los paréntesis para enfatizar el hecho de que la derivada no es una fracción.

Sin embargo, al resolver ecuaciones diferenciales, es fácil pensar que dy s y dx s son separables. Uno de los tipos más simples de ecuaciones diferenciales es ^[22]

${\displaystyle M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,}$

donde M y N son funciones continuas. Se puede resolver (implícitamente) dicha ecuación examinando la ecuación en su forma diferencial ,

${\displaystyle M(x)dx+N(y)dy=0}$

e integrando para obtener

${\displaystyle \int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.}$

Reescribir, cuando sea posible, una ecuación diferencial en esta forma y aplicar el argumento anterior se conoce como técnica de separación de variables para resolver tales ecuaciones.

En cada uno de estos casos, la notación de Leibniz para una derivada parece actuar como una fracción, aunque, en su interpretación moderna, no lo es.

Justificación moderna de los infinitesimales.

En la década de 1960, basándose en trabajos anteriores de Edwin Hewitt y Jerzy Łoś , Abraham Robinson desarrolló explicaciones matemáticas para los infinitesimales de Leibniz que eran aceptables según los estándares de rigor contemporáneos, y desarrolló análisis no estándar basados ​​en estas ideas. Los métodos de Robinson son utilizados sólo por una minoría de matemáticos. Jerome Keisler escribió un libro de texto de cálculo para el primer año, Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal , basado en el enfoque de Robinson.

Desde el punto de vista de la teoría infinitesimal moderna, Δ x es un incremento x infinitesimal , Δ y es el incremento y correspondiente y la derivada es la parte estándar de la relación infinitesimal:

${\displaystyle f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}}$.

Luego se establece , de modo que, por definición, sea la razón de dy por dx . ${\displaystyle dx=\Delta x}$ ${\displaystyle dy=f'(x)dx}$ ${\displaystyle f'(x)}$

De manera similar, aunque la mayoría de los matemáticos ahora ven una integral

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

como límite

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,}$

donde Δ x es un intervalo que contiene x _i , Leibniz lo vio como la suma (el signo integral que para él denota sumación) de infinitas cantidades infinitesimales f ( x )  dx . Desde el punto de vista del análisis no estándar, es correcto ver la integral como la parte estándar de dicha suma infinita.

La compensación necesaria para lograr la precisión de estos conceptos es que el conjunto de números reales debe extenderse al conjunto de números hiperreales .

Otras notaciones de Leibniz

Leibniz experimentó con muchas notaciones diferentes en diversas áreas de las matemáticas. En su opinión, una buena notación era fundamental en el estudio de las matemáticas. En una carta a l'Hôpital de 1693 dice: ^[23]

Uno de los secretos del análisis consiste en la característica, es decir, en el arte del empleo hábil de los signos disponibles, y observará, señor, por el pequeño cerco [sobre los determinantes] que Vieta y Descartes no han conocido todos los misterios. .

Con el tiempo, refinó sus criterios para una buena notación y se dio cuenta del valor de "adoptar simbolismos que pudieran establecerse en una línea como el tipo de letra ordinario, sin la necesidad de ampliar los espacios entre líneas para dejar espacio a símbolos con partes extendidas". ^[24] Por ejemplo, en sus primeros trabajos utilizó mucho un vinculum para indicar la agrupación de símbolos, pero luego introdujo la idea de usar pares de paréntesis para este propósito, apaciguando así a los tipógrafos que ya no tenían que ampliar los espacios entre líneas. en una página y hacer que las páginas parezcan más atractivas. ^[25]

Muchos de los más de 200 nuevos símbolos introducidos por Leibniz todavía se utilizan en la actualidad. ^[26] Además de los diferenciales dx , dy y el signo integral ( ∫ ) ya mencionados, también introdujo los dos puntos (:) para la división, el punto medio (⋅) para la multiplicación, los signos geométricos para similar (~) y la congruencia ( ≅), el uso del signo igual de Recorde (=) para proporciones (reemplazando la notación :: de Oughtred ) y la notación de doble sufijo ^{[ aclaración necesaria ]} para determinantes. ^[23]

Ver también

• Controversia del cálculo de Leibniz-Newton

Notas

1. Stewart, James (2008). Cálculo: primeros trascendentales (6ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Katz 1993, pág. 524
3. Katz 1993, pag. 529
4. Mazur 2014, pag. 166
5. Cajori 1993, vol. II, pág. 203, nota al pie 4
6. Swetz, Frank J., Tesoro matemático: artículos de Leibniz sobre cálculo - Cálculo integral, convergencia, Asociación Matemática de América , consultado el 11 de febrero de 2017
7. Stillwell, John (1989). Matemáticas y su Historia . Saltador. pag. 110.
8. Leibniz, GW (2005) [1920]. Los primeros manuscritos matemáticos de Leibniz . Traducido por Child, JM Dover. págs. 73–74, 80. ISBN 978-0-486-44596-0.
9. Leibniz, GW, Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676 , Berlín: Akademie Verlag, 2008, págs. 288–295 Archivado el 9 de octubre de 2021 en Wayback Machine (“ Analyseos tetragonisticae pars secunda ”, 29 de octubre de 1675) y 321–331 (“ Methodi tangentium” ) inversae exempla ", 11 de noviembre de 1675).
10. Aldrich, Juan. "Primeros usos de los símbolos de cálculo" . Consultado el 20 de abril de 2017 .
11. Cajori 1993, vol. II, pág. 204
12. Leibniz, GW, Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676 , Berlín: Akademie Verlag, 2008, págs. 321–331 especialmente. 328 (" Metodi tangentium inversae exempla ", 11 de noviembre de 1675).
13. Cajori 1993, vol. II, pág. 186
14. Jordania, DW; Smith, P. (2002). Técnicas matemáticas: una introducción a las ciencias de ingeniería, físicas y matemáticas . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 58.
15. Cajori 1993, vol. II, pág. 262
16. Briggs y Cochran 2010, pág. 141
17. Swokowski 1983, pag. 135
18. Cajori 1993, págs.204-205
19. Briggs y Cochran 2010, pág. 176
20. Swokowski 1983, pag. 257
21. Swokowski 1983, pag. 369
22. Swokowski 1983, pag. 895
23. Cajori 1993, vol. II, pág. 185
24. Cajori 1993, vol. II, pág. 184
25. Mazur 2014, págs.167-168
26. Mazur 2014, pag. 167

Referencias

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2010), Cálculo / Trascendentales tempranos / Variable única , Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
• Cajori, Florian (1993) [1928], Una historia de las notaciones matemáticas, Nueva York: Dover, ISBN 0-486-67766-4
• Katz, Victor J. (1993), Historia de las matemáticas / Introducción (2ª ed.), Addison Wesley Longman, ISBN 978-0-321-01618-8
• Mazur, Joseph (2014), Símbolos esclarecedores / Una breve historia de la notación matemática y sus poderes ocultos , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-17337-5
• Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (edición alternativa), Prindle, Weber y Schmidt, ISBN 0-87150-341-7