Desigualdad (matemáticas)

Relación matemática expresada con < o ≤

Las regiones factibles de programación lineal están definidas por un conjunto de desigualdades.

En matemáticas , una desigualdad es una relación que hace una comparación no igual entre dos números u otras expresiones matemáticas. ^[1] Se utiliza con mayor frecuencia para comparar dos números en la recta numérica por su tamaño. Los principales tipos de desigualdad son menores que y mayores que .

Notación

Se utilizan varias notaciones diferentes para representar diferentes tipos de desigualdades:

• La notación a < b significa que a es menor que b .
• La notación a > b significa que a es mayor que b .

En cualquier caso, a no es igual a b . Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas , ^[1] lo que significa que a es estrictamente menor o estrictamente mayor que b . La igualdad está excluida.

A diferencia de las desigualdades estrictas, existen dos tipos de relaciones de desigualdad que no son estrictas:

• La notación a ≤ b o a ⩽ b o a ≦ b significa que a es menor o igual que b (o, de manera equivalente, como máximo b , o no mayor que b ).
• La notación a ≥ b o a ⩾ b o a ≧ b significa que a es mayor o igual que b (o, de manera equivalente, al menos b , o no menos que b ).

En los siglos XVII y XVIII, se utilizaban anotaciones personales o signos mecanografiados para señalar desigualdades. ^[2] Por ejemplo, en 1670, John Wallis utilizó una única barra horizontal encima en lugar de debajo de < y >. Posteriormente, en 1734, ≦ y ≧, conocidos como "menor que (mayor que) sobre igual a" o "menor que (mayor que) o igual a con dobles barras horizontales", aparecieron por primera vez en la obra de Pierre Bouguer . ^[3] Después de eso, los matemáticos simplificaron el símbolo de Pierre a "menor que (mayor que) o igual a con una barra horizontal" (≤), o "menor que (mayor que) o igual inclinado a" (⩽).

La relación no mayor que también puede representarse mediante el símbolo de "mayor que" dividido por una barra, "no". Lo mismo es cierto para no menos de , ${\displaystyle a\ngtr b,}$ ${\displaystyle a\nless b.}$

La notación a ≠ b significa que a no es igual a b ; esta desigualdad a veces se considera una forma de desigualdad estricta. ^[4] No dice que uno sea mayor que el otro; ni siquiera requiere que a y b sean miembros de un conjunto ordenado .

En las ciencias de la ingeniería, el uso menos formal de la notación es para afirmar que una cantidad es "mucho mayor" que otra, ^[5] normalmente en varios órdenes de magnitud .

• La notación a ≪ b significa que a es mucho menor que b . ^[6]
• La notación a ≫ b significa que a es mucho mayor que b . ^[7]

Esto implica que el valor menor puede despreciarse con poco efecto sobre la precisión de una aproximación (como el caso del límite ultrarelativista en física).

En todos los casos anteriores, dos símbolos cualesquiera que se reflejen entre sí son simétricos; a < b y b > a son equivalentes, etc.

Propiedades en la recta numérica

Las desigualdades se rigen por las siguientes propiedades . Todas estas propiedades también se cumplen si todas las desigualdades no estrictas (≤ y ≥) se reemplazan por sus correspondientes desigualdades estrictas (< y >) y, en el caso de aplicar una función, las funciones monótonas se limitan a funciones estrictamente monótonas .

Conversar

Las relaciones ≤ y ≥ son inversas entre sí , lo que significa que para cualquier número real a y b :

a ≤ b y b ≥ a son equivalentes.

Transitividad

La propiedad transitiva de la desigualdad establece que para cualquier número real a , b , c : ^[8]

Si a ≤ b y b ≤ c , entonces a ≤ c .

Si alguna de las premisas es una desigualdad estricta, entonces la conclusión es una desigualdad estricta:

Si a ≤ b y b < c , entonces a < c .

Si a < b y b ≤ c , entonces a < c .

Adición y sustracción

Si x < y , entonces x + a < y + a .

Una constante común c se puede sumar o restar a ambos lados de una desigualdad. ^[4] Entonces, para cualquier número real a , b , c :

Si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c y a − c ≤ b − c .

En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva en la suma (o resta) y los números reales son un grupo ordenado en la suma.

Multiplicación y división

Si x < y y a > 0, entonces ax < ay .

Si x < y y a < 0, entonces ax > ay .

Las propiedades que tratan con la multiplicación y la división establecen que para cualquier número real, a , b y c distinto de cero :

Si a ≤ b y c > 0, entonces ac ≤ bc y a / c ≤ b / c .

Si a ≤ b y c < 0, entonces ac ≥ bc y a / c ≥ b / c .

En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva en la multiplicación y división con constante positiva, pero se invierte cuando se trata de una constante negativa. De manera más general, esto se aplica a un campo ordenado . Para obtener más información, consulte § Campos ordenados .

Inverso aditivo

La propiedad del inverso aditivo establece que para cualquier número real a y b :

Si a ≤ b , entonces − a ≥ − b .

Multiplicación inversa

Si ambos números son positivos, entonces la relación de desigualdad entre los inversos multiplicativos es opuesta a la que existe entre los números originales. Más específicamente, para cualquier número real distinto de cero a y b que sean ambos positivos (o ambos negativos ):

Si a ≤ b , entonces1/a≥1/b.

Todos los casos de los signos de a y b también se pueden escribir en notación encadenada, como sigue:

Si 0 < a ≤ b , entonces1/a≥1/b> 0.

Si a ≤ b < 0, entonces 0 >1/a≥1/b.

Si a < 0 < b , entonces1/a< 0 <1/b.

Aplicar una función a ambos lados

La gráfica de y = ln x

Cualquier función monótonamente creciente , por su definición, ^[9] puede aplicarse a ambos lados de una desigualdad sin romper la relación de desigualdad (siempre que ambas expresiones estén en el dominio de esa función). Sin embargo, aplicar una función monótonamente decreciente a ambos lados de una desigualdad significa que la relación de desigualdad se invertiría. Las reglas para el inverso aditivo y el inverso multiplicativo para números positivos son ejemplos de aplicación de una función monótonamente decreciente.

Si la desigualdad es estricta ( a < b , a > b ) y la función es estrictamente monótona, entonces la desigualdad sigue siendo estricta. Si sólo una de estas condiciones es estricta, entonces la desigualdad resultante no es estricta. De hecho, las reglas para los inversos aditivos y multiplicativos son ejemplos de aplicación de una función estrictamente monótona decreciente.

Algunos ejemplos de esta regla son:

• Elevando ambos lados de una desigualdad a una potencia n > 0 (equiv., − n < 0), cuando a y b son números reales positivos:
  0 ≤ una ≤ segundo ⇔ 0 ≤ una ^norte ≤ segundo ^norte .
  0 ≤ a ≤ b ⇔ a ^{− n} ≥ b ^{− n} ≥ 0.
• Tomando el logaritmo natural en ambos lados de una desigualdad, cuando a y b son números reales positivos:
  0 < a ≤ b ⇔ ln( a ) ≤ ln( b ).
  0 < a < b ⇔ ln( a ) < ln( b ).
  (Esto es cierto porque el logaritmo natural es una función estrictamente creciente).

Definiciones formales y generalizaciones.

Un orden parcial (no estricto) es una relación binaria ≤ sobre un conjunto P que es reflexivo , antisimétrico y transitivo . ^[10] Es decir, para todo a , b y c en P , debe satisfacer las tres cláusulas siguientes:

1. a ≤ a ( reflexividad )
2. si a ≤ b y b ≤ a , entonces a = b ( antisimetría )
3. si a ≤ b y b ≤ c , entonces a ≤ c ( transitividad )

Un conjunto con orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado . ^[11] Esos son los axiomas básicos que todo tipo de orden debe satisfacer. Otros axiomas que existen para otras definiciones de órdenes en un conjunto P incluyen:

1. Para cada a y b en P , a ≤ bo b ≤ a ( orden total ).
2. Para todos los a y b en P para los cuales a < b , hay un c en P tal que a < c < b ( orden denso ).
3. Cada subconjunto no vacío de P con un límite superior tiene un límite superior mínimo (supremum) en P ( propiedad del límite superior mínimo ).

Campos ordenados

Si ( F , +, ×) es un campo y ≤ es un orden total en F , entonces ( F , +, ×, ≤) se llama campo ordenado si y solo si:

• a ≤ b implica a + c ≤ b + c ;
• 0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b .

Tanto ( Q , +, ×, ≤) como ( R , +, ×, ≤) son campos ordenados , pero ≤ no se puede definir para hacer ( C , +, ×, ≤) un campo ordenado , ^[12] porque −1 es el cuadrado de i y por tanto sería positivo.

Además de ser un campo ordenado, R también tiene la propiedad Límite mínimo superior . De hecho, R puede definirse como el único campo ordenado con esa cualidad. ^[13]

Notación encadenada

La notación a < b < c significa " a < b y b < c ", de lo cual, por la propiedad de transitividad anterior, también se deduce que a < c . Según las leyes anteriores, se puede sumar o restar el mismo número a los tres términos, o multiplicar o dividir los tres términos por el mismo número distinto de cero e invertir todas las desigualdades si ese número es negativo. Por lo tanto, por ejemplo, a < b + e < c es equivalente a a − e < b < c − e .

Esta notación se puede generalizar a cualquier número de términos: por ejemplo, a ₁ ≤ a ₂ ≤ ... ≤ a _n significa que a _i ≤ a _{i +1} para i = 1, 2, ..., n − 1. Por transitividad, esta condición es equivalente a a _i ≤ a _j para cualquier 1 ≤ i ≤ j ≤ n .

Al resolver desigualdades utilizando notación encadenada, es posible y, a veces, necesario evaluar los términos de forma independiente. Por ejemplo, para resolver la desigualdad 4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2, no es posible aislar x en ninguna parte de la desigualdad mediante suma o resta. En cambio, las desigualdades deben resolverse de forma independiente, obteniendo x <1/2y x ≥ −1 respectivamente, que se pueden combinar en la solución final −1 ≤ x <1/2.

Ocasionalmente, la notación encadenada se utiliza con desigualdades en diferentes direcciones, en cuyo caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre términos adyacentes. Por ejemplo, la condición definitoria de un poset en zigzag se escribe como a ₁ < a ₂ > a ₃ < a ₄ > a ₅ < a ₆ > ... . La notación encadenada mixta se utiliza con mayor frecuencia con relaciones compatibles, como <, =, ≤. Por ejemplo, a < b = c ≤ d significa que a < b , b = c y c ≤ d . Esta notación existe en algunos lenguajes de programación como Python . Por el contrario, en lenguajes de programación que proporcionan un orden según el tipo de resultados de comparación, como C , incluso las cadenas homogéneas pueden tener un significado completamente diferente. ^[14]

Acentuadas desigualdades

Se dice que una desigualdad es aguda si no se puede relajar y seguir siendo válida en general. Formalmente, una desigualdad φ cuantificada universalmente se llama aguda si, para cada desigualdad ψ cuantificada universalmente válida , si ψ ⇒ φ se cumple, entonces ψ ⇔ φ también se cumple. Por ejemplo, la desigualdad ∀ a ∈ R . a ² ≥ 0 es nítido, mientras que la desigualdad ∀ a ∈ R . a ² ≥ −1 no es nítido. ^{[ cita necesaria ]}

Desigualdades entre medias

Hay muchas desigualdades entre medias. Por ejemplo , para cualquier número positivo a ₁ , a ₂ , ..., an _tenemos H ≤ G ≤ A ≤ Q , donde representan las siguientes medias de la secuencia:

• Significado armonico  : ${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$
• Significado geometrico  : ${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$
• Significado aritmetico  : ${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$
• Media cuadrática  : ${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todos los vectores u y v de un espacio producto interno es cierto que

$${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$

producto internoproducto escalarel espacio euclidiano R ⁿ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}$$

Desigualdades de poder

Una desigualdad de poder es una desigualdad que contiene términos de la forma a ^b , donde a y b son números reales positivos o expresiones variables. A menudo aparecen en ejercicios de olimpíadas matemáticas .

Ejemplos:

• Para cualquier x real ,
  $${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}$$
• Si x > 0 y p > 0, entonces
  $${\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.}$$
  En el límite de p → 0, los límites superior e inferior convergen a ln( x ).
• Si x > 0, entonces
  $${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}$$
• Si x > 0, entonces
  $${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}$$
• Si x , y , z > 0, entonces
  $${\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}$$
• Para cualquier número real distinto a y b ,
  $${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}$$
• Si x , y > 0 y 0 < p < 1, entonces
  $${\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}$$
• Si x , y , z > 0, entonces
  $${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.}$$
• Si a , b > 0, entonces ^[15]
  $${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}$$
• Si a , b > 0, entonces ^[16]
  $${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}$$
• Si a , b , c > 0, entonces
  $${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$$
• Si a , b > 0, entonces
  $${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}$$

Desigualdades bien conocidas

Los matemáticos suelen utilizar desigualdades para limitar cantidades para las cuales no se pueden calcular fácilmente fórmulas exactas. Algunas desigualdades se utilizan con tanta frecuencia que tienen nombres:

• La desigualdad de Azuma
• La desigualdad de Bernoulli
• la desigualdad de bell
• La desigualdad de Boole
• Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• La desigualdad de Chebyshev
• La desigualdad de Chernoff
• Desigualdad de Cramér-Rao
• La desigualdad de Hoeffding
• La desigualdad de Holder
• Desigualdad de medias aritméticas y geométricas.
• La desigualdad de Jensen
• La desigualdad de Kolmogorov
• La desigualdad de Markov
• Desigualdad de Minkowski
• La desigualdad de Nesbitt
• La desigualdad de Pedoe
• Desigualdad de Poincaré
• La desigualdad de Samuelson
• Desigualdad de Sobolev
• Desigualdad triangular

Números complejos y desigualdades

El conjunto de números complejos con sus operaciones de suma y multiplicación es un campo , pero es imposible definir ninguna relación ≤ de modo que se convierta en un campo ordenado . Para crear un campo ordenado , debería satisfacer las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$

• si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c ;
• si 0 ≤ a y 0 ≤ b , entonces 0 ≤ ab .

Debido a que ≤ es un orden total , para cualquier número a , 0 ≤ a o a ≤ 0 (en cuyo caso la primera propiedad anterior implica que 0 ≤ − a ). En cualquier caso 0 ≤ a ² ; esto significa que i ² > 0 y 1 ² > 0 ; entonces −1 > 0 y 1 > 0 , lo que significa (−1 + 1) > 0; contradicción.

Sin embargo, una operación ≤ se puede definir de manera que satisfaga sólo la primera propiedad (es decir, "si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c "). A veces se utiliza la definición de orden lexicográfico :

• a ≤ b , si
  • Re( a ) < Re( b ) , o
  • Re( a ) = Re( b ) y Im( a ) ≤ Im( b )

Se puede demostrar fácilmente que para esta definición a ≤ b implica a + c ≤ b + c .

Desigualdades vectoriales

También se pueden definir relaciones de desigualdad similares a las definidas anteriormente para vectores columna . Si dejamos los vectores (es decir, y , donde y son números reales para ), podemos definir las siguientes relaciones: ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

• ${\displaystyle x=y}$, Si por . ${\displaystyle x_{i}=y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$
• ${\displaystyle x<y}$, Si por . ${\displaystyle x_{i}<y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$
• ${\displaystyle x\leq y}$, si para y . ${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle x\neq y}$
• ${\displaystyle x\leqq y}$, Si por . ${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

De manera similar, podemos definir relaciones para , y . Esta notación es consistente con la utilizada por Matthias Ehrgott en Optimización multicriterio (ver Referencias). ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x\geq y}$ ${\displaystyle x\geqq y}$

La propiedad de tricotomía (como se indicó anteriormente) no es válida para relaciones vectoriales. Por ejemplo, cuando y , no existe una relación de desigualdad válida entre estos dos vectores. Sin embargo, para el resto de propiedades antes mencionadas, existe una propiedad paralela para las desigualdades vectoriales. ${\displaystyle x=(2,5)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle y=(3,4)^{\mathsf {T}}}$

Sistemas de desigualdades

Los sistemas de desigualdades lineales pueden simplificarse mediante la eliminación de Fourier-Motzkin . ^[17]

La descomposición algebraica cilíndrica es un algoritmo que permite comprobar si un sistema de ecuaciones y desigualdades polinómicas tiene soluciones y, si existen soluciones, describirlas. La complejidad de este algoritmo es doblemente exponencial en el número de variables. Es un dominio de investigación activo para diseñar algoritmos que sean más eficientes en casos específicos.

Ver también

• relación binaria
• Corchete (matemáticas) , para el uso de signos ‹ y › similares como corchetes
• Inclusión (teoría de conjuntos)
• inecuación
• Intervalo (matemáticas)
• Lista de desigualdades
• Lista de desigualdades triangulares
• Conjunto parcialmente ordenado
• Operadores relacionales , utilizados en lenguajes de programación para denotar desigualdad.

Referencias

1. "Definición de desigualdad (Diccionario ilustrado de matemáticas)". www.mathsisfun.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
2. Halmaghi, Elena; Liljedahl, Peter. "Desigualdades en la historia de las matemáticas: de las peculiaridades a una dura disciplina". Actas de la reunión anual de 2012 del grupo canadiense de estudio de educación matemática .
3. "Primeros usos de los símbolos de relación". MacTutor . Universidad de St Andrews, Escocia.
4. "Desigualdad". www.learnalberta.ca . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
5. Polianina, ANUNCIO; Manzhirov, AV (2006). Manual de matemáticas para ingenieros y científicos. Prensa CRC. pag. 29.ISBN​ 978-1-4200-1051-0. Consultado el 19 de noviembre de 2021 .
6. Weisstein, Eric W. "Mucho menos". mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
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10. Simovici, Dan A. y Djeraba, Chabane (2008). "Conjuntos parcialmente ordenados". Herramientas matemáticas para minería de datos: teoría de conjuntos, órdenes parciales, combinatoria . Saltador. ISBN 9781848002012.
11. Weisstein, Eric W. "Conjunto parcialmente ordenado". mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
12. Feldman, Joel (2014). "Campos" (PDF) . math.ubc.ca. ​Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022 . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
13. Stewart, Ian (2007). Por qué la belleza es verdad: la historia de la simetría. Hachette Reino Unido. pag. 106.ISBN​ 978-0-4650-0875-9.
14. Brian W. Kernighan y Dennis M. Ritchie (abril de 1988). El lenguaje de programación C. Serie de software de Prentice Hall (2ª ed.). Englewood Cliffs/Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0131103628.Aquí: Sección A.7.9 Operadores relacionales , p.167: Cita: "a<b<c se analiza como (a<b)<c"
15. Laub, M.; Ilani, Ishai (1990). "E3116". El Mensual Matemático Estadounidense . 97 (1): 65–67. doi :10.2307/2324012. JSTOR  2324012.
16. Manyama, S. (2010). "Solución de una conjetura sobre desigualdades con funciones exponenciales de potencia" (PDF) . Revista australiana de análisis y aplicaciones matemáticas . 7 (2): 1. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
17. Gartner, Bernd; Matoušek, Jiří (2006). Comprensión y uso de la programación lineal . Berlín: Springer. ISBN 3-540-30697-8.

Fuentes

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• Beckenbach, EF, Bellman, R. (1975). Una introducción a las desigualdades . ISBN de la casa aleatoria 0-394-01559-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Desigualdades: con aplicaciones a la ingeniería . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Grinshpan, AZ (2005), "Desigualdades, consecuencias y aplicaciones generales", Avances en matemáticas aplicadas , 34 (1): 71–100, doi :10.1016/j.aam.2004.05.001
• Murray S. Klamkin. "Desigualdades 'rapiditas'" (PDF) . Estrategias matemáticas . Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
• Arturo Lohwater (1982). "Introducción a las Desigualdades". Libro electrónico en línea en formato PDF.
• Harold Shapiro (2005). "Resolución de problemas matemáticos". El seminario del viejo problema . Kungliga Tekniska högskolan.
• "3.ª USAMO". Archivado desde el original el 3 de febrero de 2008.
• Pachpatte, BG (2005). Desigualdades Matemáticas . Biblioteca de Matemáticas de Holanda Septentrional. vol. 67 (primera ed.). Ámsterdam, Países Bajos: Elsevier . ISBN 0-444-51795-2. ISSN  0924-6509. SEÑOR  2147066. Zbl  1091.26008.
• Ehrgott, Matías (2005). Optimización multicriterio . Springer-Berlín. ISBN 3-540-21398-8.
• Steele, J.Michael (2004). La clase magistral de Cauchy-Schwarz: una introducción al arte de las desigualdades matemáticas. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-54677-5.

enlaces externos

• "Desigualdad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Gráfico de desigualdades de Ed Pegg, Jr.
• Entrada de AoPS Wiki sobre desigualdades