En matemáticas , una inecuación es una afirmación de que se cumple una desigualdad entre dos valores. [1] [2] Generalmente se escribe en forma de un par de expresiones que denotan los valores en cuestión, con un signo relacional entre ellos que indica la relación de desigualdad específica. Algunos ejemplos de inecuaciones son:
En algunos casos, el término "inecuación" puede considerarse sinónimo del término "desigualdad", [3] mientras que en otros casos, una inecuación se reserva sólo para enunciados cuya relación de desigualdad es " no igual a " (≠). [2]
Se utiliza una notación abreviada para la conjunción de varias inecuaciones que involucran expresiones comunes, encadenándolas entre sí. Por ejemplo, la notación en cadena
es una abreviatura de
lo que también implica que y .
En casos excepcionales, se utilizan cadenas sin tales implicaciones sobre términos distantes. Por ejemplo, es la abreviatura de , que no implica [ cita requerida ] De manera similar, es la abreviatura de , que no implica ningún orden de y . [4]
Similar a la resolución de ecuaciones , la resolución de inecuaciones significa encontrar qué valores (números, funciones, conjuntos, etc.) cumplen una condición establecida en forma de inecuación o conjunción de varias inecuaciones. Estas expresiones contienen una o más incógnitas , que son variables libres para las que se buscan valores que hagan que se cumpla la condición. Para ser precisos, lo que se busca a menudo no son necesariamente valores reales, sino, más en general, expresiones. Una solución de la inecuación es una asignación de expresiones a las incógnitas que satisface la(s) inecuación(es); en otras palabras, expresiones tales que, cuando se sustituyen por las incógnitas, hacen que las inecuaciones sean proposiciones verdaderas. A menudo, se da una expresión objetiva adicional (es decir, una ecuación de optimización), que se debe minimizar o maximizar mediante una solución óptima . [5]
Por ejemplo,
es una conjunción de inecuaciones, parcialmente escrita como cadenas (donde se puede leer como "y"); el conjunto de sus soluciones se muestra en azul en la imagen (las líneas roja, verde y naranja corresponden a la 1.ª, 2.ª y 3.ª conjunción, respectivamente). Para ver un ejemplo más grande, consulte Programación lineal#Ejemplo .
El soporte informático para la resolución de inecuaciones se describe en la programación con restricciones ; en particular, el algoritmo símplex encuentra soluciones óptimas de inecuaciones lineales. [6] El lenguaje de programación Prolog III también admite algoritmos de resolución para clases particulares de inecuaciones (y otras relaciones) como una característica básica del lenguaje. Para obtener más información, consulte programación lógica con restricciones .
Por lo general, debido a las propiedades de ciertas funciones (como las raíces cuadradas), algunas inecuaciones son equivalentes a una combinación de varias otras. Por ejemplo, la inecuación es lógicamente equivalente a las siguientes tres inecuaciones combinadas:
