Desigualdad lineal

Desigualdad que involucra una función lineal

En matemáticas, una desigualdad lineal es una desigualdad que implica una función lineal . Una desigualdad lineal contiene uno de los símbolos de desigualdad: ^[1]

• <menos que
• > mayor que
• ≤ menor o igual a
• ≥ mayor o igual a
• ≠ no es igual a

Una desigualdad lineal se ve exactamente como una ecuación lineal , con el signo de desigualdad reemplazando al signo de igualdad .

Desigualdades lineales de números reales

Desigualdades lineales bidimensionales

Gráfica de desigualdad lineal:
x + 3y < 9

Las desigualdades lineales bidimensionales son expresiones en dos variables de la forma:

${\displaystyle ax+by<c{\text{ and }}ax+by\geq c,}$

donde las desigualdades pueden ser estrictas o no. El conjunto solución de tal desigualdad puede representarse gráficamente mediante un semiplano (todos los puntos de un "lado" de una línea fija) en el plano euclidiano. ^[2] La línea que determina los semiplanos ( ax + by = c ) no está incluida en el conjunto solución cuando la desigualdad es estricta. Un procedimiento simple para determinar qué semiplano está en el conjunto solución es calcular el valor de ax + by en un punto ( x ₀ , y ₀ ) que no está en la línea y observar si se satisface o no la desigualdad.

Por ejemplo, ^[3] para dibujar el conjunto solución de x + 3 y < 9, primero se dibuja la línea con la ecuación x + 3 y = 9 como una línea de puntos, para indicar que la línea no está incluida en el conjunto solución ya que la desigualdad es estricta. Luego, se elige un punto conveniente que no esté en la línea, como (0,0). Como 0 + 3(0) = 0 < 9, este punto está en el conjunto solución, por lo que el semiplano que contiene este punto (el semiplano "debajo" de la línea) es el conjunto solución de esta desigualdad lineal.

Desigualdades lineales en dimensiones generales

En R ⁿ las desigualdades lineales son las expresiones que pueden escribirse en la forma

${\displaystyle f({\bar {x}})<b}$o ${\displaystyle f({\bar {x}})\leq b,}$

donde f es una forma lineal (también llamada funcional lineal ) y b un número real constante. ${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

Más concretamente, esto podría escribirse como

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b}$

o

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq b.}$

Aquí se llaman incógnitas y se llaman coeficientes. ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$

Alternativamente, estos pueden escribirse como

${\displaystyle g(x)<0\,}$o ${\displaystyle g(x)\leq 0,}$

donde g es una función afín . ^[4]

Eso es

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0}$

o

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq 0.}$

Tenga en cuenta que cualquier desigualdad que contenga un signo "mayor que" o "mayor o igual que" se puede reescribir con un signo "menor que" o "menor o igual que", por lo que no hay necesidad de definir desigualdades lineales utilizando esos signos.

Sistemas de desigualdades lineales

Un sistema de desigualdades lineales es un conjunto de desigualdades lineales en las mismas variables:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$

Aquí están las incógnitas, los coeficientes del sistema y los términos constantes. ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},...,x_{n}}$ ${\displaystyle a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}}$ ${\displaystyle b_{1},\ b_{2},...,b_{m}}$

Esto se puede escribir de forma concisa como la desigualdad matricial

${\displaystyle Ax\leq b,}$

donde A es una matriz m × n , x es un vector columna n × 1 de variables y b es un vector columna m × 1 de constantes. ^{[ cita requerida ]}

En los sistemas anteriores se pueden utilizar desigualdades estrictas y no estrictas.

• No todos los sistemas de desigualdades lineales tienen soluciones.

Las variables se pueden eliminar de los sistemas de desigualdades lineales utilizando la eliminación de Fourier-Motzkin . ^[5]

Aplicaciones

Poliedros

El conjunto de soluciones de una desigualdad lineal real constituye un semiespacio del espacio real 'n'-dimensional, uno de los dos definidos por la ecuación lineal correspondiente.

El conjunto de soluciones de un sistema de inecuaciones lineales corresponde a la intersección de los semiespacios definidos por inecuaciones individuales. Es un conjunto convexo , ya que los semiespacios son conjuntos convexos, y la intersección de un conjunto de conjuntos convexos también es convexa. En los casos no degenerados, este conjunto convexo es un poliedro convexo (posiblemente no acotado, p. ej., un semiespacio, una losa entre dos semiespacios paralelos o un cono poliédrico ). También puede estar vacío o ser un poliedro convexo de menor dimensión confinado a un subespacio afín del espacio n -dimensional R ⁿ .

Programación lineal

Un problema de programación lineal busca optimizar (encontrar un valor máximo o mínimo) una función (llamada función objetivo ) sujeta a una serie de restricciones sobre las variables que, en general, son desigualdades lineales. ^[6] La lista de restricciones es un sistema de desigualdades lineales.

Generalización

La definición anterior requiere operaciones bien definidas de suma , multiplicación y comparación ; por lo tanto, la noción de desigualdad lineal puede extenderse a anillos ordenados y, en particular, a campos ordenados .

Referencias

1. Miller y Heeren 1986, pág. 355
2. Técnicamente, para que esta afirmación sea correcta, tanto a como b no pueden ser cero simultáneamente. En esa situación, el conjunto solución está vacío o es el plano entero.
3. Angel y Porter 1989, pág. 310
4. En el caso bidimensional, tanto las formas lineales como las funciones afines se denominan históricamente funciones lineales porque sus gráficos son líneas. En otras dimensiones, ningún tipo de función tiene un gráfico que sea una línea, por lo que la generalización de la función lineal en dos dimensiones a dimensiones superiores se realiza mediante propiedades algebraicas y esto provoca la división en dos tipos de funciones. Sin embargo, la diferencia entre las funciones afines y las formas lineales es simplemente la adición de una constante.
5. Gartner, Bernd; Matoušek, Jiří (2006). Comprensión y uso de la programación lineal . Berlín: Springer. ISBN 3-540-30697-8.
6. Angel y Porter 1989, pág. 373

Fuentes

• Angel, Allen R.; Porter, Stuart R. (1989), Un estudio de las matemáticas con aplicaciones (3.ª ed.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-13696-1
• Molinero, Charles D.; Heeren, Vern E. (1986), Ideas matemáticas (5ª ed.), Scott, Foresman, ISBN 0-673-18276-2

Enlaces externos

• Khan Academy: Desigualdades lineales, microconferencias gratuitas en línea