Caso 1: para todo número entero y real . La desigualdad es estricta si y .
Caso 2: para cada número entero y cada número real . [2]
Caso 3: para cada número par y cada número real .
verdadero exponente
para cada número real y . La desigualdad es estricta si y .
para cada número real y .
Historia
Jacob Bernoulli publicó por primera vez la desigualdad en su tratado "Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis" (Basilea, 1689), donde utilizó la desigualdad con frecuencia. [3]
Según Joseph E. Hofmann, Über die Exercitatio Geométrica des MA Ricci (1963), p. 177, la desigualdad en realidad se debe a Sluse en su Mesolabum (edición de 1668), Capítulo IV "De maximis & minimis". [3]
Prueba de exponente entero
El primer caso tiene una prueba inductiva simple:
Supongamos que la afirmación es verdadera para :
Entonces se deduce que
La desigualdad de Bernoulli se puede probar para el caso 2, en el que es un número entero no negativo y , usando inducción matemática de la siguiente forma:
demostramos la desigualdad para ,
de la validez para algunos r deducimos la validez para .
Para ,
es equivalente a lo que es verdadero.
De manera similar, porque tenemos
Ahora supongamos que la afirmación es verdadera para :
Entonces se deduce que
desde así como . Por la inducción modificada concluimos que la afirmación es verdadera para todo número entero no negativo .
Al observar que si , entonces es negativo, se obtiene el caso 3.
Generalizaciones
Generalización del exponente
El exponente se puede generalizar a un número real arbitrario de la siguiente manera: si , entonces
para o , y
para .
Esta generalización se puede probar comparando derivadas . Las versiones estrictas de estas desigualdades requieren y .
Generalización de base
En lugar de la desigualdad se cumple también en la forma donde están los números reales, todos mayores que , todos con el mismo signo. La desigualdad de Bernoulli es un caso especial cuando . Esta desigualdad generalizada puede demostrarse mediante inducción matemática.
Desigualdades relacionadas
La siguiente desigualdad estima la -ésima potencia de desde el otro lado. Para cualquier número real y con , se tiene
donde 2.718... . Esto se puede demostrar usando la desigualdad
Forma alternativa
Una forma alternativa de la desigualdad de Bernoulli para y es:
Esto se puede demostrar (para cualquier número entero ) usando la fórmula para series geométricas : (usando )
o equivalente
Pruebas alternativas
Medias aritméticas y geométricas.
Se puede dar una prueba elemental de y utilizando AM-GM ponderado .
Sean dos constantes reales no negativas. Al ponderar AM-GM con pesos respectivamente, obtenemos
Tenga en cuenta que
y
entonces nuestra desigualdad es equivalente a
Después de sustituir (teniendo en cuenta que esto implica ) nuestra desigualdad se convierte en
Ahora si entonces por monotonía de las potencias cada sumando , y por tanto su suma es mayor y de ahí el producto en el LHS de ( 4 ).
Si entonces por los mismos argumentos y por lo tanto todos los sumandos no son positivos, por lo tanto también lo será su suma. Como el producto de dos números no positivos no es negativo, obtenemos nuevamente ( 4 ).
Teorema del binomio
Se puede probar la desigualdad de Bernoulli para x ≥ 0 utilizando el teorema del binomio . Es trivialmente cierto para r = 0, así que supongamos que r es un entero positivo. Luego claramente y por lo tanto según sea necesario.
Usando convexidad
Porque la función es estrictamente convexa. Por lo tanto, para se cumple
y la desigualdad invertida es válida para y .
Notas
^ Brannan, DA (2006). Un primer curso de análisis matemático. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 20.ISBN 9781139458955.
^ Excluyendo el caso r = 0 y x = –1 , o suponiendo que 0 0 = 1 .
^ ab math - Primer uso de la desigualdad de Bernoulli y su nombre - Stack Exchange de Historia de la Ciencia y las Matemáticas
Referencias
Carothers, Países Bajos (2000). Análisis reales . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 9.ISBN 978-0-521-49756-5.
Bullen, PS (2003). Manual de medias y sus desigualdades . Dordercht [ua]: Kluwer Academic Publ. pag. 4.ISBN 978-1-4020-1522-9.
Zaidman, S. (1997). Cálculo avanzado: una introducción al análisis matemático . River Edge, Nueva Jersey: World Scientific. pag. 32.ISBN 978-981-02-2704-3.