La desigualdad de Bernoulli

Desigualdad sobre exponenciaciones de 1+x

Una ilustración de la desigualdad de Bernoulli, con las gráficas de y mostradas en rojo y azul respectivamente. Aquí, ${\displaystyle y=(1+x)^{r}}$ ${\displaystyle y=1+rx}$ ${\displaystyle r=3.}$

En matemáticas , la desigualdad de Bernoulli (llamada así en honor a Jacob Bernoulli ) es una desigualdad que se aproxima a exponenciaciones de . A menudo se emplea en análisis reales . Tiene varias variantes útiles: ^[1] ${\displaystyle 1+x}$

Exponente entero

• Caso 1: para todo número entero y real . La desigualdad es estricta si y . ${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$ ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle x\geq -1}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle r\geq 2}$
• Caso 2: para cada número entero y cada número real . ^[2] ${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle x\geq -2}$
• Caso 3: para cada número par y cada número real . ${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle x}$

verdadero exponente

• ${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$para cada número real y . La desigualdad es estricta si y . ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle x\geq -1}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle r\neq 1}$
• ${\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx}$para cada número real y . ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle x\geq -1}$

Historia

Jacob Bernoulli publicó por primera vez la desigualdad en su tratado "Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis" (Basilea, 1689), donde utilizó la desigualdad con frecuencia. ^[3]

Según Joseph E. Hofmann, Über die Exercitatio Geométrica des MA Ricci (1963), p. 177, la desigualdad en realidad se debe a Sluse en su Mesolabum (edición de 1668), Capítulo IV "De maximis & minimis". ^[3]

Prueba de exponente entero

El primer caso tiene una prueba inductiva simple:

Supongamos que la afirmación es verdadera para : ${\displaystyle r=k}$

${\displaystyle (1+x)^{k}\geq 1+kx.}$

Entonces se deduce que

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{k+1}&=(1+x)^{k}(1+x)\\&\geq (1+kx)(1+x)\\&=1+kx+x+kx^{2}\\&=1+x(k+1)+kx^{2}\\&\geq 1+(k+1)x\end{aligned}}}$

La desigualdad de Bernoulli se puede probar para el caso 2, en el que es un número entero no negativo y , usando inducción matemática de la siguiente forma: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x\geq -2}$

• demostramos la desigualdad para , ${\displaystyle r\in \{0,1\}}$
• de la validez para algunos r deducimos la validez para . ${\displaystyle r+2}$

Para , ${\displaystyle r=0}$

${\displaystyle (1+x)^{0}\geq 1+0x}$

es equivalente a lo que es verdadero. ${\displaystyle 1\geq 1}$

De manera similar, porque tenemos ${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle (1+x)^{r}=1+x\geq 1+x=1+rx.}$

Ahora supongamos que la afirmación es verdadera para : ${\displaystyle r=k}$

${\displaystyle (1+x)^{k}\geq 1+kx.}$

Entonces se deduce que

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{k+2}&=(1+x)^{k}(1+x)^{2}\\&\geq (1+kx)\left(1+2x+x^{2}\right)\qquad \qquad \qquad {\text{ by hypothesis and }}(1+x)^{2}\geq 0\\&=1+2x+x^{2}+kx+2kx^{2}+kx^{3}\\&=1+(k+2)x+kx^{2}(x+2)+x^{2}\\&\geq 1+(k+2)x\end{aligned}}}$

desde así como . Por la inducción modificada concluimos que la afirmación es verdadera para todo número entero no negativo . ${\displaystyle x^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle x+2\geq 0}$ ${\displaystyle r}$

Al observar que si , entonces es negativo, se obtiene el caso 3. ${\displaystyle x<-2}$ ${\displaystyle 1+rx}$

Generalizaciones

Generalización del exponente

El exponente se puede generalizar a un número real arbitrario de la siguiente manera: si , entonces ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x>-1}$

${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$

para o , y ${\displaystyle r\leq 0}$ ${\displaystyle \geq 1}$

${\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx}$

para . ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$

Esta generalización se puede probar comparando derivadas . Las versiones estrictas de estas desigualdades requieren y . ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle r\neq 0,1}$

Generalización de base

En lugar de la desigualdad se cumple también en la forma donde están los números reales, todos mayores que , todos con el mismo signo. La desigualdad de Bernoulli es un caso especial cuando . Esta desigualdad generalizada puede demostrarse mediante inducción matemática. ${\displaystyle (1+x)^{n}}$ ${\displaystyle (1+x_{1})(1+x_{2})\dots (1+x_{r})\geq 1+x_{1}+x_{2}+\dots +x_{r}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{r}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{r}=x}$

Desigualdades relacionadas

La siguiente desigualdad estima la -ésima potencia de desde el otro lado. Para cualquier número real y con , se tiene ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1+x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle (1+x)^{r}\leq e^{rx},}$

donde 2.718... . Esto se puede demostrar usando la desigualdad ${\displaystyle e=}$

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}<e.}$

Forma alternativa

Una forma alternativa de la desigualdad de Bernoulli para y es: ${\displaystyle t\geq 1}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$

${\displaystyle (1-x)^{t}\geq 1-xt.}$

Esto se puede demostrar (para cualquier número entero ) usando la fórmula para series geométricas : (usando ) ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y=1-x}$

${\displaystyle t=1+1+\dots +1\geq 1+y+y^{2}+\ldots +y^{t-1}={\frac {1-y^{t}}{1-y}},}$

o equivalente ${\displaystyle xt\geq 1-(1-x)^{t}.}$

Pruebas alternativas

Medias aritméticas y geométricas.

Se puede dar una prueba elemental de y utilizando AM-GM ponderado . ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle x\geq -1}$

Sean dos constantes reales no negativas. Al ponderar AM-GM con pesos respectivamente, obtenemos ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ ${\displaystyle 1,1+x}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$

${\displaystyle {\dfrac {\lambda _{1}\cdot 1+\lambda _{2}\cdot (1+x)}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}\geq {\sqrt[{\lambda _{1}+\lambda _{2}}]{(1+x)^{\lambda _{2}}}}.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle {\dfrac {\lambda _{1}\cdot 1+\lambda _{2}\cdot (1+x)}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}={\dfrac {\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{2}x}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}=1+{\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}x}$

y

${\displaystyle {\sqrt[{\lambda _{1}+\lambda _{2}}]{(1+x)^{\lambda _{2}}}}=(1+x)^{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}},}$

entonces nuestra desigualdad es equivalente a

${\displaystyle 1+{\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}x\geq (1+x)^{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

Después de sustituir (teniendo en cuenta que esto implica ) nuestra desigualdad se convierte en ${\displaystyle r={\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$

${\displaystyle 1+rx\geq (1+x)^{r}}$

que es la desigualdad de Bernoulli.

Series geométricas

La desigualdad de Bernoulli

es equivalente a

y por la fórmula para series geométricas (usando y = 1 +  x ) obtenemos

lo que lleva a

Ahora si entonces por monotonía de las potencias cada sumando , y por tanto su suma es mayor y de ahí el producto en el LHS de ( 4 ). ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle (1+x)^{k}-1=(1+x)^{k}-1^{k}\geq 0}$ ${\displaystyle 0}$

Si entonces por los mismos argumentos y por lo tanto todos los sumandos no son positivos, por lo tanto también lo será su suma. Como el producto de dos números no positivos no es negativo, obtenemos nuevamente ( 4 ). ${\displaystyle 0\geq x\geq -2}$ ${\displaystyle 1\geq (1+x)^{k}}$ ${\displaystyle (1+x)^{k}-1}$

Teorema del binomio

Se puede probar la desigualdad de Bernoulli para x ≥ 0 utilizando el teorema del binomio . Es trivialmente cierto para r = 0, así que supongamos que r es un entero positivo. Luego claramente y por lo tanto según sea necesario. ${\displaystyle (1+x)^{r}=1+rx+{\tbinom {r}{2}}x^{2}+...+{\tbinom {r}{r}}x^{r}.}$ ${\displaystyle {\tbinom {r}{2}}x^{2}+...+{\tbinom {r}{r}}x^{r}\geq 0,}$ ${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$

Usando convexidad

Porque la función es estrictamente convexa. Por lo tanto, para se cumple y la desigualdad invertida es válida para y . ${\displaystyle 0\neq x\geq -1}$ ${\displaystyle h(\alpha )=(1+x)^{\alpha }}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=h(\alpha )=h((1-\alpha )\cdot 0+\alpha \cdot 1)<(1-\alpha )h(0)+\alpha h(1)=1+\alpha x}$ ${\displaystyle \alpha <0}$ ${\displaystyle \alpha >1}$

Notas

1. Brannan, DA (2006). Un primer curso de análisis matemático. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 20.ISBN​ 9781139458955.
2. Excluyendo el caso r = 0 y x = –1 , o suponiendo que 0 ⁰ = 1 .
3. math - Primer uso de la desigualdad de Bernoulli y su nombre - Stack Exchange de Historia de la Ciencia y las Matemáticas

Referencias

• Carothers, Países Bajos (2000). Análisis reales . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 9.ISBN​ 978-0-521-49756-5.
• Bullen, PS (2003). Manual de medias y sus desigualdades . Dordercht [ua]: Kluwer Academic Publ. pag. 4.ISBN​ 978-1-4020-1522-9.
• Zaidman, S. (1997). Cálculo avanzado: una introducción al análisis matemático . River Edge, Nueva Jersey: World Scientific. pag. 32.ISBN​ 978-981-02-2704-3.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Desigualdad de Bernoulli". MundoMatemático .
• Desigualdad de Bernoulli por Chris Boucher, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Arturo Lohwater (1982). "Introducción a las Desigualdades". Libro electrónico en línea en formato PDF.