En matemáticas, un semigrupo es una estructura algebraica que consiste en un conjunto junto con una operación binaria interna asociativa sobre él.
La operación binaria de un semigrupo se denota con mayor frecuencia de forma multiplicativa (solo notación, no necesariamente la multiplicación aritmética elemental ): x ⋅ y , o simplemente xy , denota el resultado de aplicar la operación de semigrupo al par ordenado ( x , y ) . La asociatividad se expresa formalmente como que ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) para todos los x , y y z en el semigrupo.
Los semigrupos pueden considerarse un caso especial de magmas , donde la operación es asociativa, o como una generalización de grupos , sin requerir la existencia de un elemento identidad o inversos. [a] Como en el caso de grupos o magmas, la operación de semigrupo no necesita ser conmutativa , por lo que x ⋅ y no es necesariamente igual a y ⋅ x ; un ejemplo bien conocido de una operación que es asociativa pero no conmutativa es la multiplicación de matrices . Si la operación de semigrupo es conmutativa, entonces el semigrupo se llama semigrupo conmutativo o (con menos frecuencia que en el caso análogo de grupos ) puede llamarse semigrupo abeliano .
Un monoide es una estructura algebraica intermedia entre semigrupos y grupos, y es un semigrupo que tiene un elemento identidad , obedeciendo así todos menos uno de los axiomas de un grupo: no se requiere la existencia de inversas de un monoide. Un ejemplo natural son las cadenas con concatenación como operación binaria y la cadena vacía como elemento identidad. Restringir a cadenas no vacías da un ejemplo de un semigrupo que no es un monoide. Los números enteros positivos con adición forman un semigrupo conmutativo que no es un monoide, mientras que los números enteros no negativos sí forman un monoide. Un semigrupo sin un elemento identidad puede convertirse fácilmente en un monoide simplemente añadiendo un elemento identidad. En consecuencia, los monoides se estudian en la teoría de semigrupos más que en la teoría de grupos. Los semigrupos no deben confundirse con los cuasigrupos , que son generalizaciones de grupos en una dirección diferente; la operación en un cuasigrupo no necesita ser asociativa pero los cuasigrupos preservan de los grupos la noción de división . La división en semigrupos (o en monoides) en general no es posible.
El estudio formal de los semigrupos comenzó a principios del siglo XX. Los primeros resultados incluyen un teorema de Cayley para semigrupos que realiza cualquier semigrupo como un semigrupo de transformación , en el que funciones arbitrarias reemplazan el papel de las biyecciones en la teoría de grupos. Un resultado profundo en la clasificación de semigrupos finitos es la teoría de Krohn-Rhodes , análoga a la descomposición de Jordan-Hölder para grupos finitos. Algunas otras técnicas para estudiar semigrupos, como las relaciones de Green , no se parecen en nada a la teoría de grupos.
La teoría de semigrupos finitos ha sido de particular importancia en la ciencia informática teórica desde la década de 1950 debido al vínculo natural entre semigrupos finitos y autómatas finitos a través del monoide sintáctico . En teoría de probabilidad , los semigrupos están asociados con procesos de Markov . [1] En otras áreas de las matemáticas aplicadas , los semigrupos son modelos fundamentales para sistemas lineales invariantes en el tiempo . En ecuaciones diferenciales parciales , un semigrupo está asociado a cualquier ecuación cuya evolución espacial sea independiente del tiempo.
Existen numerosas clases especiales de semigrupos , semigrupos con propiedades adicionales, que aparecen en aplicaciones particulares. Algunas de estas clases son incluso más cercanas a los grupos al exhibir algunas propiedades adicionales pero no todas de un grupo. De estas mencionamos: semigrupos regulares , semigrupos ortodoxos , semigrupos con involución , semigrupos inversos y semigrupos cancelativos . También hay clases interesantes de semigrupos que no contienen ningún grupo excepto el grupo trivial ; ejemplos de este último tipo son las bandas y su subclase conmutativa – semirretículos , que también son estructuras algebraicas ordenadas .
Un semigrupo es un conjunto S junto con una operación binaria ⋅ (es decir, una función ⋅ : S × S → S ) que satisface la propiedad asociativa :
Más sucintamente, un semigrupo es un magma asociativo .
Una identidad izquierda de un semigrupo S (o más generalmente, magma ) es un elemento e tal que para todo x en S , e ⋅ x = x . De manera similar, una identidad derecha es un elemento f tal que para todo x en S , x ⋅ f = x . Las identidades izquierda y derecha se denominan identidades unilaterales . Un semigrupo puede tener una o más identidades izquierdas pero ninguna identidad derecha, y viceversa.
Una identidad bilateral (o simplemente identidad ) es un elemento que es tanto una identidad izquierda como una identidad derecha. Los semigrupos con una identidad bilateral se denominan monoides . Un semigrupo puede tener como máximo una identidad bilateral. Si un semigrupo tiene una identidad bilateral, entonces la identidad bilateral es la única identidad unilateral en el semigrupo. Si un semigrupo tiene tanto una identidad izquierda como una identidad derecha, entonces tiene una identidad bilateral (que es, por lo tanto, la única identidad unilateral).
Un semigrupo S sin identidad puede estar incluido en un monoide formado mediante la unión de un elemento e ∉ S a S y definiendo e ⋅ s = s ⋅ e = s para todo s ∈ S ∪ { e } . [2] [3] La notación S 1 denota un monoide obtenido a partir de S mediante la unión de una identidad si es necesario ( S 1 = S para un monoide). [3]
De manera similar, cada magma tiene como máximo un elemento absorbente , que en la teoría de semigrupos se denomina cero . De manera análoga a la construcción anterior, para cada semigrupo S , se puede definir S 0 , un semigrupo con 0 que encierra a S.
La operación de semigrupo induce una operación sobre la colección de sus subconjuntos: dados los subconjuntos A y B de un semigrupo S , su producto A · B , escrito comúnmente como AB , es el conjunto { ab | a en A y b en B }. (Esta noción se define de forma idéntica a como se hace para los grupos .) En términos de esta operación, un subconjunto A se llama
Si A es a la vez un ideal izquierdo y un ideal derecho, entonces se llama ideal (o ideal de dos caras ).
Si S es un semigrupo, entonces la intersección de cualquier colección de subsemigrupos de S es también un subsemigrupo de S. Por lo tanto, los subsemigrupos de S forman una red completa .
Un ejemplo de semigrupo sin ideal mínimo es el conjunto de números enteros positivos sometidos a adición. El ideal mínimo de un semigrupo conmutativo , cuando existe, es un grupo.
Las relaciones de Green , un conjunto de cinco relaciones de equivalencia que caracterizan a los elementos en términos de los ideales principales que generan, son herramientas importantes para analizar los ideales de un semigrupo y nociones relacionadas de estructura.
El subconjunto con la propiedad de que cada elemento conmuta con cualquier otro elemento del semigrupo se denomina centro del semigrupo. [4] El centro de un semigrupo es en realidad un subsemigrupo. [5]
Un homomorfismo de semigrupo es una función que conserva la estructura del semigrupo. Una función f : S → T entre dos semigrupos es un homomorfismo si la ecuación
se cumple para todos los elementos a , b en S , es decir, el resultado es el mismo cuando se realiza la operación de semigrupo después o antes de aplicar la función f .
Un homomorfismo de semigrupo entre monoides conserva la identidad si es un homomorfismo de monoide . Pero hay homomorfismos de semigrupo que no son homomorfismos de monoide, por ejemplo, la incrustación canónica de un semigrupo S sin identidad en S 1. Las condiciones que caracterizan a los homomorfismos de monoide se discuten más a fondo. Sea f : S 0 → S 1 un homomorfismo de semigrupo. La imagen de f también es un semigrupo. Si S 0 es un monoide con un elemento identidad e 0 , entonces f ( e 0 ) es el elemento identidad en la imagen de f . Si S 1 es también un monoide con un elemento identidad e 1 y e 1 pertenece a la imagen de f , entonces f ( e 0 ) = e 1 , es decir, f es un homomorfismo de monoide. En particular, si f es sobreyectiva , entonces es un homomorfismo de monoide.
Se dice que dos semigrupos S y T son isomorfos si existe un homomorfismo de semigrupos biyectivo f : S → T . Los semigrupos isomorfos tienen la misma estructura.
Una congruencia de semigrupo ~ es una relación de equivalencia que es compatible con la operación de semigrupo. Es decir, un subconjunto ~ ⊆ S × S que es una relación de equivalencia y x ~ y y u ~ v implica xu ~ yv para cada x , y , u , v en S . Como cualquier relación de equivalencia, una congruencia de semigrupo ~ induce clases de congruencia
y la operación de semigrupo induce una operación binaria ∘ sobre las clases de congruencia:
Como ~ es una congruencia, el conjunto de todas las clases de congruencia de ~ forma un semigrupo con ∘, llamado semigrupo cociente o semigrupo factorial , y denotado S /~ . La función x ↦ [ x ] ~ es un homomorfismo de semigrupo, llamado función cociente , sobreyección o proyección canónica ; si S es un monoide, entonces el semigrupo cociente es un monoide con identidad [1] ~ . A la inversa, el núcleo de cualquier homomorfismo de semigrupo es una congruencia de semigrupo. Estos resultados no son más que una particularización del primer teorema de isomorfismo en álgebra universal . Las clases de congruencia y los monoides factoriales son los objetos de estudio en los sistemas de reescritura de cadenas .
Una congruencia nuclear en S es aquella que es el núcleo de un endomorfismo de S. [6 ]
Un semigrupo S satisface la condición máxima de congruencias si cualquier familia de congruencias en S , ordenada por inclusión, tiene un elemento máximo. Por el lema de Zorn , esto es equivalente a decir que se cumple la condición de cadena ascendente : no existe una cadena infinita estrictamente ascendente de congruencias en S . [7]
Todo ideal I de un semigrupo induce un semigrupo factorial, el semigrupo factorial de Rees , a través de la congruencia ρ definida por x ρ y si x = y , o tanto x como y están en I .
Las siguientes nociones [8] introducen la idea de que un semigrupo está contenido en otro.
Un semigrupo T es cociente de un semigrupo S si existe un morfismo de semigrupo sobreyectivo de S a T. Por ejemplo, ( Z /2 Z , +) es cociente de ( Z /4 Z , +) , utilizando el morfismo que consiste en tomar el resto módulo 2 de un número entero.
Un semigrupo T divide a un semigrupo S , denotado T ≼ S si T es un cociente de un subsemigrupo S . En particular, los subsemigrupos de S dividen a T , mientras que no es necesariamente el caso de que exista un cociente de S .
Ambas relaciones son transitivas.
Para cualquier subconjunto A de S existe un subsemigrupo T de S más pequeño que contiene a A , y decimos que A genera T . Un único elemento x de S genera el subsemigrupo { x n | n ∈ Z + } . Si este es finito, entonces se dice que x es de orden finito , de lo contrario es de orden infinito . Se dice que un semigrupo es periódico si todos sus elementos son de orden finito. Un semigrupo generado por un único elemento se dice que es monogénico (o cíclico ). Si un semigrupo monogénico es infinito, entonces es isomorfo al semigrupo de números enteros positivos con la operación de adición. Si es finito y no vacío, entonces debe contener al menos un idempotente . De ello se deduce que todo semigrupo periódico no vacío tiene al menos un idempotente.
Un subsemigrupo que es también un grupo se llama subgrupo . Existe una estrecha relación entre los subgrupos de un semigrupo y sus idempotentes. Cada subgrupo contiene exactamente un idempotente, es decir, el elemento identidad del subgrupo. Para cada idempotente e del semigrupo hay un único subgrupo maximal que contiene a e . Cada subgrupo maximal surge de esta manera, por lo que existe una correspondencia biunívoca entre idempotentes y subgrupos maximalistas. Aquí el término subgrupo maximal difiere de su uso estándar en la teoría de grupos.
A menudo se puede decir más cuando el orden es finito. Por ejemplo, todo semigrupo finito no vacío es periódico y tiene un ideal mínimo y al menos un idempotente. El número de semigrupos finitos de un tamaño dado (mayor que 1) es (obviamente) mayor que el número de grupos del mismo tamaño. Por ejemplo, de las dieciséis "tablas de multiplicar" posibles para un conjunto de dos elementos {a, b }, ocho forman semigrupos [b] mientras que solo cuatro de ellos son monoides y solo dos forman grupos. Para más información sobre la estructura de los semigrupos finitos, véase la teoría de Krohn-Rhodes .
Existe un teorema de estructura para semigrupos conmutativos en términos de semirretículos . [10] Un semirretículo (o más precisamente un semirretículo de encuentro) ( L , ≤) es un conjunto parcialmente ordenado donde cada par de elementos a , b ∈ L tiene un límite inferior máximo , denotado a ∧ b . La operación ∧ convierte a L en un semigrupo que satisface la ley de idempotencia adicional a ∧ a = a .
Dado un homomorfismo f : S → L de un semigrupo arbitrario a un semirretículo, cada imagen inversa S a = f −1 { a } es un semigrupo (posiblemente vacío). Además, S se gradúa según L , en el sentido de que S a S b ⊆ S a ∧ b .
Si f es sobreyectiva, la semirretícula L es isomorfa al cociente de S por la relación de equivalencia ~ tal que x ~ y si y solo si f ( x ) = f ( y ) . Esta relación de equivalencia es una congruencia de semigrupo, como se definió anteriormente.
Siempre que tomamos el cociente de un semigrupo conmutativo por una congruencia, obtenemos otro semigrupo conmutativo. El teorema de estructura dice que para cualquier semigrupo conmutativo S , existe una congruencia mínima ~ tal que el cociente de S por esta relación de equivalencia es un semirretículo. Denotando este semirretículo por L , obtenemos un homomorfismo f de S sobre L . Como se mencionó, S se gradúa por este semirretículo.
Además, los componentes S a son todos semigrupos arquimedianos . Un semigrupo arquimediano es aquel en el que, dado cualquier par de elementos x , y , existe un elemento z y n > 0 tal que x n = yz .
La propiedad arquimediana se sigue inmediatamente del ordenamiento en la semired L , ya que con este ordenamiento tenemos f ( x ) ≤ f ( y ) si y sólo si x n = yz para algún z y n > 0 .
El grupo de fracciones o completitud de grupo de un semigrupo S es el grupo G = G ( S ) generado por los elementos de S como generadores y todas las ecuaciones xy = z que se cumplen en S como relaciones . [11] Existe un homomorfismo de semigrupo obvio j : S → G ( S ) que envía cada elemento de S al generador correspondiente. Esto tiene una propiedad universal para morfismos de S a un grupo: [12] dado cualquier grupo H y cualquier homomorfismo de semigrupo k : S → H , existe un homomorfismo de grupo único f : G → H con k = fj . Podemos pensar en G como el grupo "más general" que contiene una imagen homomórfica de S .
Una cuestión importante es caracterizar aquellos semigrupos para los cuales este mapa es una incrustación. Esto no tiene por qué ser siempre así: por ejemplo, tomemos S como el semigrupo de subconjuntos de algún conjunto X con intersección de teoría de conjuntos como la operación binaria (este es un ejemplo de una semired). Dado que A . A = A se cumple para todos los elementos de S , esto debe ser cierto también para todos los generadores de G ( S ), que es por lo tanto el grupo trivial . Es claramente necesario para la incrustabilidad que S tenga la propiedad de cancelación . Cuando S es conmutativo esta condición también es suficiente [13] y el grupo de Grothendieck del semigrupo proporciona una construcción del grupo de fracciones. El problema de los semigrupos no conmutativos se puede rastrear hasta el primer artículo sustancial sobre semigrupos. [14] [15] Anatoly Maltsev dio condiciones necesarias y suficientes para la incrustabilidad en 1937. [16]
La teoría de semigrupos se puede utilizar para estudiar algunos problemas en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales . En términos generales, el enfoque de semigrupos consiste en considerar una ecuación diferencial parcial dependiente del tiempo como una ecuación diferencial ordinaria en un espacio de funciones. Por ejemplo, considere el siguiente problema de valor inicial/frontera para la ecuación del calor en el intervalo espacial (0, 1) ⊂ R y tiempos t ≥ 0 :
Sea X = L 2 ((0, 1) R ) el espacio L p de funciones reales integrables al cuadrado con dominio en el intervalo (0, 1) y sea A el operador de segunda derivada con dominio
donde H 2 es un espacio de Sobolev . Entonces, el problema de valor inicial/límite anterior se puede interpretar como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria en el espacio X :
A nivel heurístico, la solución a este problema "debería" ser u ( t ) = exp( tA ) u 0 . Sin embargo, para un tratamiento riguroso, se debe dar un significado a la exponencial de tA . Como función de t , exp( tA ) es un semigrupo de operadores desde X hasta sí mismo, que lleva el estado inicial u 0 en el instante t = 0 al estado u ( t ) = exp( tA ) u 0 en el instante t . Se dice que el operador A es el generador infinitesimal del semigrupo.
El estudio de los semigrupos se situó por detrás del de otras estructuras algebraicas con axiomas más complejos, como los grupos o los anillos . Varias fuentes [17] [18] atribuyen el primer uso del término (en francés) a J.-A. de Séguier en Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Elementos de la teoría de grupos abstractos) en 1904. El término se utiliza en inglés en 1908 en Theory of Groups of Finite Order (Teoría de grupos de orden finito ) de Harold Hinton .
Anton Sushkevich obtuvo los primeros resultados no triviales sobre semigrupos. Su artículo de 1928 "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("Sobre grupos finitos sin la regla de invertibilidad única") determinó la estructura de semigrupos simples finitos y mostró que el ideal mínimo (o la clase J de relaciones de Green ) de un semigrupo finito es simple. [18] A partir de ese momento, las bases de la teoría de semigrupos fueron establecidas por David Rees , James Alexander Green , Evgenii Sergeevich Lyapin , Alfred H. Clifford y Gordon Preston . Los dos últimos publicaron una monografía de dos volúmenes sobre teoría de semigrupos en 1961 y 1967 respectivamente. En 1970, una nueva publicación periódica llamada Semigroup Forum (actualmente editada por Springer Verlag ) se convirtió en una de las pocas revistas matemáticas dedicadas por completo a la teoría de semigrupos.
La teoría de representación de semigrupos fue desarrollada en 1963 por Boris Schein usando relaciones binarias en un conjunto A y composición de relaciones para el producto de semigrupos. [19] En una conferencia algebraica en 1972, Schein revisó la literatura sobre B A , el semigrupo de relaciones en A . [20] En 1997, Schein y Ralph McKenzie demostraron que cada semigrupo es isomorfo a un semigrupo transitivo de relaciones binarias. [21]
En los últimos años, los investigadores en el campo se han especializado más y han aparecido monografías dedicadas a clases importantes de semigrupos, como los semigrupos inversos , así como monografías centradas en aplicaciones en la teoría de autómatas algebraicos, particularmente para autómatas finitos, y también en el análisis funcional .
Si se descarta el axioma de asociatividad de un semigrupo, el resultado es un magma , que no es más que un conjunto M dotado de una operación binaria cerrada M × M → M .
Generalizando en una dirección diferente, un semigrupo n -ario (también n -semigrupo , semigrupo poliádico o semigrupo multiario ) es una generalización de un semigrupo a un conjunto G con una operación n -aria en lugar de una operación binaria. [22] La ley asociativa se generaliza de la siguiente manera: la asociatividad ternaria es ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , es decir, la cadena abcde con tres elementos adyacentes cualesquiera entre corchetes. La asociatividad n -aria es una cadena de longitud n + ( n − 1) con n elementos adyacentes cualesquiera entre corchetes. Un semigrupo 2-ario es simplemente un semigrupo. Otros axiomas conducen a un grupo n -ario .
Una tercera generalización es el semigrupoide , en el que se elimina el requisito de que la relación binaria sea total. Como las categorías generalizan a los monoides de la misma manera, un semigrupoide se comporta de manera muy similar a una categoría, pero carece de identidades.
Varios autores han considerado a veces generalizaciones infinitas de semigrupos conmutativos. [c]
