En matemáticas , las relaciones de Green son cinco relaciones de equivalencia que caracterizan a los elementos de un semigrupo en términos de los ideales principales que generan. Las relaciones reciben su nombre de James Alexander Green , quien las introdujo en un artículo de 1951. John Mackintosh Howie , un destacado teórico de semigrupos, describió este trabajo como "tan omnipresente que, al encontrar un nuevo semigrupo, casi la primera pregunta que uno se hace es '¿Cómo son las relaciones de Green?'" (Howie 2002). Las relaciones son útiles para comprender la naturaleza de la divisibilidad en un semigrupo; también son válidas para los grupos , pero en este caso no nos dicen nada útil, porque los grupos siempre tienen divisibilidad.
En lugar de trabajar directamente con un semigrupo S , es conveniente definir las relaciones de Green sobre el monoide S 1 . ( S 1 es " S con una identidad adjunta si es necesario"; si S no es ya un monoide, se adjunta un nuevo elemento y se define como una identidad). Esto garantiza que los ideales principales generados por algún elemento del semigrupo contengan efectivamente ese elemento. Para un elemento a de S , los ideales relevantes son:
Para los elementos a y b de S , las relaciones de Green L , R y J están definidas por
Es decir, a y b están L -relacionados si generan el mismo ideal izquierdo; R -relacionados si generan el mismo ideal derecho; y J -relacionados si generan el mismo ideal bilateral. Estas son relaciones de equivalencia en S , por lo que cada una de ellas produce una partición de S en clases de equivalencia. La L -clase de a se denota L a (y de manera similar para las otras relaciones). Las L -clases y R -clases pueden entenderse de manera equivalente como los componentes fuertemente conectados de los gráficos de Cayley izquierdo y derecho de S 1 . [1] Además, las relaciones L , R y J definen tres preórdenes ≤ L , ≤ R y ≤ J , donde a ≤ J b se cumple para dos elementos a y b de S si el ideal generado por a está incluido en el de b , es decir, S 1 a S 1 ⊆ S 1 b S 1 , y ≤ L y ≤ R se definen de manera análoga. [2]
Green utilizó la letra gótica minúscula , y para estas relaciones, y escribió para a L b (y lo mismo para R y J ). Los matemáticos actuales tienden a utilizar letras de escritura como en su lugar, y reemplazan la notación de estilo aritmético modular de Green con el estilo infijo utilizado aquí. Se utilizan letras ordinarias para las clases de equivalencia.
Las relaciones L y R son duales izquierda-derecha entre sí; los teoremas relativos a una pueden traducirse en enunciados similares sobre la otra. Por ejemplo, L es compatible con la derecha : si a L b y c es otro elemento de S , entonces ac L bc . Dualmente, R es compatible con la izquierda : si a R b , entonces ca R cb .
Si S es conmutativo, entonces L , R y J coinciden.
Las relaciones restantes se derivan de L y R. Su intersección es H :
Esta es también una relación de equivalencia en S . La clase H a es la intersección de L a y R a . De manera más general, la intersección de cualquier clase L con cualquier clase R es una clase H o el conjunto vacío.
El teorema de Green establece que para cualquier -clase H de un semigrupo S ya sea (i) o (ii) y H es un subgrupo de S . Un corolario importante es que la clase de equivalencia H e , donde e es un idempotente , es un subgrupo de S (su identidad es e , y todos los elementos tienen inversas), y de hecho es el subgrupo más grande de S que contiene a e . Ninguna -clase puede contener más de un idempotente, por lo tanto es idempotente separando . En un monoide M , la clase H 1 se llama tradicionalmente el grupo de unidades . [3] (Tenga en cuenta que unidad no significa identidad en este contexto, es decir, en general hay elementos no identidad en H 1 . La terminología "unidad" proviene de la teoría de anillos .) Por ejemplo, en el monoide de transformación sobre n elementos, T n , el grupo de unidades es el grupo simétrico S n .
Finalmente, D se define: a D b si y solo si existe un c en S tal que a L c y c R b . En el lenguaje de los retículos , D es la unión de L y R . (La unión para relaciones de equivalencia normalmente es más difícil de definir, pero se simplifica en este caso por el hecho de que a L c y c R b para algún c si y solo si a R d y d L b para algún d .)
Como D es la relación de equivalencia más pequeña que contiene tanto a L como a R , sabemos que un D b implica un J b —por lo que J contiene a D. En un semigrupo finito, D y J son iguales, [4] como también en un monoide racional . [5] [ aclaración necesaria ] Además, también coinciden en cualquier epigrupo . [6]
También existe una formulación de D en términos de clases de equivalencia, derivada directamente de la definición anterior: [7]
En consecuencia, las D -clases de un semigrupo pueden verse como uniones de L -clases, como uniones de R -clases o como uniones de H -clases. Clifford y Preston (1961) sugieren pensar en esta situación en términos de una "caja de huevos": [8]
Cada fila de huevos representa una clase R y cada columna una clase L ; los huevos en sí mismos son las clases H. Para un grupo, solo hay un huevo, porque las cinco relaciones de Green coinciden y hacen que todos los elementos del grupo sean equivalentes. El caso opuesto, que se encuentra, por ejemplo, en el semigrupo bicíclico , es aquel en el que cada elemento está en una clase H propia. La caja de huevos para este semigrupo contendría una cantidad infinita de huevos, pero todos los huevos están en la misma caja porque solo hay una clase D. (Un semigrupo para el cual todos los elementos están relacionados con D se llama bisimple ).
Se puede demostrar que dentro de una clase D , todas las clases H tienen el mismo tamaño. Por ejemplo, el semigrupo de transformación T 4 contiene cuatro clases D , dentro de las cuales las clases H tienen 1, 2, 6 y 24 elementos respectivamente.
Los avances recientes en la combinatoria de semigrupos han utilizado las relaciones de Green para ayudar a enumerar semigrupos con ciertas propiedades. Un resultado típico (Satoh, Yama y Tokizawa 1994) muestra que hay exactamente 1.843.120.128 semigrupos no equivalentes de orden 8, incluidos 221.805 que son conmutativos; su trabajo se basa en una exploración sistemática de posibles D -clases. (En cambio, sólo hay cinco grupos de orden 8 ).
El semigrupo de transformación completo T 3 consta de todas las funciones del conjunto {1, 2, 3} a sí mismo; hay 27 de ellas. Escriba ( a b c ) para la función que envía 1 a a , 2 a b y 3 a c . Dado que T 3 contiene la función identidad, (1 2 3), no hay necesidad de adjuntar una identidad.
El diagrama de caja de huevos para T 3 tiene tres clases D. También son clases J , porque estas relaciones coinciden para un semigrupo finito.
En T 3 , dos funciones están relacionadas con L si y solo si tienen la misma imagen . Dichas funciones aparecen en la misma columna de la tabla anterior. Asimismo, las funciones f y g están relacionadas con R si y solo si
para x e y en {1, 2, 3}; dichas funciones están en la misma fila de la tabla. En consecuencia, dos funciones están relacionadas con D si y solo si sus imágenes son del mismo tamaño.
Los elementos en negrita son los idempotentes. Cualquier clase H que contenga uno de estos es un subgrupo (máximo). En particular, la tercera clase D es isomorfa al grupo simétrico S 3 . También hay seis subgrupos de orden 2 y tres de orden 1 (así como subgrupos de estos subgrupos). Seis elementos de T 3 no están en ningún subgrupo.
Básicamente, hay dos maneras de generalizar una teoría algebraica: una es cambiar sus definiciones para que abarque más objetos o diferentes; la otra, más sutil, es encontrar algún resultado deseable de la teoría y considerar maneras alternativas de llegar a esa conclusión.
Siguiendo la primera ruta, se han definido versiones análogas de las relaciones de Green para semianillos (Grillet 1970) y anillos (Petro 2002). Algunas, pero no todas, las propiedades asociadas con las relaciones en semigrupos se trasladan a estos casos. Si nos mantenemos dentro del mundo de los semigrupos, las relaciones de Green se pueden extender para cubrir ideales relativos, que son subconjuntos que son ideales solo con respecto a un subsemigrupo (Wallace 1963).
Para el segundo tipo de generalización, los investigadores se han concentrado en las propiedades de las biyecciones entre las clases L y R. Si x R y , entonces siempre es posible encontrar biyecciones entre L x y L y que preserven la clase R. (Es decir, si dos elementos de una clase L están en la misma clase R , entonces sus imágenes bajo una biyección seguirán estando en la misma clase R ). La afirmación dual para x L y también es válida. Estas biyecciones son traslaciones derecha e izquierda, restringidas a las clases de equivalencia apropiadas. La pregunta que surge es: ¿de qué otra manera podrían existir tales biyecciones?
Supóngase que Λ y Ρ son semigrupos de transformaciones parciales de algún semigrupo S . Bajo ciertas condiciones, se puede demostrar que si x Ρ = y Ρ, con x ρ 1 = y y y ρ 2 = x , entonces las restricciones
son biyecciones mutuamente inversas. (Convencionalmente, los argumentos se escriben a la derecha para Λ y a la izquierda para Ρ). Entonces las relaciones L y R se pueden definir por
y D y H siguen como de costumbre. La generalización de J no es parte de este sistema, ya que no juega ningún papel en la propiedad deseada.
Llamamos (Λ, Ρ) un par de Green . Hay varias opciones de semigrupo de transformación parcial que dan como resultado las relaciones originales. Un ejemplo sería tomar Λ como el semigrupo de todas las traslaciones a la izquierda en S 1 , restringidas a S , y Ρ como el semigrupo correspondiente de las traslaciones a la derecha restringidas.
Estas definiciones se deben a Clark y Carruth (1980). En ellas se incluye el trabajo de Wallace, así como otras definiciones generalizadas propuestas a mediados de los años 1970. Los axiomas completos son bastante largos de enunciar; informalmente, los requisitos más importantes son que tanto Λ como Ρ deben contener la transformación de identidad, y que los elementos de Λ deben conmutar con los elementos de Ρ.
