Semigrupo de factores de Rees

En matemáticas , en la teoría de semigrupos , un semigrupo de factor de Rees (también llamado semigrupo de cociente de Rees o simplemente factor de Rees ), llamado así en honor a David Rees , es un semigrupo determinado construido utilizando un semigrupo y un ideal del semigrupo .

Sea S un semigrupo e I un ideal de S. Utilizando S e I se puede construir un nuevo semigrupo colapsando I en un solo elemento mientras que los elementos de S fuera de I mantienen su identidad. El nuevo semigrupo obtenido de esta manera se llama semigrupo factorial de Rees de S módulo I y se denota por S / I.

El concepto de semigrupo de factores de Rees fue introducido por David Rees en 1940. ^{[1] [2]}

Definición formal

Un subconjunto de un semigrupo se denomina ideal de si tanto y son subconjuntos de (donde , y de manera similar para ). Sea un ideal de un semigrupo . La relación se define por ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle SI}$ ${\displaystyle IS}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle SI=\{sx\mid s\in S{\text{ and }}x\in I\}}$ ${\displaystyle IS}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S}$

x ρ y  ⇔ o bien x = y o bien tanto x como y están en I

es una relación de equivalencia en . Las clases de equivalencia bajo son los conjuntos singleton con no en y el conjunto . Como es un ideal de , la relación es una congruencia en . ^[3] El semigrupo cociente es, por definición, el semigrupo factorial de Rees de módulo . Por conveniencia de notación, el semigrupo también se denota como . El semigrupo factorial de Rees ^[4] tiene un conjunto subyacente , donde es un nuevo elemento y el producto (aquí denotado por ) se define por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S/{\rho }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S/\rho }$ ${\displaystyle S/I}$ ${\displaystyle (S\setminus I)\cup \{0\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle s*t={\begin{cases}st&{\text{if }}s,t,st\in S\setminus I\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

La congruencia en como se define arriba se llama congruencia de Rees en módulo . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$

Ejemplo

Consideremos el semigrupo S = { a , b , c , d , e } con la operación binaria definida por la siguiente tabla de Cayley:

Sea I = { a , d } que es un subconjunto de S . Dado que

SI = { aa , ba , ca , da , ea , ad , bd , cd , dd , ed } = { a , d } ⊆ I

ES = { aa , da , ab , db , ac , dc , ad , dd , ae , de } = { a , d } ⊆ I

El conjunto I es un ideal de S. El semigrupo de factores de Rees de S módulo I es el conjunto S / I = { b , c , e , I } con la operación binaria definida por la siguiente tabla de Cayley:

Extensión ideal

Un semigrupo S se denomina extensión ideal de un semigrupo A por un semigrupo B si A es un ideal de S y el factor de Rees del semigrupo S / A es isomorfo a B. ^[5]

Algunos de los casos que se han estudiado extensamente incluyen: extensiones ideales de semigrupos completamente simples , de un grupo por un semigrupo completamente 0-simple , de un semigrupo conmutativo con cancelación por un grupo con cero añadido. En general, el problema de describir todas las extensiones ideales de un semigrupo aún está abierto. ^[6]

Referencias

1. D. Rees (1940). "Sobre semigrupos". Proc. Camb. Phil. Soc . 36 (4): 387–400. doi :10.1017/S0305004100017436. S2CID  123038112.Sr. 2, 127
2. Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (1961). La teoría algebraica de semigrupos. Vol. I . Mathematical Surveys, No. 7. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-0272-4.Sr .  0132791.
3. Lawson (1998) Semigrupos inversos: la teoría de simetrías parciales , página 60, World Scientific con enlace a Google Books
4. Howie, John M. (1995), Fundamentos de la teoría de semigrupos , Clarendon Press , ISBN 0-19-851194-9
5. Mikhalev, Aleksandr Vasil'evich; Pilz, Gunter (2002). El manual conciso de álgebra . Saltador . ISBN 978-0-7923-7072-7.(págs. 1–3)
6. Gluskin, LM (2001) [1994], "Extensión de un semigrupo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

• Lawson, MV (1998). Semigrupos inversos: la teoría de simetrías parciales . World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.

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