En matemáticas , un semigrupo cancelatorio (también llamado semigrupo de cancelación ) es un semigrupo que tiene la propiedad de cancelación . [1] En términos intuitivos, la propiedad de cancelación afirma que a partir de una igualdad de la forma a · b = a · c , donde · es una operación binaria , se puede cancelar el elemento a y deducir la igualdad b = c . En este caso, el elemento que se cancela aparece como los factores izquierdos de a · b y a · c y, por lo tanto, es un caso de la propiedad de cancelación izquierda . La propiedad de cancelación derecha se puede definir de forma análoga. Ejemplos prototípicos de semigrupos cancelatorios son los números enteros positivos bajo la adición o la multiplicación . Se considera que los semigrupos cancelatorios están muy cerca de ser grupos porque la cancelabilidad es una de las condiciones necesarias para que un semigrupo sea integrable en un grupo. Además, todo semigrupo cancelatorio finito es un grupo. Uno de los principales problemas asociados con el estudio de los semigrupos cancelatorios es determinar las condiciones necesarias y suficientes para integrar un semigrupo cancelatorio en un grupo.
Los orígenes del estudio de los semigrupos cancelativos se remontan al primer artículo sustancial sobre semigrupos (Suschkewitsch 1928). [2]
Sea S un semigrupo. Un elemento a en S es cancelativo por la izquierda (o, es cancelable por la izquierda , o, tiene la propiedad de cancelación por la izquierda ) si ab = ac implica b = c para todos los b y c en S. Si cada elemento en S es cancelativo por la izquierda, entonces S se llama semigrupo cancelativo por la izquierda .
Sea S un semigrupo. Un elemento a en S es cancelable por la derecha (o es cancelable por la derecha , o tiene la propiedad de cancelación por la derecha ) si ba = ca implica b = c para todos los b y c en S. Si cada elemento en S es cancelable por la derecha, entonces S se llama semigrupo cancelable por la derecha .
Sea S un semigrupo. Si cada elemento de S es cancelativo tanto por la izquierda como por la derecha, entonces S se denomina semigrupo cancelativo .
Es posible reformular la propiedad característica de un elemento cancelativo en términos de una propiedad mantenida por las correspondientes funciones de multiplicación por la izquierda L a : S → S y multiplicación por la derecha R a : S → S definidas por L a ( b ) = ab y R a ( b ) = ba : un elemento a en S es cancelativo por la izquierda si y solo si L a es inyectivo , un elemento a es cancelativo por la derecha si y solo si R a es inyectivo.
Es un resultado elemental en teoría de grupos que un semigrupo cancelatorio finito es un grupo. Sea S un semigrupo cancelatorio finito.
Además, cada epigrupo cancelativo es también un grupo. [3]
Un semigrupo conmutativo puede estar incluido en un grupo (es decir, es isomorfo a un subsemigrupo de un grupo) si y solo si es cancelativo. El procedimiento para hacer esto es similar al de incluir un dominio integral en un cuerpo (Clifford y Preston 1961, p. 34): se denomina construcción de grupo de Grothendieck y es la aplicación universal de un semigrupo conmutativo a grupos abelianos que es una inclusión si el semigrupo es cancelativo.
Para la integrabilidad de semigrupos no conmutativos en grupos, la cancelatividad es obviamente una condición necesaria. Sin embargo, no es suficiente: hay semigrupos cancelativos (no conmutativos e infinitos) que no pueden integrarse en un grupo. [4] Para obtener una condición suficiente (pero no necesaria), se puede observar que la prueba del resultado de que un semigrupo cancelativo finito S es un grupo dependía críticamente del hecho de que Sa = S para todo a en S . El artículo (Dubreil 1941) generalizó esta idea e introdujo el concepto de semigrupo reversible derecho . Se dice que un semigrupo S es reversible derecho si dos ideales principales de S se intersecan, es decir, Sa ∩ Sb ≠ Ø para todo a y b en S . La condición suficiente para la incrustabilidad de semigrupos en grupos puede ahora enunciarse de la siguiente manera: ( Teorema de Ore ) Cualquier semigrupo cancelativo reversible hacia la derecha puede incrustarse en un grupo (Clifford y Preston 1961, p. 35).
El primer conjunto de condiciones necesarias y suficientes para la encajabilidad de un semigrupo en un grupo se dio en (Malcev 1939). [5] Aunque teóricamente importantes, las condiciones son infinitamente contables en número y ningún subconjunto finito será suficiente, como se muestra en (Malcev 1940). [6] Un conjunto diferente (pero también infinito contable) de condiciones necesarias y suficientes se dio en (Lambek 1951), donde se demostró que un semigrupo puede estar encajado en un grupo si y solo si es cancelativo y satisface una denominada "condición poliédrica". Los dos teoremas de encajabilidad de Malcev y Lambek se compararon en (Bush 1963) y luego fueron revisados y generalizados por (Johnstone 2008), quien también explicó la estrecha relación entre el problema de encajabilidad de semigrupos y el problema más general de encajar una categoría en un grupoide .