Epigrupo

En álgebra abstracta , un epigrupo es un semigrupo en el que cada elemento tiene una potencia que pertenece a un subgrupo . Formalmente , para todo x en un semigrupo S , existe un entero positivo n y un subgrupo G de S tal que x ⁿ pertenece a  G.

Los epigrupos se conocen por una amplia variedad de otros nombres, incluidos semigrupo cuasiperiódico , semigrupo ligado a un grupo , semigrupo completamente π-regular, semigrupo fuertemente π-regular ( sπr ^[1] ), ^[2] o simplemente semigrupo π-regular ^[3] (aunque este último es ambiguo).

De manera más general, en un semigrupo arbitrario, un elemento se denomina ligado al grupo si tiene una potencia que pertenece a un subgrupo.

Los epigrupos tienen aplicaciones en la teoría de anillos . Muchas de sus propiedades se estudian en este contexto. ^[4]

Los epigrupos fueron estudiados por primera vez por Douglas Munn en 1961, quien los llamó pseudoinvertibles . ^[5]

Propiedades

• Los epigrupos son una generalización de los semigrupos periódicos , ^[6] por lo tanto, todos los semigrupos finitos también son epigrupos.
• La clase de epigrupos también contiene todos los semigrupos completamente regulares y todos los semigrupos completamente 0-simples . ^[5]
• Todos los epigrupos son también eventualmente semigrupos regulares . ^[7] (también conocidos como semigrupos π-regulares)
• Un epigrupo cancelativo es un grupo . ^[8]
• Las relaciones de Green D y J coinciden para cualquier epigrupo. ^[9]
• Si S es un epigrupo, cualquier subsemigrupo regular de S también es un epigrupo. ^[1]
• En un epigrupo, el orden Nambooripad (tal como lo extendió PR Jones) y el orden parcial natural (de Mitsch) coinciden. ^[10]

Ejemplos

• El semigrupo de todas las matrices cuadradas de un tamaño dado sobre un anillo de división es un epigrupo. ^[5]
• El semigrupo multiplicativo de cada anillo artiniano semisimple es un epigrupo. ^{[4] : 5}
• Cualquier semigrupo algebraico es un epigrupo.

Estructura

Por analogía con los semigrupos periódicos, un epigrupo S se divide en clases dadas por sus idempotentes , que actúan como identidades para cada subgrupo. Para cada idempotente e de S , el conjunto: se denomina clase unipotencial (mientras que para los semigrupos periódicos el nombre habitual es clase de torsión). ^[5] ${\displaystyle K_{e}=\{x\in S\mid \exists n>0:x^{n}\in G_{e}\}}$

Los subsemigrupos de un epigrupo no necesitan ser epigrupos, pero si lo son, entonces se llaman subepigrupos. Si un epigrupo S tiene una partición en subepigrupos unipotentes (es decir, cada uno contiene un solo idempotente), entonces esta partición es única, y sus componentes son precisamente las clases de unipotencia definidas anteriormente; un epigrupo de este tipo se llama unipotentemente divisible . Sin embargo, no todos los epigrupos tienen esta propiedad. Un contraejemplo simple es el semigrupo de Brandt con cinco elementos B ₂ porque la clase de unipotencia de su elemento cero no es un subsemigrupo. B ₂ es en realidad el epigrupo por excelencia que no es unipotentemente divisible. Un epigrupo es unipotentemente divisible si y solo si no contiene ningún subsemigrupo que sea una extensión ideal de un epigrupo unipotente por B ₂ . ^[5]

Véase también

Clases especiales de semigrupos

Referencias

1. Lex E. Renner (2005). Monoides algebraicos lineales. Springer. págs. 27-28. ISBN 978-3-540-24241-3.
2. AV Kelarev, Aplicaciones de epigrupos a la teoría de anillos graduados , Semigroup Forum , Volumen 50, Número 1 (1995), 327–350 doi :10.1007/BF02573530
3. Eric Jespers; Jan Okninski (2007). Álgebras de semigrupos noetherianos. Springer. pág. 16. ISBN 978-1-4020-5809-7.
4. Andrei V. Kelarev (2002). Construcciones de anillos y aplicaciones . World Scientific. ISBN 978-981-02-4745-4.
5. Lev N. Shevrin (2002). "Epigrupos". En Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev y Günter Pilz (ed.). The Concise Handbook of Algebra. Springer. págs. 23–26. ISBN 978-0-7923-7072-7.
6. Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.
7. Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 50. ISBN 978-0-19-853577-5.
8. Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 12. ISBN 978-0-19-853577-5.
9. Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 28. ISBN 978-0-19-853577-5.
10. Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Oxford University Press. pág. 48. ISBN 978-0-19-853577-5.