En matemáticas, un semigrupo compacto es un semigrupo en el que los conjuntos de soluciones de ecuaciones pueden describirse mediante conjuntos finitos de ecuaciones. El término "compacto" no se refiere aquí a ninguna topología del semigrupo.
Sea S un semigrupo y X un conjunto finito de letras. Un sistema de ecuaciones es un subconjunto E del producto cartesiano X ∗ × X ∗ del monoide libre (cuerdas finitas) sobre X consigo mismo. El sistema E es satisfacible en S si existe una función f de X a S , que se extiende a un morfismo de semigrupo f de X + a S , tal que para todo ( u , v ) en E tenemos f ( u ) = f ( v ) en S . Tal f es una solución , o asignación satisfactoria , para el sistema E . [1]
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de asignaciones satisfactorias. Un sistema de ecuaciones es independiente si no es equivalente a un subconjunto propio de sí mismo. [1] Un semigrupo es compacto si cada sistema de ecuaciones independiente es finito. [2]
La clase de semigrupos compactos no forma una variedad ecuacional . Sin embargo, una variedad de monoides tiene la propiedad de que todos sus miembros son compactos si y solo si todos los miembros finitamente generados satisfacen la condición máxima de congruencias (cualquier familia de congruencias, ordenada por inclusión, tiene un elemento máximo). [8]