Medición en mecánica cuántica

Interacción de un sistema cuántico con un observador clásico

En física cuántica , una medición es la prueba o manipulación de un sistema físico para obtener un resultado numérico. Una característica fundamental de la teoría cuántica es que las predicciones que realiza son probabilísticas . El procedimiento para hallar una probabilidad implica combinar un estado cuántico , que describe matemáticamente un sistema cuántico, con una representación matemática de la medición que se realizará en ese sistema. La fórmula para este cálculo se conoce como la regla de Born . Por ejemplo, una partícula cuántica como un electrón puede describirse mediante un estado cuántico que asocia a cada punto del espacio un número complejo llamado amplitud de probabilidad . La aplicación de la regla de Born a estas amplitudes da las probabilidades de que el electrón se encuentre en una región u otra cuando se realiza un experimento para localizarlo. Esto es lo mejor que puede hacer la teoría; no puede decir con certeza dónde se encontrará el electrón. El mismo estado cuántico también puede usarse para hacer una predicción de cómo se moverá el electrón , si se realiza un experimento para medir su momento en lugar de su posición. El principio de incertidumbre implica que, cualquiera que sea el estado cuántico, el rango de predicciones para la posición del electrón y el rango de predicciones para su momento no pueden ser ambos estrechos. Algunos estados cuánticos implican una predicción casi segura del resultado de una medición de posición, pero el resultado de una medición de momento será altamente impredecible, y viceversa. Además, el hecho de que la naturaleza viole las condiciones estadísticas conocidas como desigualdades de Bell indica que la imprevisibilidad de los resultados de las mediciones cuánticas no puede explicarse como resultado de la ignorancia acerca de las " variables ocultas locales " dentro de los sistemas cuánticos.

La medición de un sistema cuántico generalmente cambia el estado cuántico que describe ese sistema. Esta es una característica central de la mecánica cuántica, que es a la vez matemáticamente intrincada y conceptualmente sutil. Las herramientas matemáticas para hacer predicciones sobre qué resultados de medición pueden ocurrir y cómo pueden cambiar los estados cuánticos se desarrollaron durante el siglo XX y hacen uso del álgebra lineal y el análisis funcional . La física cuántica ha demostrado ser un éxito empírico y tener una amplia aplicabilidad. Sin embargo, en un nivel más filosófico , continúan los debates sobre el significado del concepto de medición.

Formalismo matemático

"Observables" como operadores autoadjuntos

En mecánica cuántica, cada sistema físico está asociado con un espacio de Hilbert , cada elemento del cual representa un estado posible del sistema físico. El enfoque codificado por John von Neumann representa una medición sobre un sistema físico por un operador autoadjunto en ese espacio de Hilbert denominado "observable". ^{[1] : 17} Estos observables juegan el papel de cantidades mensurables familiares de la física clásica: posición, momento , energía , momento angular , etc. La dimensión del espacio de Hilbert puede ser infinita, como lo es para el espacio de funciones integrables al cuadrado en una línea, que se utiliza para definir la física cuántica de un grado de libertad continuo. Alternativamente, el espacio de Hilbert puede ser de dimensión finita, como ocurre con los grados de libertad de espín . Muchos tratamientos de la teoría se centran en el caso de dimensión finita, ya que las matemáticas involucradas son algo menos exigentes. De hecho, los textos introductorios de física sobre mecánica cuántica a menudo pasan por alto tecnicismos matemáticos que surgen para observables de valor continuo y espacios de Hilbert de dimensión infinita, como la distinción entre operadores acotados e ilimitados ; cuestiones de convergencia (si el límite de una secuencia de elementos del espacio de Hilbert también pertenece al espacio de Hilbert), posibilidades exóticas para conjuntos de valores propios, como los conjuntos de Cantor ; y así sucesivamente. ^{[2] : 79  [3]} Estos problemas se pueden resolver satisfactoriamente utilizando la teoría espectral ; ^{[2] : 101} el presente artículo los evitará siempre que sea posible.

Medición proyectiva

Los vectores propios de un observable de von Neumann forman una base ortonormal para el espacio de Hilbert, y cada resultado posible de esa medición corresponde a uno de los vectores que componen la base. Un operador de densidad es un operador semidefinido positivo en el espacio de Hilbert cuya traza es igual a 1. ^{[1] [2]} Para cada medición que se pueda definir, la distribución de probabilidad sobre los resultados de esa medición se puede calcular a partir del operador de densidad. El procedimiento para hacerlo es la regla de Born , que establece que

${\displaystyle P(x_{i})=\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho ),}$

donde es el operador de densidad, y es el operador de proyección sobre el vector base correspondiente al resultado de la medición . El promedio de los valores propios de un observable de von Neumann, ponderado por las probabilidades de la regla de Born, es el valor esperado de ese observable. Para un observable , el valor esperado dado un estado cuántico es ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Pi _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (A\rho ).}$

Un operador de densidad que es una proyección de rango 1 se conoce como un estado cuántico puro , y todos los estados cuánticos que no son puros se designan mixtos . Los estados puros también se conocen como funciones de onda . Asignar un estado puro a un sistema cuántico implica certeza sobre el resultado de alguna medición en ese sistema (es decir, para algún resultado ). Cualquier estado mixto puede escribirse como una combinación convexa de estados puros, aunque no de una manera única . ^[4] El espacio de estados de un sistema cuántico es el conjunto de todos los estados, puros y mixtos, que pueden asignarse a él. ${\displaystyle P(x)=1}$ ${\displaystyle x}$

La regla de Born asocia una probabilidad a cada vector unitario en el espacio de Hilbert, de tal manera que estas probabilidades suman 1 para cualquier conjunto de vectores unitarios que comprendan una base ortonormal. Además, la probabilidad asociada a un vector unitario es una función del operador de densidad y del vector unitario, y no de información adicional como una elección de la base en la que se insertará ese vector. El teorema de Gleason establece lo inverso: todas las asignaciones de probabilidades a vectores unitarios (o, equivalentemente, a los operadores que se proyectan sobre ellos) que satisfacen estas condiciones toman la forma de aplicar la regla de Born a algún operador de densidad. ^{[5] [6] [7]}

Medición generalizada (POVM)

En el análisis funcional y la teoría de la medición cuántica, una medida con valor de operador positivo (POVM) es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert . Las POVM son una generalización de las medidas con valor de proyección (PVM) y, en consecuencia, las mediciones cuánticas descritas por POVM son una generalización de la medición cuántica descrita por PVM. En una analogía aproximada, una POVM es a una PVM lo que un estado mixto es a un estado puro. Los estados mixtos son necesarios para especificar el estado de un subsistema de un sistema más grande (ver el teorema de Schrödinger–HJW ); análogamente, las POVM son necesarias para describir el efecto en un subsistema de una medición proyectiva realizada en un sistema más grande. Las POVM son el tipo de medición más general en la mecánica cuántica, y también se pueden utilizar en la teoría cuántica de campos . ^[8] Se utilizan ampliamente en el campo de la información cuántica .

En el caso más simple, de un POVM con un número finito de elementos que actúan en un espacio de Hilbert de dimensión finita , un POVM es un conjunto de matrices semidefinidas positivas en un espacio de Hilbert que suman la matriz identidad , ^{[9] : 90} ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

En mecánica cuántica, el elemento POVM está asociado con el resultado de la medición , de modo que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición en el estado cuántico viene dada por ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

donde es el operador de traza . Cuando el estado cuántico que se mide es un estado puro, esta fórmula se reduce a ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

Cambio de estado debido a la medición

Una medición sobre un sistema cuántico generalmente provocará un cambio del estado cuántico de ese sistema. Escribir un POVM no proporciona la información completa necesaria para describir este proceso de cambio de estado. ^{[10] : 134} Para remediar esto, se especifica más información descomponiendo cada elemento del POVM en un producto:

${\displaystyle E_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}.}$

Los operadores de Kraus , llamados así por Karl Kraus , proporcionan una especificación del proceso de cambio de estado. ^[a] No son necesariamente autoadjuntos, pero los productos sí lo son. Si al realizar la medición se obtiene el resultado, entonces el estado inicial se actualiza a ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}^{\dagger }A_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\mathrm {Prob} (i)}}={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (\rho E_{i})}}.}$

Un caso especial importante es la regla de Lüders, llamada así por Gerhart Lüders . ^{[16] [17]} Si el POVM es en sí mismo un PVM, entonces los operadores de Kraus pueden tomarse como los proyectores sobre los espacios propios del observable de von Neumann:

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {\Pi _{i}\rho \Pi _{i}}{\operatorname {tr} (\rho \Pi _{i})}}.}$

Si el estado inicial es puro y los proyectores tienen rango 1, se pueden escribir como proyectores sobre los vectores y , respectivamente. La fórmula se simplifica así: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Pi _{i}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |i\rangle }$

${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |\to \rho '={\frac {|i\rangle \langle i|\psi \rangle \langle \psi |i\rangle \langle i|}{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.}$

La regla de Lüders se ha conocido históricamente como la "reducción del paquete de ondas" o el " colapso de la función de onda ". ^{[17] [18] [19]} El estado puro implica una predicción de probabilidad uno para cualquier observable de von Neumann que tenga como vector propio. Los textos introductorios sobre la teoría cuántica a menudo expresan esto diciendo que si una medición cuántica se repite en rápida sucesión, se producirá el mismo resultado en ambas ocasiones. Esto es una simplificación excesiva, ya que la implementación física de una medición cuántica puede implicar un proceso como la absorción de un fotón; después de la medición, el fotón no existe para ser medido nuevamente. ^{[9] : 91} ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |i\rangle }$

Podemos definir un mapa lineal, que preserve la traza y completamente positivo , sumando todos los posibles estados posteriores a la medición de un POVM sin la normalización:

${\displaystyle \rho \to \sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }.}$

Es un ejemplo de un canal cuántico , ^{[10] : 150} y puede interpretarse como la expresión de cómo cambia un estado cuántico si se realiza una medición pero se pierde el resultado de esa medición. ^{[10] : 159}

Ejemplos

Representación de estados en la esfera de Bloch (en azul) y POVM óptimo (en rojo) para discriminación de estados cuánticos inequívoca ^[20] en los estados y . Nótese que en la esfera de Bloch los estados ortogonales son antiparalelos. ${\displaystyle |\psi \rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$

El ejemplo prototípico de un espacio de Hilbert de dimensión finita es un qubit , un sistema cuántico cuyo espacio de Hilbert es bidimensional. Un estado puro para un qubit puede escribirse como una combinación lineal de dos estados base ortogonales y con coeficientes complejos: ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

Una medición en la base producirá un resultado con probabilidad y un resultado con probabilidad , por lo que mediante la normalización, ${\displaystyle (|0\rangle ,|1\rangle )}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\beta |^{2}}$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1.}$

Un estado arbitrario para un qubit se puede escribir como una combinación lineal de las matrices de Pauli , que proporcionan una base para las matrices autoadjuntas: ^{[10] : 126} ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

donde los números reales son las coordenadas de un punto dentro de la bola unitaria y ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Los elementos POVM se pueden representar de la misma manera, aunque la traza de un elemento POVM no está fijada a igual a 1. Las matrices de Pauli no tienen traza y son ortogonales entre sí con respecto al producto interno de Hilbert-Schmidt , y por lo tanto las coordenadas del estado son los valores esperados de las tres mediciones de von Neumann definidas por las matrices de Pauli. ^{[10] : 126} Si dicha medición se aplica a un qubit, entonces por la regla de Lüders, el estado se actualizará al vector propio de esa matriz de Pauli correspondiente al resultado de la medición. Los vectores propios de son los estados base y , y una medición de a menudo se denomina una medición en la "base computacional". ^{[10] : 76} Después de una medición en la base computacional, el resultado de una o medición es máximamente incierto. ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

Un par de qubits juntos forman un sistema cuyo espacio de Hilbert es de cuatro dimensiones. Una medida de von Neumann significativa en este sistema es la definida por la base de Bell , ^{[21] : 36} un conjunto de cuatro estados máximamente entrelazados :

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Phi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Phi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Psi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\\|\Psi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\end{aligned}}}$

Densidad de probabilidad para el resultado de una medición de posición dado el estado propio de energía de un oscilador armónico 1D. ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle |n\rangle }$

Un ejemplo común y útil de mecánica cuántica aplicada a un grado continuo de libertad es el oscilador armónico cuántico . ^{[22] : 24} Este sistema está definido por el hamiltoniano

${\displaystyle {H}={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{x}^{2},}$

donde , el operador de momento y el operador de posición son operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado en la línea real . Los estados propios de energía resuelven la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo : ${\displaystyle {H}}$ ${\displaystyle {p}}$ ${\displaystyle {x}}$

${\displaystyle {H}|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}$

Se puede demostrar que estos valores propios están dados por

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right),}$

y estos valores dan los posibles resultados numéricos de una medición de energía en el oscilador. El conjunto de posibles resultados de una medición de posición en un oscilador armónico es continuo, por lo que las predicciones se expresan en términos de una función de densidad de probabilidad que da la probabilidad del resultado de la medición que se encuentra en el intervalo infinitesimal de a . ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+dx}$

Historia del concepto de medición

La "vieja teoría cuántica"

La antigua teoría cuántica es una colección de resultados de los años 1900-1925 ^[23] que anteceden a la mecánica cuántica moderna . La teoría nunca fue completa ni autoconsistente, sino más bien un conjunto de correcciones heurísticas a la mecánica clásica . ^[24] La teoría ahora se entiende como una aproximación semiclásica ^[25] a la mecánica cuántica moderna. ^[26] Los resultados notables de este período incluyen el cálculo de Planck del espectro de radiación del cuerpo negro , la explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico , el trabajo de Einstein y Debye sobre el calor específico de los sólidos, la prueba de Bohr y van Leeuwen de que la física clásica no puede explicar el diamagnetismo , el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno y la extensión de Arnold Sommerfeld del modelo de Bohr para incluir efectos relativistas .

Experimento de Stern-Gerlach: átomos de plata viajan a través de un campo magnético no homogéneo y se desvían hacia arriba o hacia abajo según su giro; (1) horno, (2) haz de átomos de plata, (3) campo magnético no homogéneo, (4) resultado clásicamente esperado, (5) resultado observado

El experimento de Stern-Gerlach , propuesto en 1921 e implementado en 1922, ^{[27] [28] [29]} se convirtió en un ejemplo prototípico de una medición cuántica que tiene un conjunto discreto de resultados posibles. En el experimento original, se enviaron átomos de plata a través de un campo magnético que variaba espacialmente, que los desvió antes de que chocaran con una pantalla de detector, como un portaobjetos de vidrio. Las partículas con un momento magnético distinto de cero se desvían, debido al gradiente del campo magnético, de una trayectoria recta. La pantalla revela puntos discretos de acumulación, en lugar de una distribución continua, debido al espín cuantizado de las partículas . ^{[30] [31] [32]}

Transición a la “nueva” teoría cuántica

Un artículo de 1925 de Heisenberg , conocido en inglés como " Reinterpretación teórica cuántica de las relaciones cinemáticas y mecánicas ", marcó un momento crucial en la maduración de la física cuántica. ^[33] Heisenberg intentó desarrollar una teoría de los fenómenos atómicos que se basara únicamente en cantidades "observables". En ese momento, y en contraste con la presentación estándar posterior de la mecánica cuántica, Heisenberg no consideraba que la posición de un electrón ligado dentro de un átomo fuera "observable". En cambio, sus principales cantidades de interés eran las frecuencias de la luz emitida o absorbida por los átomos. ^[33]

El principio de incertidumbre data de este período. Con frecuencia se atribuye a Heisenberg, quien introdujo el concepto al analizar un experimento mental en el que se intenta medir simultáneamente la posición y el momento de un electrón . Sin embargo, Heisenberg no dio definiciones matemáticas precisas de lo que significaba la "incertidumbre" en estas mediciones. La declaración matemática precisa del principio de incertidumbre de posición-momento se debe a Kennard , Pauli y Weyl , y su generalización a pares arbitrarios de observables no conmutativos se debe a Robertson y Schrödinger . ^{[34] [35]}

Al escribir y para los operadores autoadjuntos que representan la posición y el momento respectivamente, una desviación estándar de la posición se puede definir como ${\displaystyle {x}}$ ${\displaystyle {p}}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {x}^{2}\rangle -\langle {x}\rangle ^{2}}},}$

y lo mismo para el impulso:

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {p}^{2}\rangle -\langle {p}\rangle ^{2}}}.}$

La relación de incertidumbre de Kennard-Pauli-Weyl es

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$

Esta desigualdad significa que ninguna preparación de una partícula cuántica puede implicar predicciones precisas simultáneas para una medición de posición y para una medición de momento. ^[36] La desigualdad de Robertson generaliza esto al caso de un par arbitrario de operadores autoadjuntos y . El conmutador de estos dos operadores es ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA,}$

y esto proporciona el límite inferior del producto de las desviaciones estándar:

${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [A,B]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.}$

Sustituyendo en la relación de conmutación canónica , expresión postulada por primera vez por Max Born en 1925, ^[37] se recupera el enunciado de Kennard–Pauli–Weyl del principio de incertidumbre. ${\displaystyle [{x},{p}]=i\hbar }$

De la incertidumbre a la ausencia de variables ocultas

La existencia del principio de incertidumbre plantea naturalmente la cuestión de si la mecánica cuántica puede entenderse como una aproximación a una teoría más exacta. ¿Existen " variables ocultas ", más fundamentales que las magnitudes abordadas por la propia teoría cuántica, cuyo conocimiento permitiría realizar predicciones más exactas que las que puede proporcionar la teoría cuántica? Una serie de resultados, el más importante de los cuales es el teorema de Bell , han demostrado que amplias clases de tales teorías de variables ocultas son, de hecho, incompatibles con la física cuántica.

Bell publicó el teorema que ahora se conoce con su nombre en 1964, investigando más profundamente un experimento mental propuesto originalmente en 1935 por Einstein , Podolsky y Rosen . ^{[38] [39]} Según el teorema de Bell, si la naturaleza realmente opera de acuerdo con cualquier teoría de variables ocultas locales , entonces los resultados de una prueba de Bell estarán restringidos de una manera particular y cuantificable. Si una prueba de Bell se realiza en un laboratorio y los resultados no están así restringidos, entonces son inconsistentes con la hipótesis de que existen variables ocultas locales. Tales resultados apoyarían la posición de que no hay forma de explicar los fenómenos de la mecánica cuántica en términos de una descripción más fundamental de la naturaleza que esté más en línea con las reglas de la física clásica . Se han realizado muchos tipos de pruebas de Bell en laboratorios de física, a menudo con el objetivo de mejorar los problemas de diseño experimental o configuración que podrían, en principio, afectar la validez de los hallazgos de pruebas de Bell anteriores. Esto se conoce como "cerrar lagunas en las pruebas de Bell ". Hasta la fecha, las pruebas de Bell han demostrado que la hipótesis de variables ocultas locales es inconsistente con la forma en que se comportan los sistemas físicos. ^{[40] [41]}

Los sistemas cuánticos como dispositivos de medición

El principio de incertidumbre de Robertson-Schrödinger establece que cuando dos observables no conmutan, existe una compensación en la predictibilidad entre ellos. El teorema de Wigner-Araki-Yanase demuestra otra consecuencia de la no conmutatividad: la presencia de una ley de conservación limita la precisión con la que se pueden medir los observables que no conmutan con la cantidad conservada. ^[42] Investigaciones posteriores en esta línea llevaron a la formulación de la información de sesgo de Wigner-Yanase . ^[43]

Históricamente, los experimentos en física cuántica a menudo se han descrito en términos semiclásicos. Por ejemplo, el giro de un átomo en un experimento de Stern-Gerlach podría tratarse como un grado cuántico de libertad, mientras que el átomo se considera como si se moviera a través de un campo magnético descrito por la teoría clásica de las ecuaciones de Maxwell . ^{[2] : 24} Pero los dispositivos utilizados para construir el aparato experimental son en sí mismos sistemas físicos, y por lo tanto la mecánica cuántica también debería ser aplicable a ellos. A partir de la década de 1950, Rosenfeld , von Weizsäcker y otros intentaron desarrollar condiciones de consistencia que expresaran cuándo un sistema mecánico cuántico podía tratarse como un aparato de medición. ^[44] Una propuesta para un criterio sobre cuándo un sistema utilizado como parte de un dispositivo de medición puede modelarse de manera semiclásica se basa en la función de Wigner , una distribución de cuasiprobabilidad que puede tratarse como una distribución de probabilidad en el espacio de fases en aquellos casos en los que es no negativa en todas partes. ^{[2] : 375}

Decoherencia

Un estado cuántico para un sistema imperfectamente aislado generalmente evolucionará para enredarse con el estado cuántico para el entorno. En consecuencia, incluso si el estado inicial del sistema es puro, el estado en un momento posterior, encontrado al tomar la traza parcial del estado conjunto sistema-entorno, será mixto. Este fenómeno de entrelazamiento producido por interacciones sistema-entorno tiende a oscurecer las características más exóticas de la mecánica cuántica que el sistema podría manifestar en principio. La decoherencia cuántica, como se conoce a este efecto, se estudió por primera vez en detalle durante la década de 1970. ^[45] (Investigaciones anteriores sobre cómo se podría obtener la física clásica como un límite de la mecánica cuántica habían explorado el tema de los sistemas imperfectamente aislados, pero el papel del entrelazamiento no se había apreciado por completo. ^[44] ) Una parte significativa del esfuerzo involucrado en la computación cuántica es evitar los efectos nocivos de la decoherencia. ^{[46] [21] : 239}

Para ilustrar esto, denotemos el estado inicial del sistema, el estado inicial del entorno y el hamiltoniano que especifica la interacción entre el sistema y el entorno. El operador de densidad se puede diagonalizar y escribir como una combinación lineal de los proyectores sobre sus vectores propios: ${\displaystyle \rho _{S}}$ ${\displaystyle \rho _{E}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho _{E}}$

${\displaystyle \rho _{E}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|.}$

Expresando la evolución temporal de una duración mediante el operador unitario , el estado del sistema después de esta evolución es ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

${\displaystyle \rho _{S}'={\rm {tr}}_{E}U\left[\rho _{S}\otimes \left(\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\right)\right]U^{\dagger },}$

que evalúa a

${\displaystyle \rho _{S}'=\sum _{ij}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{j}|U|\psi _{i}\rangle \rho _{S}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{i}|U^{\dagger }|\psi _{j}\rangle .}$

Las cantidades circundantes pueden identificarse como operadores de Kraus, y esto define un canal cuántico. ^[45] ${\displaystyle \rho _{S}}$

La especificación de una forma de interacción entre el sistema y el entorno puede establecer un conjunto de "estados punteros", estados para el sistema que son (aproximadamente) estables, aparte de los factores de fase generales, con respecto a las fluctuaciones ambientales. Un conjunto de estados punteros define una base ortonormal preferida para el espacio de Hilbert del sistema. ^{[2] : 423}

Información y computación cuántica

La ciencia de la información cuántica estudia cómo la ciencia de la información y su aplicación como tecnología dependen de los fenómenos mecánico-cuánticos. Comprender la medición en física cuántica es importante para este campo de muchas maneras, algunas de las cuales se analizan brevemente aquí.

Medición, entropía y distinguibilidad

La entropía de von Neumann es una medida de la incertidumbre estadística representada por un estado cuántico. Para una matriz de densidad , la entropía de von Neumann es ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S(\rho )=-{\rm {tr}}(\rho \log \rho );}$

escribiendo en términos de su base de vectores propios, ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}\lambda _{i}|i\rangle \langle i|,}$

La entropía de von Neumann es

${\displaystyle S(\rho )=-\sum _{i}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$

Esta es la entropía de Shannon del conjunto de valores propios interpretados como una distribución de probabilidad, y por lo tanto la entropía de von Neumann es la entropía de Shannon de la variable aleatoria definida al medir en la base propia de . En consecuencia, la entropía de von Neumann se desvanece cuando es pura. ^{[10] : 320} La entropía de von Neumann de se puede caracterizar de manera equivalente como la entropía de Shannon mínima para una medición dado el estado cuántico , con la minimización sobre todos los POVM con elementos de rango 1. ^{[10] : 323} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Muchas otras magnitudes utilizadas en la teoría de la información cuántica también encuentran motivación y justificación en términos de mediciones. Por ejemplo, la distancia traza entre estados cuánticos es igual a la mayor diferencia en probabilidad que esos dos estados cuánticos pueden implicar para un resultado de medición: ^{[10] : 254}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||=\max _{0\leq E\leq I}[{\rm {tr}}(E\rho )-{\rm {tr}}(E\sigma )].}$

De manera similar, la fidelidad de dos estados cuánticos, definida por

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {Tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2},}$

expresa la probabilidad de que un estado pase una prueba para identificar una preparación exitosa del otro. La distancia de traza proporciona límites a la fidelidad a través de las desigualdades de Fuchs–van de Graaf : ^{[10] : 274}

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}.}$

Circuitos cuánticos

Representación de circuitos de medición. La línea única del lado izquierdo representa un cúbit, mientras que las dos líneas del lado derecho representan un bit clásico.

Los circuitos cuánticos son un modelo para la computación cuántica en el que un cálculo es una secuencia de puertas cuánticas seguidas de mediciones. ^{[21] : 93} Las puertas son transformaciones reversibles en un análogo mecánico cuántico de un registro de n bits . Esta estructura análoga se conoce como registro de n qubits . Las mediciones, dibujadas en un diagrama de circuito como diales de puntero estilizados, indican dónde y cómo se obtiene un resultado de la computadora cuántica después de que se ejecutan los pasos del cálculo. Sin pérdida de generalidad , se puede trabajar con el modelo de circuito estándar, en el que el conjunto de puertas son transformaciones unitarias de un solo qubit y puertas NOT controladas en pares de qubits, y todas las mediciones están en la base computacional. ^{[21] : 93  [47]}

Computación cuántica basada en mediciones

La computación cuántica basada en mediciones (MBQC) es un modelo de computación cuántica en el que la respuesta a una pregunta se crea, informalmente hablando, en el acto de medir el sistema físico que sirve como computadora. ^{[21] : 317  [48] [49]}

Tomografía cuántica

La tomografía de estados cuánticos es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de datos que representan los resultados de mediciones cuánticas, se calcula un estado cuántico consistente con esos resultados de medición. ^[50] Se denomina así por analogía con la tomografía , la reconstrucción de imágenes tridimensionales a partir de cortes tomados a través de ellas, como en una tomografía computarizada . La tomografía de estados cuánticos se puede extender a la tomografía de canales cuánticos ^[50] e incluso de mediciones. ^[51]

Metrología cuántica

La metrología cuántica es el uso de la física cuántica para ayudar a la medición de cantidades que, en general, tenían significado en la física clásica, como la explotación de los efectos cuánticos para aumentar la precisión con la que se puede medir una longitud. ^[52] Un ejemplo célebre es la introducción de luz comprimida en el experimento LIGO , que aumentó su sensibilidad a las ondas gravitacionales . ^{[53] [54]}

Implementaciones de laboratorio

La gama de procedimientos físicos a los que se pueden aplicar las matemáticas de la medición cuántica es muy amplia. ^[55] En los primeros años de la materia, los procedimientos de laboratorio implicaban el registro de líneas espectrales , el oscurecimiento de películas fotográficas, la observación de centelleos , la búsqueda de pistas en cámaras de nubes y la audición de clics de contadores Geiger . ^[b] El lenguaje de esta época persiste, como la descripción de los resultados de la medición en abstracto como "clics del detector". ^[57]

El experimento de la doble rendija es una ilustración prototípica de la interferencia cuántica , descrita típicamente usando electrones o fotones. El primer experimento de interferencia que se llevó a cabo en un régimen donde tanto los aspectos ondulatorios como los de partículas del comportamiento de los fotones son significativos fue la prueba de GI Taylor en 1909. Taylor usó pantallas de vidrio ahumado para atenuar la luz que pasaba a través de su aparato, hasta el punto de que, en lenguaje moderno, solo un fotón iluminaría las rendijas del interferómetro a la vez. Registró los patrones de interferencia en placas fotográficas; para la luz más tenue, el tiempo de exposición requerido fue de aproximadamente tres meses. ^{[58] [59]} En 1974, los físicos italianos Pier Giorgio Merli, Gian Franco Missiroli y Giulio Pozzi implementaron el experimento de la doble rendija usando electrones individuales y un tubo de televisión . ^[60] Un cuarto de siglo después, un equipo de la Universidad de Viena realizó un experimento de interferencia con buckybolas , en el que las buckybolas que pasaban a través del interferómetro eran ionizadas por un láser , y los iones luego inducían la emisión de electrones, emisiones que a su vez eran amplificadas y detectadas por un multiplicador de electrones . ^[61]

Los experimentos de óptica cuántica modernos pueden emplear detectores de fotón único . Por ejemplo, en la "prueba BIG Bell" de 2018, varias de las configuraciones de laboratorio utilizaron diodos de avalancha de fotón único . Otra configuración de laboratorio utilizó cúbits superconductores . ^[40] El método estándar para realizar mediciones sobre cúbits superconductores es acoplar un cúbit con un resonador de tal manera que la frecuencia característica del resonador cambie según el estado del cúbit, y detectar este cambio observando cómo reacciona el resonador a una señal de sonda. ^[62]

Interpretaciones de la mecánica cuántica

Niels Bohr y Albert Einstein , retratados aquí en la casa de Paul Ehrenfest en Leiden (diciembre de 1925), tuvieron una larga disputa colegial sobre lo que implicaba la mecánica cuántica para la naturaleza de la realidad.

A pesar del consenso entre los científicos de que la física cuántica es en la práctica una teoría exitosa, persisten los desacuerdos en un nivel más filosófico. Muchos debates en el área conocida como fundamentos cuánticos se refieren al papel de la medición en la mecánica cuántica. Las preguntas recurrentes incluyen qué interpretación de la teoría de la probabilidad es la más adecuada para las probabilidades calculadas a partir de la regla de Born; y si la aparente aleatoriedad de los resultados de la medición cuántica es fundamental o una consecuencia de un proceso determinista más profundo. ^{[63] [64] [65]} Las visiones del mundo que presentan respuestas a preguntas como estas se conocen como "interpretaciones" de la mecánica cuántica; como dijo una vez el físico N. David Mermin : "Aparecen nuevas interpretaciones cada año. Ninguna desaparece nunca". ^[66]

Una preocupación central dentro de los fundamentos cuánticos es el " problema de la medición cuántica ", aunque la forma en que se delimita este problema y si debe contarse como una sola cuestión o como múltiples cuestiones separadas son temas controvertidos. ^{[56] [67]} De interés principal es la aparente disparidad entre tipos aparentemente distintos de evolución del tiempo. Von Neumann declaró que la mecánica cuántica contiene "dos tipos fundamentalmente diferentes" de cambio de estado cuántico. ^{[68] : §V.1} Primero, están aquellos cambios que involucran un proceso de medición, y segundo, está la evolución temporal unitaria en ausencia de medición. La primera es estocástica y discontinua, escribe von Neumann, y la segunda determinista y continua. Esta dicotomía ha marcado el tono para muchos debates posteriores. ^{[69] [70]} Algunas interpretaciones de la mecánica cuántica encuentran desagradable la dependencia de dos tipos diferentes de evolución del tiempo y consideran la ambigüedad de cuándo invocar uno u otro como una deficiencia de la forma en que la teoría cuántica fue presentada históricamente. ^[71] Para reforzar estas interpretaciones, sus defensores han trabajado para derivar formas de considerar la "medición" como un concepto secundario y deducir el efecto aparentemente estocástico de los procesos de medición como aproximaciones a dinámicas deterministas más fundamentales. Sin embargo, no se ha logrado un consenso entre los defensores de la forma correcta de implementar este programa, y ​​en particular cómo justificar el uso de la regla de Born para calcular probabilidades. ^{[72] [73]} Otras interpretaciones consideran los estados cuánticos como información estadística sobre los sistemas cuánticos, afirmando así que los cambios abruptos y discontinuos de los estados cuánticos no son problemáticos, simplemente reflejan actualizaciones de la información disponible. ^{[55] [74]} De esta línea de pensamiento, Bell preguntó, " ¿Información de quién ? ¿Información sobre qué ?" ^[71] Las respuestas a estas preguntas varían entre los defensores de las interpretaciones orientadas a la información. ^{[64] [74]}

Véase también

• Los experimentos mentales de Einstein
• Teorema de Holevo
• Corrección de errores cuánticos
• Límite cuántico
• Lógica cuántica
• Efecto cuántico Zenón
• El gato de Schrödinger
• SIC-POVM

Notas

1. Hellwig y Kraus ^{[11] [12]} introdujeron originalmente operadores con dos índices, , de modo que . El índice adicional no afecta el cálculo de la probabilidad del resultado de la medición, pero sí desempeña un papel en la regla de actualización de estado, siendo el estado posterior a la medición ahora proporcional a . Esto puede considerarse como la representación de una granulación gruesa de múltiples resultados de un POVM de granularidad más fina. ^{[13] [14] [15]} Los operadores de Kraus con dos índices también aparecen en modelos generalizados de interacción sistema-entorno. ^{[9] : 364} ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{j}A_{ij}A_{ij}^{\dagger }=E_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{j}A_{ij}^{\dagger }\rho A_{ij}}$ ${\displaystyle \textstyle E_{i}}$
2. Las placas de vidrio utilizadas en el experimento de Stern-Gerlach no se oscurecieron adecuadamente hasta que Stern sopló sobre ellas, exponiéndolas accidentalmente al azufre de sus cigarros baratos. ^{[31] [56]}

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Lectura adicional

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• Braginsky, Vladimir B. ; Khalili, Farid Ya. (1992). Medición cuántica . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41928-4.
• Greenstein, George S.; Zajonc, Arthur G. (2006). El desafío cuántico: investigación moderna sobre los fundamentos de la mecánica cuántica (2.ª ed.). ISBN 978-0763724702.
• Alter, Orly; Yamamoto, Yoshihisa (2001). Medición cuántica de un sistema único . Nueva York: Wiley. doi :10.1002/9783527617128. ISBN 9780471283089.
• Jordan, Andrew N.; Siddiqi, Irfan A. (2024). Medición cuántica: teoría y práctica . Cambridge University Press. ISBN 978-1009100069.