Ley de Planck

Spectral density of light emitted by a black body

La ley de Planck describe con precisión la radiación del cuerpo negro. Aquí se muestra una familia de curvas para diferentes temperaturas. La curva clásica (negra) diverge de la intensidad observada en frecuencias altas (longitudes de onda cortas). Fórmula en unidades cgs

En física , la ley de Planck (también ley de radiación de Planck ^{[1] : 1305} ) describe la densidad espectral de la radiación electromagnética emitida por un cuerpo negro en equilibrio térmico a una temperatura dada T , cuando no hay flujo neto de materia o energía entre el cuerpo y su entorno. ^[2]

A finales del siglo XIX, los físicos no pudieron explicar por qué el espectro observado de la radiación del cuerpo negro , que para entonces había sido medido con precisión, divergía significativamente a frecuencias más altas de lo predicho por las teorías existentes. En 1900, el físico alemán Max Planck derivó heurísticamente una fórmula para el espectro observado al suponer que un oscilador hipotético cargado eléctricamente en una cavidad que contenía radiación de cuerpo negro solo podía cambiar su energía en un incremento mínimo, E , que era proporcional a la frecuencia de su onda electromagnética asociada . Si bien Planck originalmente consideró la hipótesis de dividir la energía en incrementos como un artificio matemático, introducido simplemente para obtener la respuesta correcta, otros físicos, incluido Albert Einstein, se basaron en su trabajo, y ahora se reconoce que la idea de Planck es de importancia fundamental para la teoría cuántica .

La ley

Cada cuerpo físico emite espontáneamente y continuamente radiación electromagnética y la radiancia espectral de un cuerpo, B _ν , describe la potencia emisiva espectral por unidad de área, por unidad de ángulo sólido y por unidad de frecuencia para frecuencias de radiación particulares. La relación dada por la ley de radiación de Planck, dada a continuación, muestra que al aumentar la temperatura, la energía radiada total de un cuerpo aumenta y el pico del espectro emitido se desplaza a longitudes de onda más cortas. ^[3] Según la ley de distribución de Planck, la densidad de energía espectral (energía por unidad de volumen por unidad de frecuencia) a una temperatura dada está dada por: ^{[4] [5]} alternativamente, la ley puede expresarse para la radiancia espectral de un cuerpo para la frecuencia ν a la temperatura absoluta T dada como: ^{[6] [7] [8]} donde k _B es la constante de Boltzmann , h es la constante de Planck y c es la velocidad de la luz en el medio, ya sea material o vacío. Las unidades cgs de la radiancia espectral B _ν son erg · s ⁻¹ · sr ⁻¹ · cm ⁻² · Hz ⁻¹ . Los términos B y u están relacionados entre sí por un factor de ⁠ $${\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$$ $${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$$ 4π/do⁠ ya que B es independiente de la dirección y la radiación viaja a una velocidad c . La radiancia espectral también se puede expresar por unidad de longitud de onda λ en lugar de por unidad de frecuencia. Además, la ley se puede expresar en otros términos, como el número de fotones emitidos a una determinada longitud de onda o la densidad de energía en un volumen de radiación.

En el límite de frecuencias bajas (es decir, longitudes de onda largas), la ley de Planck tiende a la ley de Rayleigh-Jeans , mientras que en el límite de frecuencias altas (es decir, longitudes de onda pequeñas) tiende a la aproximación de Wien .

Max Planck desarrolló la ley en 1900 con solo constantes determinadas empíricamente, y más tarde demostró que, expresada como una distribución de energía, es la única distribución estable para la radiación en equilibrio termodinámico . ^[2] Como distribución de energía, es una de una familia de distribuciones de equilibrio térmico que incluyen la distribución de Bose-Einstein , la distribución de Fermi-Dirac y la distribución de Maxwell-Boltzmann .

Radiación de cuerpo negro

El Sol se asemeja a un radiador de cuerpo negro. Su temperatura efectiva es de aproximadamente5777 K .

Un cuerpo negro es un objeto idealizado que absorbe y emite todas las frecuencias de radiación. Cerca del equilibrio termodinámico , la radiación emitida se describe de forma precisa mediante la ley de Planck y, debido a su dependencia de la temperatura , se dice que la radiación de Planck es radiación térmica, de modo que cuanto mayor es la temperatura de un cuerpo, más radiación emite en cada longitud de onda.

La radiación de Planck tiene una intensidad máxima en una longitud de onda que depende de la temperatura del cuerpo. Por ejemplo, a temperatura ambiente (~300  K ), un cuerpo emite radiación térmica que es principalmente infrarroja e invisible. A temperaturas más altas, la cantidad de radiación infrarroja aumenta y se puede sentir como calor, y se emite más radiación visible, por lo que el cuerpo brilla visiblemente rojo. A temperaturas más altas, el cuerpo es de color amarillo brillante o blanco azulado y emite cantidades significativas de radiación de longitud de onda corta, incluidos los rayos ultravioleta e incluso los rayos X. La superficie del Sol (~6000 K ) emite grandes cantidades de radiación infrarroja y ultravioleta; su emisión alcanza su punto máximo en el espectro visible. Este cambio debido a la temperatura se denomina ley de desplazamiento de Wien .

La radiación de Planck es la mayor cantidad de radiación que cualquier cuerpo en equilibrio térmico puede emitir desde su superficie, cualquiera que sea su composición química o estructura superficial. ^[9] El paso de radiación a través de una interfaz entre medios se puede caracterizar por la emisividad de la interfaz (la relación entre la radiancia real y la radiancia de Planck teórica), generalmente denotada por el símbolo ε . En general, depende de la composición química y la estructura física, de la temperatura, de la longitud de onda, del ángulo de paso y de la polarización . ^[10] La emisividad de una interfaz natural siempre está entre ε = 0 y 1.

Un cuerpo que interactúa con otro medio que tiene ε = 1 y absorbe toda la radiación que incide sobre él se denomina cuerpo negro. La superficie de un cuerpo negro se puede modelar mediante un pequeño orificio en la pared de un gran recinto que se mantiene a una temperatura uniforme con paredes opacas que, en todas las longitudes de onda, no son perfectamente reflectantes. En equilibrio, la radiación dentro de este recinto se describe mediante la ley de Planck, al igual que la radiación que sale del pequeño orificio.

Así como la distribución de Maxwell-Boltzmann es la única distribución de energía de máxima entropía para un gas de partículas materiales en equilibrio térmico, también lo es la distribución de Planck para un gas de fotones . ^{[11] [12]} A diferencia de un gas material donde las masas y el número de partículas juegan un papel, la radiancia espectral, la presión y la densidad de energía de un gas de fotones en equilibrio térmico están completamente determinadas por la temperatura.

Si el gas de fotones no es planckiano, la segunda ley de la termodinámica garantiza que las interacciones (entre fotones y otras partículas o incluso, a temperaturas suficientemente altas, entre los propios fotones) harán que la distribución de energía de los fotones cambie y se aproxime a la distribución de Planck. En este enfoque del equilibrio termodinámico, los fotones se crean o aniquilan en la cantidad adecuada y con las energías adecuadas para llenar la cavidad con una distribución de Planck hasta que alcanzan la temperatura de equilibrio. Es como si el gas fuera una mezcla de subgases, uno para cada banda de longitudes de onda, y cada subgas finalmente alcanza la temperatura común.

La cantidad B _ν ( ν , T ) es la radiancia espectral en función de la temperatura y la frecuencia. Tiene unidades de W · m ⁻² · sr ⁻¹ · Hz ⁻¹ en el sistema SI . Una cantidad infinitesimal de potencia B _ν ( ν , T ) cos θ dA d Ω dν se irradia en la dirección descrita por el ángulo θ desde la normal a la superficie desde el área de superficie infinitesimal dA hacia un ángulo sólido infinitesimal d Ω en una banda de frecuencia infinitesimal de ancho dν centrada en la frecuencia ν . La potencia total irradiada hacia cualquier ángulo sólido es la integral de B _ν ( ν , T ) sobre esas tres cantidades, y está dada por la ley de Stefan-Boltzmann . La radiancia espectral de la radiación planckiana de un cuerpo negro tiene el mismo valor para cada dirección y ángulo de polarización, y por lo tanto se dice que el cuerpo negro es un radiador lambertiano .

Diferentes formas

La ley de Planck se puede encontrar en varias formas, dependiendo de las convenciones y preferencias de los diferentes campos científicos. Las diversas formas de la ley de radiancia espectral se resumen en la siguiente tabla. Las formas de la izquierda se encuentran con mayor frecuencia en campos experimentales , mientras que las de la derecha se encuentran con mayor frecuencia en campos teóricos .

En la formulación del ancho de banda fraccionario, , y la integración es con respecto a . ${\textstyle x={\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}$ ${\textstyle \mathrm {d} (\ln x)=\mathrm {d} (\ln \nu )={\frac {\mathrm {d} \nu }{\nu }}=-{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\lambda }}=-\mathrm {d} (\ln \lambda )}$

La ley de Planck también se puede escribir en términos de la densidad de energía espectral ( u ) multiplicando B por ⁠4π/do⁠ : ^[17] $${\displaystyle u_{i}(T)={\frac {4\pi }{c}}B_{i}(T).}$$

Estas distribuciones representan la radiancia espectral de los cuerpos negros: la potencia emitida desde la superficie emisora, por unidad de área proyectada de la superficie emisora, por unidad de ángulo sólido , por unidad espectral (frecuencia, longitud de onda, número de onda o sus equivalentes angulares, o frecuencia fraccionaria o longitud de onda). Dado que la radiancia es isotrópica (es decir, independiente de la dirección), la potencia emitida en un ángulo con respecto a la normal es proporcional al área proyectada y, por lo tanto, al coseno de ese ángulo según la ley del coseno de Lambert , y no está polarizada .

Correspondencia entre formas de variables espectrales

Las distintas variables espectrales requieren distintas formas correspondientes de expresión de la ley. En general, no es posible realizar conversiones entre las distintas formas de la ley de Planck simplemente sustituyendo una variable por otra, porque esto no tendría en cuenta que las distintas formas tienen unidades diferentes. Las unidades de longitud de onda y frecuencia son recíprocas.

Las formas de expresión correspondientes están relacionadas porque expresan un mismo hecho físico: para un incremento espectral físico particular, se irradia un incremento de energía física particular correspondiente.

Esto es así tanto si se expresa en términos de un incremento de frecuencia, d ν , o, correspondientemente, de longitud de onda, d λ , o de ancho de banda fraccionario, d ν / ν o d λ / λ . La introducción de un signo menos puede indicar que un incremento de frecuencia corresponde a una disminución de la longitud de onda.

Para convertir las formas correspondientes de modo que expresen la misma cantidad en las mismas unidades, multiplicamos por el incremento espectral. Luego, para un incremento espectral particular, se puede escribir el incremento particular de energía física, lo que da como resultado $${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =-B_{\nu }(\nu (\lambda ),T)\,d\nu ,}$$ $${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}B_{\nu }(\nu (\lambda ),T).}$$

Además, ν ( λ ) = ⁠do/la⁠ , de modo que ⁠dν/dλ⁠ = − ⁠do/lambda ²⁠ . La sustitución da la correspondencia entre las formas de frecuencia y longitud de onda, con sus diferentes dimensiones y unidades. ^{[15] [18]} En consecuencia, $${\displaystyle {\frac {B_{\lambda }(T)}{B_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}.}$$

Evidentemente, la posición del pico de la distribución espectral de la ley de Planck depende de la elección de la variable espectral. No obstante, en cierto modo, esta fórmula significa que la forma de la distribución espectral es independiente de la temperatura, según la ley de desplazamiento de Wien, como se detalla más adelante en § Propiedades §§ Percentiles .

La forma de ancho de banda fraccionario está relacionada con las otras formas por ^[16]

${\displaystyle B_{\ln x}=\nu B_{\nu }=\lambda B_{\lambda }}$.

Primera y segunda constantes de radiación

En las variantes anteriores de la ley de Planck, las variantes de longitud de onda y número de onda utilizan los términos 2 hc ² y ⁠alta comarca/k _B⁠ que comprenden solo constantes físicas. En consecuencia, estos términos pueden considerarse como constantes físicas en sí mismos, ^[19] y, por lo tanto, se denominan la primera constante de radiación c _{1 L} y la segunda constante de radiación c ₂ con

c1L = 2hc2_​​^​

y

c ₂ = ⁠alta comarca/k _B⁠ .

Utilizando las constantes de radiación, la variante de longitud de onda de la ley de Planck se puede simplificar y la variante de número de onda se puede simplificar correspondientemente. $${\displaystyle L(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$

Aquí se utiliza L en lugar de B porque es el símbolo SI para radiancia espectral . La L en c _{1 L} se refiere a eso. Esta referencia es necesaria porque la ley de Planck se puede reformular para dar la excitancia radiante espectral M ( λ , T ) en lugar de la radiancia espectral L ( λ , T ) , en cuyo caso c ₁ reemplaza a c _{1 L} , con

c ₁ = 2π hc ² ,

de modo que la ley de Planck para la excitación radiante espectral se puede escribir como $${\displaystyle M(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$

A medida que las técnicas de medición han mejorado, la Conferencia General de Pesas y Medidas ha revisado su estimación de c ₂ ; véase Lugar planckiano § Escala internacional de temperatura para más detalles.

Física

Congelación de osciladores de alta energía

La ley de Planck describe la distribución espectral única y característica de la radiación electromagnética en equilibrio termodinámico, cuando no hay flujo neto de materia o energía. ^[2] Su física se entiende más fácilmente considerando la radiación en una cavidad con paredes opacas rígidas. El movimiento de las paredes puede afectar la radiación. Si las paredes no son opacas, entonces el equilibrio termodinámico no está aislado. Es interesante explicar cómo se alcanza el equilibrio termodinámico. Hay dos casos principales: (a) cuando la aproximación al equilibrio termodinámico es en presencia de materia, cuando las paredes de la cavidad son imperfectamente reflectantes para cada longitud de onda o cuando las paredes son perfectamente reflectantes mientras que la cavidad contiene un pequeño cuerpo negro (este fue el caso principal considerado por Planck); o (b) cuando la aproximación al equilibrio es en ausencia de materia, cuando las paredes son perfectamente reflectantes para todas las longitudes de onda y la cavidad no contiene materia. Para la materia no encerrada en tal cavidad, la radiación térmica se puede explicar aproximadamente mediante el uso apropiado de la ley de Planck.

La física clásica condujo, a través del teorema de equipartición , a la catástrofe ultravioleta , una predicción de que la intensidad total de la radiación del cuerpo negro era infinita. Si se complementa con la suposición clásicamente injustificable de que por alguna razón la radiación es finita, la termodinámica clásica proporciona una explicación de algunos aspectos de la distribución de Planck, como la ley de Stefan-Boltzmann y la ley de desplazamiento de Wien . Para el caso de la presencia de materia, la mecánica cuántica proporciona una buena explicación, como se encuentra a continuación en la sección titulada Coeficientes de Einstein. Este fue el caso considerado por Einstein, y hoy en día se utiliza para la óptica cuántica. ^{[20] [21]} Para el caso de la ausencia de materia, la teoría cuántica de campos es necesaria, porque la mecánica cuántica no relativista con números fijos de partículas no proporciona una explicación suficiente.

Fotones

La explicación teórica cuántica de la ley de Planck considera la radiación como un gas de partículas bosónicas sin masa y sin carga, es decir, fotones, en equilibrio termodinámico . Los fotones se consideran portadores de la interacción electromagnética entre partículas elementales cargadas eléctricamente. El número de fotones no se conserva. Los fotones se crean o aniquilan en la cantidad adecuada y con las energías adecuadas para llenar la cavidad con la distribución de Planck. Para un gas de fotones en equilibrio termodinámico, la densidad de energía interna está completamente determinada por la temperatura; además, la presión está completamente determinada por la densidad de energía interna. Esto es diferente al caso del equilibrio termodinámico para gases materiales, para los cuales la energía interna está determinada no solo por la temperatura, sino también, independientemente, por el número respectivo de las diferentes moléculas, y nuevamente independientemente, por las características específicas de las diferentes moléculas. Para diferentes gases materiales a una temperatura dada, la presión y la densidad de energía interna pueden variar independientemente, porque diferentes moléculas pueden transportar independientemente diferentes energías de excitación.

La ley de Planck surge como un límite de la distribución de Bose-Einstein , la distribución de energía que describe a los bosones no interactivos en equilibrio termodinámico. En el caso de bosones sin masa como los fotones y los gluones , el potencial químico es cero y la distribución de Bose-Einstein se reduce a la distribución de Planck. Existe otra distribución de energía de equilibrio fundamental: la distribución de Fermi-Dirac , que describe a los fermiones , como los electrones, en equilibrio térmico. Las dos distribuciones difieren porque varios bosones pueden ocupar el mismo estado cuántico, mientras que varios fermiones no pueden. A bajas densidades, el número de estados cuánticos disponibles por partícula es grande, y esta diferencia se vuelve irrelevante. En el límite de baja densidad, la distribución de Bose-Einstein y la distribución de Fermi-Dirac se reducen cada una a la distribución de Maxwell-Boltzmann .

Ley de Kirchhoff sobre la radiación térmica

La ley de Kirchhoff sobre la radiación térmica es una explicación sucinta y breve de una situación física complicada. Lo que sigue es un esbozo introductorio de esa situación, y está muy lejos de ser un argumento físico riguroso. El objetivo aquí es únicamente resumir los principales factores físicos de la situación y las conclusiones principales.

Dependencia espectral de la radiación térmica

Existe una diferencia entre la transferencia de calor conductiva y la transferencia de calor radiactiva . La transferencia de calor radiactiva se puede filtrar para que pase solo una banda definida de frecuencias radiactivas.

Es de conocimiento general que cuanto más caliente se vuelve un cuerpo, más calor irradia en cada frecuencia.

En una cavidad de un cuerpo opaco con paredes rígidas que no son perfectamente reflectantes a ninguna frecuencia, en equilibrio termodinámico, sólo hay una temperatura, y ésta debe ser compartida en común por la radiación de todas las frecuencias.

Se pueden imaginar dos cavidades de este tipo, cada una en su propio equilibrio radiativo y termodinámico aislado. Se puede imaginar un dispositivo óptico que permita la transferencia de calor radiativo entre las dos cavidades, filtrado para pasar sólo una banda definida de frecuencias radiativas. Si los valores de las radiancias espectrales de las radiaciones en las cavidades difieren en esa banda de frecuencia, se puede esperar que el calor pase de la más caliente a la más fría. Se podría proponer utilizar esa transferencia de calor filtrada en esa banda para hacer funcionar un motor térmico. Si los dos cuerpos están a la misma temperatura, la segunda ley de la termodinámica no permite que el motor térmico funcione. Se puede inferir que para una temperatura común a los dos cuerpos, los valores de las radiancias espectrales en la banda de paso también deben ser comunes. Esto debe cumplirse para cada banda de frecuencia. ^{[22] [23] [24]} Esto le quedó claro a Balfour Stewart y más tarde a Kirchhoff. Balfour Stewart descubrió experimentalmente que, de todas las superficies, una de color negro de humo emitía la mayor cantidad de radiación térmica para cada calidad de radiación, a juzgar por varios filtros.

Kirchhoff, pensando teóricamente, fue un poco más allá y señaló que esto implicaba que la radiancia espectral, como función de la frecuencia radiativa, de cualquier cavidad en equilibrio termodinámico debía ser una función única y universal de la temperatura. Postuló un cuerpo negro ideal que interactuaba con su entorno de tal manera que absorbía toda la radiación que incidía sobre él. Según el principio de reciprocidad de Helmholtz, la radiación del interior de un cuerpo de este tipo pasaría sin impedimentos, directamente a su entorno sin reflexión en la interfaz. En equilibrio termodinámico, la radiación térmica emitida por un cuerpo de este tipo tendría esa radiancia espectral universal única en función de la temperatura. Esta idea es la raíz de la ley de la radiación térmica de Kirchhoff.

Relación entre absortividad y emisividad

Se puede imaginar un pequeño cuerpo material esférico homogéneo denominado X a una temperatura T _X , que se encuentra en un campo de radiación dentro de una gran cavidad con paredes de material denominado Y a una temperatura T _Y . El cuerpo X emite su propia radiación térmica. A una frecuencia particular ν , la radiación emitida desde una sección transversal particular a través del centro de X en un sentido en una dirección normal a esa sección transversal puede denotarse I _{ν , X} ( T _X ) , característicamente para el material de X . A esa frecuencia ν , la potencia radiativa de las paredes en esa sección transversal en el sentido opuesto en esa dirección puede denotarse I _{ν , Y} ( T _Y ) , para la temperatura de la pared T _Y . Para el material de X , definiendo la absortividad α _{ν , X , Y} ( T _X , T _Y ) como la fracción de esa radiación incidente absorbida por X , esa energía incidente es absorbida a una tasa α _{ν , X , Y} ( T _X , T _Y ) I _{ν , Y} ( T _Y ) .

La tasa q ( ν , T _X , T _Y ) de acumulación de energía en un sentido en la sección transversal del cuerpo puede entonces expresarse $${\displaystyle q(\nu ,T_{X},T_{Y})=\alpha _{\nu ,X,Y}(T_{X},T_{Y})I_{\nu ,Y}(T_{Y})-I_{\nu ,X}(T_{X}).}$$

La idea fundamental de Kirchhoff, mencionada justo arriba, fue que, en equilibrio termodinámico a temperatura T , existe una distribución radiativa universal única, hoy denominada B _ν ( T ) , que es independiente de las características químicas de los materiales X e Y , lo que conduce a una comprensión muy valiosa del equilibrio de intercambio radiativo de cualquier cuerpo, como sigue.

Cuando hay equilibrio termodinámico a temperatura T , la radiación de la cavidad desde las paredes tiene ese valor universal único, de modo que I _{ν , Y} ( T _Y ) = B _ν ( T ) . Además, se puede definir la emisividad ε _{ν , X} ( T _X ) del material del cuerpo X de modo que en equilibrio termodinámico a temperatura T _X = T , se tiene I _{ν , X} ( T _X ) = I _{ν , X} ( T ) = ε _{ν , X} ( T ) B _ν ( T ) .

Cuando prevalece el equilibrio térmico a temperatura T = T _X = T _Y , la tasa de acumulación de energía se desvanece, de modo que q ( ν , T _X , T _Y ) = 0 . De ello se deduce que en el equilibrio termodinámico, cuando T = T _X = T _Y , $${\displaystyle 0=\alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)B_{\nu }(T)-\epsilon _{\nu ,X}(T)B_{\nu }(T).}$$

Kirchhoff señaló que se deduce que en el equilibrio termodinámico, cuando T = T _X = T _Y , $${\displaystyle \alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)=\epsilon _{\nu ,X}(T).}$$

Introduciendo la notación especial α _{ν , X} ( T ) para la absortividad del material X en equilibrio termodinámico a temperatura T (justificado por un descubrimiento de Einstein, como se indica a continuación), se tiene además la igualdad en equilibrio termodinámico. $${\displaystyle \alpha _{\nu ,X}(T)=\epsilon _{\nu ,X}(T)}$$

La igualdad de absortividad y emisividad que se demuestra aquí es específica del equilibrio termodinámico a temperatura T y, en general, no se espera que se mantenga cuando no se dan las condiciones de equilibrio termodinámico. La emisividad y la absortividad son propiedades independientes de las moléculas del material, pero dependen de manera diferente de las distribuciones de estados de excitación molecular en cada ocasión, debido a un fenómeno conocido como "emisión estimulada", que fue descubierto por Einstein. En ocasiones en que el material está en equilibrio termodinámico o en un estado conocido como equilibrio termodinámico local, la emisividad y la absortividad se vuelven iguales. Una radiación incidente muy fuerte u otros factores pueden alterar el equilibrio termodinámico o el equilibrio termodinámico local. El equilibrio termodinámico local en un gas significa que las colisiones moleculares superan con creces la emisión y absorción de luz a la hora de determinar las distribuciones de estados de excitación molecular.

Kirchhoff señaló que no conocía el carácter preciso de B _ν ( T ) , pero creía que era importante averiguarlo. Cuatro décadas después de que Kirchhoff descubriera los principios generales de su existencia y carácter, la contribución de Planck fue determinar la expresión matemática precisa de esa distribución de equilibrio B _ν ( T ) .

Cuerpo negro

En física, se considera un cuerpo negro ideal, aquí denominado B , definido como aquel que absorbe completamente toda la radiación electromagnética que incide sobre él en cada frecuencia ν (de ahí el término "negro"). Según la ley de radiación térmica de Kirchhoff, esto implica que, para cada frecuencia ν , en equilibrio termodinámico a temperatura T , se tiene α _{ν , B} ( T ) = ε _{ν , B} ( T ) = 1 , de modo que la radiación térmica de un cuerpo negro siempre es igual a la cantidad total especificada por la ley de Planck. Ningún cuerpo físico puede emitir radiación térmica que exceda la de un cuerpo negro, ya que si estuviera en equilibrio con un campo de radiación, estaría emitiendo más energía de la que incidía sobre él.

Aunque no existen materiales perfectamente negros, en la práctica se puede aproximar con precisión una superficie negra. ^[2] En cuanto a su interior material, un cuerpo de materia condensada, líquido, sólido o plasma, con una interfaz definida con su entorno, es completamente negro a la radiación si es completamente opaco. Esto significa que absorbe toda la radiación que penetra en la interfaz del cuerpo con su entorno y entra en el cuerpo. Esto no es demasiado difícil de lograr en la práctica. Por otro lado, una interfaz perfectamente negra no se encuentra en la naturaleza. Una interfaz perfectamente negra no refleja radiación, pero transmite todo lo que cae sobre ella, desde ambos lados. La mejor manera práctica de hacer una interfaz efectivamente negra es simular una "interfaz" mediante un pequeño orificio en la pared de una gran cavidad en un cuerpo rígido completamente opaco de material que no refleja perfectamente a ninguna frecuencia, con sus paredes a una temperatura controlada. Más allá de estos requisitos, el material componente de las paredes no tiene restricciones. La radiación que entra en el orificio casi no tiene posibilidad de escapar de la cavidad sin ser absorbida por múltiples impactos con sus paredes. ^[25]

Ley del coseno de Lambert

Como explicó Planck, ^[26] un cuerpo radiante tiene un interior constituido por materia y una interfaz con su medio material vecino contiguo, que suele ser el medio desde el que se observa la radiación procedente de la superficie del cuerpo. La interfaz no está compuesta de materia física, sino que es una concepción teórica, una superficie matemática bidimensional, una propiedad conjunta de los dos medios contiguos, que en sentido estricto no pertenece a ninguno de ellos por separado. Una interfaz de este tipo no puede absorber ni emitir, porque no está compuesta de materia física; pero es el lugar de reflexión y transmisión de la radiación, porque es una superficie de discontinuidad de propiedades ópticas. La reflexión y transmisión de la radiación en la interfaz obedecen al principio de reciprocidad de Stokes-Helmholtz .

En cualquier punto del interior de un cuerpo negro situado en el interior de una cavidad en equilibrio termodinámico a temperatura T la radiación es homogénea, isótropa y no polarizada. Un cuerpo negro absorbe toda la radiación electromagnética que incide sobre él y no refleja ninguna. Según el principio de reciprocidad de Helmholtz, la radiación procedente del interior de un cuerpo negro no se refleja en su superficie, sino que se transmite íntegramente a su exterior. Debido a la isotropía de la radiación en el interior del cuerpo, la radiancia espectral de la radiación transmitida desde su interior hacia su exterior a través de su superficie es independiente de la dirección. ^[27]

Esto se expresa diciendo que la radiación de la superficie de un cuerpo negro en equilibrio termodinámico obedece la ley del coseno de Lambert. ^{[28] [29]} Esto significa que el flujo espectral d Φ( dA , θ , d Ω, dν ) desde un elemento infinitesimal dado de área dA de la superficie emisora ​​real del cuerpo negro, detectado desde una dirección dada que forma un ángulo θ con la normal a la superficie emisora ​​real en dA , en un elemento de ángulo sólido de detección d Ω centrado en la dirección indicada por θ , en un elemento de ancho de banda de frecuencia dν , se puede representar como ^[30] donde L ⁰ ( dA , dν ) denota el flujo, por unidad de área por unidad de frecuencia por unidad de ángulo sólido, que el área dA mostraría si se midiera en su dirección normal θ = 0 . $${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=L^{0}(dA,d\nu )\,dA\,d\nu \,\cos \theta }$$

El factor cos θ está presente porque el área a la que se refiere directamente la radiancia espectral es la proyección, de la superficie de emisión real, sobre un plano perpendicular a la dirección indicada por θ . Esta es la razón del nombre de ley del coseno .

Teniendo en cuenta la independencia de la dirección de la radiancia espectral de la radiación de la superficie de un cuerpo negro en equilibrio termodinámico, se tiene L ⁰ ( dA , dν ) = B _ν ( T ) y por lo tanto $${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=B_{\nu }(T)\,dA\,d\nu \,\cos \theta .}$$

Así, la ley del coseno de Lambert expresa la independencia de la dirección de la radiancia espectral B _ν ( T ) de la superficie de un cuerpo negro en equilibrio termodinámico.

Ley de Stefan-Boltzmann

La potencia total emitida por unidad de área en la superficie de un cuerpo negro ( P ) se puede encontrar integrando el flujo espectral del cuerpo negro encontrado a partir de la ley de Lambert sobre todas las frecuencias y sobre los ángulos sólidos correspondientes a un hemisferio ( h ) por encima de la superficie. $${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{h}d\Omega \,B_{\nu }\cos(\theta )}$$

El ángulo sólido infinitesimal se puede expresar en coordenadas polares esféricas : De modo que: donde se conoce como la constante de Stefan-Boltzmann . ^[31] $${\displaystyle d\Omega =\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi .}$$ $${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,B_{\nu }(T)\cos(\theta )\sin(\theta )=\sigma T^{4}}$$ $${\displaystyle \sigma ={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670400\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}} }$$

Transferencia radiativa

La ecuación de transferencia radiativa describe la forma en que la radiación se ve afectada a medida que viaja a través de un medio material. Para el caso especial en el que el medio material está en equilibrio termodinámico en las proximidades de un punto del medio, la ley de Planck es de especial importancia.

Para simplificar, podemos considerar el estado estacionario lineal, sin dispersión . La ecuación de transferencia radiativa establece que para un haz de luz que recorre una pequeña distancia d s , la energía se conserva: el cambio en la radiancia (espectral) de ese haz ( I _ν ) es igual a la cantidad eliminada por el medio material más la cantidad ganada del medio material. Si el campo de radiación está en equilibrio con el medio material, estas dos contribuciones serán iguales. El medio material tendrá un cierto coeficiente de emisión y coeficiente de absorción .

El coeficiente de absorción α es el cambio fraccionario en la intensidad del haz de luz a medida que recorre la distancia d s , y tiene unidades de longitud ⁻¹ . Se compone de dos partes, la disminución debido a la absorción y el aumento debido a la emisión estimulada . La emisión estimulada es la emisión del cuerpo material que es causada por y es proporcional a la radiación entrante. Se incluye en el término de absorción porque, al igual que la absorción, es proporcional a la intensidad de la radiación entrante. Dado que la cantidad de absorción generalmente variará linealmente con la densidad ρ del material, podemos definir un "coeficiente de absorción de masa" κ _ν = ⁠alfa/ρ⁠ que es una propiedad del propio material. El cambio en la intensidad de un haz de luz debido a la absorción a medida que recorre una pequeña distancia d s será entonces ^[7] $${\displaystyle dI_{\nu }=-\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }\,ds}$$

El "coeficiente de emisión de masa" j _ν es igual a la radiancia por unidad de volumen de un elemento de volumen pequeño dividida por su masa (ya que, al igual que el coeficiente de absorción de masa, la emisión es proporcional a la masa emisora) y tiene unidades de potencia ⋅ ángulo sólido ⁻¹ ⋅ frecuencia ⁻¹ ⋅ densidad ⁻¹ . Al igual que el coeficiente de absorción de masa, también es una propiedad del propio material. El cambio en un haz de luz a medida que atraviesa una pequeña distancia d s será entonces ^[32] $${\displaystyle dI_{\nu }=j_{\nu }\rho \,ds}$$

La ecuación de transferencia radiativa será entonces la suma de estas dos contribuciones: ^[33] $${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=j_{\nu }\rho -\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }.}$$

Si el campo de radiación está en equilibrio con el medio material, entonces la radiación será homogénea (independiente de la posición) de modo que dI _ν = 0 y: que es otro enunciado de la ley de Kirchhoff, que relaciona dos propiedades materiales del medio, y que produce la ecuación de transferencia radiativa en un punto alrededor del cual el medio está en equilibrio termodinámico: $${\displaystyle \kappa _{\nu }B_{\nu }=j_{\nu }}$$ $${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=\kappa _{\nu }\rho (B_{\nu }-I_{\nu }).}$$

Coeficientes de Einstein

El principio de equilibrio detallado establece que, en el equilibrio termodinámico, cada proceso elemental se equilibra mediante su proceso inverso.

En 1916, Albert Einstein aplicó este principio a nivel atómico al caso de un átomo que irradia y absorbe radiación debido a transiciones entre dos niveles de energía particulares, ^[34] lo que proporcionó una visión más profunda de la ecuación de transferencia radiativa y la ley de Kirchhoff para este tipo de radiación. Si el nivel 1 es el nivel de energía inferior con energía E ₁ , y el nivel 2 es el nivel de energía superior con energía E ₂ , entonces la frecuencia ν de la radiación irradiada o absorbida estará determinada por la condición de frecuencia de Bohr: ^{[35] [36]} $${\displaystyle E_{2}-E_{1}=h\nu .}$$

Si n ₁ y n ₂ son las densidades numéricas del átomo en los estados 1 y 2 respectivamente, entonces la tasa de cambio de estas densidades en el tiempo se deberá a tres procesos:

Emisión espontánea

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {spon} }=A_{21}n_{2}}$

Emisión estimulada

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {stim} }=B_{21}n_{2}u_{\nu }}$

Fotoabsorción

${\displaystyle \left({\frac {dn_{2}}{dt}}\right)_{\mathrm {abs} }=B_{12}n_{1}u_{\nu }}$

donde u _ν es la densidad de energía espectral del campo de radiación. Los tres parámetros A ₂₁ , B ₂₁ y B ₁₂ , conocidos como coeficientes de Einstein, están asociados con la frecuencia del fotón ν producida por la transición entre dos niveles de energía (estados). Como resultado, cada línea en un espectro tiene su propio conjunto de coeficientes asociados. Cuando los átomos y el campo de radiación están en equilibrio, la radiancia estará dada por la ley de Planck y, por el principio de equilibrio detallado, la suma de estas tasas debe ser cero: $${\displaystyle 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)-B_{12}n_{1}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)}$$

Como los átomos también están en equilibrio, las poblaciones de los dos niveles están relacionadas por el factor de Boltzmann : donde g ₁ y g ₂ son las multiplicidades de los respectivos niveles de energía. Combinando las dos ecuaciones anteriores con el requisito de que sean válidas a cualquier temperatura se obtienen dos relaciones entre los coeficientes de Einstein: de modo que el conocimiento de un coeficiente dará lugar a los otros dos. $${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-h\nu /k_{\mathrm {B} }T}}$$ $${\displaystyle {\frac {A_{21}}{B_{21}}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}}$$

Para el caso de absorción y emisión isotrópicas, el coeficiente de emisión ( j _ν ) y el coeficiente de absorción ( κ _ν ) definidos en la sección de transferencia radiativa anterior, se pueden expresar en términos de los coeficientes de Einstein. Las relaciones entre los coeficientes de Einstein darán como resultado la expresión de la ley de Kirchhoff expresada en la sección de transferencia radiativa anterior, es decir que $${\displaystyle j_{\nu }=\kappa _{\nu }B_{\nu }.}$$

Estos coeficientes se aplican tanto a los átomos como a las moléculas.

Propiedades

Picos

Las distribuciones B _ν , B _ω , B _ν̃ y B _k alcanzan un pico en una energía de fotón de ^[37] donde W es la función W de Lambert y e es el número de Euler . $${\displaystyle E=\left[3+W\left(-3e^{-3}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.821\ k_{\mathrm {B} }T,}$$

Sin embargo, la distribución B _λ alcanza un pico en una energía diferente ^[37] La ​​razón de esto es que, como se mencionó anteriormente, no se puede pasar de (por ejemplo) B _ν a B _λ simplemente sustituyendo ν por λ . Además, también se debe multiplicar por , lo que desplaza el pico de la distribución a energías más altas. Estos picos son la energía modal de un fotón, cuando se agrupan utilizando contenedores de igual tamaño de frecuencia o longitud de onda, respectivamente. Dividiendo hc ( $${\displaystyle E=\left[5+W\left(-5e^{-5}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 4.965\ k_{\mathrm {B} }T,}$$ ${\textstyle \left|{d\nu }/{d\lambda }\right|=c/{\lambda ^{2}}}$14 387 .770 μm·K ) por esta expresión de energía se obtiene la longitud de onda del pico.

La radiancia espectral en estos picos viene dada por:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\nu ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}x^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\&\approx 1.896\times 10^{-19}{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m^{2}\cdot Hz\cdot sr} }}\times (T/\mathrm {K} )^{3}\\\end{aligned}}}$

con y con ${\displaystyle x=3+W(-3e^{-3}),}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\lambda ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}x^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\&\approx 4.096\times 10^{-6}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}\cdot {\text{sr}}}}\times ~(T/{\text{K}})^{5}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x=5+W(-5e^{-5}).}$

Mientras tanto, la energía promedio de un fotón de un cuerpo negro es donde es la función zeta de Riemann . $${\displaystyle E=\left[{\frac {\pi ^{4}}{30\ \zeta (3)}}\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.701\ k_{\mathrm {B} }T,}$$ ${\displaystyle \zeta }$

Aproximaciones

Gráficos logarítmicos de radiancia vs. frecuencia para la ley de Planck (verde), en comparación con la ley de Rayleigh-Jeans (rojo) y la aproximación de Wien (azul) para un cuerpo negro a una temperatura de 8 mK .

En el límite de frecuencias bajas (es decir, longitudes de onda largas), la ley de Planck se convierte en la ley de Rayleigh-Jeans ^{[38] [39] [40]} o $${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T}$$ $${\displaystyle B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}k_{\mathrm {B} }T}$$

La radiancia aumenta con el cuadrado de la frecuencia, lo que ilustra la catástrofe ultravioleta . En el límite de las frecuencias altas (es decir, las longitudes de onda pequeñas), la ley de Planck tiende a la aproximación de Wien : ^{[40] [41] [42]} o $${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}}}$$ $${\displaystyle B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}.}$$

Percentiles

La ley de desplazamiento de Wien en su forma más fuerte establece que la forma de la ley de Planck es independiente de la temperatura. Por lo tanto, es posible enumerar los puntos percentiles de la radiación total, así como los picos de longitud de onda y frecuencia, en una forma que da la longitud de onda λ cuando se divide por la temperatura T . ^[43] La segunda columna de la siguiente tabla enumera los valores correspondientes de λT , es decir, aquellos valores de x para los cuales la longitud de onda λ es ⁠incógnita/yo⁠ micrómetros en el punto de percentil de radiancia dado por la entrada correspondiente en la primera columna.

Es decir, el 0,01% de la radiación está en una longitud de onda inferior a ⁠910/yo⁠  μm, 20% por debajo ⁠2676/yo⁠ μm , etc. Los picos de longitud de onda y frecuencia están en negrita y ocurren en el 25,0% y el 64,6% respectivamente. El punto del 41,8% es el pico neutral en longitud de onda-frecuencia (es decir, el pico en potencia por unidad de cambio en el logaritmo de longitud de onda o frecuencia). Estos son los puntos en los que funciona la respectiva ley de Planck .1/lambda ⁵⁠ , ν ³ y ⁠el ²/lambda ²⁠ , respectivamente, dividido por exp ( ⁠hν/k _B T⁠ ) ​​− 1 alcanzan sus máximos. La brecha mucho más pequeña en la relación de longitudes de onda entre 0,1% y 0,01% (1110 es 22% más que 910) que entre 99,9% y 99,99% (113374 es 120% más que 51613) refleja la descomposición exponencial de la energía en longitudes de onda cortas (extremo izquierdo) y la descomposición polinómica en longitudes de onda largas.

El pico que se debe utilizar depende de la aplicación. La opción convencional es el pico de longitud de onda al 25,0% dado por la ley de desplazamiento de Wien en su forma débil. Para algunos propósitos, la mediana o el punto del 50% que divide la radiación total en dos mitades puede ser más adecuado. Este último está más cerca del pico de frecuencia que del pico de longitud de onda porque la radiancia cae exponencialmente en longitudes de onda cortas y solo polinómicamente en longitudes de onda largas. El pico neutro ocurre en una longitud de onda más corta que la mediana por la misma razón.

Espectro solar comparado con el cuerpo negro a 5775 K

Comparación con el espectro solar

La radiación solar puede compararse con la radiación de un cuerpo negro a unos 5778 K (pero véase el gráfico). La tabla de la derecha muestra cómo se distribuye la radiación de un cuerpo negro a esta temperatura, y también cómo se distribuye la luz solar a modo de comparación. También se muestra, a modo de comparación, un planeta modelado como un cuerpo negro, que irradia a una temperatura nominal de 288 K (15 °C), como valor representativo de la temperatura altamente variable de la Tierra. Sus longitudes de onda son más de veinte veces las del Sol, tabuladas en la tercera columna en micrómetros (miles de nanómetros).

Es decir, solo el 1% de la radiación del Sol está en longitudes de onda más cortas que 296 nm, y solo el 1% en longitudes de onda más largas que 3728 nm. Expresado en micrómetros, esto pone el 98% de la radiación del Sol en el rango de 0,296 a 3,728 μm. El 98% correspondiente de energía irradiada desde un planeta a 288 K está entre 5,03 y 79,5 μm, muy por encima del rango de la radiación solar (o por debajo si se expresa en términos de frecuencias ν = ⁠do/la⁠ en lugar de longitudes de onda λ ).

Una consecuencia de esta diferencia de más de un orden de magnitud en la longitud de onda entre la radiación solar y la planetaria es que es fácil construir filtros diseñados para dejar pasar una y bloquear la otra. Por ejemplo, las ventanas fabricadas con vidrio ordinario o plástico transparente dejan pasar al menos el 80% de la radiación solar entrante de 5778 K, que está por debajo de 1,2 μm de longitud de onda, mientras que bloquean más del 99% de la radiación térmica saliente de 288 K a partir de 5 μm, longitudes de onda en las que la mayoría de los tipos de vidrio y plástico de espesor adecuado para la construcción son efectivamente opacos.

La radiación del Sol es la que llega a la parte superior de la atmósfera (TOA). Como se puede leer en la tabla, la radiación por debajo de los 400 nm, o ultravioleta , es de alrededor del 8%, mientras que la de más de 700 nm, o infrarroja , comienza en torno al 48% y, por tanto, supone el 52% del total. Por tanto, sólo el 40% de la insolación de la TOA es visible para el ojo humano. La atmósfera desplaza estos porcentajes sustancialmente a favor de la luz visible, ya que absorbe la mayor parte de la radiación ultravioleta y cantidades significativas de infrarrojas.

Derivaciones

Gas fotónico

Consideremos un cubo de lado L con paredes conductoras llenas de radiación electromagnética en equilibrio térmico a temperatura T . Si hay un pequeño agujero en una de las paredes, la radiación emitida por el agujero será característica de un cuerpo negro perfecto . Primero calcularemos la densidad de energía espectral dentro de la cavidad y luego determinaremos la radiancia espectral de la radiación emitida.

En las paredes del cubo, la componente paralela del campo eléctrico y la componente ortogonal del campo magnético deben desaparecer. De manera análoga a la función de onda de una partícula en una caja , se encuentra que los campos son superposiciones de funciones periódicas. Las tres longitudes de onda λ ₁ , λ ₂ y λ ₃ , en las tres direcciones ortogonales a las paredes pueden ser: donde los n _i son números enteros positivos. Para cada conjunto de números enteros n _i hay dos soluciones linealmente independientes (conocidas como modos). Los dos modos para cada conjunto de estos n _i corresponden a los dos estados de polarización del fotón que tiene un espín de 1. Según la teoría cuántica, la energía total de un modo está dada por: $${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}},}$$

El número r puede interpretarse como el número de fotones en el modo. Para r = 0 la energía del modo no es cero. Esta energía de vacío del campo electromagnético es responsable del efecto Casimir . A continuación calcularemos la energía interna de la caja a temperatura absoluta T.

Según la mecánica estadística , la distribución de probabilidad de equilibrio sobre los niveles de energía de un modo particular está dada por: donde usamos la temperatura recíproca El denominador Z ( β ) , es la función de partición de un solo modo. Hace que P _r esté correctamente normalizado y se puede evaluar como con $${\displaystyle P_{r}={\frac {e^{-\beta E\left(r\right)}}{Z\left(\beta \right)}}.}$$ $${\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.}$$ $${\displaystyle Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-\beta \varepsilon /2}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}},}$$

siendo la energía de un solo fotón. La energía promedio en un modo se puede obtener a partir de la función de partición : Esta fórmula, aparte del primer término de energía de vacío, es un caso especial de la fórmula general para partículas que obedecen la estadística de Bose-Einstein . Dado que no hay restricción en el número total de fotones, el potencial químico es cero. $${\displaystyle \left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\log \left(Z\right)}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.}$$

Si medimos la energía relativa al estado fundamental, la energía total en la caja se obtiene sumando ⟨ E ⟩ − ⁠mi/2⁠ sobre todos los estados de fotón único permitidos. Esto se puede hacer exactamente en el límite termodinámico a medida que L se acerca al infinito. En este límite, ε se vuelve continua y luego podemos integrar ⟨ E ⟩ − ⁠mi/2⁠ sobre este parámetro. Para calcular la energía en la caja de esta manera, necesitamos evaluar cuántos estados de fotones hay en un rango de energía dado. Si escribimos el número total de estados de fotón individuales con energías entre ε y ε + dε como g ( ε ) dε , donde g ( ε ) es la densidad de estados (que se evalúa a continuación), entonces la energía total está dada por

Para calcular la densidad de estados reescribimos la ecuación ( 2 ) de la siguiente manera: donde n es la norma del vector n = ( n ₁ , n ₂ , n ₃ ) . $${\displaystyle \varepsilon \ {=}\ {\frac {hc}{2L}}n,}$$

Para cada vector n con componentes enteros mayores o iguales a cero, hay dos estados de fotones. Esto significa que el número de estados de fotones en una determinada región del espacio n es el doble del volumen de esa región. Un rango de energía de dε corresponde a una capa de espesor dn = ⁠2 litros/alta comarca⁠ d ε en el espacio n . Debido a que los componentes de n tienen que ser positivos, esta capa abarca un octante de una esfera. El número de estados de fotones g ( ε ) dε , en un rango de energía dε , está dado por:Insertando esto en la ecuación. ( 3 ) y dividiendo por el volumen V = L ³ da la densidad de energía totaldonde la densidad de energía espectral dependiente de la frecuencia u _ν ( T ) está dada porDado que la radiación es la misma en todas las direcciones y se propaga a la velocidad de la luz, la radiancia espectral de la radiación que sale del pequeño agujero eslo que produce la ley de PlanckOtras formas de la ley se pueden obtener por cambio de variables en la integral de energía total. La derivación anterior se basa en Brehm & Mullin 1989. $${\displaystyle g(\varepsilon )\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon .}$$ $${\displaystyle {\frac {U}{V}}=\int _{0}^{\infty }u_{\nu }(T)\,d\nu ,}$$ $${\displaystyle u_{\nu }(T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}.}$$ $${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {u_{\nu }(T)c}{4\pi }},}$$ $${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}}.}$$

Aproximación dipolar y coeficientes de Einstein

Para el caso no degenerado, los coeficientes A y B se pueden calcular utilizando la aproximación dipolar en la teoría de perturbación dependiente del tiempo en mecánica cuántica. El cálculo de A también requiere una segunda cuantificación, ya que la teoría semiclásica no puede explicar la emisión espontánea que no llega a cero cuando el campo perturbador llega a cero. Las tasas de transición calculadas son (en unidades del SI): ^{[45] [46] [47]}

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{s.emi}={\frac {\omega _{if}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=A_{if}}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{abs}={\frac {u(\omega _{fi})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{abs}u(\omega _{fi})}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{emi}={\frac {u(\omega _{if})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{emi}u(\omega _{if})}$

Tenga en cuenta que la fórmula de la velocidad de transición depende del operador del momento dipolar. Para aproximaciones de orden superior, implica el momento cuadrupolar y otros términos similares. Los coeficientes A y B (que corresponden a la distribución de energía de frecuencia angular) son, por lo tanto:

${\displaystyle A_{ab}={\frac {\omega _{ab}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

${\displaystyle B_{ab}={\frac {\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

donde los coeficientes A y B satisfacen las razones dadas para el caso no degenerado: ${\displaystyle \omega _{ab}={\frac {E_{a}-E_{b}}{\hbar }}}$

${\displaystyle {\frac {B_{12}}{B_{21}}}=1}$y . ${\displaystyle {\frac {A_{if}}{B}}={\frac {\omega _{if}^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}}$

Otra razón útil es la de la distribución de Maxwell, que dice que el número de partículas en un nivel de energía es proporcional al exponente de . Matemáticamente: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \beta E}$

${\displaystyle {\frac {N_{a}}{N_{b}}}={\frac {e^{-E_{a}\beta }}{e^{-E_{b}\beta }}}=e^{\omega _{ba}\hbar \beta }}$

donde y son el número de niveles de energía ocupados de y respectivamente, donde . Entonces, utilizando: ${\displaystyle N_{a}}$ ${\displaystyle N_{b}}$ ${\displaystyle E_{a}}$ ${\displaystyle E_{b}}$ ${\displaystyle E_{b}>E_{a}}$ ${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=-A_{ba}N_{b}-N_{b}u(\omega _{ba})B_{ba}+N_{a}u(\omega _{ba})B_{ab}=-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{s.emi}-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{emi}+N_{a}w_{a\rightarrow b}^{abs}}$

Resolviendo para la condición de equilibrio y utilizando las razones derivadas, obtenemos la Ley de Planck: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=0}$

${\displaystyle u_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\omega \hbar \beta }-1}}}$.

Historia

Balfour Stewart

En 1858, Balfour Stewart describió sus experimentos sobre los poderes de emisión y absorción de radiación térmica de placas pulidas de varias sustancias, en comparación con los poderes de superficies de negro de humo , a la misma temperatura. ^[9] Stewart eligió superficies de negro de humo como referencia debido a varios hallazgos experimentales previos, especialmente los de Pierre Prevost y de John Leslie . Escribió: "El negro de humo, que absorbe todos los rayos que caen sobre él y, por lo tanto, posee el mayor poder de absorción posible, poseerá también el mayor poder de radiación posible".

Stewart midió la potencia radiada con una termopila y un galvanómetro sensible leído con un microscopio. Se interesó en la radiación térmica selectiva, que investigó con placas de sustancias que irradiaban y absorbían selectivamente para diferentes calidades de radiación en lugar de hacerlo de manera máxima para todas las calidades de radiación. Habló de los experimentos en términos de rayos que podían reflejarse y refractarse y que obedecían al principio de reciprocidad de Helmholtz (aunque no utilizó un epónimo para ello). En este artículo no mencionó que las cualidades de los rayos pudieran describirse por sus longitudes de onda, ni utilizó aparatos de resolución espectral como prismas o rejillas de difracción. Su trabajo fue cuantitativo dentro de estas limitaciones. Realizó sus mediciones en un entorno a temperatura ambiente y rápidamente para captar sus cuerpos en una condición cercana al equilibrio térmico en el que habían sido preparados calentándolos hasta el equilibrio con agua hirviendo. Sus mediciones confirmaron que las sustancias que emiten y absorben selectivamente respetan el principio de igualdad selectiva de emisión y absorción en el equilibrio térmico.

Stewart ofreció una prueba teórica de que esto debería ser así por separado para cada calidad seleccionada de radiación térmica, pero sus matemáticas no eran rigurosamente válidas. Según el historiador DM Siegel: "No era un practicante de las técnicas más sofisticadas de la física matemática del siglo XIX; ni siquiera hizo uso de la notación funcional al tratar con distribuciones espectrales". ^[48] No hizo mención de la termodinámica en este artículo, aunque sí se refirió a la conservación de la vis viva . Propuso que sus mediciones implicaban que la radiación era absorbida y emitida por partículas de materia a lo largo de las profundidades de los medios en los que se propagaba. Aplicó el principio de reciprocidad de Helmholtz para explicar los procesos de interfaz material como distintos de los procesos en el material interior. Concluyó que sus experimentos mostraban que, en el interior de un recinto en equilibrio térmico, el calor radiante, reflejado y emitido combinado, que salía de cualquier parte de la superficie, independientemente de su sustancia, era el mismo que habría salido de esa misma porción de la superficie si hubiera estado compuesta de negro de humo. No mencionó la posibilidad de que existan paredes perfectamente reflectantes; en particular, señaló que los metales físicos reales muy pulidos absorben muy ligeramente.

Gustav Kirchhoff

En 1859, sin conocer el trabajo de Stewart, Gustav Robert Kirchhoff informó de la coincidencia de las longitudes de onda de las líneas de absorción y emisión de luz visible resueltas espectralmente. De importancia para la física térmica, también observó que las líneas brillantes o las líneas oscuras eran evidentes dependiendo de la diferencia de temperatura entre el emisor y el absorbedor. ^[49]

Kirchhoff pasó luego a considerar cuerpos que emiten y absorben radiación térmica, en un recinto o cavidad opaca, en equilibrio a temperatura T.

Aquí se utiliza una notación diferente a la de Kirchhoff. Aquí, la potencia de emisión E ( T , i ) denota una cantidad adimensional, la radiación total emitida por un cuerpo etiquetado por el índice i a la temperatura T . La razón de absorción total a ( T , i ) de ese cuerpo es adimensional, la razón entre la radiación absorbida y la radiación incidente en la cavidad a la temperatura T . (A diferencia de la de Balfour Stewart, la definición de razón de absorción de Kirchhoff no se refería en particular a una superficie de humo negro como fuente de la radiación incidente). Por lo tanto, la razón ⁠mi ( t , i )/una ( T , yo )⁠ de la relación entre la potencia de emisión y la absorción es una cantidad dimensionada, con las dimensiones de la potencia de emisión, porque a ( T , i ) es adimensional. También aquí la potencia de emisión específica de la longitud de onda del cuerpo a la temperatura T se denota por E ( λ , T , i ) y la relación de absorción específica de la longitud de onda por a ( λ , T , i ) . Nuevamente, la relación ⁠E ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )La relación entre la potencia de emisión y la absorción es una cantidad dimensionada, con las dimensiones de la potencia de emisión.

En un segundo informe realizado en 1859, Kirchhoff anunció un nuevo principio o ley general para el que ofreció una prueba teórica y matemática, aunque no ofreció mediciones cuantitativas de las potencias de radiación. ^[50] Su prueba teórica fue y todavía es considerada inválida por algunos escritores. ^{[48] [51]} Sin embargo, su principio ha perdurado: era que para rayos de calor de la misma longitud de onda, en equilibrio a una temperatura dada, la relación específica de la longitud de onda de la potencia de emisión a la relación de absorción tiene un mismo valor común para todos los cuerpos que emiten y absorben a esa longitud de onda. En símbolos, la ley establecía que la relación específica de la longitud de onda ⁠E ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )⁠ tiene un mismo valor para todos los cuerpos, es decir, para todos los valores del índice i . En este informe no se hizo mención de los cuerpos negros.

En 1860, aún sin conocer las mediciones de Stewart para calidades seleccionadas de radiación, Kirchhoff señaló que desde hacía mucho tiempo se había establecido experimentalmente que para la radiación térmica total, de calidad no seleccionada, emitida y absorbida por un cuerpo en equilibrio, la relación de radiación total dimensionadami ( t , i )/una ( T , yo )⁠ , tiene un mismo valor común a todos los cuerpos, es decir, para cada valor del índice material i . ^[52] Nuevamente sin mediciones de potencias radiativas u otros nuevos datos experimentales, Kirchhoff ofreció entonces una nueva prueba teórica de su nuevo principio de la universalidad del valor de la relación específica de la longitud de onda ⁠E ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )⁠ en equilibrio térmico. Su nueva prueba teórica fue y sigue siendo considerada inválida por algunos autores. ^{[48] [51]}

Pero lo más importante es que se basaba en un nuevo postulado teórico de los "cuerpos perfectamente negros" , razón por la cual se habla de la ley de Kirchhoff. Estos cuerpos negros mostraban una absorción completa en su superficie más superficial, infinitamente delgada. Correspondían a los cuerpos de referencia de Balfour Stewart, con radiación interna, recubiertos de negro de humo. No eran los cuerpos perfectamente negros más realistas considerados posteriormente por Planck. Los cuerpos negros de Planck irradiaban y absorbían sólo por el material en su interior; sus interfaces con los medios contiguos eran sólo superficies matemáticas, capaces no de absorción ni de emisión, sino sólo de reflexión y transmisión con refracción. ^[53]

La prueba de Kirchhoff consideró un cuerpo arbitrario no ideal denominado i así como varios cuerpos negros perfectos denominados BB . Requería que los cuerpos se mantuvieran en una cavidad en equilibrio térmico a temperatura T . Su prueba pretendía mostrar que la relación ⁠E ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )⁠ era independiente de la naturaleza del cuerpo no ideal, por parcialmente transparente o parcialmente reflectante que fuera.

Su prueba argumentó primero que para la longitud de onda λ y a la temperatura T , en equilibrio térmico, todos los cuerpos perfectamente negros del mismo tamaño y forma tienen el mismo valor común de potencia emisiva E ( λ , T , BB) , con las dimensiones de potencia. Su prueba señaló que la razón de absorción específica de longitud de onda adimensional a ( λ , T , BB) de un cuerpo perfectamente negro es por definición exactamente 1. Entonces, para un cuerpo perfectamente negro, la razón específica de longitud de onda de potencia emisiva a razón de absorción ⁠E ( λ , T , BB)/a ( λ , T , BB)⁠ es de nuevo simplemente E ( λ , T , BB) , con las dimensiones de potencia. Kirchhoff consideró, sucesivamente, el equilibrio térmico con el cuerpo no ideal arbitrario, y con un cuerpo perfectamente negro del mismo tamaño y forma, colocados en su cavidad en equilibrio a temperatura T . Argumentó que los flujos de radiación térmica deben ser los mismos en cada caso. Por tanto, argumentó que en el equilibrio térmico la relación ⁠E ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )⁠ era igual a E ( λ , T , BB) , que ahora puede denotarse B _λ ( λ , T ) , una función continua, dependiente solo de λ a temperatura fija T , y una función creciente de T a longitud de onda fija λ , a bajas temperaturas que se desvanece para longitudes de onda visibles pero no para longitudes de onda más largas, con valores positivos para longitudes de onda visibles a temperaturas más altas, que no depende de la naturaleza i del cuerpo arbitrario no ideal. (Los factores geométricos, tomados en cuenta detalladamente por Kirchhoff, se han ignorado en lo anterior).

Así, la ley de Kirchhoff de la radiación térmica puede enunciarse de la siguiente manera: Para cualquier material, que irradie y absorba en equilibrio termodinámico a cualquier temperatura dada T , para cada longitud de onda λ , la relación entre la potencia emisiva y la potencia absorbente tiene un valor universal, que es característico de un cuerpo negro perfecto, y es una potencia emisiva que aquí representamos por B _λ ( λ , T ) . (Para nuestra notación B _λ ( λ , T ) , la notación original de Kirchhoff era simplemente e .) ^{[7] [52] [54] [55] [56] [57]}

Kirchhoff announced that the determination of the function B_λ (λ, T) was a problem of the highest importance, though he recognized that there would be experimental difficulties to be overcome. He supposed that like other functions that do not depend on the properties of individual bodies, it would be a simple function. That function B_λ (λ, T) has occasionally been called 'Kirchhoff's (emission, universal) function',^{[58][59][60][61]} though its precise mathematical form would not be known for another forty years, till it was discovered by Planck in 1900. The theoretical proof for Kirchhoff's universality principle was worked on and debated by various physicists over the same time, and later.^[51] Kirchhoff stated later in 1860 that his theoretical proof was better than Balfour Stewart's, and in some respects it was so.^[48] Kirchhoff's 1860 paper did not mention the second law of thermodynamics, and of course did not mention the concept of entropy which had not at that time been established. In a more considered account in a book in 1862, Kirchhoff mentioned the connection of his law with "Carnot's principle", which is a form of the second law.^[62]

According to Helge Kragh, "Quantum theory owes its origin to the study of thermal radiation, in particular to the "blackbody" radiation that Robert Kirchhoff had first defined in 1859–1860."^[63]

Empirical and theoretical ingredients for the scientific induction of Planck's law

In 1860, Kirchhoff predicted experimental difficulties for the empirical determination of the function that described the dependence of the black-body spectrum as a function only of temperature and wavelength. And so it turned out. It took some forty years of development of improved methods of measurement of electromagnetic radiation to get a reliable result.^[64]

In 1865, John Tyndall described radiation from electrically heated filaments and from carbon arcs as visible and invisible.^[65] Tyndall spectrally decomposed the radiation by use of a rock salt prism, which passed heat as well as visible rays, and measured the radiation intensity by means of a thermopile.^[66][67]

In 1880, André-Prosper-Paul Crova published a diagram of the three-dimensional appearance of the graph of the strength of thermal radiation as a function of wavelength and temperature.^[68] He determined the spectral variable by use of prisms. He analyzed the surface through what he called "isothermal" curves, sections for a single temperature, with a spectral variable on the abscissa and a power variable on the ordinate. He put smooth curves through his experimental data points. They had one peak at a spectral value characteristic for the temperature, and fell either side of it towards the horizontal axis.^[69][70] Such spectral sections are widely shown even today.

In a series of papers from 1881 to 1886, Langley reported measurements of the spectrum of heat radiation, using diffraction gratings and prisms, and the most sensitive detectors that he could make. He reported that there was a peak intensity that increased with temperature, that the shape of the spectrum was not symmetrical about the peak, that there was a strong fall-off of intensity when the wavelength was shorter than an approximate cut-off value for each temperature, that the approximate cut-off wavelength decreased with increasing temperature, and that the wavelength of the peak intensity decreased with temperature, so that the intensity increased strongly with temperature for short wavelengths that were longer than the approximate cut-off for the temperature.^[71]

Having read Langley, in 1888, Russian physicist V.A. Michelson published a consideration of the idea that the unknown Kirchhoff radiation function could be explained physically and stated mathematically in terms of "complete irregularity of the vibrations of ... atoms".^[72][73] At this time, Planck was not studying radiation closely, and believed in neither atoms nor statistical physics.^[74] Michelson produced a formula for the spectrum for temperature: $${\displaystyle I_{\lambda }=B_{1}\theta ^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {c}{\lambda ^{2}\theta }}\right)\lambda ^{-6},}$$where I_λ denotes specific radiative intensity at wavelength λ and temperature θ, and where B₁ and c are empirical constants.

In 1898, Otto Lummer and Ferdinand Kurlbaum published an account of their cavity radiation source.^[75] Their design has been used largely unchanged for radiation measurements to the present day. It was a platinum box, divided by diaphragms, with its interior blackened with iron oxide. It was an important ingredient for the progressively improved measurements that led to the discovery of Planck's law.^[76] A version described in 1901 had its interior blackened with a mixture of chromium, nickel, and cobalt oxides.^[77]

The importance of the Lummer and Kurlbaum cavity radiation source was that it was an experimentally accessible source of black-body radiation, as distinct from radiation from a simply exposed incandescent solid body, which had been the nearest available experimental approximation to black-body radiation over a suitable range of temperatures. The simply exposed incandescent solid bodies, that had been used before, emitted radiation with departures from the black-body spectrum that made it impossible to find the true black-body spectrum from experiments.^[78][79]

Planck's views before the empirical facts led him to find his eventual law

Planck first turned his attention to the problem of black-body radiation in 1897.^[80]Theoretical and empirical progress enabled Lummer and Pringsheim to write in 1899 that available experimental evidence was approximately consistent with the specific intensity law Cλ⁻⁵e^−c⁄λT where C and c denote empirically measurable constants, and where λ and T denote wavelength and temperature respectively.^[81][82] For theoretical reasons, Planck at that time accepted this formulation, which has an effective cut-off of short wavelengths.^[83][84][85]

Gustav Kirchhoff was Max Planck's teacher and surmised that there was a universal law for blackbody radiation and this was called "Kirchhoff's challenge".^[86] Planck, a theorist, believed that Wilhelm Wien had discovered this law and Planck expanded on Wien's work presenting it in 1899 to the meeting of the German Physical Society. Experimentalists Otto Lummer, Ferdinand Kurlbaum, Ernst Pringsheim Sr., and Heinrich Rubens did experiments that appeared to support Wien's law especially at higher frequency short wavelengths which Planck so wholly endorsed at the German Physical Society that it began to be called the Wien-Planck Law.^[87] However, by September 1900, the experimentalists had proven beyond a doubt that the Wien-Planck law failed at the longer wavelengths. They would present their data on October 19. Planck was informed by his friend Rubens and quickly created a formula within a few days.^[88] In June of that same year, Lord Rayleigh had created a formula that would work for short lower frequency wavelengths based on the widely accepted theory of equipartition.^[89] So Planck submitted a formula combining both Rayleigh's Law (or a similar equipartition theory) and Wien's law which would be weighted to one or the other law depending on wavelength to match the experimental data. However, although this equation worked, Planck himself said unless he could explain the formula derived from a "lucky intuition" into one of "true meaning" in physics, it did not have true significance.^[90] Planck explained that thereafter followed the hardest work of his life. Planck did not believe in atoms, nor did he think the second law of thermodynamics should be statistical because probability does not provide an absolute answer, and Boltzmann's entropy law rested on the hypothesis of atoms and was statistical. But Planck was unable to find a way to reconcile his Blackbody equation with continuous laws such as Maxwell's wave equations. So in what Planck called "an act of desperation",^[91] he turned to Boltzmann's atomic law of entropy as it was the only one that made his equation work. Therefore, he used the Boltzmann constant k and his new constant h to explain the blackbody radiation law which became widely known through his published paper.^[92][93]

Finding the empirical law

Max Planck produced his law on 19 October 1900^[94][95] as an improvement upon the Wien approximation, published in 1896 by Wilhelm Wien, which fit the experimental data at short wavelengths (high frequencies) but deviated from it at long wavelengths (low frequencies).^[41] In June 1900, based on heuristic theoretical considerations, Rayleigh had suggested a formula^[96] that he proposed might be checked experimentally. The suggestion was that the Stewart–Kirchhoff universal function might be of the form c₁Tλ⁻⁴exp(–⁠c₂/λT⁠) . This was not the celebrated Rayleigh–Jeans formula 8πk_BTλ⁻⁴, which did not emerge until 1905,^[38] though it did reduce to the latter for long wavelengths, which are the relevant ones here. According to Klein,^[80] one may speculate that it is likely that Planck had seen this suggestion though he did not mention it in his papers of 1900 and 1901. Planck would have been aware of various other proposed formulas which had been offered.^[64][97] On 7 October 1900, Rubens told Planck that in the complementary domain (long wavelength, low frequency), and only there, Rayleigh's 1900 formula fitted the observed data well.^[97]

For long wavelengths, Rayleigh's 1900 heuristic formula approximately meant that energy was proportional to temperature, U_λ = const. T.^[80][97][98] It is known that ⁠dS/dU_λ⁠ = ⁠1/T⁠ and this leads to ⁠dS/dU_λ⁠ = ⁠const./U_λ⁠ and thence to ⁠d²S/dU_λ²⁠ = −⁠const./U_λ²⁠ for long wavelengths. But for short wavelengths, the Wien formula leads to ⁠1/T⁠ = − const. ln U_λ + const. and thence to ⁠d²S/dU_λ²⁠ = − ⁠const./U_λ⁠ for short wavelengths. Planck perhaps patched together these two heuristic formulas, for long and for short wavelengths,^[97][99] to produce a formula^[94] $${\displaystyle {\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}={\frac {\alpha }{U_{\lambda }(\beta +U_{\lambda })}}.}$$

This led Planck to the formula $${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}},}$$where Planck used the symbols C and c to denote empirical fitting constants.

Planck sent this result to Rubens, who compared it with his and Kurlbaum's observational data and found that it fitted for all wavelengths remarkably well. On 19 October 1900, Rubens and Kurlbaum briefly reported the fit to the data,^[100] and Planck added a short presentation to give a theoretical sketch to account for his formula.^[94] Within a week, Rubens and Kurlbaum gave a fuller report of their measurements confirming Planck's law. Their technique for spectral resolution of the longer wavelength radiation was called the residual ray method. The rays were repeatedly reflected from polished crystal surfaces, and the rays that made it all the way through the process were 'residual', and were of wavelengths preferentially reflected by crystals of suitably specific materials.^{[101][102][103]}

Trying to find a physical explanation of the law

Once Planck had discovered the empirically fitting function, he constructed a physical derivation of this law. His thinking revolved around entropy rather than being directly about temperature. Planck considered a cavity with perfectly reflective walls; inside the cavity, there are finitely many distinct but identically constituted resonant oscillatory bodies of definite magnitude, with several such oscillators at each of finitely many characteristic frequencies. These hypothetical oscillators were for Planck purely imaginary theoretical investigative probes, and he said of them that such oscillators do not need to "really exist somewhere in nature, provided their existence and their properties are consistent with the laws of thermodynamics and electrodynamics.".^[104] Planck did not attribute any definite physical significance to his hypothesis of resonant oscillators but rather proposed it as a mathematical device that enabled him to derive a single expression for the black body spectrum that matched the empirical data at all wavelengths.^[105] He tentatively mentioned the possible connection of such oscillators with atoms. In a sense, the oscillators corresponded to Planck's speck of carbon; the size of the speck could be small regardless of the size of the cavity, provided the speck effectively transduced energy between radiative wavelength modes.^[97]

Partly following a heuristic method of calculation pioneered by Boltzmann for gas molecules, Planck considered the possible ways of distributing electromagnetic energy over the different modes of his hypothetical charged material oscillators. This acceptance of the probabilistic approach, following Boltzmann, for Planck was a radical change from his former position, which till then had deliberately opposed such thinking proposed by Boltzmann.^[106] In Planck's words, "I considered the [quantum hypothesis] a purely formal assumption, and I did not give it much thought except for this: that I had obtained a positive result under any circumstances and at whatever cost."^[107] Heuristically, Boltzmann had distributed the energy in arbitrary merely mathematical quanta ϵ, which he had proceeded to make tend to zero in magnitude, because the finite magnitude ϵ had served only to allow definite counting for the sake of mathematical calculation of probabilities, and had no physical significance. Referring to a new universal constant of nature, h,^[108] Planck supposed that, in the several oscillators of each of the finitely many characteristic frequencies, the total energy was distributed to each in an integer multiple of a definite physical unit of energy, ϵ, characteristic of the respective characteristic frequency.^{[95][109][110][111]} His new universal constant of nature, h, is now known as the Planck constant.

Planck explained further^[95] that the respective definite unit, ϵ, of energy should be proportional to the respective characteristic oscillation frequency ν of the hypothetical oscillator, and in 1901 he expressed this with the constant of proportionality h:^[112][113] $${\displaystyle \epsilon =h\nu .}$$

Planck did not propose that light propagating in free space is quantized.^{[114][115][116]} The idea of quantization of the free electromagnetic field was developed later, and eventually incorporated into what we now know as quantum field theory.^[117]

In 1906, Planck acknowledged that his imaginary resonators, having linear dynamics, did not provide a physical explanation for energy transduction between frequencies.^[118][119] Present-day physics explains the transduction between frequencies in the presence of atoms by their quantum excitability, following Einstein. Planck believed that in a cavity with perfectly reflecting walls and with no matter present, the electromagnetic field cannot exchange energy between frequency components.^[120] This is because of the linearity of Maxwell's equations.^[121] Present-day quantum field theory predicts that, in the absence of matter, the electromagnetic field obeys nonlinear equations and in that sense does self-interact.^[122][123] Such interaction in the absence of matter has not yet been directly measured because it would require very high intensities and very sensitive and low-noise detectors, which are still in the process of being constructed.^[122][124] Planck believed that a field with no interactions neither obeys nor violates the classical principle of equipartition of energy,^[125][126] and instead remains exactly as it was when introduced, rather than evolving into a black body field.^[127] Thus, the linearity of his mechanical assumptions precluded Planck from having a mechanical explanation of the maximization of the entropy of the thermodynamic equilibrium thermal radiation field. This is why he had to resort to Boltzmann's probabilistic arguments.^[128][129]

Planck's law may be regarded as fulfilling the prediction of Gustav Kirchhoff that his law of thermal radiation was of the highest importance. In his mature presentation of his own law, Planck offered a thorough and detailed theoretical proof for Kirchhoff's law,^[130] theoretical proof of which until then had been sometimes debated, partly because it was said to rely on unphysical theoretical objects, such as Kirchhoff's perfectly absorbing infinitely thin black surface.^[131]

Subsequent events

It was not until five years after Planck made his heuristic assumption of abstract elements of energy or of action that Albert Einstein conceived of really existing quanta of light in 1905^[132] as a revolutionary explanation of black-body radiation, of photoluminescence, of the photoelectric effect, and of the ionization of gases by ultraviolet light. In 1905, "Einstein believed that Planck's theory could not be made to agree with the idea of light quanta, a mistake he corrected in 1906."^[133] Contrary to Planck's beliefs of the time, Einstein proposed a model and formula whereby light was emitted, absorbed, and propagated in free space in energy quanta localized in points of space.^[132] As an introduction to his reasoning, Einstein recapitulated Planck's model of hypothetical resonant material electric oscillators as sources and sinks of radiation, but then he offered a new argument, disconnected from that model, but partly based on a thermodynamic argument of Wien, in which Planck's formula ϵ = hν played no role.^[134] Einstein gave the energy content of such quanta in the form ⁠Rβν/N⁠. Thus Einstein was contradicting the undulatory theory of light held by Planck. In 1910, criticizing a manuscript sent to him by Planck, knowing that Planck was a steady supporter of Einstein's theory of special relativity, Einstein wrote to Planck: "To me it seems absurd to have energy continuously distributed in space without assuming an aether."^[135]

According to Thomas Kuhn, it was not till 1908 that Planck more or less accepted part of Einstein's arguments for physical as distinct from abstract mathematical discreteness in thermal radiation physics. Still in 1908, considering Einstein's proposal of quantal propagation, Planck opined that such a revolutionary step was perhaps unnecessary.^[136] Until then, Planck had been consistent in thinking that discreteness of action quanta was to be found neither in his resonant oscillators nor in the propagation of thermal radiation. Kuhn wrote that, in Planck's earlier papers and in his 1906 monograph,^[137] there is no "mention of discontinuity, [nor] of talk of a restriction on oscillator energy, [nor of] any formula like U = nhν." Kuhn pointed out that his study of Planck's papers of 1900 and 1901, and of his monograph of 1906,^[137] had led him to "heretical" conclusions, contrary to the widespread assumptions of others who saw Planck's writing only from the perspective of later, anachronistic, viewpoints.^[138] Kuhn's conclusions, finding a period till 1908, when Planck consistently held his 'first theory', have been accepted by other historians.^[139]

In the second edition of his monograph, in 1912, Planck sustained his dissent from Einstein's proposal of light quanta. He proposed in some detail that absorption of light by his virtual material resonators might be continuous, occurring at a constant rate in equilibrium, as distinct from quantal absorption. Only emission was quantal.^[121][140] This has at times been called Planck's "second theory".^[141]

It was not till 1919 that Planck in the third edition of his monograph more or less accepted his 'third theory', that both emission and absorption of light were quantal.^[142]

The colourful term "ultraviolet catastrophe" was given by Paul Ehrenfest in 1911 to the paradoxical result that the total energy in the cavity tends to infinity when the equipartition theorem of classical statistical mechanics is (mistakenly) applied to black-body radiation.^[143][144] But this had not been part of Planck's thinking, because he had not tried to apply the doctrine of equipartition: when he made his discovery in 1900, he had not noticed any sort of "catastrophe".^{[83][84][85][80][145]} It was first noted by Lord Rayleigh in 1900,^{[96][146][147]} and then in 1901^[148] by Sir James Jeans; and later, in 1905, by Einstein when he wanted to support the idea that light propagates as discrete packets, later called 'photons', and by Rayleigh^[39] and by Jeans.^{[38][149][150][151]}

In 1913, Bohr gave another formula with a further different physical meaning to the quantity hν.^{[34][35][36][152][153][154]} In contrast to Planck's and Einstein's formulas, Bohr's formula referred explicitly and categorically to energy levels of atoms. Bohr's formula was W_τ2 − W_τ1 = hν where W_τ2 and W_τ1 denote the energy levels of quantum states of an atom, with quantum numbers τ₂ and τ₁. The symbol ν denotes the frequency of a quantum of radiation that can be emitted or absorbed as the atom passes between those two quantum states. In contrast to Planck's model, the frequency ${\displaystyle \nu }$ has no immediate relation to frequencies that might describe those quantum states themselves.

Later, in 1924, Satyendra Nath Bose developed the theory of the statistical mechanics of photons, which allowed a theoretical derivation of Planck's law.^[155] The actual word 'photon' was invented still later, by G.N. Lewis in 1926,^[156] who mistakenly believed that photons were conserved, contrary to Bose–Einstein statistics; nevertheless the word 'photon' was adopted to express the Einstein postulate of the packet nature of light propagation. In an electromagnetic field isolated in a vacuum in a vessel with perfectly reflective walls, such as was considered by Planck, indeed the photons would be conserved according to Einstein's 1905 model, but Lewis was referring to a field of photons considered as a system closed with respect to ponderable matter but open to exchange of electromagnetic energy with a surrounding system of ponderable matter, and he mistakenly imagined that still the photons were conserved, being stored inside atoms.

Ultimately, Planck's law of black-body radiation contributed to Einstein's concept of quanta of light carrying linear momentum,^[34][132] which became the fundamental basis for the development of quantum mechanics.

The above-mentioned linearity of Planck's mechanical assumptions, not allowing for energetic interactions between frequency components, was superseded in 1925 by Heisenberg's original quantum mechanics. In his paper submitted on 29 July 1925, Heisenberg's theory accounted for Bohr's above-mentioned formula of 1913. It admitted non-linear oscillators as models of atomic quantum states, allowing energetic interaction between their own multiple internal discrete Fourier frequency components, on the occasions of emission or absorption of quanta of radiation. The frequency of a quantum of radiation was that of a definite coupling between internal atomic meta-stable oscillatory quantum states.^[157][158] At that time, Heisenberg knew nothing of matrix algebra, but Max Born read the manuscript of Heisenberg's paper and recognized the matrix character of Heisenberg's theory. Then Born and Jordan published an explicitly matrix theory of quantum mechanics, based on, but in form distinctly different from, Heisenberg's original quantum mechanics; it is the Born and Jordan matrix theory that is today called matrix mechanics.^{[159][160][161]} Heisenberg's explanation of the Planck oscillators, as non-linear effects apparent as Fourier modes of transient processes of emission or absorption of radiation, showed why Planck's oscillators, viewed as enduring physical objects such as might be envisaged by classical physics, did not give an adequate explanation of the phenomena.

Nowadays, as a statement of the energy of a light quantum, often one finds the formula E = ħω, where ħ = ⁠h/2π⁠, and ω = 2πν denotes angular frequency,^{[162][163][164][165][166]} and less often the equivalent formula E = hν.^{[165][166][167][168][169]} This statement about a really existing and propagating light quantum, based on Einstein's, has a physical meaning different from that of Planck's above statement ϵ = hν about the abstract energy units to be distributed amongst his hypothetical resonant material oscillators.

An article by Helge Kragh published in Physics World gives an account of this history.^[111]

See also

• Emissivity
• Radiance
• Sakuma–Hattori equation

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Enlaces externos

• Resumen de la radiación
• Radiación de un cuerpo negro: simulación interactiva para jugar con la ley de Planck
• Artículo de Scienceworld sobre la Ley de Planck