Problema de n cuerpos

Problema de física y mecánica celeste

En física , el problema de los n cuerpos es el problema de predecir los movimientos individuales de un grupo de objetos celestes que interactúan entre sí gravitacionalmente . ^[1] La solución de este problema ha sido motivada por el deseo de comprender los movimientos del Sol , la Luna , los planetas y las estrellas visibles . En el siglo XX, comprender la dinámica de los sistemas estelares de cúmulos globulares se convirtió en un importante problema de n cuerpos. ^[2] El problema de los n cuerpos en la relatividad general es considerablemente más difícil de resolver debido a factores adicionales como las distorsiones del tiempo y el espacio.

El problema físico clásico puede enunciarse informalmente de la siguiente manera:

Dadas las propiedades orbitales cuasi-estacionarias (posición instantánea, velocidad y tiempo) ^[3] de un grupo de cuerpos celestes, predecir sus fuerzas interactivas; y en consecuencia, predecir sus verdaderos movimientos orbitales para todos los tiempos futuros. ^[4]

El problema de los dos cuerpos se ha resuelto completamente y se analiza a continuación, así como el famoso problema restringido de los tres cuerpos . ^[5]

Historia

Conociendo las tres posiciones orbitales de un planeta –posiciones obtenidas por Sir Isaac Newton del astrónomo John Flamsteed ^[6] – Newton fue capaz de producir una ecuación mediante geometría analítica sencilla, para predecir el movimiento de un planeta; es decir, para dar sus propiedades orbitales: posición, diámetro orbital, período y velocidad orbital. ^[7] Una vez hecho esto, él y otros pronto descubrieron en el transcurso de unos pocos años, que esas ecuaciones de movimiento no predecían algunas órbitas correctamente o incluso muy bien. ^[8] Newton se dio cuenta de que esto se debía a que las fuerzas interactivas gravitacionales entre todos los planetas estaban afectando a todas sus órbitas.

La revelación antes mencionada ataca directamente al núcleo de lo que es físicamente el problema de los n cuerpos: como Newton entendió, no es suficiente simplemente proporcionar la ubicación inicial y la velocidad, o incluso tres posiciones orbitales, para establecer la órbita real de un planeta; también hay que ser consciente de las fuerzas de interacción gravitatoria. Así surgió la conciencia y el surgimiento del "problema" de los n cuerpos a principios del siglo XVII. Estas fuerzas de atracción gravitatoria se ajustan a las leyes de movimiento de Newton y a su ley de gravitación universal, pero las múltiples interacciones ( de n cuerpos) han hecho que históricamente cualquier solución exacta sea intratable. Irónicamente, esta conformidad condujo a un enfoque equivocado.

Después de la época de Newton, el problema de los n cuerpos no se planteó correctamente porque no incluía una referencia a esas fuerzas de interacción gravitatoria. Newton no lo dice directamente, pero implica en sus Principia que el problema de los n cuerpos es irresoluble debido a esas fuerzas de interacción gravitatoria. ^[9] Newton dijo ^[10] en sus Principia , párrafo 21:

De ahí que la fuerza de atracción se encuentre en ambos cuerpos. El Sol atrae a Júpiter y a los demás planetas, Júpiter atrae a sus satélites y, de modo similar, los satélites actúan entre sí. Y aunque las acciones de cada uno de los planetas sobre el otro se pueden distinguir entre sí y pueden considerarse como dos acciones por las que cada uno atrae al otro, sin embargo, en la medida en que se dan entre los mismos dos cuerpos, no son dos, sino una simple operación entre dos extremos. Dos cuerpos pueden ser atraídos entre sí por la contracción de una cuerda entre ellos. La causa de la acción es doble, a saber, la disposición de cada uno de los dos cuerpos; la acción es igualmente doble, en cuanto se da sobre dos cuerpos; pero en cuanto se da entre dos cuerpos, es única y una...

Newton concluyó mediante su tercera ley del movimiento que “según esta ley todos los cuerpos deben atraerse entre sí”. Esta última afirmación, que implica la existencia de fuerzas gravitacionales interactivas, es clave.

Como se muestra a continuación, el problema también se ajusta al primer y segundo principio no newtoniano de Jean Le Rond D'Alembert y al algoritmo del problema no lineal de n cuerpos, este último permitiendo una solución de forma cerrada para calcular esas fuerzas interactivas.

El problema de encontrar la solución general del problema de los n cuerpos se consideraba muy importante y desafiante. De hecho, a finales del siglo XIX, el rey Oscar II de Suecia , asesorado por Gösta Mittag-Leffler , estableció un premio para quien pudiera encontrar la solución al problema. El anuncio era bastante específico:

Dado un sistema de un número arbitrario de puntos de masa que se atraen entre sí según la ley de Newton, bajo el supuesto de que nunca chocan dos puntos, trate de encontrar una representación de las coordenadas de cada punto como una serie en una variable que sea una función conocida del tiempo y para todos cuyos valores la serie converge uniformemente .

En caso de que el problema no pudiera resolverse, cualquier otra contribución importante a la mecánica clásica sería considerada digna de premio. El premio fue otorgado a Poincaré , a pesar de que no resolvió el problema original. (La primera versión de su contribución incluso contenía un grave error. ^[11] ) La versión finalmente impresa contenía muchas ideas importantes que llevaron al desarrollo de la teoría del caos . El problema tal como se planteó originalmente fue finalmente resuelto por Karl Fritiof Sundman para n = 3 y generalizado a n > 3 por L. K. Babadzanjanz ^{[12] [13]} y Qiudong Wang . ^[14]

Formulación general

El problema de n cuerpos considera n masas puntuales m _i , i = 1, 2, …, n en un marco de referencia inercial en el espacio tridimensional ℝ ³ que se mueven bajo la influencia de la atracción gravitatoria mutua. Cada masa m _i tiene un vector de posición q _i . La segunda ley de Newton dice que la masa por la aceleración m _i ⁠d ² q _yo/dos^​⁠ es igual a la suma de las fuerzas sobre la masa. La ley de gravedad de Newton dice que la fuerza gravitacional sentida sobre la masa m _i por una sola masa m _j está dada por ^[15] donde G es la constante gravitacional y ‖ q _j − q _i ‖ es la magnitud de la distancia entre q _i y q _j ( métrica inducida por la norma l 2 ). $${\displaystyle \mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}={\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}},}$$

Sumando todas las masas se obtienen las ecuaciones de movimiento de n cuerpos :

${\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {q} _{i}}{dt^{2}}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {q} _{i}}}}$

donde U es la energía potencial propia

$${\displaystyle U=-\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}.}$$

Definiendo el momento como p _i = m _i ⁠yo q_​/es⁠ , Las ecuaciones de movimiento de Hamilton para elproblema de n cuerpos se convierten en ^[16] donde la función hamiltoniana es y T es la energía cinética $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}},}$$ $${\displaystyle H=T+U}$$ $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}}{2m_{i}}}.}$$

Las ecuaciones de Hamilton muestran que el problema de n cuerpos es un sistema de 6 n ecuaciones diferenciales de primer orden , con 6 n condiciones iniciales como 3 n coordenadas de posición inicial y 3 n valores de momento inicial.

Las simetrías en el problema de n cuerpos producen integrales globales de movimiento que simplifican el problema. ^[17] La ​​simetría traslacional del problema da como resultado que el centro de masa se mueva con velocidad constante, de modo que C = L ₀ t + C ₀ , donde L ₀ es la velocidad lineal y C ₀ es la posición inicial. Las constantes de movimiento L ₀ y C ₀ representan seis integrales del movimiento. La simetría rotacional da como resultado que el momento angular total sea constante , donde × es el producto vectorial . Los tres componentes del momento angular total A producen tres constantes más del movimiento. La última constante general del movimiento está dada por la conservación de la energía H . Por lo tanto, cada problema de n cuerpos tiene diez integrales de movimiento. $${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {q} _{i}\times \mathbf {p} _{i},}$$

Como T y U son funciones homogéneas de grado 2 y −1, respectivamente, las ecuaciones de movimiento tienen una invariancia de escala : si q _i ( t ) es una solución, entonces también lo es λ ^−2/3 q _i ( λt ) para cualquier λ > 0 . ^[18]

El momento de inercia de un sistema de n cuerpos está dado por y el virial está dado por Q = ⁠ $${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}\cdot \mathbf {q} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\|\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}$$1/2⁠ ⁠yo/es⁠ . Entonces la fórmula de Lagrange-Jacobi establece que ^[19] $${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T-U.}$$

Para sistemas en equilibrio dinámico , el promedio temporal a largo plazo de ⟨ ⁠yo^​​/dos^​⁠ ⟩ es cero. Entonces, en promedio, la energía cinética total es la mitad de la energía potencial total, ⟨ T ⟩ = ⁠1/2⁠ ⟨ U ⟩ , que es un ejemplo del teorema virial para sistemas gravitacionales. ^[20] Si M es la masa total y R un tamaño característico del sistema (por ejemplo, el radio que contiene la mitad de la masa del sistema), entonces el tiempo crítico para que un sistema alcance un equilibrio dinámico es ^[21] $${\displaystyle t_{\mathrm {cr} }={\sqrt {\frac {GM}{R^{3}}}}.}$$

Casos especiales

Problema de dos cuerpos

Cualquier discusión sobre fuerzas interactivas planetarias siempre ha comenzado históricamente con el problema de los dos cuerpos . El propósito de esta sección es relacionar la complejidad real en el cálculo de cualquier fuerza planetaria. Nótese que en esta Sección también, varios temas, como la gravedad , el baricentro , las Leyes de Kepler , etc.; y en la Sección siguiente también ( Problema de los tres cuerpos ) se discuten en otras páginas de Wikipedia. Sin embargo, aquí, estos temas se discuten desde la perspectiva del problema de n cuerpos.

El problema de los dos cuerpos ( n = 2 ) fue resuelto completamente por Johann Bernoulli (1667-1748) mediante la teoría clásica (y no por Newton) al suponer que la masa puntual principal estaba fija; esto se describe aquí. ^[22] Consideremos entonces el movimiento de dos cuerpos, digamos el Sol y la Tierra, con el Sol fijo, entonces: $${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\mathbf {a} _{1}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})&&\quad {\text{Sun–Earth}}\\m_{2}\mathbf {a} _{2}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})&&\quad {\text{Earth–Sun}}\end{aligned}}}$$

La ecuación que describe el movimiento de la masa m ₂ en relación con la masa m ₁ se obtiene fácilmente a partir de las diferencias entre estas dos ecuaciones y después de cancelar los términos comunes da: Donde $${\displaystyle \mathbf {\alpha } +{\frac {\eta }{r^{3}}}\mathbf {r} =\mathbf {0} }$$

• r = r ₂ − r ₁ es la posición vectorial de m ₂ con respecto a m ₁ ;
• α es la aceleración eulerianad2r^​​/dos^​;​
• η = G ( m ₁ + m ₂ ) .

La ecuación α + ⁠η/r3^​r = 0 es la ecuación diferencial fundamental para el problema de los dos cuerpos que Bernoulli resolvió en 1734. Nótese que para este enfoque primero se deben determinar las fuerzas y luego se resuelve la ecuación de movimiento. Esta ecuación diferencial tiene soluciones elípticas, parabólicas o hiperbólicas. ^{[23] [24] [25]}

Es incorrecto pensar en m ₁ (el Sol) como fijo en el espacio al aplicar la ley de gravitación universal de Newton, y hacerlo conduce a resultados erróneos. El punto fijo para dos cuerpos aislados que interactúan gravitacionalmente es su baricentro mutuo , y este problema de dos cuerpos se puede resolver de manera exacta, por ejemplo, utilizando coordenadas de Jacobi relativas al baricentro.

El Dr. Clarence Cleminshaw calculó la posición aproximada del baricentro del Sistema Solar, un resultado obtenido principalmente combinando únicamente las masas de Júpiter y el Sol. Science Program afirmó lo siguiente en referencia a su trabajo:

El Sol contiene el 98 por ciento de la masa del sistema solar, y los planetas superiores, más allá de Marte, representan la mayor parte del resto. En promedio, el centro de masa del sistema Sol-Júpiter, cuando se consideran los dos objetos más masivos por separado, se encuentra a 462.000 millas del centro del Sol, o aproximadamente 30.000 millas por encima de la superficie solar. Sin embargo, otros planetas grandes también influyen en el centro de masa del sistema solar. En 1951, por ejemplo, el centro de masa del sistema no estaba lejos del centro del Sol porque Júpiter estaba en el lado opuesto de Saturno, Urano y Neptuno. A fines de la década de 1950, cuando los cuatro planetas estaban en el mismo lado del Sol, el centro de masa del sistema estaba a más de 330.000 millas de la superficie solar, según calculó el Dr. C. H. Cleminshaw del Observatorio Griffith en Los Ángeles. ^[26]

Movimiento real versus movimiento aparente de Kepler

El Sol se tambalea mientras gira alrededor del centro galáctico , arrastrando al Sistema Solar y a la Tierra con él. Lo que hizo el matemático Kepler para llegar a sus tres famosas ecuaciones fue ajustar la curva de los movimientos aparentes de los planetas utilizando los datos de Tycho Brahe , y no ajustar la curva de sus verdaderos movimientos circulares alrededor del Sol (véase la figura). Tanto Robert Hooke como Newton eran muy conscientes de que la Ley de Gravitación Universal de Newton no se aplicaba a las fuerzas asociadas con las órbitas elípticas. ^[10] De hecho, la Ley Universal de Newton no explica la órbita de Mercurio, el comportamiento gravitatorio del cinturón de asteroides o los anillos de Saturno . ^[27] Newton afirmó (en la sección 11 de los Principia ) que la razón principal, sin embargo, para no predecir las fuerzas para las órbitas elípticas era que su modelo matemático era para un cuerpo confinado a una situación que apenas existía en el mundo real, es decir, los movimientos de los cuerpos atraídos hacia un centro inmóvil. Algunos libros de texto actuales de física y astronomía no enfatizan el significado negativo de la suposición de Newton y terminan enseñando que su modelo matemático es en realidad la realidad. Debe entenderse que la solución del problema clásico de los dos cuerpos que se menciona anteriormente es una idealización matemática. Véase también la primera ley del movimiento planetario de Kepler .

Problema de los tres cuerpos

Esta sección relata una solución de un problema de n cuerpos históricamente importante después de realizar suposiciones simplificadoras.

En el pasado no se sabía mucho acerca del problema de n cuerpos para n ≥ 3. [ ^28] El caso n = 3 ha sido el más estudiado. Muchos intentos anteriores de comprender el problema de tres cuerpos fueron cuantitativos y apuntaban a encontrar soluciones explícitas para situaciones especiales.

• En 1687, Isaac Newton publicó en los Principia los primeros pasos en el estudio del problema de los movimientos de tres cuerpos sujetos a sus atracciones gravitacionales mutuas, pero sus esfuerzos dieron como resultado descripciones verbales y bocetos geométricos; véase especialmente el Libro 1, Proposición 66 y sus corolarios (Newton, 1687 y 1999 (trad.), véase también Tisserand, 1894).
• En 1767, Euler descubrió los movimientos colineales , en los que tres cuerpos de cualquier masa se mueven proporcionalmente a lo largo de una línea recta fija. El problema de los tres cuerpos de Euler es el caso especial en el que dos de los cuerpos están fijos en el espacio (esto no debe confundirse con el problema circular restringido de los tres cuerpos , en el que los dos cuerpos masivos describen una órbita circular y solo están fijos en un marco de referencia sinódico).
• En 1772, Lagrange descubrió dos clases de soluciones periódicas, cada una para tres cuerpos de cualquier masa. En una clase, los cuerpos se encuentran sobre una línea recta rotatoria. En la otra clase, los cuerpos se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero rotatorio. En ambos casos, las trayectorias de los cuerpos serán secciones cónicas. Esas soluciones llevaron al estudio de las configuraciones centrales , para las cuales q̈ = kq para alguna constante k > 0 .
• Charles-Eugène Delaunay realizó un importante estudio del sistema Tierra-Luna-Sol y publicó dos volúmenes sobre el tema, cada uno de 900 páginas, en 1860 y 1867. Entre muchos otros logros, el trabajo ya insinúa el caos y demuestra claramente el problema de los llamados "pequeños denominadores" en la teoría de perturbaciones .
• En 1917, Forest Ray Moulton publicó su obra, ahora un clásico, Introducción a la mecánica celeste (ver referencias) con su diagrama de la solución del problema restringido de los tres cuerpos (ver figura a continuación). ^[29] Como acotación al margen, véase el libro de Meirovitch, páginas 413-414, para su solución del problema restringido de los tres cuerpos. ^[30]

Movimiento de tres partículas bajo gravedad, demostrando un comportamiento caótico

La solución de Moulton puede ser más fácil de visualizar (y definitivamente más fácil de resolver) si se considera que el cuerpo más masivo (como el Sol ) está estacionario en el espacio y que el cuerpo menos masivo (como Júpiter ) orbita a su alrededor, con los puntos de equilibrio ( puntos de Lagrange ) manteniendo el espaciamiento de 60° por delante y por detrás del cuerpo menos masivo casi en su órbita (aunque en realidad ninguno de los cuerpos está verdaderamente estacionario, ya que ambos orbitan alrededor del centro de masa de todo el sistema, alrededor del baricentro). Para una relación de masas suficientemente pequeña de los primarios, estos puntos de equilibrio triangulares son estables, de modo que las partículas (casi) sin masa orbitarán alrededor de estos puntos a medida que orbitan alrededor del primario más grande (el Sol). Los cinco puntos de equilibrio del problema circular se conocen como puntos de Lagrange. Véase la figura siguiente:

Problema restringido de tres cuerpos

En la figura del modelo matemático del problema restringido de los tres cuerpos que se muestra arriba (según Moulton), los puntos lagrangianos L ₄ y L ₅ son donde residían los planetoides troyanos (ver punto lagrangiano ); m ₁ es el Sol y m ₂ es Júpiter. L ₂ es un punto dentro del cinturón de asteroides. Para este modelo, hay que tener en cuenta que todo el diagrama Sol-Júpiter gira alrededor de su baricentro. La solución del problema restringido de los tres cuerpos predijo los planetoides troyanos antes de que se vieran por primera vez. Los círculos h y los bucles cerrados reflejan los flujos electromagnéticos emitidos por el Sol y Júpiter. Se conjetura, contrariamente a la conjetura de Richard H. Batin (ver Referencias), que los dos h ₁ son sumideros de gravedad, en y donde las fuerzas gravitacionales son cero, y la razón por la que los planetoides troyanos están atrapados allí. Se desconoce la cantidad total de masa de los planetoides.

El problema restringido de los tres cuerpos supone que la masa de uno de los cuerpos es despreciable. ^{[ cita requerida ]} Para una discusión del caso en el que el cuerpo despreciable es un satélite del cuerpo de menor masa, véase esfera de Hill ; para sistemas binarios, véase lóbulo de Roche . Las soluciones específicas al problema de los tres cuerpos dan como resultado un movimiento caótico sin signos obvios de una trayectoria repetitiva. ^{[ cita requerida ]}

El problema restringido (tanto circular como elíptico) fue trabajado extensamente por muchos matemáticos y físicos famosos, más notablemente por Poincaré a fines del siglo XIX. El trabajo de Poincaré sobre el problema restringido de los tres cuerpos fue la base de la teoría del caos determinista . ^{[ cita requerida ]} En el problema restringido, existen cinco puntos de equilibrio . Tres son colineales con las masas (en el marco giratorio) y son inestables. Los dos restantes están ubicados en el tercer vértice de ambos triángulos equiláteros de los cuales los dos cuerpos son el primer y segundo vértice.

Problema de los cuatro cuerpos

Inspirado en el problema circular restringido de tres cuerpos, el problema de cuatro cuerpos se puede simplificar en gran medida considerando que un cuerpo más pequeño tiene una masa pequeña en comparación con los otros tres cuerpos masivos, que a su vez se aproximan para describir órbitas circulares. Esto se conoce como el problema bicircular restringido de cuatro cuerpos (también conocido como modelo bicircular) y se remonta a 1960 en un informe de la NASA escrito por Su-Shu Huang. ^[31] Esta formulación ha sido muy relevante en la astrodinámica , principalmente para modelar trayectorias de naves espaciales en el sistema Tierra-Luna con la adición de la atracción gravitatoria del Sol. La antigua formulación del problema bicircular restringido de cuatro cuerpos puede ser problemática al modelar otros sistemas que no sean Tierra-Luna-Sol, por lo que la formulación fue generalizada por Negri y Prado ^[32] para expandir el rango de aplicación y mejorar la precisión sin pérdida de simplicidad.

Problema planetario

El problema planetario es el problema de los n cuerpos en el caso de que una de las masas sea mucho mayor que todas las demás. Un ejemplo prototípico de un problema planetario es el sistema Sol- Júpiter - Saturno , donde la masa del Sol es aproximadamente 1000 veces mayor que las masas de Júpiter o Saturno. ^[18] Una solución aproximada al problema es descomponerlo en n − 1 pares de problemas de Kepler estrella-planeta , tratando las interacciones entre los planetas como perturbaciones. La aproximación perturbativa funciona bien siempre que no haya resonancias orbitales en el sistema, es decir, ninguna de las razones de frecuencias de Kepler no perturbadas sea un número racional. Las resonancias aparecen como pequeños denominadores en la expansión.

La existencia de resonancias y denominadores pequeños condujo a la importante cuestión de la estabilidad en el problema planetario: ¿los planetas, en órbitas casi circulares alrededor de una estrella, permanecen en órbitas estables o limitadas a lo largo del tiempo? ^{[18] [33]} En 1963, Vladimir Arnold demostró utilizando la teoría KAM un tipo de estabilidad del problema planetario: existe un conjunto de medida positiva de órbitas cuasiperiódicas en el caso del problema planetario restringido al plano. ^[33] En la teoría KAM, las órbitas planetarias caóticas estarían limitadas por toros KAM cuasiperiódicos. El resultado de Arnold fue extendido a un teorema más general por Féjoz y Herman en 2004. ^[34]

Configuraciones centrales

Una configuración central q ₁ (0), …, q _N (0) es una configuración inicial tal que si todas las partículas se liberaran con velocidad cero, todas colapsarían hacia el centro de masa C . ^[33] Tal movimiento se llama homotético . Las configuraciones centrales también pueden dar lugar a movimientos homográficos en los que todas las masas se mueven a lo largo de trayectorias keplerianas (elípticas, circulares, parabólicas o hiperbólicas), y todas las trayectorias tienen la misma excentricidad e . Para trayectorias elípticas, e = 1 corresponde al movimiento homotético y e = 0 da un movimiento de equilibrio relativo en el que la configuración sigue siendo una isometría de la configuración inicial, como si la configuración fuera un cuerpo rígido. ^[35] Las configuraciones centrales han jugado un papel importante en la comprensión de la topología de las variedades invariantes creadas al fijar las primeras integrales de un sistema.

norte-coreografía corporal

Las soluciones en las que todas las masas se mueven en la misma curva sin colisiones se denominan coreografías. ^[36] Lagrange descubrió una coreografía para n = 3 en 1772 en la que tres cuerpos están situados en los vértices de un triángulo equilátero en el marco giratorio. C. Moore encontró numéricamente una coreografía en forma de ocho para n = 3 en 1993 ^[37] y A. Chenciner y R. Montgomery la generalizaron y demostraron en 2000. ^[38] Desde entonces, se han encontrado muchas otras coreografías para n ≥ 3 .

Enfoques analíticos

Para cada solución del problema, no sólo aplicando una isometría o un desplazamiento temporal sino también una inversión del tiempo (a diferencia del caso de la fricción) se obtiene también una solución. ^{[ cita requerida ]}

En la literatura física sobre el problema de n cuerpos ( n ≥ 3 ), a veces se hace referencia a "la imposibilidad de resolver el problema de n cuerpos" (mediante el empleo del enfoque anterior). ^{[ cita requerida ]} Sin embargo, se debe tener cuidado al discutir la "imposibilidad" de una solución, ya que esto se refiere solo al método de las primeras integrales (compárense los teoremas de Abel y Galois sobre la imposibilidad de resolver ecuaciones algebraicas de grado cinco o superior por medio de fórmulas que solo involucran raíces).

Solución de serie de potencias

Una forma de resolver el problema clásico de n cuerpos es "el problema de n cuerpos mediante series de Taylor ".

Comenzamos definiendo el sistema de ecuaciones diferenciales : ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{2}}}=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left(\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right)}{\left|\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right|^{3}}},}$$

Como x _i ( t ₀ ) y ⁠d x _i ( t ₀ )/es⁠ se dan como condiciones iniciales, cada ⁠d2x ( t )^​​_​/dos^​⁠ es conocido. Diferenciando ⁠d2x ( t )^​​_​/dos^​⁠ resultados en ⁠d3x ( t )^​​_​/3 ^veces⁠ que en t ₀ también se conoce, y la serie de Taylor se construye iterativamente. ^{[ aclaración necesaria ]}

Una solución global generalizada de Sundman

Para generalizar el resultado de Sundman para el caso n > 3 (o n = 3 y c = 0 ^{[ aclaración necesaria ]} ) hay que enfrentarse a dos obstáculos:

1. Como ha demostrado Siegel, las colisiones que involucran más de dos cuerpos no se pueden regularizar analíticamente, por lo tanto la regularización de Sundman no se puede generalizar. ^{[ cita requerida ]}
2. La estructura de las singularidades es más complicada en este caso: pueden ocurrir otros tipos de singularidades (ver más abajo).

Por último, el resultado de Sundman fue generalizado al caso de n > 3 cuerpos por Qiudong Wang en la década de 1990. ^[39] Dado que la estructura de las singularidades es más complicada, Wang tuvo que dejar de lado por completo las cuestiones de singularidades. El punto central de su enfoque es transformar, de manera apropiada, las ecuaciones en un nuevo sistema, tal que el intervalo de existencia para las soluciones de este nuevo sistema sea [0,∞) .

Singularidades de lanorte-problema corporal

Puede haber dos tipos de singularidades del problema de n cuerpos:

• colisiones de dos o más cuerpos, pero para las cuales q ( t ) (las posiciones de los cuerpos) permanece finita. (En este sentido matemático, una "colisión" significa que dos cuerpos puntuales tienen posiciones idénticas en el espacio.)
• singularidades en las que no se produce una colisión, pero q ( t ) no permanece finito. En este escenario, los cuerpos divergen hacia el infinito en un tiempo finito, mientras que al mismo tiempo tienden hacia la separación cero (una colisión imaginaria ocurre "en el infinito").

Las últimas se denominan conjeturas de Painlevé (singularidades sin colisiones). Su existencia ha sido conjeturada para n > 3 por Painlevé (véase conjetura de Painlevé ). Xia ^[40] ha construido ejemplos de este comportamiento para n = 5 y Gerver ha construido un modelo heurístico para n = 4. ^[41] Donald G. Saari ha demostrado que para 4 cuerpos o menos, el conjunto de datos iniciales que dan lugar a singularidades tiene medida cero. ^[42]

Simulación

Si bien hay soluciones analíticas disponibles para el problema clásico (es decir, no relativista) de dos cuerpos y para configuraciones seleccionadas con n > 2 , en general los problemas de n cuerpos deben resolverse o simularse utilizando métodos numéricos. ^[21]

Pocos cuerpos

Para un pequeño número de cuerpos, un problema de n cuerpos se puede resolver utilizando métodos directos , también llamados métodos partícula-partícula . Estos métodos integran numéricamente las ecuaciones diferenciales de movimiento. La integración numérica para este problema puede ser un desafío por varias razones. Primero, el potencial gravitacional es singular; tiende al infinito cuando la distancia entre dos partículas tiende a cero. El potencial gravitacional se puede "suavizar" para eliminar la singularidad en distancias pequeñas: ^[21] Segundo, en general para n > 2 , el problema de n cuerpos es caótico , ^[43] lo que significa que incluso pequeños errores en la integración pueden crecer exponencialmente en el tiempo. Tercero, una simulación puede durar grandes períodos de tiempo del modelo (por ejemplo, millones de años) y los errores numéricos se acumulan a medida que aumenta el tiempo de integración. $${\displaystyle U_{\varepsilon }=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\sqrt {\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}+\varepsilon ^{2}}}}}$$

Existen varias técnicas para reducir los errores en la integración numérica. ^[21] Los sistemas de coordenadas locales se utilizan para tratar con escalas muy diferentes en algunos problemas, por ejemplo, un sistema de coordenadas Tierra-Luna en el contexto de una simulación del sistema solar. Los métodos variacionales y la teoría de perturbaciones pueden producir trayectorias analíticas aproximadas sobre las que la integración numérica puede ser una corrección. El uso de un integrador simpléctico garantiza que la simulación obedezca las ecuaciones de Hamilton con un alto grado de precisión y, en particular, que se conserve la energía.

Muchos cuerpos

Los métodos directos que utilizan integración numérica requieren del orden de ⁠1/2n ² cálculos para evaluar la energía potencial sobre todos los pares de partículas y, por lo tanto, tienen una complejidad temporal de O ( n ² ) . Para simulaciones con muchas partículas, el factor O ( n ² ) hace que los cálculos a gran escala requieran especialmente mucho tiempo. ^[21]

Se han desarrollado varios métodos aproximados que reducen la complejidad temporal en relación con los métodos directos: ^[21]

• Los métodos de código de árbol , como la simulación de Barnes-Hut , son métodos jerárquicos espaciales que se utilizan cuando no es necesario calcular con gran precisión las contribuciones de partículas distantes. El potencial de un grupo distante de partículas se calcula utilizando una expansión multipolar u otra aproximación del potencial. Esto permite reducir la complejidad a O ( n log n ) .
• Los métodos multipolares rápidos aprovechan el hecho de que las fuerzas multipolares expandidas de partículas distantes son similares para partículas cercanas entre sí, y utilizan expansiones locales de fuerzas de campo lejano para reducir el esfuerzo computacional. Se afirma que esta aproximación adicional reduce la complejidad a O ( n ) . ^[21]
• Los métodos de malla de partículas dividen el espacio de simulación en una cuadrícula tridimensional en la que se interpola la densidad de masa de las partículas. Luego, calcular el potencial se convierte en una cuestión de resolver una ecuación de Poisson en la cuadrícula, que se puede calcular en tiempo O ( n log n ) utilizando la transformada rápida de Fourier o en tiempo O ( n ) utilizando técnicas de cuadrícula múltiple . Esto puede proporcionar soluciones rápidas a costa de un mayor error para fuerzas de corto alcance. El refinamiento de malla adaptativo se puede utilizar para aumentar la precisión en regiones con grandes cantidades de partículas.
• Los métodos P ³ M y PM-tree son métodos híbridos que utilizan la aproximación de malla de partículas para partículas distantes, pero utilizan métodos más precisos para partículas cercanas (dentro de unos pocos intervalos de cuadrícula). P ³ M significa partícula-partícula, partícula-malla y utiliza métodos directos con potenciales suavizados a corta distancia. Los métodos PM-tree, en cambio, utilizan códigos de árbol a corta distancia. Al igual que con los métodos de malla de partículas, las mallas adaptativas pueden aumentar la eficiencia computacional.
• Los métodos de campo medio aproximan el sistema de partículas con una ecuación de Boltzmann dependiente del tiempoque representa la densidad de masa y que está acoplada a una ecuación de Poisson autoconsistente que representa el potencial. Es un tipo de aproximación hidrodinámica de partículas suavizadas adecuada para sistemas grandes.

Gravedad fuerte

En sistemas astrofísicos con fuertes campos gravitatorios, como aquellos cerca del horizonte de eventos de un agujero negro , las simulaciones de n cuerpos deben tener en cuenta la relatividad general ; tales simulaciones son el dominio de la relatividad numérica . Simular numéricamente las ecuaciones de campo de Einstein es extremadamente desafiante ^[21] y, si es posible, se utiliza un formalismo post-newtoniano parametrizado (PPN), como las ecuaciones de Einstein-Infeld-Hoffmann . El problema de los dos cuerpos en la relatividad general es analíticamente solucionable solo para el problema de Kepler, en el que se supone que una masa es mucho mayor que la otra. ^[44]

Otronorte-problemas corporales

La mayor parte del trabajo realizado sobre el problema de n cuerpos se ha centrado en el problema gravitacional, pero existen otros sistemas para los que las matemáticas de n cuerpos y las técnicas de simulación han resultado útiles.

En problemas electrostáticos a gran escala , como la simulación de proteínas y ensamblajes celulares en biología estructural , el potencial de Coulomb tiene la misma forma que el potencial gravitacional, excepto que las cargas pueden ser positivas o negativas, lo que genera fuerzas tanto repulsivas como atractivas. ^[45] Los solucionadores rápidos de Coulomb son la contraparte electrostática de los simuladores rápidos de métodos multipolares. Estos se utilizan a menudo con condiciones de contorno periódicas en la región simulada y se utilizan técnicas de suma de Ewald para acelerar los cálculos. ^[46]

En estadística y aprendizaje automático , algunos modelos tienen funciones de pérdida de una forma similar a la del potencial gravitacional: una suma de funciones kernel sobre todos los pares de objetos, donde la función kernel depende de la distancia entre los objetos en el espacio de parámetros. ^[47] Los problemas de ejemplo que encajan en esta forma incluyen todos los vecinos más cercanos en aprendizaje de variedades , estimación de densidad kernel y máquinas kernel . Se han desarrollado optimizaciones alternativas para reducir la complejidad temporal O ( n ² ) a O ( n ) , como algoritmos de árbol dual , que también tienen aplicabilidad al problema de n cuerpos gravitacionales.

Una técnica en dinámica de fluidos computacional llamada métodos de vórtice ve la vorticidad en un dominio de fluido discretizada sobre partículas que luego son transportadas con la velocidad en sus centros. Debido a que la velocidad del fluido y la vorticidad están relacionadas a través de una ecuación de Poisson , la velocidad se puede resolver de la misma manera que la gravitación y la electrostática: como una suma de n cuerpos sobre todas las partículas que contienen vorticidad. La suma utiliza la ley de Biot-Savart , con la vorticidad tomando el lugar de la corriente eléctrica. ^[48] En el contexto de flujos multifásicos turbulentos cargados de partículas, determinar un campo de perturbación general generado por todas las partículas es un problema de n cuerpos. Si las partículas que se trasladan dentro del flujo son mucho más pequeñas que la escala de Kolmogorov del flujo, sus campos de perturbación lineales de Stokes se pueden superponer, produciendo un sistema de 3 n ecuaciones para 3 componentes de velocidades de perturbación en la ubicación de n partículas. ^{[49] [50]}

Véase también

• Mecánica celeste
• Problema gravitacional de dos cuerpos
• Integral de Jacobi
• Teoría lunar
• Unidades naturales
• Modelo numérico del Sistema Solar
• Estabilidad del sistema solar
• Sistemas de pocos cuerpos
• Simulación de N cuerpos , un método para obtener numéricamente trayectorias de cuerpos en un sistema de N cuerpos.

Notas

1. Leimanis y Minorsky: Nuestro interés se centra en Leimanis, quien primero analiza algo de historia sobre el problema de los n cuerpos, especialmente el enfoque de variables complejas de veinte años de la Sra. Kovalevskaya entre 1868 y 1888, su fracaso; Sección 1: "La dinámica de los cuerpos rígidos y la balística exterior matemática" (Capítulo 1, "El movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo (ecuaciones de Euler y Poisson)"; Capítulo 2, "Balística exterior matemática"), buen antecedente precursor del problema de los n cuerpos; Sección 2: "Mecánica celeste" (Capítulo 1, "La uniformización del problema de los tres cuerpos (problema restringido de los tres cuerpos)"; Capítulo 2, "Captura en el problema de los tres cuerpos"; Capítulo 3, " Problema generalizado de los n cuerpos").
2. Véanse las referencias citadas para Heggie y Hut.
3. cuasi-estacionarias son las cargas inerciales instantáneas generadas por velocidades y aceleraciones angulares instantáneas, así como por aceleraciones traslacionales (9 variables). Es como si uno tomara una fotografía, que también registrara la posición instantánea y las propiedades del movimiento. Por el contrario, en una condición de estado estacionario , el estado de un sistema es invariante en el tiempo; de lo contrario, las primeras derivadas y todas las derivadas superiores son cero.
4. R. M. Rosenberg plantea el problema de los n cuerpos de forma similar (ver Referencias): "Cada partícula en un sistema de un número finito de partículas está sujeta a una atracción gravitatoria newtoniana de todas las demás partículas, y a ninguna otra fuerza. Si se da el estado inicial del sistema, ¿cómo se moverán las partículas?" Rosenberg no se dio cuenta, como todos los demás, de que es necesario determinar primero las fuerzas antes de poder determinar los movimientos.
5. Se sabe que una solución general y clásica en términos de primeras integrales es imposible. Se puede aproximar una solución teórica exacta para un número arbitrario de n mediante series de Taylor , pero en la práctica, una serie infinita de este tipo debe truncarse, lo que, en el mejor de los casos, solo da una solución aproximada; y un enfoque que ahora está obsoleto. Además, el problema de los n cuerpos se puede resolver mediante integración numérica , pero estas también son soluciones aproximadas; y nuevamente obsoletas. Véase el libro de Sverre J. Aarseth Gravitational n -Body Simulations que aparece en las Referencias.
6. Clark, David H.; Clark, Stephen P. H. (2001). Los descubrimientos científicos suprimidos de Stephen Gray y John Flamsteed, La tiranía de Newton . W. H. Freeman and Co.. Una popularización de los acontecimientos históricos y de las disputas entre esos partidos, pero más importante aún, de los resultados que produjeron.
7. Véase Brewster, David (1905). "Descubrimiento de la gravitación, 1666 d. C." En Johnson, Rossiter (ed.). Los grandes acontecimientos por historiadores famosos . Vol. XII. The National Alumni. págs. 51–65.
8. Rudolf Kurth analiza en profundidad las perturbaciones planetarias en su libro (ver Referencias). Un aparte: estas perturbaciones planetarias (bamboleos) matemáticamente indefinidas todavía existen sin definir incluso hoy en día y las órbitas planetarias deben actualizarse constantemente, normalmente cada año. Véase Astronomical Ephemeris y American Ephemeris and Nautical Almanac, preparado conjuntamente por las Oficinas del Almanaque Náutico del Reino Unido y los Estados Unidos de América.
9. Véase Principia , Libro Tres, Sistema del Mundo , "Escolio General", página 372, último párrafo. Newton era muy consciente de que su modelo matemático no reflejaba la realidad física. Esta edición a la que se hace referencia es de los Grandes Libros del Mundo Occidental , Volumen 34, que fue traducido por Andrew Motte y revisado por Florian Cajori . ^{[ cita completa requerida ]} Este mismo párrafo está en la página 1160 en Stephen Hawkins , Sobre los hombros de gigantes , edición de 2002; ^{[ cita completa requerida ]} es una copia de la adición de Daniel Adee de 1848. Cohen también ha traducido nuevas ediciones: Introducción a los Principia de Newton , 1970; y Principia de Isaac Newton, con lecturas variantes , 1972. Cajori también escribió Historia de la ciencia , que está en línea. ^{[ cita completa requerida ]}
10. Véase el artículo de I. Bernard Cohen en Scientific American .
11. Para más detalles sobre el grave error en la primera presentación de Poincaré, véase el artículo de Diacu.
12. Babadzanjanz, L. K. (1979), "Existencia de las continuaciones en el problema de N cuerpos", Mecánica celeste , 20 (1): 43–57, Bibcode :1979CeMec..20...43B, doi :10.1007/BF01236607, MR  0538663, S2CID  120358878.
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15. Meyer 2009, págs. 27-28
16. Meyer 2009, pág. 28
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19. Meyer 2009, pág. 34
20. "AST1100 Lecture Notes: 5 The virial theorem" (PDF) . Universidad de Oslo . Consultado el 25 de marzo de 2014 .
21. Trentino 2008
22. Véase Bate, Mueller y White, Capítulo 1: "Mecánica orbital de dos cuerpos", págs. 1–49. Estos autores pertenecían al Departamento de Astronáutica y Ciencias de la Computación de la Academia de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Su libro de texto no está repleto de matemáticas avanzadas.
23. centro de masa común (es decir, el baricentro) de los dos cuerpos está en reposo, entonces cada cuerpo se desplaza a lo largo de una sección cónica que tiene un foco en el baricentro del sistema. En el caso de una hipérbola, tiene la rama al lado de ese foco. Las dos cónicas estarán en el mismo plano. El tipo de cónica ( círculo , elipse , parábola o hipérbola ) se determina hallando la suma de la energía cinética combinada de dos cuerpos y la energía potencial cuando los cuerpos están muy separados. (Esta energía potencial siempre es un valor negativo; la energía de rotación de los cuerpos sobre sus ejes no se cuenta aquí)
    • Si la suma de las energías es negativa, entonces ambas trazan elipses.
    • Si la suma de ambas energías es cero, entonces ambas trazan parábolas. Como la distancia entre los cuerpos tiende a infinito, su velocidad relativa tiende a cero.
    • Si la suma de ambas energías es positiva, entonces ambas trazan hipérbolas. Como la distancia entre los cuerpos tiende al infinito, su velocidad relativa tiende a algún número positivo.
24. Para este enfoque, véase Lindsay's Physical Mechanics , Capítulo 3: "Curvilinear Motion in a Plane", y específicamente los párrafos 3-9, "Planetary Motion"; pp. 83-96. La presentación de Lindsay ayuda mucho a explicar estos últimos comentarios para el problema de dos cuerpos fijos; es decir, cuando se supone que el Sol está fijo.
25. Nota: El hecho de que una órbita parabólica tenga energía cero surge de la suposición de que la energía potencial gravitatoria tiende a cero a medida que los cuerpos se alejan infinitamente. Se podría asignar cualquier valor a la energía potencial en el estado de separación infinita. Se supone que ese estado tiene energía potencial cero por convención.
26. El programa de ciencias The Nature of the Universe afirma que Clarence Cleminshaw (1902-1985) se desempeñó como director asistente del Observatorio Griffith de 1938 a 1958 y como director de 1958 a 1969. Algunas publicaciones de Cleminshaw:
    • Cleminshaw, C. H.: "Celestial Speeds", 4 1953, ecuación, Kepler, órbita, cometa, Saturno, Marte, velocidad. ^{[ cita completa requerida ]}
    • Cleminshaw, C. H.: "La próxima conjunción de Júpiter y Saturno", 7 1960, Saturno, Júpiter, observar, conjunción. ^{[ cita completa requerida ]}
    • Cleminshaw, C. H.: "La escala del sistema solar", 7 1959, Sistema solar, escala, Júpiter, sol, tamaño, luz. ^{[ cita completa requerida ]}
27. Brush, Stephen G., ed. (1983). Maxwell sobre los anillos de Saturno . MIT Press.
28. Véanse los comentarios históricos de Leimanis y Minorsky.
29. el problema restringido de tres cuerpos de Moulton para su solución analítica y gráfica.
30. Véase el libro de Meirovitch: Capítulos 11: "Problemas en mecánica celeste"; 12; "Problemas en dinámica de naves espaciales"; y Apéndice A: "Diádica".
31. Huang, Su-Shu (1960). "Problema de cuatro cuerpos muy restringido". NASA TND-501 . 65 : 347. Bibcode :1960AJ.....65S.347H. doi :10.1086/108151. hdl : 2060/19890068606 .
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33. Chierchia 2010
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35. Véase Chierchia 2010 para ver animaciones que ilustran movimientos homográficos.
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• Szebehely, Victor (1967). Teoría de las órbitas . Academic Press.

Enlaces externos

• Problema de los tres cuerpos en Scholarpedia
• Información más detallada sobre el problema de los tres cuerpos
• Movimientos keplerianos regulares en sistemas clásicos de muchos cuerpos
• Subprograma que muestra el caos en un problema restringido de tres cuerpos Archivado el 17 de octubre de 2009 en Wayback Machine
• Subprogramas que demuestran muchos movimientos diferentes de tres cuerpos
• Sobre la integración de las ecuaciones de n-cuerpos Archivado el 30 de octubre de 2016 en Wayback Machine.
• Subprograma Java que simula el sistema solar
• Subprograma Java que simula una solución estable para el problema de 3 cuerpos de masa equitativa
• Una aplicación Java para simular el movimiento 3D de un conjunto de partículas bajo interacción gravitacional
• Simulación en Javascript de nuestro Sistema Solar
• Los puntos de Lagrange: con enlaces a los artículos originales de Euler y Lagrange, y a traducciones, con debates
• [1]
• Programa de simulación de N-cuerpos en GPU paralela con recorrido rápido de árbol de partículas sin apilado