serie dirichlet

Serie matemática

En matemáticas , una serie de Dirichlet es cualquier serie de la forma

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$$

scomplejosecuenciala serie general de Dirichlet ${\displaystyle a_{n}}$

Las series de Dirichlet desempeñan una variedad de funciones importantes en la teoría analítica de números . La definición más común de la función zeta de Riemann es una serie de Dirichlet, al igual que las funciones L de Dirichlet . Se conjetura que la clase de series de Selberg obedece a la hipótesis generalizada de Riemann . La serie lleva el nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Importancia combinatoria

Las series de Dirichlet se pueden utilizar para generar series para contar conjuntos ponderados de objetos con respecto a un peso que se combina multiplicativamente al tomar productos cartesianos.

Supongamos que A es un conjunto con una función w : A → N asignando un peso a cada uno de los elementos de A , y supongamos adicionalmente que la fibra sobre cualquier número natural bajo ese peso es un conjunto finito. (A tal disposición ( A , w ) la llamamos conjunto ponderado). Supongamos además que an es el _número de elementos de A con peso n . Luego definimos la serie generadora formal de Dirichlet para A con respecto a w de la siguiente manera:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)=\sum _{a\in A}{\frac {1}{w(a)^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

Tenga en cuenta que si A y B son subconjuntos disjuntos de algún conjunto ponderado ( U , w ), entonces la serie de Dirichlet para su unión (disjunta) es igual a la suma de sus series de Dirichlet:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\uplus B}(s)={\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)+{\mathfrak {D}}_{w}^{B}(s).}$

Además, si ( A , u ) y ( B , v ) son dos conjuntos ponderados, y definimos una función de peso w : A × B → N por

${\displaystyle w(a,b)=u(a)v(b),}$

para todo a en A y b en B , entonces tenemos la siguiente descomposición para la serie de Dirichlet del producto cartesiano:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\times B}(s)={\mathfrak {D}}_{u}^{A}(s)\cdot {\mathfrak {D}}_{v}^{B}(s).}$

Esto se deriva en última instancia del simple hecho de que ${\displaystyle n^{-s}\cdot m^{-s}=(nm)^{-s}.}$

Ejemplos

El ejemplo más famoso de una serie de Dirichlet es

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

cuya continuación analítica a (aparte de un simple polo en ) es la función zeta de Riemann . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s=1}$

Siempre que f tenga un valor real en todos los números naturales n , las respectivas partes real e imaginaria de la serie de Dirichlet F tienen fórmulas conocidas donde escribimos : ${\displaystyle s\equiv \sigma +it}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Re [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\cos(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\\\Im [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\sin(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\,.\end{aligned}}}$

Si los tratamos como series formales de Dirichlet por el momento para poder ignorar cuestiones de convergencia, tengamos en cuenta que tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&={\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\mathbb {N} }(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}:n\in \mathbb {N} \}}(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}\}}(s)\\&=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{(p^{n})^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }\left({\frac {1}{p^{s}}}\right)^{n}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\end{aligned}}}$

ya que cada número natural tiene una descomposición multiplicativa única en potencias de números primos. Es esta parte de combinatoria la que inspira la fórmula del producto Euler .

Otro es:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

donde μ ( n ) es la función de Möbius . Esta y muchas de las siguientes series se pueden obtener aplicando la inversión de Möbius y la convolución de Dirichlet a series conocidas. Por ejemplo, dado un carácter de Dirichlet χ ( n ), se tiene

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

donde L ( χ , s ) es una función L de Dirichlet .

Si la función aritmética f tiene una función inversa de Dirichlet , es decir, si existe una función inversa tal que la convolución de Dirichlet de f con su inversa produce la identidad multiplicativa , entonces el DGF de la función inversa viene dado por el recíproco de F : ${\displaystyle f^{-1}(n)}$ ${\textstyle \sum _{d|n}f(d)f^{-1}(n/d)=\delta _{n,1}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f^{-1}(n)}{n^{s}}}=\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)^{-1}.}$

Otras identidades incluyen

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}$

¿ Dónde está la función totiente ? ${\displaystyle \varphi (n)}$

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}}$

donde J _k es la función de Jordan , y

${\displaystyle {\begin{aligned}&\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}\end{aligned}}}$

donde σ _a ( n ) es la función divisora . Por especialización a la función divisora ​​d  =  σ ₀ tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{2}(s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.\end{aligned}}}$

El logaritmo de la función zeta viene dado por

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}$

Del mismo modo tenemos que

${\displaystyle -\zeta '(s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\log(n)}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}$

Aquí, Λ( n ) es la función de von Mangoldt . La derivada logarítmica es entonces

${\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Estos tres últimos son casos especiales de una relación más general para derivadas de series de Dirichlet, que se detallan a continuación.

Dada la función de Liouville λ ( n ), se tiene

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Otro ejemplo más involucra la suma de Ramanujan :

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.}$

Otro par de ejemplos involucran la función de Möbius y la función omega prima : ^[1]

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}.}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}.}$

Tenemos que la serie de Dirichlet para la función zeta prima , que es análoga a la función zeta de Riemann sumada solo sobre índices n que son primos, está dada por una suma sobre la función de Moebius y los logaritmos de la función zeta:

${\displaystyle P(s):=\sum _{p{\text{ prime}}}p^{-s}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns).}$

Aquí se encuentra un gran catálogo tabular de otros ejemplos de sumas correspondientes a representaciones conocidas de la serie Dirichlet.

Aquí se dan ejemplos de DGF de la serie de Dirichlet correspondientes a f aditiva (en lugar de multiplicativa) para las funciones omega primas y , que cuentan respectivamente el número de factores primos distintos de n (con multiplicidad o no). Por ejemplo, el DGF de la primera de estas funciones se expresa como el producto de la función zeta de Riemann y la función zeta prima para cualquier complejo s con : ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\cdot P(s),\Re (s)>1.}$

Si f es una función multiplicativa tal que su DGF F converge absolutamente para todos , y si p es cualquier número primo , tenemos que ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{a,f}}$

${\displaystyle \left(1+f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)}{n^{s}}}=\left(1-f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)\mu (\gcd(p,n))}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f},}$

¿Dónde está la función de Moebius ? Otra identidad única de la serie de Dirichlet genera la función sumatoria de alguna aritmética f evaluada en entradas MCD dada por ${\displaystyle \mu (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}f(\gcd(k,n))\right){\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f}+1.}$

También tenemos una fórmula entre los DGF de dos funciones aritméticas f y g relacionadas por inversión de Moebius . En particular, si , entonces por inversión de Moebius tenemos que . Por lo tanto, si F y G son los dos FGD respectivos de f y g , entonces podemos relacionar estos dos FGD mediante las fórmulas: ${\displaystyle g(n)=(f\ast 1)(n)}$ ${\displaystyle f(n)=(g\ast \mu )(n)}$

${\displaystyle F(s)={\frac {G(s)}{\zeta (s)}},\Re (s)>\max(\sigma _{a,f},\sigma _{a,g}).}$

Existe una fórmula conocida para la exponencial de una serie de Dirichlet. Si es el DGF de alguna aritmética f con , entonces el DGF G se expresa mediante la suma ${\displaystyle F(s)=\exp(G(s))}$ ${\displaystyle f(1)\neq 0}$

${\displaystyle G(s)=\log(f(1))+\sum _{n\geq 2}{\frac {(f^{\prime }\ast f^{-1})(n)}{\log(n)\cdot n^{s}}},}$

donde está la inversa de Dirichlet de f y donde la derivada aritmética de f viene dada por la fórmula para todos los números naturales . ${\displaystyle f^{-1}(n)}$ ${\displaystyle f^{\prime }(n)=\log(n)\cdot f(n)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Propiedades analíticas

Dada una secuencia de números complejos intentamos considerar el valor de ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

en función de la variable compleja s . Para que esto tenga sentido, debemos considerar las propiedades de convergencia de la serie infinita anterior:

Si es una secuencia acotada de números complejos, entonces la correspondiente serie de Dirichlet f converge absolutamente en el semiplano abierto Re( s ) > 1. En general, si a _n = O( n ^k ), la serie converge absolutamente en la mitad plano Re( s ) >  k  + 1. ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

Si el conjunto de sumas

${\displaystyle a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{n+k}}$

está acotada para n y k ≥ 0, entonces la serie infinita anterior converge en el semiplano abierto de s tal que Re( s ) > 0.

En ambos casos f es una función analítica en el semiplano abierto correspondiente.

En general , es la abscisa de convergencia de una serie de Dirichlet si converge y diverge. Este es el análogo para la serie de Dirichlet del radio de convergencia de la serie de potencias . Sin embargo, el caso de la serie de Dirichlet es más complicado: la convergencia absoluta y la convergencia uniforme pueden ocurrir en semiplanos distintos. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$ ${\displaystyle \Re (s)<\sigma .}$

En muchos casos, la función analítica asociada con una serie de Dirichlet tiene una extensión analítica a un dominio más amplio.

Abscisa de convergencia

Suponer

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}}$

converge para algunos ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {C} ,\Re (s_{0})>0.}$

Proposición 1. ${\displaystyle A(N):=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=o(N^{s_{0}}).}$

Prueba. Tenga en cuenta que:

${\displaystyle (n+1)^{s}-n^{s}=\int _{n}^{n+1}sx^{s-1}\,dx={\mathcal {O}}(n^{s-1}).}$

y definir

${\displaystyle B(N)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}=\ell +o(1)}$

dónde

${\displaystyle \ell =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}.}$

Por suma por partes tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}A(N)&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}n^{s_{0}}\\&=B(N)N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}B(n)\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=(B(N)-\ell )N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}(B(n)-\ell )\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=o(N^{s_{0}})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {o}}(n^{s_{0}-1})\\&=o(N^{s_{0}})\end{aligned}}}$

Proposición 2. Definir

${\displaystyle L={\begin{cases}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}&{\text{If convergent}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Entonces:

${\displaystyle \sigma =\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {\ln |A(N)-L|}{\ln N}}=\inf _{\sigma }\left\{A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma })\right\}}$

es la abscisa de convergencia de la serie de Dirichlet.

Prueba. De la definición

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\qquad A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon })}$

de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}&=A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=(A(N)-L)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}(A(n)-L)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon -s})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {O}}(n^{\sigma +\varepsilon -s-1})\end{aligned}}}$

que converge como siempre . Por lo tanto, para cada tal que diverge, tenemos y esto termina la prueba. ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle \Re (s)>\sigma .}$ ${\displaystyle s}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$ ${\displaystyle \sigma \geq \Re (s),}$

Proposición 3. Si converge entonces como y donde es meromórfico ( no tiene polos ). ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle f(\sigma +it)=o\left({\tfrac {1}{\sigma }}\right)}$ ${\displaystyle \sigma \to 0^{+}}$ ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle \Re (s)=0}$

Prueba. Tenga en cuenta que

${\displaystyle n^{-s}-(n+1)^{-s}=sn^{-s-1}+O(n^{-s-2})}$

y tenemos por suma por partes, por ${\displaystyle A(N)-f(0)\to 0}$ ${\displaystyle \Re (s)>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}\\&=\lim _{N\to \infty }A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}+\underbrace {{\mathcal {O}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-2}\right)} _{={\mathcal {O}}(1)}\end{aligned}}}$

Ahora encuentre N tal que para n  >  N , ${\displaystyle |A(n)-f(0)|<\varepsilon }$

${\displaystyle s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}=\underbrace {sf(0)\zeta (s+1)+s\sum _{n=1}^{N}(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{={\mathcal {O}}(1)}+\underbrace {s\sum _{n=N+1}^{\infty }(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{<\varepsilon |s|\int _{N}^{\infty }x^{-\Re (s)-1}\,dx}}$

y por tanto, para cada existe tal que para : ^[2] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle |f(\sigma +it)|<C+\varepsilon |\sigma +it|{\frac {1}{\sigma }}.}$

Serie formal de Dirichlet

Una serie formal de Dirichlet sobre un anillo R está asociada a una función a desde los enteros positivos hasta R

${\displaystyle D(a,s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}\ }$

con suma y multiplicación definidas por

${\displaystyle D(a,s)+D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a+b)(n)n^{-s}\ }$

${\displaystyle D(a,s)\cdot D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a*b)(n)n^{-s}\ }$

dónde

${\displaystyle (a+b)(n)=a(n)+b(n)\ }$

es la suma puntual y

${\displaystyle (a*b)(n)=\sum _{k\mid n}a(k)b(n/k)\ }$

es la convolución de Dirichlet de a y b .

La serie formal de Dirichlet forma un anillo Ω, de hecho un R -álgebra, con la función cero como elemento cero aditivo y la función δ definida por δ (1) = 1, δ ( n ) = 0 para n  > 1 como identidad multiplicativa. Un elemento de este anillo es invertible si a (1) es invertible en R . Si R es conmutativo, también lo es Ω; si R es un dominio integral , también lo es Ω. Las funciones multiplicativas distintas de cero forman un subgrupo del grupo de unidades de Ω.

El anillo de la serie formal de Dirichlet sobre C es isomorfo a un anillo de la serie formal de potencias en un número contable de variables. ^[3]

Derivados

Dado

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

es posible demostrar que

${\displaystyle F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}}$

suponiendo que el lado derecho converge. Para una función completamente multiplicativa ƒ( n ), y asumiendo que la serie converge para Re( s ) > σ ₀ , entonces se tiene que

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

converge para Re( s ) > σ ₀ . Aquí, Λ( n ) es la función de von Mangoldt .

Productos

Suponer

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

y

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}$

Si tanto F ( s ) como G ( s ) son absolutamente convergentes para s > a y s > b entonces tenemos

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

Si a = b y ƒ ( n ) = g ( n ) tenemos

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

Inversión de coeficientes (fórmula integral)

Para todos los números enteros positivos , la función f en x ,, se puede recuperar a partir de la función generadora de Dirichlet (DGF) F de f (o la serie de Dirichlet sobre f ) usando la siguiente fórmula integral siempre que , la abscisa de convergencia absoluta del DGF F ^[4] ${\displaystyle x\geq 1}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a,f}}$

${\displaystyle f(x)=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +it}F(\sigma +it)dt.}$

También es posible invertir la transformada de Mellin de la función sumatoria de f que define el DGF F de f para obtener los coeficientes de la serie de Dirichlet (ver la sección siguiente). En este caso, llegamos a una fórmula integral de contorno compleja relacionada con el teorema de Perron. En términos prácticos, las tasas de convergencia de la fórmula anterior en función de T son variables, y si la serie de Dirichlet F es sensible a los cambios de signo como una serie que converge lentamente, puede requerir un T muy grande para aproximar los coeficientes de F usando este fórmula sin tomar el límite formal.

Otra variante de la fórmula anterior expuesta en el libro de Apostol proporciona una fórmula integral para una suma alternativa en la siguiente forma para y cualquier real donde denotamos : ${\displaystyle c,x>0}$ ${\displaystyle \Re (s)\equiv \sigma >\sigma _{a,f}-c}$ ${\displaystyle \Re (s):=\sigma }$

${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}^{\prime }{\frac {f(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }D_{f}(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz.}$

Transformaciones integrales y en serie.

La transformada inversa de Mellin de una serie de Dirichlet, dividida por s, viene dada por la fórmula de Perron . Además, si es la función generadora ordinaria (formal) de la secuencia de , entonces una representación integral para la serie de Dirichlet de la secuencia de la función generadora, está dada por ^[5] ${\textstyle F(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \{f_{n}z^{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}z^{n}}{(n+1)^{s}}}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)\,dt,\ s\geq 1.}$

Otra clase de transformaciones de funciones generadoras basadas en series y derivadas relacionadas en la función generadora ordinaria de una secuencia que efectivamente produce la expansión del lado izquierdo en la ecuación anterior se definen respectivamente en ^{[6] [7]}

Relación con las series de potencias

La secuencia an _generada por una función generadora de series de Dirichlet correspondiente a:

${\displaystyle \zeta (s)^{m}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

donde ζ ( s ) es la función zeta de Riemann , tiene la función generadora ordinaria:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=x+{m \choose 1}\sum _{a=2}^{\infty }x^{a}+{m \choose 2}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }x^{ab}+{m \choose 3}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }x^{abc}+{m \choose 4}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }x^{abcd}+\cdots }$

Relación con la función sumatoria de una función aritmética mediante transformadas de Mellin

Si f es una función aritmética con su correspondiente DGF F , y la función sumatoria de f está definida por

${\displaystyle S_{f}(x):={\begin{cases}\sum _{n\leq x}f(n),&x\geq 1;\\0,&0<x<1,\end{cases}}}$

entonces podemos expresar F mediante la transformada de Mellin de la función sumatoria en . Es decir, tenemos eso ${\displaystyle -s}$

${\displaystyle F(s)=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {S_{f}(x)}{x^{s+1}}}dx,\Re (s)>\sigma _{a,f}.}$

Para y cualquier número natural , también tenemos la aproximación al DGF F de f dada por ${\displaystyle \sigma :=\Re (s)>0}$ ${\displaystyle N\geq 1}$

${\displaystyle F(s)=\sum _{n\leq N}f(n)n^{-s}-{\frac {S_{f}(N)}{N^{s}}}+s\cdot \int _{N}^{\infty }{\frac {S_{f}(y)}{y^{s+1}}}dy.}$

Ver también

• Serie del general Dirichlet
• Regularización de la función Zeta
• Producto Euler
• convolución de Dirichlet

Referencias

1. Las fórmulas para ambas series se dan en la Sección 27.4 del Manual de funciones matemáticas del NIST.
2. Resistente, GH ; Riesz, M. (1915). La teoría general de las series de Dirichlet. Cambridge Tracts en Matemáticas y Física Matemática. vol. 18. Prensa de la Universidad de Cambridge.
3. Cashwell, ED; Everett, CJ (1959). "El anillo de funciones de teoría de números". Pacífico J. Matemáticas . 9 (4): 975–985. doi : 10.2140/pjm.1959.9.975 . ISSN  0030-8730. Señor  0108510. Zbl  0092.04602.
4. La sección 11.11 del libro de Apostol prueba esta fórmula.
5. Borwein, David; Borwein, Jonathan M.; Girgensohn, Roland (1995). "Evaluación explícita de sumas de Euler". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo. Serie II . 38 (2): 277–294. doi :10.1017/S0013091500019088. hdl : 1959.13/1043647 .
6. Schmidt, Doctor en Medicina (2017). "La serie Zeta genera transformaciones de funciones relacionadas con funciones polilogarítmicas y los números armónicos de orden k" (PDF) . Revista en línea de combinatoria analítica (12).
7. Schmidt, Doctor en Medicina (2016). "Transformaciones de funciones generadoras de series Zeta relacionadas con números de Stirling generalizados y sumas parciales de la función Zeta de Hurwitz". arXiv : 1611.00957 [matemáticas.CO].

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001
• Hardy, GH ; Riesz, Marcel (1915). La teoría general de las series de Dirichlet . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 18. Prensa de la Universidad de Cambridge.
• La teoría general de las series de Dirichlet de GH Hardy. Monografías de matemáticas históricas de la biblioteca de la Universidad de Cornell. {Reimpreso por} Colecciones digitales de la biblioteca de la Universidad de Cornell
• Gould, Henry W.; Shonhiwa, Temba (2008). "Un catálogo de interesantes series de Dirichlet". Señorita J. Math. Ciencia . 20 (1). Archivado desde el original el 2 de octubre de 2011.
• Mathar, Richard J. (2011). "Estudio de la serie de Dirichlet de funciones aritméticas multiplicativas". arXiv : 1106.4038 [matemáticas.NT].
• Tenenbaum, Gerald (1995). Introducción a la teoría de números analítica y probabilística . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 46. ​​Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-41261-7. Zbl  0831.11001.
• "Serie Dirichlet". PlanetMath .