En matemáticas , la fórmula de inversión de Mellin (llamada así en honor a Hjalmar Mellin ) nos indica las condiciones bajo las cuales la transformada inversa de Mellin , o equivalentemente la transformada inversa de Laplace de dos caras , se define y recupera la función transformada.
Método
Si es analítico en la tira , y si tiende a cero uniformemente como para cualquier valor real c entre a y b , con su integral a lo largo de dicha línea convergiendo absolutamente, entonces si
tenemos eso
Por el contrario, supongamos que es continuo por partes en los números reales positivos , tomando un valor a medio camino entre los valores límite en cualquier discontinuidad de salto, y supongamos que la integral
es absolutamente convergente cuando . Luego es recuperable mediante la transformada Mellin inversa de su transformada Mellin . Estos resultados se pueden obtener relacionando la transformada de Mellin con la transformada de Fourier mediante un cambio de variables y luego aplicando una versión apropiada del teorema de inversión de Fourier . [1]
Condición de limitación
La condición de acotación se puede fortalecer si es continua. Si es analítica en la tira , y si , donde K es una constante positiva, entonces, según lo definido por la integral de inversión, existe y es continua; además, la transformada de Mellin es de al menos .
Por otro lado, si estamos dispuestos a aceptar un original que sea una función generalizada , podemos relajar la condición de acotación para convertirla simplemente en crecimiento polinomial en cualquier franja cerrada contenida en la franja abierta .
También podemos definir una versión espacial de Banach de este teorema. Si llamamos por el espacio ponderado L p de funciones complejas valoradas en los reales positivos tales que
donde ν y p son números reales fijos con , entonces si
está con , entonces pertenece a con y
Aquí se identifican funciones, idénticas en todas partes excepto en un conjunto de medida cero.
Dado que la transformada de Laplace de dos caras se puede definir como
Estos teoremas también se le pueden aplicar inmediatamente.
Ver también
Referencias
- ^ Debnath, Lokenath (2015). Transformadas integrales y sus aplicaciones. Prensa CRC. ISBN 978-1-4822-2357-6. OCLC 919711727.
- Flajolet, P .; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). "Transformadas de Mellin y asintóticas: sumas armónicas" (PDF) . Informática Teórica . 144 (1–2): 3–58. doi :10.1016/0304-3975(95)00002-E.
- McLachlan, noroeste (1953). Teoría de variables complejas y cálculo de transformadas . Prensa de la Universidad de Cambridge.
- Polianina, AD; Manzhirov, AV (1998). Manual de ecuaciones integrales . Boca Ratón: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.
- Titchmarsh, CE (1948). Introducción a la Teoría de las Integrales de Fourier (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Oxford.
- Yakubovich, SB (1996). Transformaciones de índice . Científico mundial. ISBN 981-02-2216-5.
- Zemanian, AH (1968). Transformadas Integrales Generalizadas . John Wiley e hijos.
enlaces externos
- Tablas de transformadas integrales en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.