Transformación de Mellin

Operación matemática

En matemáticas , la transformada de Mellin es una transformada integral que puede considerarse como la versión multiplicativa de la transformada bilateral de Laplace . Esta transformada integral está estrechamente relacionada con la teoría de las series de Dirichlet y se utiliza a menudo en la teoría de números , la estadística matemática y la teoría de expansiones asintóticas ; está estrechamente relacionada con la transformada de Laplace y la transformada de Fourier , y con la teoría de la función gamma y funciones especiales afines .

La transformada de Mellin de una función de valor complejo f definida en es la función de variable compleja dada (donde exista, vea la tira fundamental a continuación) por Nótese que es una medida de Haar en el grupo multiplicativo y es un carácter multiplicativo (en general no unitario) . La transformada inversa es La notación implica que esta es una integral de línea tomada sobre una línea vertical en el plano complejo, cuya parte real c solo necesita satisfacer un límite inferior leve. Las condiciones bajo las cuales esta inversión es válida se dan en el teorema de inversión de Mellin . ${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{\times }=(0,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}f}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\int _{\mathbf {R} _{+}^{\times }}f(x)x^{s}{\frac {dx}{x}}.}$$ ${\displaystyle dx/x}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{\times }}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{s}}$ $${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.}$$

La transformada debe su nombre al matemático finlandés Hjalmar Mellin , quien la introdujo en un artículo publicado en 1897 en Acta Societatis Scientiarum Fennicæ. ^[1]

Relación con otras transformaciones

La transformada de Laplace de dos caras se puede definir en términos de la transformada de Mellin por y, a la inversa, podemos obtener la transformada de Mellin a partir de la transformada de Laplace de dos caras por $${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}$$ $${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).}$$

Se puede pensar que la transformada de Mellin se integra utilizando un núcleo x ^s con respecto a la medida de Haar multiplicativa , , que es invariante bajo dilatación , de modo que la transformada de Laplace de dos lados se integra con respecto a la medida de Haar aditiva , que es invariante a la traslación, de modo que . ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$ ${\displaystyle x\mapsto ax}$ ${\textstyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}};}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle d(x+a)=dx}$

También podemos definir la transformada de Fourier en términos de la transformada de Mellin y viceversa; en términos de la transformada de Mellin y de la transformada de Laplace bilateral definida anteriormente. También podemos invertir el proceso y obtener $${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)\ .}$$ $${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)\ .}$$

La transformada de Mellin también conecta la serie de Newton o transformada binomial junto con la función generadora de Poisson , mediante el ciclo de Poisson-Mellin-Newton .

La transformada de Mellin también puede verse como la transformada de Gelfand para el álgebra de convolución del grupo abeliano localmente compacto de números reales positivos con multiplicación.

Ejemplos

Integral de Cahen-Mellin

La transformada de Mellin de la función es donde es la función gamma . es una función meromórfica con polos simples en . ^[2] Por lo tanto, es analítica para . Por lo tanto, dejando y en la rama principal , la transformada inversa da ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}dx}$$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle z=0,-1,-2,\dots }$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>0}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle z^{-s}}$ $${\displaystyle e^{-z}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)z^{-s}\;ds.}$$

Esta integral se conoce como integral de Cahen-Mellin. ^[3]

Funciones polinómicas

Como no es convergente para ningún valor de , la transformada de Mellin no está definida para funciones polinómicas definidas en todo el eje real positivo. Sin embargo, al definirla como cero en diferentes secciones del eje real, es posible tomar la transformada de Mellin. Por ejemplo, si entonces ${\textstyle \int _{0}^{\infty }x^{a}dx}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{a}&x<1,\\0&x>1,\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{1}x^{s-1}x^{a}dx=\int _{0}^{1}x^{s+a-1}dx={\frac {1}{s+a}}.}$$

Por lo tanto , tiene un polo simple en y, por lo tanto, está definido para . De manera similar, si entonces Por lo tanto, tiene un polo simple en y, por lo tanto, está definido para . ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle s=-a}$ ${\displaystyle \Re (s)>-a}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x<1,\\x^{b}&x>1,\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{1}^{\infty }x^{s-1}x^{b}dx=\int _{1}^{\infty }x^{s+b-1}dx=-{\frac {1}{s+b}}.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle s=-b}$ ${\displaystyle \Re (s)<-b}$

Funciones exponenciales

Para , sea . Entonces ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle f(x)=e^{-px}}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-px}{\frac {dx}{x}}=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {u}{p}}\right)^{s}e^{-u}{\frac {du}{u}}={\frac {1}{p^{s}}}\int _{0}^{\infty }u^{s}e^{-u}{\frac {du}{u}}={\frac {1}{p^{s}}}\Gamma (s).}$$

Función zeta

Es posible utilizar la transformada de Mellin para producir una de las fórmulas fundamentales para la función zeta de Riemann , . Sea . Entonces , ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\textstyle f(x)={\frac {1}{e^{x}-1}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {1}{e^{x}-1}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {e^{-x}}{1-e^{-x}}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-nx}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\Gamma (s)=\Gamma (s)\zeta (s).}$$ $${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {1}{e^{x}-1}}dx.}$$

Gaussiano generalizado

Para , sea (es decir, es una distribución gaussiana generalizada sin el factor de escala). Entonces En particular, el ajuste recupera la siguiente forma de la función gamma ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle f(x)=e^{-x^{p}}}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x^{p}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}x^{s-p}e^{-x^{p}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}(x^{p})^{s/p-1}e^{-x^{p}}dx={\frac {1}{p}}\int _{0}^{\infty }u^{s/p-1}e^{-u}du={\frac {\Gamma (s/p)}{p}}.}$$ ${\displaystyle s=1}$ $${\displaystyle \Gamma \left(1+{\frac {1}{p}}\right)=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{p}}dx.}$$

Serie de potencias y serie de Dirichlet

En general, asumiendo la convergencia necesaria, podemos conectar la serie de Dirichlet y las series de potencias relacionadas mediante la identidad formal que involucra la transformada de Mellin: ^[4] $${\displaystyle F(s)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},\quad f(z)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)F(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(e^{-x})dx}$$

Franja fundamental

Para , sea que la franja abierta se defina como todas aquellas que con La franja fundamental de se define como la franja abierta más grande en la que está definida. Por ejemplo, para la franja fundamental de es Como se ve en este ejemplo, las asintóticas de la función como definen el extremo izquierdo de su franja fundamental, y las asintóticas de la función como definen su extremo derecho. Para resumir usando la notación Big O , si es como y como entonces se define en la franja ^[5] ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s=\sigma +it}$ ${\displaystyle \alpha <\sigma <\beta .}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle a>b}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{a}&x<1,\\x^{b}&x>1,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \langle -a,-b\rangle .}$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle O(x^{a})}$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle O(x^{b})}$ ${\displaystyle x\to +\infty ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle \langle -a,-b\rangle .}$

Una aplicación de esto se puede ver en la función gamma, ya que es como y para todos , entonces debe definirse en la tira, lo que confirma que es analítica para ${\displaystyle \Gamma (s).}$ ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$ ${\displaystyle O(x^{0})}$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle O(x^{k})}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \Gamma (s)={\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle \langle 0,+\infty \rangle ,}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>0.}$

Propiedades

Las propiedades de esta tabla se pueden encontrar en Bracewell (2000) y Erdélyi (1954).

Teorema de Parseval y teorema de Plancherel

Sean y funciones con transformadas de Mellin bien definidas en las franjas fundamentales . Sea con . Si las funciones y también son integrables al cuadrado en el intervalo , entonces se cumple la fórmula de Parseval : ^[6] La integración en el lado derecho se realiza a lo largo de la línea vertical que se encuentra completamente dentro de la superposición de las franjas fundamentales (transformadas adecuadas). ${\displaystyle f_{1}(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{1,2}(s)={\mathcal {M}}\{f_{1,2}\}(s)}$ ${\displaystyle \alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \max(\alpha _{1},1-\beta _{2})<c<\min(\beta _{1},1-\alpha _{2})}$ ${\displaystyle x^{c-1/2}\,f_{1}(x)}$ ${\displaystyle x^{1/2-c}\,f_{2}(x)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{1}(x)\,f_{2}(x)\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\tilde {f_{1}}}(s)\,{\tilde {f_{2}}}(1-s)\,ds}$$ ${\displaystyle \Re r=c}$

Podemos reemplazar por . Esto da la siguiente forma alternativa del teorema: Sea y funciones con transformadas de Mellin bien definidas en las franjas fundamentales . Sea con y elija con . Si las funciones y también son integrables al cuadrado en el intervalo , entonces tenemos ^[6] Podemos reemplazar por . Esto da el siguiente teorema: Sea una función con transformada de Mellin bien definida en la franja fundamental . Sea con . Si la función también es integrable al cuadrado en el intervalo , entonces se cumple el teorema de Plancherel : ^[7] ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)\,x^{s_{0}-1}}$ ${\displaystyle f_{1}(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{1,2}(s)={\mathcal {M}}\{f_{1,2}\}(s)}$ ${\displaystyle \alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha _{1}<c<\beta _{1}}$ ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \alpha _{2}<\Re s_{0}-c<\beta _{2}}$ ${\displaystyle x^{c-1/2}\,f_{1}(x)}$ ${\displaystyle x^{s_{0}-c-1/2}\,f_{2}(x)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{1}(x)\,f_{2}(x)\,x^{s_{0}-1}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\tilde {f_{1}}}(s)\,{\tilde {f_{2}}}(s_{0}-s)\,ds}$$ ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle {\overline {f_{1}(x)}}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\mathcal {M}}\{f\}(s)}$ ${\displaystyle \alpha <\Re s<\beta }$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha <c<\beta }$ ${\displaystyle x^{c-1/2}\,f(x)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|^{2}\,x^{2c-1}dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {f}}(c+it)|^{2}\,dt}$$

Como una isometría enyo2espacios

En el estudio de los espacios de Hilbert , la transformada de Mellin se plantea a menudo de una manera ligeramente diferente. Para funciones en (véase el espacio Lp ) la franja fundamental siempre incluye , por lo que podemos definir un operador lineal como En otras palabras, hemos establecido Este operador suele denotarse simplemente por y se denomina "transformada de Mellin", pero se utiliza aquí para distinguirlo de la definición utilizada en otras partes de este artículo. El teorema de inversión de Mellin muestra entonces que es invertible con inversa Además, este operador es una isometría , es decir para todos (esto explica por qué se utilizó el factor de ). ${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ $${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),}$$ $${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx.}$$ $${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}+is).}$$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ $${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),}$$ $${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.}$$ ${\displaystyle \|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(0,\infty )}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

En la teoría de la probabilidad

En teoría de probabilidad, la transformada de Mellin es una herramienta esencial para estudiar las distribuciones de productos de variables aleatorias. ^[8] Si X es una variable aleatoria, y X ⁺ = max{ X ,0 } denota su parte positiva, mientras que X ⁻ = max{− X ,0 } es su parte negativa, entonces la transformada de Mellin de X se define como ^[9] donde γ es una indeterminación formal con γ ² = 1 . Esta transformada existe para todos los s en alguna franja compleja D = { s  : a ≤ Re( s ) ≤ b } , donde a ≤ 0 ≤ b . ^[9] $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+\gamma \int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),}$$

La transformada de Mellin de una variable aleatoria X determina de forma única su función de distribución F _X . ^[9] La importancia de la transformada de Mellin en la teoría de la probabilidad radica en el hecho de que si X e Y son dos variables aleatorias independientes, entonces la transformada de Mellin de su producto es igual al producto de las transformadas de Mellin de X e Y : ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(it)}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)}$$

Problemas con el laplaciano en un sistema de coordenadas cilíndricas

En el Laplaciano en coordenadas cilíndricas en una dimensión genérica (coordenadas ortogonales con un ángulo y un radio, y las longitudes restantes) siempre hay un término: $${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)=f_{rr}+{\frac {f_{r}}{r}}}$$

Por ejemplo, en coordenadas polares 2-D el Laplaciano es: y en coordenadas cilíndricas 3-D el Laplaciano es, $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

Este término se puede tratar con la transformada de Mellin, ^[11] ya que: $${\displaystyle {\mathcal {M}}\left(r^{2}f_{rr}+rf_{r},r\to s\right)=s^{2}{\mathcal {M}}\left(f,r\to s\right)=s^{2}F}$$

Por ejemplo, la ecuación de Laplace 2-D en coordenadas polares es la EDP en dos variables: y por multiplicación: con una transformada de Mellin en el radio se convierte en el oscilador armónico simple : con solución general: $${\displaystyle r^{2}f_{rr}+rf_{r}+f_{\theta \theta }=0}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}=0}$$ $${\displaystyle F_{\theta \theta }+s^{2}F=0}$$ $${\displaystyle F(s,\theta )=C_{1}(s)\cos(s\theta )+C_{2}(s)\sin(s\theta )}$$

Ahora, por ejemplo, impongamos algunas condiciones de borde de cuña simples a la ecuación original de Laplace: estas son particularmente simples para la transformada de Mellin y se convierten en: $${\displaystyle f(r,-\theta _{0})=a(r),\quad f(r,\theta _{0})=b(r)}$$ $${\displaystyle F(s,-\theta _{0})=A(s),\quad F(s,\theta _{0})=B(s)}$$

Estas condiciones impuestas a la solución la particularizan en: $${\displaystyle F(s,\theta )=A(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}-\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}+B(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}+\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}}$$

Ahora bien, mediante el teorema de convolución para la transformada de Mellin, la solución en el dominio de Mellin se puede invertir: donde se empleó la siguiente relación de transformada inversa: donde . $${\displaystyle f(r,\theta )={\frac {r^{m}\cos(m\theta )}{2\theta _{0}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {a(x)}{x^{2m}+2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}+{\frac {b(x)}{x^{2m}-2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}\right)x^{m-1}\,dx}$$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}^{-1}\left({\frac {\sin(s\varphi )}{\sin(2\theta _{0}s)}};s\to r\right)={\frac {1}{2\theta _{0}}}{\frac {r^{m}\sin(m\varphi )}{1+2r^{m}\cos(m\varphi )+r^{2m}}}}$$ ${\displaystyle m={\frac {\pi }{2\theta _{0}}}}$

Aplicaciones

La transformada de Mellin se utiliza ampliamente en informática para el análisis de algoritmos ^[12] debido a su propiedad de invariancia de escala . La magnitud de la transformada de Mellin de una función escalada es idéntica a la magnitud de la función original para entradas puramente imaginarias. Esta propiedad de invariancia de escala es análoga a la propiedad de invariancia de desplazamiento de la transformada de Fourier. La magnitud de una transformada de Fourier de una función desplazada en el tiempo es idéntica a la magnitud de la transformada de Fourier de la función original.

Esta propiedad es útil en el reconocimiento de imágenes . La imagen de un objeto se puede escalar fácilmente cuando el objeto se acerca o se aleja de la cámara.

En mecánica cuántica y especialmente en teoría cuántica de campos , el espacio de Fourier es enormemente útil y se utiliza ampliamente porque el momento y la posición son transformadas de Fourier entre sí (por ejemplo, los diagramas de Feynman se calculan mucho más fácilmente en el espacio de momento). En 2011, A. Liam Fitzpatrick, Jared Kaplan, João Penedones , Suvrat Raju y Balt C. van Rees demostraron que el espacio de Mellin cumple una función análoga en el contexto de la correspondencia AdS/CFT . ^{[13] [14] [15]}

Ejemplos

• La fórmula de Perron describe la transformada de Mellin inversa aplicada a una serie de Dirichlet .
• La transformada de Mellin se utiliza en el análisis de la función de conteo de primos y aparece en las discusiones sobre la función zeta de Riemann .
• Las transformadas de Mellin inversas ocurren comúnmente en las medias de Riesz .
• La transformada de Mellin se puede utilizar en la modificación del tono de la escala de tiempo del audio ^{[ cita requerida ]} .

Tabla de transformadas de Mellin seleccionadas

La siguiente lista de ejemplos interesantes de la transformada de Mellin se puede encontrar en Bracewell (2000) y Erdélyi (1954):

Véase también

• Teorema de inversión de Mellin
• La fórmula de Perron
• Teorema maestro de Ramanujan

Notas

1. Mellin, Hj. "Zur Theorie zweier allgemeinen Klassen bestimmter Integrale". Acta Societatis Scientiarum Fennicæ . XXII, N:o 2: 1–75.
2. Whittaker, ET ; Watson, GN (1996). Un curso de análisis moderno . Cambridge University Press.
3. Hardy, GH ; Littlewood, JE (1916). "Contribuciones a la teoría de la función zeta de Riemann y a la teoría de la distribución de números primos". Acta Mathematica . 41 (1): 119–196. doi : 10.1007/BF02422942 . (Véanse las notas allí para obtener más referencias al trabajo de Cahen y Mellin, incluida la tesis de Cahen).
4. Wintner, Aurel (1947). "Sobre la reducción de Riemann de las series de Dirichlet a series de potencias". American Journal of Mathematics . 69 (4): 769–789. doi : 10.2307/2371798 .
5. Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). "Transformadas de Mellin y asintóticas: sumas armónicas" (PDF) . Ciencias de la Computación Teórica . 144 (1–2): 3–58. doi :10.1016/0304-3975(95)00002-e.
6. Titchmarsh (1948, pág. 95).
7. Titchmarsh (1948, pág. 94).
8. Galambos y Simonelli (2004, pág.15)
9. Galambos y Simonelli (2004, p.16)
10. Galambos y Simonelli (2004, pág.23)
11. Bhimsen, Shivamoggi, Capítulo 6: La transformada de Mellin, párrafo 4.3: Distribución de un potencial en una cuña, págs. 267-8
12. Philippe Flajolet y Robert Sedgewick. El análisis de casos promedio de algoritmos: asintóticas de transformada de Mellin. Informe de investigación 2956. 93 páginas. Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (INRIA), 1996.
13. A. Liam Fitzpatrick, Jared Kaplan, Joao Penedones, Suvrat Raju, Balt C. van Rees. "Un lenguaje natural para correlacionadores AdS/CFT".
14. A. Liam Fitzpatrick, Jared Kaplan. "Unitaridad y la matriz S holográfica"
15. A. Liam Fitzpatrick. "AdS/CFT y la matriz S holográfica", videoconferencia.
16. Jacqueline Bertrand, Pierre Bertrand, Jean-Philippe Ovarlez. La transformada de Mellin. Manual de transformadas y aplicaciones, 1995, 978-1420066524. ffhal-03152634f

Referencias

• Lokenath Debnath; Dambaru Bhatta (19 de abril de 2016). Transformadas integrales y sus aplicaciones. CRC Press. ISBN 978-1-4200-1091-6.
• Galambos, Janos; Simonelli, Italo (2004). Productos de variables aleatorias: aplicaciones a problemas de física y a funciones aritméticas . Marcel Dekker, Inc. ISBN 0-8247-5402-6.
• Paris, RB; Kaminski, D. (2001). Asintótica e integrales de Mellin-Barnes . Cambridge University Press. ISBN 9780521790017.
• Polyanin, AD; Manzhirov, AV (1998). Manual de ecuaciones integrales . Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.
• Bracewell, Ronald N. (2000). La transformada de Fourier y sus aplicaciones (3.ª ed.).
• Erdélyi, Arthur (1954). Tablas de Transformadas Integrales . vol. 1. McGraw-Hill.
• Titchmarsh, EC (1948). Introducción a la teoría de las integrales de Fourier (2.ª ed.).
• Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). "Transformadas de Mellin y asintóticas: sumas armónicas" (PDF) . Theoretical Computer Science . 144 (1–2): 3–58. doi :10.1016/0304-3975(95)00002-e.
• Tablas de transformadas integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• "Transformada de Mellin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Transformada de Mellin". MathWorld .
• Algunas aplicaciones de la transformada de Mellin en estadística (artículo)

Enlaces externos

• Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Transformadas de Mellin y Asintóticas: Sumas armónicas.
• Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, grupo de noticias es.ciencia.matematicas
• Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas (en español).
• Métodos de transformación de Mellin, Biblioteca digital de funciones matemáticas , 29 de agosto de 2011, Instituto Nacional de Estándares y Tecnología
• Antonio De Sena y Davide Rocchesso, Una rápida transformación de Mellin con aplicaciones en DAFX