Riesz significa

En matemáticas , la media de Riesz es una media determinada de los términos de una serie . Fue introducida por Marcel Riesz en 1911 como una mejora de la media de Cesàro ^{[1] [2]} . La media de Riesz no debe confundirse con la media de Bochner-Riesz o la media de Strong-Riesz.

Definición

Dada una serie , la media de Riesz de la serie se define por ${\displaystyle \{s_{n}\}}$

${\displaystyle s^{\delta }(\lambda )=\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }s_{n}}$

A veces, una media de Riesz generalizada se define como

${\displaystyle R_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\sum _{k=0}^{n}(\lambda _{k}-\lambda _{k-1})^{\delta }s_{k}}$

Aquí, son una secuencia con y con como . Aparte de esto, se toman como arbitrarios. ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}\to \infty }$ ${\displaystyle \lambda _{n+1}/\lambda _{n}\to 1}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$

Las medias de Riesz se utilizan a menudo para explorar la sumabilidad de secuencias; los teoremas de sumabilidad típicos analizan el caso de para alguna secuencia . Normalmente, una secuencia es sumable cuando existe el límite, o el límite existe, aunque los teoremas de sumabilidad precisos en cuestión a menudo imponen condiciones adicionales. ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$ ${\displaystyle \{a_{k}\}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{\delta \to 1,\lambda \to \infty }s^{\delta }(\lambda )}$

Casos especiales

Dejar para todos . Entonces ${\displaystyle a_{n}=1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}.}$

Aquí, se debe tomar ; es la función Gamma y es la función zeta de Riemann . La serie de potencias ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle \sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}}$

se puede demostrar que es convergente para . Nótese que la integral tiene la forma de una transformada de Mellin inversa . ${\displaystyle \lambda >1}$

Otro caso interesante relacionado con la teoría de números surge al tomar donde es la función de Von Mangoldt . Entonces ${\displaystyle a_{n}=\Lambda (n)}$ ${\displaystyle \Lambda (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.}$

Nuevamente, se debe tomar c  > 1. La suma sobre ρ es la suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, y

${\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,}$

es convergente para λ  > 1.

Las integrales que ocurren aquí son similares a la integral de Nörlund-Rice ; a grandes rasgos, se pueden conectar con esa integral a través de la fórmula de Perron .

Referencias

• ^ M. Riesz, Comptes Rendus , 12 de junio de 1911
• ^ Hardy, GH y Littlewood, JE (1916). "Contribuciones a la teoría de la función zeta de Riemann y a la teoría de la distribución de números primos". Acta Mathematica . 41 : 119–196. doi : 10.1007/BF02422942 .
• Volkov, II (2001) [1994], "Método de suma de Riesz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press