Serie del general Dirichlet

En el campo del análisis matemático , una serie general de Dirichlet es una serie infinita que toma la forma de

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},}$

donde , son números complejos y es una secuencia estrictamente creciente de números reales no negativos que tiende al infinito. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}\}}$

Una simple observación muestra que una serie de Dirichlet "ordinaria"

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

se obtiene sustituyendo mientras que una serie de potencias ${\displaystyle \lambda _{n}=\ln n}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(e^{-s})^{n},}$

se obtiene cuando . ${\displaystyle \lambda _{n}=n}$

Teoremas fundamentales

Si una serie de Dirichlet es convergente en , entonces es uniformemente convergente en el dominio ${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i}$

${\displaystyle |\arg(s-s_{0})|\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},}$

y convergente para cualquier lugar . ${\displaystyle s=\sigma +ti}$ ${\displaystyle \sigma >\sigma _{0}}$

Ahora hay tres posibilidades con respecto a la convergencia de una serie de Dirichlet, es decir, puede converger para todos, para ninguno o para algunos valores de s . En el último caso, existe un tal que la serie es convergente y divergente para . Por convención, si la serie converge en ninguna parte y si la serie converge en todas partes en el plano complejo . ${\displaystyle \sigma _{c}}$ ${\displaystyle \sigma >\sigma _{c}}$ ${\displaystyle \sigma <\sigma _{c}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}=\infty }$ ${\displaystyle \sigma _{c}=-\infty }$

Abscisa de convergencia

La abscisa de convergencia de una serie de Dirichlet se puede definir como se indicó anteriormente. Otra definición equivalente es ${\displaystyle \sigma _{c}}$

${\displaystyle \sigma _{c}=\inf \left\{\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}{\text{ converges for every }}s{\text{ for which }}\operatorname {Re} (s)>\sigma \right\}.}$

La línea se llama línea de convergencia . El semiplano de convergencia se define como ${\displaystyle \sigma =\sigma _{c}}$

${\displaystyle \mathbb {C} _{\sigma _{c}}=\{s\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} (s)>\sigma _{c}\}.}$

La abscisa , la línea y el semiplano de convergencia de una serie de Dirichlet son análogos al radio , el límite y el disco de convergencia de una serie de potencias .

En la línea de convergencia, la cuestión de la convergencia permanece abierta como en el caso de las series de potencias. Sin embargo, si una serie de Dirichlet converge y diverge en diferentes puntos de la misma recta vertical, entonces esta recta debe ser la recta de convergencia. La prueba está implícita en la definición de abscisa de convergencia. Un ejemplo sería la serie.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-ns},}$

que converge en ( serie armónica alterna ) y diverge en ( serie armónica ). Así, es la línea de convergencia. ${\displaystyle s=-\pi i}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \sigma =0}$

Supongamos que una serie de Dirichlet no converge en , entonces está claro que y diverge. Por otro lado, si una serie de Dirichlet converge en , entonces y converge. Así, existen dos fórmulas para calcular , dependiendo de cuya convergencia se puede determinar mediante diversas pruebas de convergencia . Estas fórmulas son similares al teorema de Cauchy-Hadamard para el radio de convergencia de una serie de potencias. ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \sigma _{c}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \sigma _{c}\leq 0}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

Si es divergente, es decir , entonces viene dado por ${\displaystyle \sum a_{k}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}\geq 0}$ ${\displaystyle \sigma _{c}}$

${\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}|}{\lambda _{n}}}.}$

Si es convergente, es decir , entonces viene dado por ${\displaystyle \sum a_{k}}$ ${\displaystyle \sigma _{c}\leq 0}$ ${\displaystyle \sigma _{c}}$

${\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots |}{\lambda _{n}}}.}$

Abscisa de convergencia absoluta

Una serie de Dirichlet es absolutamente convergente si la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}e^{-\lambda _{n}s}|,}$

es convergente. Como es habitual, una serie de Dirichlet absolutamente convergente es convergente, pero lo contrario no siempre es cierto.

Si una serie de Dirichlet es absolutamente convergente en , entonces es absolutamente convergente para todos los s donde . Una serie de Dirichlet puede converger absolutamente para todos, para ninguno o para algunos valores de s . En el último caso, existe tal que la serie converge absolutamente para y converge no absolutamente para . ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\operatorname {Re} (s_{0})}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}$ ${\displaystyle \sigma <\sigma _{a}}$

La abscisa de la convergencia absoluta se puede definir como arriba, o de manera equivalente como ${\displaystyle \sigma _{a}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{a}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ converges absolutely for}}\\&{\text{every }}s{\text{ for which}}\operatorname {Re} (s)>\sigma {\Big \}}.\end{aligned}}}$

La línea y el semiplano de convergencia absoluta se pueden definir de manera similar. También hay dos fórmulas para calcular . ${\displaystyle \sigma _{a}}$

Si es divergente, entonces viene dado por ${\displaystyle \sum |a_{k}|}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$

${\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|)}{\lambda _{n}}}.}$

Si es convergente, entonces viene dado por ${\displaystyle \sum |a_{k}|}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$

${\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots )}{\lambda _{n}}}.}$

En general, la abscisa de convergencia no coincide con la abscisa de convergencia absoluta. Por tanto, podría haber una franja entre la línea de convergencia y la convergencia absoluta donde una serie de Dirichlet es condicionalmente convergente . El ancho de esta franja está dado por

${\displaystyle 0\leq \sigma _{a}-\sigma _{c}\leq L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}.}$

En el caso donde L = 0, entonces

${\displaystyle \sigma _{c}=\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}|}{\lambda _{n}}}.}$

Todas las fórmulas proporcionadas hasta ahora siguen siendo válidas para las series de Dirichlet "ordinarias" sustituyendo . ${\displaystyle \lambda _{n}=\log n}$

Otras abscisas de convergencia

Es posible considerar otras abscisas de convergencia para una serie de Dirichlet. La abscisa de la convergencia acotada viene dada por ${\displaystyle \sigma _{b}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{b}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ is bounded in the half-plane }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}},\end{aligned}}}$

mientras que la abscisa de la convergencia uniforme viene dada por ${\displaystyle \sigma _{u}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{u}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ converges uniformly in the half-plane }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}}.\end{aligned}}}$

Estas abscisas están relacionadas con la abscisa de convergencia y de convergencia absoluta mediante las fórmulas ${\displaystyle \sigma _{c}}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$

${\displaystyle \sigma _{c}\leq \sigma _{b}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}}$,

y un notable teorema de Bohr muestra de hecho que para cualquier serie ordinaria de Dirichlet donde (es decir, series de Dirichlet de la forma ), y ^[1] Bohnenblust y Hille demostraron posteriormente que para cada número hay series de Dirichlet para las cuales ^[2] ${\displaystyle \lambda _{n}=\ln(n)}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$ ${\displaystyle \sigma _{u}=\sigma _{b}}$ ${\displaystyle \sigma _{a}\leq \sigma _{u}+1/2;}$ ${\displaystyle d\in [0,0.5]}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$ ${\displaystyle \sigma _{a}-\sigma _{u}=d.}$

Una fórmula para la abscisa de convergencia uniforme para la serie general de Dirichlet se da de la siguiente manera: para cualquiera , sea , entonces ^[3] ${\displaystyle \sigma _{u}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$ ${\displaystyle N\geq 1}$ ${\displaystyle U_{N}=\sup _{t\in \mathbb {R} }\{|\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{it\lambda _{n}}|\}}$ ${\displaystyle \sigma _{u}=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\log U_{N}}{\lambda _{N}}}.}$

Funciones analíticas

Una función representada por una serie de Dirichlet

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},}$

es analítico en el semiplano de convergencia. Además, para ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}s}.}$

Otras generalizaciones

Una serie de Dirichlet se puede generalizar aún más al caso de múltiples variables donde , k = 2, 3, 4,..., o al caso de variable compleja donde , m = 1, 2, 3,... ${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {C} ^{m}}$

Referencias

1. McCarthy, John E. (2018). "Serie Dirichlet" (PDF) .
2. Bohnenblust y Hille (1931). "Sobre la convergencia absoluta de la serie Dirichlet". Anales de Matemáticas . 32 (3): 600–622. doi :10.2307/1968255. JSTOR  1968255.
3. "Serie de Dirichlet: distancia entre σu y σc". Intercambio de pila . Consultado el 26 de junio de 2020 .

• GH Hardy y M. Riesz, La teoría general de la serie de Dirichlet , Cambridge University Press, primera edición, 1915.
• EC Titchmarsh , La teoría de funciones , Oxford University Press, segunda edición, 1939.
• Tom Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números , Springer, segunda edición, 1990.
• AF Leont'ev, Funciones completas y series de exponenciales (en ruso), Nauka, primera edición, 1982.
• AI Markushevich, Teoría de funciones de variables complejas (traducido del ruso), Chelsea Publishing Company, segunda edición, 1977.
• J.-P. Serre , Un curso de aritmética , Springer-Verlag, quinta edición, 1973.
• John E. McCarthy, Serie Dirichlet , 2018.
• HF Bohnenblust y Einar Hille, Serie Sobre la convergencia absoluta de Dirichlet , Anales de Matemáticas, segunda serie, vol. 32, núm. 3 (julio de 1931), págs.

enlaces externos

• "Serie Dirichlet". PlanetMath .
• "Serie Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]