Número cuadrado

Producto de un número entero consigo mismo

Cuadrado número 16 como suma de gnomons .

En matemáticas , un número cuadrado o cuadrado perfecto es un número entero que es el cuadrado de un número entero; ^[1] en otras palabras, es el producto de algún número entero consigo mismo. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado, ya que es igual a 3 ² y se puede escribir como 3 × 3 .

La notación habitual para el cuadrado de un número n no es el producto n  ×  n , sino la exponenciación equivalente n ² , generalmente pronunciada como " n al cuadrado". El nombre número cuadrado proviene del nombre de la forma. La unidad de área se define como el área de un cuadrado unitario ( 1 × 1 ). Por lo tanto, un cuadrado con longitud de lado n tiene área n ² . Si un número cuadrado está representado por n puntos, los puntos se pueden organizar en filas como un cuadrado, cada lado del cual tiene el mismo número de puntos que la raíz cuadrada de n ; por tanto, los números cuadrados son un tipo de números figurados (otros ejemplos son los números cúbicos y los números triangulares ).

En el sistema de números reales , los números cuadrados no son negativos . Un número entero no negativo es un número cuadrado cuando su raíz cuadrada es nuevamente un número entero. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado. ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3,}$

Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados excepto 1 se llama libre de cuadrados .

Para un entero no negativo n , el enésimo número cuadrado es n ² , siendo 0 ² = 0 el cero . El concepto de cuadrado se puede extender a algunos otros sistemas numéricos. Si se incluyen números racionales , entonces un cuadrado es la razón de dos números enteros cuadrados y, a la inversa, la razón de dos números enteros cuadrados es un cuadrado, por ejemplo, . ${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}$

A partir de 1, hay números cuadrados hasta m inclusive , donde la expresión representa el piso del número  x . ${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

Ejemplos

Los cuadrados (secuencia A000290 en la OEIS ) menores que 60 ²  = 3600 son:

0 ² = 0

1 ² = 1

2 ² = 4

3 ² = 9

4 ² = 16

5 ² = 25

6 ² = 36

7 ² = 49

8 ² = 64

9 ² = 81

10 ² = 100

11 ² = 121

12 ² = 144

13 ² = 169

14 ² = 196

15 ² = 225

16 ² = 256

17 ² = 289

18 ² = 324

19 ² = 361

20 ² = 400

21 ² = 441

22 ² = 484

23 ² = 529

24 ² = 576

25 ² = 625

26 ² = 676

27 ² = 729

28 ² = 784

29 ² = 841

30 ² = 900

31 ² = 961

32 ² = 1024

33 ² = 1089

34 ² = 1156

35 ² = 1225

36 ² = 1296

37 ² = 1369

38 ² = 1444

39 ² = 1521

40 ² = 1600

41 ² = 1681

42 ² = 1764

43 ² = 1849

44 ² = 1936

45 ² = 2025

46 ² = 2116

47 ² = 2209

48 ² = 2304

49 ² = 2401

50 ² = 2500

51 ² = 2601

52 ² = 2704

53 ² = 2809

54 ² = 2916

55 ² = 3025

56 ² = 3136

57 ² = 3249

58 ² = 3364

59 ² = 3481

La diferencia entre cualquier cuadrado perfecto y su predecesor está dada por la identidad n ² − ( n − 1) ² = 2 n − 1 . De manera equivalente, es posible contar números cuadrados sumando el último cuadrado, la raíz del último cuadrado y la raíz actual, es decir, n ² = ( n − 1) ² + ( n − 1) + n .

Propiedades

El número m es un número cuadrado si y sólo si se pueden disponer m puntos en un cuadrado:

La expresión para el n- ésimo número cuadrado es n ² . Esto también es igual a la suma de los primeros n números impares como se puede ver en las imágenes de arriba, donde resulta un cuadrado del anterior al sumar un número impar de puntos (que se muestra en magenta). La fórmula es la siguiente:

$${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}$$

5 ² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

La suma de los primeros n enteros impares es n ² . 1 + 3 + 5 + ... + (2 norte - 1) = norte ² . Visualización animada en 3D sobre un tetraedro.

Existen varios métodos recursivos para calcular números cuadrados. Por ejemplo, el n -ésimo número cuadrado se puede calcular a partir del cuadrado anterior mediante n ² = ( n − 1) ² + ( n − 1) + n = ( n − 1) ² + (2 n − 1) . Alternativamente, el n -ésimo número cuadrado se puede calcular a partir de los dos anteriores duplicando el ( n  − 1) ésimo cuadrado, restando el ( n  − 2) ésimo cuadrado y sumando 2, porque n ² = 2( n − 1) ² - ( norte - 2) ² + 2 . Por ejemplo,

2 × 5 ² − 4 ² + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6 ² .

El cuadrado menos uno de un número m es siempre el producto de y es decir, ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle m+1;}$

$${\displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1).}$$

7 ² = 49número primo1m = 2m133 = 2 ² − 1 ${\displaystyle 6\times 8=48}$

De manera más general, la diferencia de los cuadrados de dos números es el producto de su suma y su diferencia. Eso es,

$${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$$

fórmula de diferencia de cuadrados47 × 5350 ² − 3 ² = 2500 − 9 = 2491números triangularesnúmero cuadrado centradonúmero octogonal centrado

Otra propiedad de un número cuadrado es que (excepto el 0) tiene un número impar de divisores positivos, mientras que otros números naturales tienen un número par de divisores positivos. Una raíz entera es el único divisor que se empareja consigo mismo para producir el número cuadrado, mientras que otros divisores vienen en pares.

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo se puede escribir como la suma de cuatro o menos cuadrados perfectos. Tres cuadrados no son suficientes para números de la forma 4 ^k (8 m + 7) . Un número entero positivo se puede representar como una suma de dos cuadrados precisamente si su factorización prima no contiene potencias impares de primos de la forma 4 k + 3 . Esto está generalizado por el problema de Waring .

En base 10 , un número cuadrado puede terminar sólo con los dígitos 0, 1, 4, 5, 6 o 9, de la siguiente manera:

• si el último dígito de un número es 0, su cuadrado termina en 00;
• si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado termina en un dígito par seguido de un 1;
• si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado termina en un dígito par seguido de un 4;
• si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado termina en un dígito par seguido de un 9;
• si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado termina en un dígito impar seguido de un 6; y
• si el último dígito de un número es 5, su cuadrado termina en 25.

En base 12 , un número cuadrado puede terminar solo con dígitos cuadrados (como en base 12, un número primo puede terminar solo con dígitos primos o 1), es decir, 0, 1, 4 o 9, de la siguiente manera:

• si un número es divisible tanto por 2 como por 3 (es decir, divisible por 6), su cuadrado termina en 0 y su dígito anterior debe ser 0 o 3;
• si un número no es divisible ni por 2 ni por 3, su cuadrado termina en 1 y su cifra anterior debe ser par;
• si un número es divisible por 2, pero no por 3, su cuadrado termina en 4 y su dígito anterior debe ser 0, 1, 4, 5, 8 o 9; y
• Si un número no es divisible por 2, sino por 3, su cuadrado termina en 9 y su cifra anterior debe ser 0 o 6.

Se pueden dar reglas similares para otras bases o para dígitos anteriores (el dígito de las decenas en lugar del de las unidades, por ejemplo). ^{[ cita requerida ]} Todas estas reglas se pueden probar verificando un número fijo de casos y usando aritmética modular .

En general, si un primo  p divide un número cuadrado  m, entonces el cuadrado de p también debe dividir a m ; si p no se puede dividirmetro/pag, entonces m definitivamente no es cuadrado. Repitiendo las divisiones de la frase anterior, se concluye que todo primo debe dividir un cuadrado perfecto dado un número par de veces (incluso posiblemente 0 veces). Así, el número m es un número cuadrado si y sólo si, en su representación canónica , todos los exponentes son pares.

La prueba de cuadricidad se puede utilizar como forma alternativa en la factorización de números grandes. En lugar de probar la divisibilidad, pruebe la cuadritud: para m dado y algún número  k , si k ² − m es el cuadrado de un número entero  n, entonces k − n divide a m . (Ésta es una aplicación de la factorización de una diferencia de dos cuadrados ). Por ejemplo, 100 ² − 9991 es el cuadrado de 3, por lo que 100 − 3 divide a 9991. Esta prueba es determinista para divisores impares en el rango de k − n a k + n donde k cubre algún rango de números naturales ${\displaystyle k\geq {\sqrt {m}}.}$

Un número cuadrado no puede ser un número perfecto .

La suma de los n primeros números cuadrados es

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.}$$

números piramidales cuadradosA000330OEIS

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 00, 5525, 6201...

Prueba sin palabras del teorema de la suma de números impares

La suma de los primeros números impares, empezando por uno, es un cuadrado perfecto: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, etc. Esto explica la ley de los números impares de Galileo : si un cuerpo caer desde el reposo cubre una unidad de distancia en el primer intervalo de tiempo arbitrario, cubre 3, 5, 7, etc., unidades de distancia en intervalos de tiempo posteriores de la misma longitud. De , para u = 0 y a constante (aceleración por gravedad sin resistencia del aire); entonces s es proporcional a t ² , y la distancia desde el punto inicial son cuadrados consecutivos para valores enteros de tiempo transcurrido. ^[2] ${\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$

La suma de los n primeros cubos es el cuadrado de la suma de los n primeros enteros positivos; este es el teorema de Nicómaco .

Todas las cuartas potencias, sextas potencias, octavas potencias, etc., son cuadrados perfectos.

Una relación única con números triangulares es: ${\displaystyle T_{n}}$

$${\displaystyle (T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}}$$

Números cuadrados pares e impares

Los cuadrados de números pares son pares y son divisibles por 4, ya que (2 n ) ² = 4 n ² . Los cuadrados de los números impares son impares y son congruentes con 1 módulo 8, ya que (2 n + 1) ² = 4 n ( n + 1) + 1 , y n ( n + 1) siempre es par. En otras palabras, todos los números cuadrados impares tienen un resto de 1 cuando se dividen por 8.

Todo cuadrado perfecto impar es un número octogonal centrado . La diferencia entre dos cuadrados perfectos impares cualesquiera es múltiplo de 8. La diferencia entre 1 y cualquier cuadrado perfecto impar mayor siempre es ocho veces un número triangular, mientras que la diferencia entre 9 y cualquier cuadrado perfecto impar mayor es ocho veces un número triangular menos ocho. Dado que todos los números triangulares tienen un factor impar, pero no hay dos valores de 2 ⁿ que difieran en una cantidad que contenga un factor impar, el único cuadrado perfecto de la forma 2 ⁿ − 1 es 1, y el único cuadrado perfecto de la forma 2 ⁿ + 1 es 9.

Casos especiales

• Si el número tiene la forma m 5 donde m representa los dígitos anteriores, su cuadrado es n 25 donde n = m ( m + 1) y representa dígitos antes de 25. Por ejemplo, el cuadrado de 65 se puede calcular mediante n = 6 × (6 + 1) = 42 lo que hace que el cuadrado sea igual a 4225.
• Si el número tiene la forma m 0 donde m representa los dígitos anteriores, su cuadrado es n 00 donde n = m ² . Por ejemplo, el cuadrado de 70 es 4900.
• Si el número tiene dos dígitos y tiene la forma 5 m donde m representa el dígito de las unidades, su cuadrado es aabb donde aa = 25 + my bb = m ² . Por ejemplo, para calcular el cuadrado de 57, m = 7 y 25 + 7 = 32 y 7 ² = 49 , entonces 57 ² = 3249 .
• Si el número termina en 5, su cuadrado terminará en 5; de manera similar para terminar en 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, etc. Si el número termina en 6, su cuadrado terminará en 6, de manera similar para terminar en 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Por ejemplo, el cuadrado de 55376 es 3066501376 y ambos terminan en 376 . (Los números 5, 6, 25, 76, etc. se llaman números automórficos . Son la secuencia A003226 en la OEIS . ^[3] )
• En base 10, los dos últimos dígitos de los números cuadrados siguen un patrón repetitivo reflejado simétrico alrededor de múltiplos de 25. En el ejemplo de 24 y 26, ambos están a 1 de 25, 24 ² = 576 y 26 ² = 676 , ambos terminan en 76. . En general, . Se aplica un patrón análogo para los últimos 3 dígitos alrededor de múltiplos de 250, y así sucesivamente. Como consecuencia, de los 100 últimos 2 dígitos posibles, sólo 22 de ellos aparecen entre números cuadrados (ya que 00 y 25 se repiten). ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$

Ver también

• Identidad Brahmagupta-Fibonacci  : expresión de un producto de sumas de cuadrados como suma de cuadrados
• Número cúbico  : número elevado a la tercera potencia.
• Identidad de los cuatro cuadrados de Euler  : producto de sumas de cuatro cuadrados expresadas como suma de cuatro cuadrados
• Teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados  : condición bajo la cual un primo impar es suma de dos cuadrados
• Algunas identidades que involucran varios cuadrados.
• Raíz cuadrada entera  : mayor entero menor o igual que la raíz cuadrada
• Métodos para calcular raíces cuadradas  – Algoritmos para calcular raíces cuadradas
• Potencia de dos  : dos elevado a una potencia entera
• Triple pitagórico  : longitudes enteras de los lados de un triángulo rectángulo
• Residuo cuadrático  : entero que es un módulo cuadrado perfecto algún número entero
• Función cuadrática  – Función polinómica de grado dos
• Número triangular cuadrado  : entero que es a la vez un cuadrado perfecto y un número triangular

Notas

1. Algunos autores también llaman cuadrados perfectos a los cuadrados de números racionales .
2. Olenick, Richard P.; Apóstol, Tom M.; Goodstein, David L. (14 de enero de 2008). El universo mecánico: introducción a la mecánica y el calor. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 18.ISBN​ 978-0-521-71592-8.
3. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A003226 (Números automórficos: n^2 termina en n.)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

Otras lecturas

• Conway, JH y Guy, RK El libro de los números . Nueva York: Springer-Verlag, págs. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X 
• Kiran Parulekar. Propiedades asombrosas de los cuadrados y sus cálculos . Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC