Intersección

Concepto en matemáticas

La intersección (roja) de dos discos (blanco y rojo con límites negros).

El círculo (negro) corta la línea (púrpura) en dos puntos (rojo). El disco (amarillo) intersecta la línea en el segmento de línea entre los dos puntos rojos.

La intersección de D y E se muestra en color violeta grisáceo. La intersección de A con cualquiera de B, C, D o E es el conjunto vacío .

En matemáticas , la intersección de dos o más objetos es otro objeto formado por todo lo que está contenido en todos los objetos simultáneamente. Por ejemplo, en la geometría euclidiana , cuando dos rectas en un plano no son paralelas, su intersección es el punto en el que se encuentran. De manera más general, en teoría de conjuntos , la intersección de conjuntos se define como el conjunto de elementos que pertenecen a todos ellos. A diferencia de la definición euclidiana, esta no supone que los objetos considerados se encuentren en un espacio común .

La intersección es uno de los conceptos básicos de la geometría . Una intersección puede tener varias formas geométricas , pero un punto es la más común en una geometría plana . La geometría de incidencia define una intersección (generalmente, de pisos ) como un objeto de dimensión inferior que incide en cada uno de los objetos originales. En este enfoque, a veces una intersección puede no estar definida, como en el caso de líneas paralelas . En ambos casos el concepto de intersección se basa en una conjunción lógica . La geometría algebraica define las intersecciones a su manera con la teoría de intersecciones .

Unicidad

Puede haber más de un objeto primitivo, como puntos (en la imagen de arriba), que forman una intersección. La intersección se puede ver colectivamente como todos los objetos compartidos (es decir, la operación de intersección da como resultado un conjunto , posiblemente vacío) o como varios objetos de intersección ( posiblemente cero ).

En la teoría de conjuntos

Considerando que una carretera corresponde al conjunto de todas sus ubicaciones, una intersección de carreteras (cian) de dos carreteras (verde, azul) corresponde a la intersección de sus conjuntos.

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos que están tanto en A como en B. Formalmente,

${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}}$. ^[1]

Por ejemplo, si y , entonces . Un ejemplo más elaborado (que involucra conjuntos infinitos) es: ${\displaystyle A=\{1,3,5,7\}}$ ${\displaystyle B=\{1,2,4,6\}}$ ${\displaystyle A\cap B=\{1\}}$

${\displaystyle A=\{x:{\text{ x is an even integer}}\}}$

${\displaystyle B=\{x:{\text{ x is an integer divisible by 3}}\}}$ ${\displaystyle {\text{ , then}}}$

${\displaystyle A\cap B=\{6,12,18,\dots \}}$

Como otro ejemplo, el número 5 no está contenido en la intersección del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11,...} y el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10,... } , porque aunque 5 es un número primo, no lo es. De hecho, el número 2 es el único número en la intersección de estos dos conjuntos. En este caso, la intersección tiene significado matemático: el número 2 es el único número primo par.

En geometría

El punto rojo representa el punto en el que se cruzan las dos líneas.

En geometría , una intersección es un punto, línea o curva común a dos o más objetos (como líneas, curvas, planos y superficies). El caso más simple en geometría euclidiana es la intersección línea-línea entre dos líneas distintas , que o es un punto (a veces llamado vértice ) o no existe (si las líneas son paralelas ). Otros tipos de intersección geométrica incluyen:

• Intersección línea-plano
• Intersección línea-esfera
• Intersección de un poliedro con una recta.
• Intersección de segmentos de línea
• Curva de intersección

La determinación de la intersección de planos (objetos geométricos lineales incrustados en un espacio de dimensiones superiores ) es una tarea simple de álgebra lineal , es decir, la solución de un sistema de ecuaciones lineales . En general, la determinación de una intersección conduce a ecuaciones no lineales , que pueden resolverse numéricamente , por ejemplo mediante la iteración de Newton . Los problemas de intersección entre una recta y una sección cónica (círculo, elipse, parábola, etc.) o una cuádrica (esfera, cilindro, hiperboloide, etc.) conducen a ecuaciones cuadráticas que se pueden resolver fácilmente. Las intersecciones entre cuádricas conducen a ecuaciones de cuarto grado que pueden resolverse algebraicamente .

Notación

La intersección se denota por U+2229 ∩ INTERSECCIÓN de Operadores matemáticos Unicode .

El símbolo U+2229 ∩ INTERSECCIÓN fue utilizado por primera vez por Hermann Grassmann en Die Ausdehnungslehre von 1844 como símbolo de operación general, no especializado para intersecciones. A partir de ahí, Giuseppe Peano (1858-1932) lo utilizó como intersección, en 1888 en el Calcolo geométrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann . ^{[2] [3]}

Peano también creó los símbolos grandes para la intersección y unión general de más de dos clases en su libro Formulario matemático de 1908 . ^{[4] [5]}

Ver también

• Geometría sólida constructiva , la intersección booleana es una de las formas de combinar formas 2D/3D.
• Modelo dimensionalmente extendido de 9 intersecciones
• Meet (teoría de la red)
• Intersección (teoría de conjuntos)
• Unión (teoría de conjuntos)

Referencias

1. Vereshchagin, Nikolai Konstantinovich; Shen, Alejandro (1 de enero de 2002). Teoría de conjuntos básica. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821827314.
2. Peano, Giuseppe (1 de enero de 1888). Calcolo geométrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann: preceduto dalle operazioni della logica deduttiva (en italiano). Turín: Fratelli Bocca .
3. Cajori, Florian (1 de enero de 2007). Una historia de las notaciones matemáticas. Turín: Cosimo, Inc. ISBN 9781602067141.
4. Peano, Giuseppe (1 de enero de 1908). Formulario matemático, tomo V (en italiano). Torino: Edizione cremonese (Reimpresión facsímil en Roma, 1960). pag. 82. OCLC  23485397.
5. Primeros usos de los símbolos de la teoría y la lógica de conjuntos

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Intersección". MundoMatemático .