Desigualdad de Hölder

Desigualdad entre integrales en espacios Lp

En análisis matemático , la desigualdad de Hölder , llamada así en honor a Otto Hölder , es una desigualdad fundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de espacios L p .

Desigualdad de Hölder  —  Sea ( S , Σ, μ ) un espacio de medida y sea p , q ∈ [1, ∞] con 1/ p + 1/ q = 1 . Entonces, para todas las funciones reales o complejas mensurables f y g en S ,

$${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$$

Si, además, p , q ∈ (1, ∞) y f ∈ L ^p ( μ ) y g ∈ L ^q ( μ ) , entonces la desigualdad de Hölder se convierte en una igualdad si y sólo si | f  | ^p y | g | ^q son linealmente dependientes en L ¹ ( μ ) , lo que significa que existen números reales α , β ≥ 0 , no ambos cero, tales que α | f  | ^p = β | g | ^q μ - casi en todas partes .

Se dice que los números p y q anteriores son conjugados de Hölder entre sí. El caso especial p = q = 2 da una forma de la desigualdad de Cauchy-Schwarz . ^[1] La desigualdad de Hölder se cumple incluso si ‖ fg ‖ ₁ es infinito , siendo el lado derecho también infinito en ese caso. Por el contrario, si f está en L ^p ( μ ) y g está en L ^q ( μ ) , entonces el producto puntual fg está en L ¹ ( μ ) .

La desigualdad de Hölder se utiliza para demostrar la desigualdad de Minkowski , que es la desigualdad triangular en el espacio L ^p ( μ ) , y también para establecer que L ^q ( μ ) es el espacio dual de L ^p ( μ ) para p ∈ [1, ∞) .

La desigualdad de Hölder (en una forma ligeramente diferente) fue descubierta por primera vez por Leonard James Rogers  (1888). Inspirado por el trabajo de Rogers, Hölder (1889) dio otra prueba como parte de un trabajo que desarrollaba el concepto de funciones convexas y cóncavas e introducía la desigualdad de Jensen ^[2] , que a su vez recibió ese nombre por el trabajo de Johan Jensen, que se basó en el trabajo de Hölder. ^[3]

Observaciones

Convenciones

El breve enunciado de la desigualdad de Hölder utiliza algunas convenciones.

• En la definición de conjugados de Hölder, 1/∞ significa cero.
• Si p , q ∈ [1, ∞) , entonces ‖ f  ‖ _p y ‖ g ‖ _q representan las expresiones (posiblemente infinitas)

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\\&\left(\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}\end{aligned}}}$

• Si p = ∞ , entonces ‖ f  ‖ _∞ representa el supremo esencial de | f  | , de manera similar para ‖ g ‖ _∞ .
• La notación ‖ f  ‖ _p con 1 ≤ p ≤ ∞ es un ligero abuso, porque en general sólo es una norma de f si ‖ f  ‖ _p es finito y f se considera como clase de equivalencia de funciones μ -casi en todas partes iguales-. Si f ∈ L ^p ( μ ) y g ∈ L ^q ( μ ) , entonces la notación es adecuada.
• En el lado derecho de la desigualdad de Hölder, tanto 0 × ∞ como ∞ × 0 significan 0. Multiplicar a > 0 por ∞ da ∞.

Estimaciones para productos integrables

Como se indicó anteriormente, sean f y g funciones reales o complejas medibles definidas en S. Si ‖ fg ‖ ₁ es finito, entonces los productos puntuales de f con g y su función conjugada compleja son μ -integrables, la estimación

${\displaystyle {\biggl |}\int _{S}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu {\biggr |}\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu =\|fg\|_{1}}$

y se cumple la similar para fg , y la desigualdad de Hölder se puede aplicar al lado derecho. En particular, si f y g están en el espacio de Hilbert L ² ( μ ) , entonces la desigualdad de Hölder para p = q = 2 implica

${\displaystyle |\langle f,g\rangle |\leq \|f\|_{2}\|g\|_{2},}$

donde los corchetes angulares se refieren al producto interno de L ² ( μ ) . Esto también se llama desigualdad de Cauchy-Schwarz , pero requiere para su enunciado que ‖ f  ‖ ₂ y ‖ g ‖ ₂ sean finitos para asegurarse de que el producto interno de f y g esté bien definido. Podemos recuperar la desigualdad original (para el caso p = 2 ) utilizando las funciones | f  | y | g | en lugar de f y g .

Generalización para medidas de probabilidad

Si ( S , Σ, μ ) es un espacio de probabilidad , entonces p , q ∈ [1, ∞] solo necesitan satisfacer 1/ p + 1/ q ≤ 1 , en lugar de ser conjugados de Hölder. Una combinación de la desigualdad de Hölder y la desigualdad de Jensen implica que

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$

para todas las funciones reales o complejas mensurables f y g en  S .

Casos especiales notables

Para los siguientes casos supongamos que p y q están en el intervalo abierto (1,∞) con 1/ p + 1/ q = 1 .

Medida de conteo

Para el espacio euclidiano -dimensional , cuando el conjunto tiene la medida de conteo , tenemos ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}{\text{ for all }}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ or }}\mathbb {C} ^{n}.}$

A menudo se utiliza la siguiente forma práctica de esto, para cualquier : ${\displaystyle (r,s)\in \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r}\,|y_{k}|^{s}{\biggr )}^{r+s}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{r}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{s}.}$

Para más de dos sumas, se cumple la siguiente generalización (Chen (2015)), con exponentes positivos reales y : ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}+\lambda _{b}+\cdots +\lambda _{z}=1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{\lambda _{a}}\,|b_{k}|^{\lambda _{b}}\cdots |z_{k}|^{\lambda _{z}}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{a}}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{b}}\cdots {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|z_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{z}}.}$

La igualdad se cumple si y solo si . ${\displaystyle |a_{1}|:|a_{2}|:\cdots :|a_{n}|=|b_{1}|:|b_{2}|:\cdots :|b_{n}|=\cdots =|z_{1}|:|z_{2}|:\cdots :|z_{n}|}$

Si utilizamos la medida de conteo, entonces obtenemos la desigualdad de Hölder para espacios de secuencias : ${\displaystyle S=\mathbb {N} }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}{\text{ for all }}(x_{k})_{k\in \mathbb {N} },(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }{\text{ or }}\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }.}$

Medida de Lebesgue

Si es un subconjunto medible de con la medida de Lebesgue , y y son funciones reales o complejas mensurables en , entonces la desigualdad de Hölder es ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \int _{S}{\bigl |}f(x)g(x){\bigr |}\,\mathrm {d} x\leq {\biggl (}\int _{S}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\int _{S}|g(x)|^{q}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{q}}.}$

Medida de probabilidad

Para el espacio de probabilidad , denotemos el operador de expectativa . Para variables aleatorias de valor real o complejo y en la desigualdad de Hölder se lee ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ),}$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega ,}$

${\displaystyle \mathbb {E} [|XY|]\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Sea y defina Entonces es el conjugado de Hölder de Aplicando la desigualdad de Hölder a las variables aleatorias y obtenemos ${\displaystyle 1<r<s<\infty }$ ${\displaystyle p={\tfrac {s}{r}}.}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle |X|^{r}}$ ${\displaystyle 1_{\Omega }}$

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{r}{\bigr ]}\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{s}{\bigr ]}\right)^{\frac {r}{s}}.}$

En particular, si el ^momento absoluto s es finito, entonces el momento  ^absoluto r también es finito. (Esto también se desprende de la desigualdad de Jensen ).

Medida del producto

Para dos espacios de medida σ-finitos ( S ₁ , Σ ₁ , μ ₁ ) y ( S ₂ , Σ ₂ , μ ₂ ) definamos el espacio de medida producto por

${\displaystyle S=S_{1}\times S_{2},\quad \Sigma =\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2},\quad \mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2},}$

donde S es el producto cartesiano de S ₁ y S ₂ , la σ-álgebra Σ surge como producto σ-álgebra de Σ ₁ y Σ ₂ , y μ denota la medida del producto de μ ₁ y μ ₂ . Entonces el teorema de Tonelli nos permite reescribir la desigualdad de Hölder usando integrales iteradas : Si  f y g son Σ -funciones reales o complejas medibles en el producto cartesiano  S , entonces

${\displaystyle \int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)\,g(x,y)|\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|g(x,y)|^{q}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Esto puede generalizarse a más de dos espacios de medida σ-finitos .

Funciones con valores vectoriales

Sea ( S , Σ, μ ) un espacio de medida σ-finito y supongamos que f = ( f ₁ , ..., f _n ) y g = ( g ₁ , ..., g _n ) son funciones Σ -medibles en S , que toman valores en el espacio euclidiano real o complejo de n dimensiones. Al tomar el producto con la medida de conteo en {1, ..., n } , podemos reescribir la versión de medida del producto anterior de la desigualdad de Hölder en la forma

${\displaystyle \int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)\,g_{k}(x)|\,\mu (\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)|^{p}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|g_{k}(x)|^{q}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Si las dos integrales del lado derecho son finitas, entonces la igualdad se cumple si y sólo si existen números reales α , β ≥ 0 , no ambos cero, tales que

${\displaystyle \alpha \left(|f_{1}(x)|^{p},\ldots ,|f_{n}(x)|^{p}\right)=\beta \left(|g_{1}(x)|^{q},\ldots ,|g_{n}(x)|^{q}\right),}$

para μ -casi todo x en S .

Esta versión de dimensión finita se generaliza a funciones f y g que toman valores en un espacio normado que podría ser, por ejemplo, un espacio de secuencia o un espacio de producto interno .

Prueba de la desigualdad de Hölder

Hay varias pruebas de la desigualdad de Hölder; la idea principal que sigue es la desigualdad de Young para productos .

Prueba

Si ‖ f  ‖ _p = 0 , entonces f es cero μ -casi en todas partes, y el producto fg es cero μ -casi en todas partes, por lo tanto el lado izquierdo de la desigualdad de Hölder es cero. Lo mismo es cierto si ‖ g ‖ _q = 0 . Por lo tanto, podemos suponer ‖ f  ‖ _p > 0 y ‖ g ‖ _q > 0 en lo siguiente.

Si ‖ f  ‖ _p = ∞ o ‖ g ‖ _q = ∞ , entonces el lado derecho de la desigualdad de Hölder es infinito. Por lo tanto, podemos suponer que ‖ f  ‖ _p y ‖ g ‖ _q están en (0, ∞) .

Si p = ∞ y q = 1 , entonces | fg | ≤ ‖ f  ‖ _∞ | g | casi en todas partes y la desigualdad de Hölder se deduce de la monotonía de la integral de Lebesgue. De manera similar para p = 1 y q = ∞ . Por lo tanto, podemos suponer que p , q ∈ (1,∞) .

Dividiendo f y g por ‖ f  ‖ _p y ‖ g ‖ _q , respectivamente, podemos suponer que

${\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.}$

Ahora utilizamos la desigualdad de Young para productos , que establece que siempre que estén en (1,∞) con ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}$

para todos los a y b no negativos , donde la igualdad se logra si y solo si a ^p = b ^q . Por lo tanto

${\displaystyle |f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.}$

Integrando ambos lados se obtiene

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{p}}+{\frac {\|g\|_{q}^{q}}{q}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$

lo que prueba la afirmación.

Bajo los supuestos p ∈ (1, ∞) y ‖ f  ‖ _p = ‖ g ‖ _q , la igualdad se cumple si y solo si | f  | ^p = | g | ^q casi en todas partes. De manera más general, si ‖ f  ‖ _p y ‖ g ‖ _q están en (0, ∞) , entonces la desigualdad de Hölder se convierte en una igualdad si y solo si existen números reales α , β > 0 , es decir

${\displaystyle \alpha =\|g\|_{q}^{q},\qquad \beta =\|f\|_{p}^{p},}$

de tal manera que

${\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}}$   μ -casi en todas partes (*).

El caso ‖ f  ‖ _p = 0 corresponde a β = 0 en (*). El caso ‖ g ‖ _q = 0 corresponde a α = 0 en (*).

Prueba alternativa usando la desigualdad de Jensen:

Prueba

La función en (0,∞) es convexa porque , entonces por la desigualdad de Jensen, ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \int h\mathrm {d} \nu \leq \left(\int h^{p}\mathrm {d} \nu \right)^{\frac {1}{p}}}$

donde ν es cualquier distribución de probabilidad y h cualquier función ν -medible. Sea μ cualquier medida y ν la distribución cuya densidad con respecto a μ es proporcional a , es decir ${\displaystyle g^{q}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \nu ={\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\mathrm {d} \mu }$

Por lo tanto tenemos, usando , por lo tanto , y dejando , ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle p(1-q)+q=0}$ ${\displaystyle h=fg^{1-q}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int fg\,\mathrm {d} \mu =&\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)\int \underbrace {fg^{1-q}} _{h}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\mathrm {d} \mu } _{\mathrm {d} \nu }\\\leq &\left(\int g^{q}\mathrm {d} \mu \right)\left(\int \underbrace {f^{p}g^{p(1-q)}} _{h^{p}}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\,\mathrm {d} \mu } _{\mathrm {d} \nu }\right)^{\frac {1}{p}}\\=&\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)\left(\int {\frac {f^{p}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}.\end{aligned}}}$

Finalmente, lo conseguimos

${\displaystyle \int fg\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\int f^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}}$

Esto supone que f , g son reales y no negativas, pero la extensión a funciones complejas es sencilla (use el módulo de f , g ). También supone que no son nulas ni infinitas, y que : todas estas suposiciones también se pueden eliminar como en la prueba anterior. ${\displaystyle \|f\|_{p},\|g\|_{q}}$ ${\displaystyle p,q>1}$

También podríamos obviar el uso de las desigualdades de Young y de Jensen. La prueba que figura a continuación también explica por qué y dónde entra en juego naturalmente el exponente de Hölder.

Prueba

Al igual que en la prueba anterior, basta con demostrar

${\displaystyle \int _{X}|h|\mathrm {d} \nu \leq \left(\int _{X}|h|^{p}\mathrm {d} \nu \right)^{\frac {1}{p}}}$

donde y es una función medible (real o compleja) en . Para demostrarlo, debemos limitarlo por . No existe ninguna constante que haga que todos los . Por lo tanto, buscamos una desigualdad de la forma ${\displaystyle \nu (X)=1}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |h|}$ ${\displaystyle |h|^{p}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle |h(x)|~\leq ~C|h(x)|^{p}}$ ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle |h(x)|~\leq ~a'|h(x)|^{p}+b',\quad for\quad all\quad x>0}$

para elecciones adecuadas de y . ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle b'}$

Deseamos obtener en el lado derecho después de integrar esta desigualdad. Por ensayo y error, vemos que la desigualdad que deseamos debe tener la forma ${\displaystyle A:=\|f\|_{p}}$

${\displaystyle |h(x)|~\leq ~aA^{1-p}|h(x)|^{p}+bA,\quad for\quad all\quad x>0,}$

donde no son negativos y . De hecho, la integral del lado derecho es precisamente . Por lo tanto, queda por demostrar que tal desigualdad se cumple con la elección correcta de ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a+b=1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a,b.}$

La desigualdad que buscamos se deduciría de:

${\displaystyle {\tfrac {y}{A}}~\leq ~a({\tfrac {y}{a}})^{p}+b,\quad for\quad all\quad y>0,}$

lo que a su vez es equivalente a

${\displaystyle (*)\quad z~\leq ~az^{p}+b,\quad for\quad all\quad z>0.}$

Resulta que hay una y sólo una elección de , sujeta a , que hace que esto sea cierto: y, necesariamente, . (¡Aquí es donde nace el exponente conjugado de Hölder!) Esto completa la prueba de la desigualdad en el primer párrafo de esta prueba. La prueba de la desigualdad de Hölder se sigue de esto como en la prueba anterior. Alternativamente, podemos deducir la desigualdad de Young y luego recurrir a la primera prueba dada anteriormente. La desigualdad de Young se sigue de la desigualdad (*) anterior eligiendo y multiplicando ambos lados por . ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a+b=1}$ ${\displaystyle a={\tfrac {1}{p}}}$ ${\displaystyle b=1-{\tfrac {1}{p}}}$ ${\displaystyle z={\tfrac {a}{b^{q-1}}}}$ ${\displaystyle b^{q}}$

Igualdad extrema

Declaración

Supóngase que 1 ≤ p < ∞ y sea q el conjugado de Hölder. Entonces, para cada f ∈ L ^p ( μ ) ,

${\displaystyle \|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{q}(\mu ),\|g\|_{q}\leq 1\right\},}$

donde max indica que en realidad hay una g que maximiza el lado derecho. Cuando p = ∞ y si cada conjunto A en el σ-cuerpo Σ con μ ( A ) = ∞ contiene un subconjunto B ∈ Σ con 0 < μ ( B ) < ∞ (lo cual es cierto en particular cuando μ es σ-finito ), entonces

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{1}(\mu ),\|g\|_{1}\leq 1\right\}.}$

Prueba de la igualdad extrema:

Prueba

Por la desigualdad de Hölder, las integrales están bien definidas y, para 1 ≤ p ≤ ∞ ,

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu \leq \|f\|_{p},}$

Por lo tanto, el lado izquierdo siempre está limitado arriba por el lado derecho.

Por el contrario, para 1 ≤ p ≤ ∞ , observe primero que la afirmación es obvia cuando ‖ f  ‖ _p = 0 . Por lo tanto, asumimos ‖ f  ‖ _p > 0 en lo siguiente.

Si 1 ≤ p < ∞ , defina g en S por

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}\|f\|_{p}^{1-p}\,|f(x)|^{p}/f(x)&{\text{if }}f(x)\not =0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Comprobando los casos p = 1 y 1 < p < ∞ por separado, vemos que ‖ g ‖ _q = 1 y

${\displaystyle \int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu =\|f\|_{p}.}$

Queda por considerar el caso p = ∞ . Para ε ∈ (0, 1) definamos

${\displaystyle A=\left\{x\in S:|f(x)|>(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }\right\}.}$

Como f es medible, A ∈ Σ . Por la definición de ‖ f  ‖ _∞ como el supremo esencial de f y la suposición ‖ f  ‖ _∞ > 0 , tenemos μ ( A ) > 0 . Utilizando la suposición adicional sobre el σ-cuerpo Σ si es necesario, existe un subconjunto B ∈ Σ de A con 0 < μ ( B ) < ∞ . Defina g en S por

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}{\frac {\|f\|_{\infty }}{f(x)}}&{\text{if }}x\in B,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Entonces g está bien definido, es medible y | g ( x ) | ≤ 1/ μ ( B ) para x ∈ B , por lo tanto ‖ g ‖ ₁ ≤ 1 . Además,

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|=\int _{B}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}\|f\|_{\infty }\,\mathrm {d} \mu =(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }.}$

Observaciones y ejemplos

• La igualdad para falla siempre que exista un conjunto de medida infinita en el -cuerpo con que no tenga subconjunto que satisfaga: (el ejemplo más simple es el -cuerpo que contiene solo el conjunto vacío y y la medida con ) Entonces la función indicadora satisface pero cada tiene que ser -casi en todas partes constante en porque es -medible, y esta constante tiene que ser cero, porque es -integrable. Por lo tanto, el supremo anterior para la función indicadora es cero y la igualdad extremal falla. ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle B\in \Sigma }$ ${\displaystyle 0<\mu (B)<\infty .}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (S)=\infty .}$ ${\displaystyle 1_{A}}$ ${\displaystyle \|1_{A}\|_{\infty }=1,}$ ${\displaystyle g\in L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 1_{A}}$
• En general, el supremo no se alcanza. Por ejemplo, tomemos como ejemplo la medida de contar. Definamos: ${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} ,\Sigma ={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \\f(n)={\frac {n-1}{n}}\end{cases}}}$

Entonces Para con sea el número natural más pequeño con Entonces ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=1.}$ ${\displaystyle g\in L^{1}(\mu ,\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle 0<\|g\|_{1}\leqslant 1,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g(m)\neq 0.}$

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leqslant {\frac {m-1}{m}}|g(m)|+\sum _{n=m+1}^{\infty }|g(n)|=\|g\|_{1}-{\frac {|g(m)|}{m}}<1.}$

Aplicaciones

• La igualdad extrema es una de las formas de demostrar la desigualdad triangular ‖ f ₁ + f ₂ ‖ _p ≤ ‖ f ₁ ‖ _p + ‖ f ₂ ‖ _p para todos f ₁ y f ₂ en L ^p ( μ ) , véase desigualdad de Minkowski .
• La desigualdad de Hölder implica que cada f ∈ L ^p ( μ ) define un funcional lineal acotado (o continuo) κ _f en L ^q ( μ ) por la fórmula

${\displaystyle \kappa _{f}(g)=\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu ,\qquad g\in L^{q}(\mu ).}$

La igualdad extremal (cuando es verdadera) muestra que la norma de esta función κ _f como elemento del espacio dual continuo L ^q ( μ ) ^* coincide con la norma de f en L ^p ( μ ) (véase también el artículo sobre el espacio L p ).

Generalización con más de dos funciones

Declaración

Supongamos que r ∈ (0, ∞] y p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] tales que

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}}$

donde 1/∞ se interpreta como 0 en esta ecuación. Entonces, para todas las funciones reales o complejas mensurables f ₁ , ..., f _n definidas en S ,

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\left\|f_{k}\right\|_{p_{k}}}$

donde interpretamos cualquier producto con un factor de ∞ como ∞ si todos los factores son positivos, pero el producto es 0 si algún factor es 0.

En particular, si para todos entonces ${\displaystyle f_{k}\in L^{p_{k}}(\mu )}$ ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}f_{k}\in L^{r}(\mu ).}$

Nota: Contrariamente a la notación, ‖ . ‖ _r en general no es una norma porque no satisface la desigualdad triangular . ${\displaystyle r\in (0,1),}$

Prueba de la generalización:

Prueba

Utilizamos la desigualdad de Hölder y la inducción matemática . Si entonces el resultado es inmediato. Pasemos ahora de a Sin pérdida de generalidad supongamos que ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle p_{1}\leq \cdots \leq p_{n}.}$

Caso 1: Si entonces ${\displaystyle p_{n}=\infty }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}.}$

Extrayendo el supremo esencial de | f _n | y utilizando la hipótesis de inducción, obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|f_{1}\cdots f_{n}\right\|_{r}&\leq \left\|f_{1}\cdots f_{n-1}\right\|_{r}\left\|f_{n}\right\|_{\infty }\\&\leq \left\|f_{1}\right\|_{p_{1}}\cdots \left\|f_{n-1}\right\|_{p_{n-1}}\left\|f_{n}\right\|_{\infty }.\end{aligned}}}$

Caso 2: Si entonces necesariamente también, y entonces ${\displaystyle p_{n}<\infty }$ ${\displaystyle r<\infty }$

${\displaystyle p:={\frac {p_{n}}{p_{n}-r}},\qquad q:={\frac {p_{n}}{r}}}$

son conjugados de Hölder en (1, ∞) . La aplicación de la desigualdad de Hölder da

${\displaystyle \left\||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\,|f_{n}|^{r}\right\|_{1}\leq \left\||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\right\|_{p}\,\left\||f_{n}|^{r}\right\|_{q}.}$

Elevarse al poder y reescribir, ${\displaystyle 1/r}$

${\displaystyle \|f_{1}\cdots f_{n}\|_{r}\leq \|f_{1}\cdots f_{n-1}\|_{pr}\|f_{n}\|_{qr}.}$

Desde y ${\displaystyle qr=p_{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p_{n}}}={\frac {p_{n}-r}{rp_{n}}}={\frac {1}{pr}},}$

La desigualdad reclamada ahora se deduce utilizando la hipótesis de inducción.

Interpolación

Sea p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] y sea θ ₁ , ..., θ _n ∈ (0, 1) los pesos con θ ₁ + ... + θ _n = 1 . Defina como la media armónica ponderada , es decir, ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {1}{p}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\theta _{k}}{p_{k}}}.}$

Dadas funciones reales o complejas mensurables en S , entonces la generalización anterior de la desigualdad de Hölder da ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\cdots |f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{p}\leq \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\right\|_{\frac {p_{1}}{\theta _{1}}}\cdots \left\||f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{\frac {p_{n}}{\theta _{n}}}=\|f_{1}\|_{p_{1}}^{\theta _{1}}\cdots \|f_{n}\|_{p_{n}}^{\theta _{n}}.}$

En particular, tomar da ${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{n}=:f}$

${\displaystyle \|f\|_{p}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|f\|_{p_{k}}^{\theta _{k}}.}$

Especificando además θ ₁ = θ y θ ₂ = 1- θ , en el caso de que obtengamos el resultado de la interpolación ${\displaystyle n=2,}$

Desigualdad de Littlewood  —  Para y , ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p_{\theta }}}={\frac {\theta }{p_{1}}}+{\frac {1-\theta }{p_{0}}}}$

$${\displaystyle \|f\|_{p_{\theta }}\leqslant \|f\|_{p_{1}}^{\theta }\cdot \|f\|_{p_{0}}^{1-\theta },}$$

Una aplicación de Hölder da

Desigualdad de Lyapunov  —  Si entonces ${\displaystyle p=(1-\theta )p_{0}+\theta p_{1},\qquad \theta \in (0,1),}$

$${\displaystyle \left\||f_{0}|^{\frac {p_{0}(1-\theta )}{p}}\cdot |f_{1}|^{\frac {p_{1}\theta }{p}}\right\|_{p}^{p}\leq \|f_{0}\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\|f_{1}\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }}$$

y en particular

$${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}\leqslant \|f\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\cdot \|f\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }.}$$

Tanto Littlewood como Lyapunov implican que si entonces para todos ^[4] ${\displaystyle f\in L^{p_{0}}\cap L^{p_{1}}}$ ${\displaystyle f\in L^{p}}$ ${\displaystyle p_{0}<p<p_{1}.}$

Desigualdades de Hölder inversas

Dos funciones

Supóngase que p ∈ (1, ∞) y que el espacio de medida ( S , Σ, μ ) satisface μ ( S ) > 0 . Entonces, para todas las funciones reales o complejas mensurables f y g en S tales que g ( s ) ≠ 0 para μ -casi todos los s ∈ S ,

${\displaystyle \|fg\|_{1}\geqslant \|f\|_{\frac {1}{p}}\,\|g\|_{\frac {-1}{p-1}}.}$

Si

${\displaystyle \|fg\|_{1}<\infty \quad {\text{and}}\quad \|g\|_{\frac {-1}{p-1}}>0,}$

entonces la desigualdad de Hölder inversa es una igualdad si y sólo si

${\displaystyle \exists \alpha \geqslant 0\quad |f|=\alpha |g|^{\frac {-p}{p-1}}\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}.}$

Nota: Las expresiones:

${\displaystyle \|f\|_{\frac {1}{p}}}$y ${\displaystyle \|g\|_{\frac {-1}{p-1}},}$

no son normas, son solo notaciones compactas para

${\displaystyle \left(\int _{S}|f|^{\frac {1}{p}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{p}\quad {\text{and}}\quad \left(\int _{S}|g|^{\frac {-1}{p-1}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{-(p-1)}.}$

Prueba de la desigualdad de Hölder inversa (oculta, haga clic en mostrar para revelar).

Nótese que p y

${\displaystyle q:={\frac {p}{p-1}}\in (1,\infty )}$

son conjugados de Hölder. La aplicación de la desigualdad de Hölder da

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}&=\left\||fg|^{\frac {1}{p}}\,|g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{1}\\&\leqslant \left\||fg|^{\frac {1}{p}}\right\|_{p}\left\||g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{q}\\&=\|fg\|_{1}^{\frac {1}{p}}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{\frac {p-1}{p}}\end{aligned}}}$

Elevando a la potencia p obtenemos:

${\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\leqslant \|fg\|_{1}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{p-1}.}$

Por lo tanto:

${\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{-(p-1)}\leqslant \|fg\|_{1}.}$

Ahora sólo necesitamos recordar nuestra notación.

Como g no es casi en todas partes igual a la función cero, podemos tener igualdad si y solo si existe una constante α ≥ 0 tal que | fg | = α  | g | ^{− q / p} casi en todas partes. Resolviendo para el valor absoluto de f obtenemos la afirmación.

Funciones múltiples

La desigualdad de Hölder inversa (arriba) se puede generalizar al caso de múltiples funciones si todas las conjugadas, excepto una, son negativas. Es decir,

Sean y tales que (por lo tanto ). Sean funciones medibles para . Entonces ${\displaystyle p_{1},...,p_{m-1}<0}$ ${\displaystyle p_{m}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{p_{k}}}=1}$ ${\displaystyle 0<p_{m}<1}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle k=1,...,m}$

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{m}f_{k}\right\|_{1}\geq \prod _{k=1}^{m}\left\|f_{k}\right\|_{p_{k}}.}$

Esto se desprende de la forma simétrica de la desigualdad de Hölder (véase más abajo).

Formas simétricas de la desigualdad de Hölder

Aczél y Beckenbach ^[5] observaron que la desigualdad de Hölder puede expresarse en una forma más simétrica, al precio de introducir un vector (o función) extra:

Sean vectores con entradas positivas y tales que para todo . Si son números reales distintos de cero tales que , entonces: ${\displaystyle f=(f(1),\dots ,f(m)),g=(g(1),\dots ,g(m)),h=(h(1),\dots ,h(m))}$ ${\displaystyle f(i)g(i)h(i)=1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p,q,r}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=0}$

• ${\displaystyle \|f\|_{p}\|g\|_{q}\|h\|_{r}\geq 1}$si todos menos uno son positivos; ${\displaystyle p,q,r}$
• ${\displaystyle \|f\|_{p}\|g\|_{q}\|h\|_{r}\leq 1}$Si todos menos uno son negativos. ${\displaystyle p,q,r}$

La desigualdad estándar de Hölder se deduce inmediatamente de esta forma simétrica (y de hecho es fácil ver que es equivalente a ella). El enunciado simétrico también implica la desigualdad inversa de Hölder (véase más arriba).

El resultado se puede extender a múltiples vectores:

Sean vectores en con entradas positivas y tales que para todo . Si son números reales distintos de cero tales que , entonces: ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f_{1}(i)\dots f_{n}(i)=1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p_{1}}}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}=0}$

• ${\displaystyle \|f_{1}\|_{p_{1}}\dots \|f_{n}\|_{p_{n}}\geq 1}$si todos los números menos uno son positivos; ${\displaystyle p_{i}}$
• ${\displaystyle \|f_{1}\|_{p_{1}}\dots \|f_{n}\|_{p_{n}}\leq 1}$Si todos los números menos uno son negativos. ${\displaystyle p_{i}}$

Al igual que en las desigualdades de Hölder estándar, existen enunciados correspondientes para sumas e integrales infinitas.

Desigualdad condicional de Hölder

Sea (Ω, F , ) ${\displaystyle \mathbb {P} }$ un espacio de probabilidad, G ⊂ F una sub- σ-álgebra y p , q ∈ (1, ∞) conjugados de Hölder, lo que significa que 1/ p + 1/ q = 1 . Entonces, para todas las variables aleatorias reales o complejas X e Y en  Ω ,

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}\leq {\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}}\,{\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}\qquad \mathbb {P} {\text{-almost surely.}}}$

Observaciones:

• Si una variable aleatoria no negativa Z tiene un valor esperado infinito , entonces su expectativa condicional se define por

${\displaystyle \mathbb {E} [Z|{\mathcal {G}}]=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\mathbb {E} [\min\{Z,n\}|{\mathcal {G}}]\quad {\text{a.s.}}}$

• En el lado derecho de la desigualdad condicional de Hölder, 0 por ∞ así como ∞ por 0 significa 0. Multiplicar a > 0 por ∞ da ∞.

Prueba de la desigualdad condicional de Hölder:

Prueba

Definir las variables aleatorias

${\displaystyle U={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}},\qquad V={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}}$

y observe que son mensurables con respecto a la sub-σ-álgebra . Dado que

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}1_{\{U=0\}}{\bigr ]}=\mathbb {E} {\bigl [}1_{\{U=0\}}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}} _{=\,U^{p}}{\bigr ]}=0,}$

se sigue que | X | = 0 como en el conjunto { U = 0} . De manera similar, | Y | = 0 como en el conjunto { V = 0} , por lo tanto

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}=0\qquad {\text{a.s. on }}\{U=0\}\cup \{V=0\}}$

y la desigualdad condicional de Hölder se cumple en este conjunto. En el conjunto

${\displaystyle \{U=\infty ,V>0\}\cup \{U>0,V=\infty \}}$

El lado derecho es infinito y la desigualdad condicional de Hölder también se cumple. Dividiendo por el lado derecho, queda por demostrar que

${\displaystyle {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}\leq 1\qquad {\text{a.s. on the set }}H:=\{0<U<\infty ,\,0<V<\infty \}.}$

Esto se hace verificando que la desigualdad se mantiene después de la integración sobre un valor arbitrario.

${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},\quad G\subset H.}$

Usando la mensurabilidad de U, V, 1 _G con respecto a la sub-σ-álgebra , las reglas para expectativas condicionales, la desigualdad de Hölder y 1/ p + 1/ q = 1 , vemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}1_{G}{\biggr ]}&=\mathbb {E} {\biggl [}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|XY|}{UV}}1_{G}{\bigg |}\,{\mathcal {G}}{\biggr ]}{\biggr ]}\\&=\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|}{U}}1_{G}\cdot {\frac {|Y|}{V}}1_{G}{\biggr ]}\\&\leq {\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|^{p}}{U^{p}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|Y|^{q}}{V^{q}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&={\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{U^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{V^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&=\mathbb {E} {\bigl [}1_{G}{\bigr ]}.\end{aligned}}}$

Desigualdad de Hölder para seminormas crecientes

Sea S un conjunto y sea el espacio de todas las funciones complejas en S. Sea N una seminorma creciente en lo que significa que, para todas las funciones de valor real, tenemos la siguiente implicación (la seminorma también puede alcanzar el valor ∞): ${\displaystyle F(S,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle F(S,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle f,g\in F(S,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \forall s\in S\quad f(s)\geqslant g(s)\geqslant 0\qquad \Rightarrow \qquad N(f)\geqslant N(g).}$

Entonces:

${\displaystyle \forall f,g\in F(S,\mathbb {C} )\qquad N(|fg|)\leqslant {\bigl (}N(|f|^{p}){\bigr )}^{\frac {1}{p}}{\bigl (}N(|g|^{q}){\bigr )}^{\frac {1}{q}},}$

donde los números y son conjugados de Hölder. ^[6] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Observación: Si ( S , Σ, μ ) es un espacio de medida y es la integral de Lebesgue superior de entonces la restricción de N a todas las funciones Σ -medibles da la versión usual de la desigualdad de Hölder. ${\displaystyle N(f)}$ ${\displaystyle |f|}$

Distancias basadas en la desigualdad de Hölder

La desigualdad de Hölder se puede utilizar para definir medidas estadísticas de disimilitud ^[7] entre distribuciones de probabilidad. Esas divergencias de Hölder son proyectivas: no dependen del factor de normalización de las densidades.

Véase también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• Desigualdad de Minkowski
• Desigualdad de Jensen
• Desigualdad de Young para productos
• Desigualdades de Clarkson
• Desigualdad de Brascamp-Lieb

Citas

1. Romano 2008, pág. 303 §12
2. Maligranda, Lech (1998), "Por qué la desigualdad de Hölder debería llamarse desigualdad de Rogers", Mathematical Inequalities & Applications , 1 (1): 69–83, doi : 10.7153/mia-01-05 , MR  1492911
3. Guessab, A.; Schmeisser, G. (2013), "Condiciones necesarias y suficientes para la validez de la desigualdad de Jensen", Archiv der Mathematik , 100 (6): 561–570, doi :10.1007/s00013-013-0522-3, MR  3069109, S2CID  253600514, bajo el supuesto adicional de que existe, esta desigualdad ya fue obtenida por Hölder en 1889 ${\displaystyle \varphi ''}$
4. Wojtaszczyk, P. (1991). Espacios de Banach para analistas. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56675-9.
5. Beckenbach, EF (1980). Desigualdades generales 2. Serie Internacional de Matemáticas Numéricas / Internationale Schriftenreihe zur Numerischen Mathematik / Série Internationale d'Analyse Numérique. vol. 47. Birkhäuser Basilea. págs. 145-150. doi :10.1007/978-3-0348-6324-7. ISBN 978-3-7643-1056-1.
6. Para una prueba, véase (Trèves 1967, Lema 20.1, pp. 205-206).
7. Nielsen, Frank; Sol, Ke; Marchand-Maillet, Stéphane (2017). "Sobre las divergencias proyectivas de Hölder". Entropía . 3 (19): 122. arXiv : 1701.03916 . Código Bib : 2017Entrp..19..122N. doi : 10.3390/e19030122 .

Referencias

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• Hardy, GH ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1934), Desigualdades , Cambridge University Press , págs. XII+314, ISBN 0-521-35880-9, JFM  60.0169.01, Zbl  0010.10703.
• Hölder, O. (1889), "Ueber einen Mittelwertsatz", Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen , Band (en alemán), 1889 (2): 38–47, JFM  21.0260.07. Disponible en Digi Zeitschriften.
• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Desigualdad de Hölder", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Rogers, LJ (febrero de 1888), "Una extensión de un cierto teorema en desigualdades", Messenger of Mathematics , New Series, XVII (10): 145–150, JFM  20.0254.02, archivado desde el original el 21 de agosto de 2007.
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5
• Trèves, François (1967), Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos , Matemáticas puras y aplicadas. Una serie de monografías y libros de texto, vol. 25, Nueva York, Londres: Academic Press, MR  0225131, Zbl  0171.10402.
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Enlaces externos

• Chen, Evan (2015), Una breve introducción a las desigualdades olímpicas (PDF).
• Kuttler, Kenneth (2007), An Introduction to Linear Algebra (PDF) , Libro electrónico en línea en formato PDF, Brigham Young University, archivado desde el original (PDF) el 2008-08-07 , consultado el 2008-03-26.
• Lohwater, Arthur (1982), Introducción a las desigualdades (PDF).
• Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Tisdell, Chris (2012), La desigualdad de Holder, YouTube.