Valores especiales de funciones L

Subcampo de la teoría de números

En matemáticas , el estudio de valores especiales de funciones L es un subcampo de la teoría de números dedicado a generalizar fórmulas como la fórmula de Leibniz para pi , es decir $${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}},\!}$$

por el reconocimiento de que la expresión en el lado izquierdo es también donde está la función L de Dirichlet para el campo de números racionales gaussianos . Esta fórmula es un caso especial de la fórmula analítica del número de clase y, en esos términos, se lee que el campo gaussiano tiene el número de clase 1 . El factor del lado derecho de la fórmula corresponde a que este campo contiene cuatro raíces de la unidad . ${\displaystyle L(1)}$ ${\displaystyle L(s)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

Conjeturas

Hay dos familias de conjeturas, formuladas para clases generales de L -funciones (el escenario muy general es para L -funciones asociadas a motivos Chow sobre campos numéricos ), la división en dos refleja las preguntas de:

1. cómo sustituir en la fórmula de Leibniz por algún otro número "trascendental" (independientemente de si actualmente es posible que la teoría de números trascendental proporcione una prueba de la trascendencia); y ${\displaystyle \pi }$
2. cómo generalizar el factor racional en la fórmula (número de clase dividido por el número de raíces de la unidad) mediante alguna construcción algebraica de un número racional que representará la relación entre el valor de la función L y el factor "trascendental".

Se dan explicaciones subsidiarias para los valores enteros de para los cuales se puede esperar que se cumplan fórmulas de este tipo . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L(n)}$

Las conjeturas para (a) se denominan conjeturas de Beilinson , por Alexander Beilinson . ^{[1] [2]} La idea es abstraerse del regulador de un campo numérico a algún "regulador superior" (el regulador de Beilinson ), un determinante construido sobre un espacio vectorial real que proviene de la teoría K algebraica .

Las conjeturas para (b) se denominan conjeturas de Bloch-Kato para valores especiales (para Spencer Bloch y Kazuya Kato ; este círculo de ideas es distinto de la conjetura de Bloch-Kato de la teoría K, que extiende la conjetura de Milnor , cuya prueba fue anunciado en 2009). También se les llama conjetura del número de Tamagawa , un nombre que surge a través de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer y su formulación como una curva elíptica análoga al problema del número de Tamagawa para grupos algebraicos lineales . ^[3] En una extensión adicional, se ha formulado la conjetura del número equivariante de Tamagawa (ETNC), para consolidar la conexión de estas ideas con la teoría de Iwasawa , y su llamada Conjetura Principal .

Estado actual

Se sabe que todas estas conjeturas son ciertas sólo en casos especiales.

Ver también

• Conjetura de Brumer-Stark

Notas

1. Peter Schneider, Introducción a las conjeturas de Beilinson (PDF)
2. Jan Nekovář, Conjeturas de Beilinson (PDF)
3. Matthias Flach, La conjetura del número de Tamagawa (PDF)

Referencias

• Kings, Guido (2003), "La conjetura de Bloch-Kato sobre valores especiales de funciones L. Un estudio de resultados conocidos", Journal de théorie des nombres de Bordeaux , 15 (1): 179–198, doi : 10.5802/jtnb .396 , ISSN  1246-7405, SEÑOR  2019010
• "Conjeturas de Beilinson", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "K-functor en geometría algebraica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathar, Richard J. (2010), "Tabla de funciones Dirichlet L-Series y Prime Zeta Modulo para módulos pequeños", arXiv : 1008.2547 [math.NT]

enlaces externos

• L-funktionen und die Vermutingen von Deligne und Beilinson (Funciones L y conjeturas de Deligne y Beilsnson)