En matemáticas , el problema del número de clase de Gauss ( para campos cuadráticos imaginarios ), como generalmente se entiende, consiste en proporcionar para cada n ≥ 1 una lista completa de campos cuadráticos imaginarios (para enteros negativos d ) que tienen un número de clase n . Lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss . También se puede expresar en términos de discriminantes . Hay preguntas relacionadas para campos cuadráticos reales y para el comportamiento como .
La dificultad está en el cálculo efectivo de los límites: para un discriminante dado, es fácil calcular el número de clase, y hay varios límites inferiores ineficaces en el número de clase (lo que significa que involucran una constante que no se calcula), pero límites efectivos ( y pruebas explícitas de que las listas están completas) son más difíciles.
Los problemas se plantean en las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss de 1801 (Sección V, artículos 303 y 304). [1]
Gauss analiza los campos cuadráticos imaginarios en el artículo 303, estableciendo las dos primeras conjeturas, y analiza los campos cuadráticos reales en el artículo 304, estableciendo la tercera conjetura.
El problema original de números de clase de Gauss para campos cuadráticos imaginarios es significativamente diferente y más fácil que la declaración moderna: restringió a discriminantes pares y permitió discriminantes no fundamentales.
Para campos de números cuadráticos imaginarios, los discriminantes (fundamentales) de la clase número 1 son:
Los discriminantes no fundamentales de la clase número 1 son:
Así, los discriminantes pares de la clase número 1, fundamental y no fundamental (pregunta original de Gauss) son:
En 1934, Hans Heilbronn demostró la conjetura de Gauss. De manera equivalente, para cualquier número de clase dado, solo hay un número finito de campos de números cuadráticos imaginarios con ese número de clase.
También en 1934, Heilbronn y Edward Linfoot demostraron que había como máximo 10 campos de números cuadráticos imaginarios con clase número 1 (los 9 conocidos, y como máximo uno más). El resultado fue ineficaz (ver resultados efectivos en teoría de números ): no dio límites al tamaño del campo restante.
En desarrollos posteriores, el caso n = 1 fue discutido por primera vez por Kurt Heegner , utilizando formas modulares y ecuaciones modulares para mostrar que ya no podría existir tal campo. Este trabajo no fue aceptado inicialmente; Sólo con el trabajo posterior de Harold Stark y Bryan Birch (por ejemplo, sobre el teorema de Stark-Heegner y el número de Heegner ) se aclaró la posición y se entendió el trabajo de Heegner. Prácticamente al mismo tiempo, Alan Baker demostró lo que hoy conocemos como el teorema de Baker sobre formas lineales en logaritmos de números algebraicos , lo que resolvió el problema con un método completamente diferente. El caso n = 2 fue abordado poco después, al menos en principio, como una aplicación del trabajo de Baker. [4]
La lista completa de campos cuadráticos imaginarios con clase número 1 es donde d es uno de
El caso general esperó el descubrimiento de Dorian Goldfeld en 1976 de que el problema del número de clases podía conectarse a las funciones L de curvas elípticas . [5] Esto efectivamente redujo la cuestión de la determinación efectiva a una cuestión de establecer la existencia de un cero múltiple de tal función L. [5] Con la prueba del teorema de Gross-Zagier en 1986, se pudo especificar una lista completa de campos cuadráticos imaginarios con un número de clase dado mediante un cálculo finito. Todos los casos hasta n = 100 fueron calculados por Watkins en 2004. [3] El número de clase de para d = 1, 2, 3, ... es
El caso contrastante de los campos cuadráticos reales es muy diferente y se sabe mucho menos. Esto se debe a que lo que entra en la fórmula analítica para el número de clase no es h , el número de clase, por sí solo, sino h log ε , donde ε es una unidad fundamental . Este factor adicional es difícil de controlar. Bien puede darse el caso de que la clase número 1 para campos cuadráticos reales ocurra con una frecuencia infinita.
Las heurísticas de Cohen-Lenstra [6] son un conjunto de conjeturas más precisas sobre la estructura de grupos de clases de campos cuadráticos. Para campos reales, predicen que alrededor del 75,45% de los campos obtenidos al unir la raíz cuadrada de un primo tendrán la clase número 1, un resultado que concuerda con los cálculos. [7]
